4微分方程的解及解的稳定性
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4微分⽅程的解及解的稳定性
第四讲 微分⽅程解的稳定性
上⼀讲，我们利⽤最⼤值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个⽅程，⼀个是状态变量的转移⽅程，另⼀个是欧拉⽅程。这两个⽅程构成了包含状态变量和控制变量的⼆元⼀次⽅程组。[]δα--=-)
()()()()(1
t k t c t k t k t k []δραα--=-1
)()
()(t k t c t c 这个⽅程组是⼀个⾮线性微分⽅程组，⼀般情况下，⾮线性⽅程组不存在解析解，即⽅程组的解不能⽤初等函数来表⽰。因此，他们的性质需要借助其他⽅法来了解。
微分⽅程：变量为导数的⽅程叫做微分⽅程。
常微分⽅程：只有⼀个⾃变量的微分⽅程叫做常微分⽅程。
偏微分⽅程：有两个或两个以上⾃变量的⽅程叫做偏微分⽅程。 微分⽅程的阶：微分⽅程中变量的导数最⾼阶叫做⽅程的阶。 线性⽅程：⽅程的形式是线性的。
例如，⽅程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a
是⼀个⼆阶线性常微分⽅程。 ⼜如，索洛－斯旺模型的基本⽅程是⼀个⾮线性⽅程：())()()(t k t k s t k
-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分⽅程组的解：
[]δα--=-)
()()()()(1
t k t c t k t k t k []δραα--=-1
)()
()(t k t c t c ⼀、 ⼀阶微分⽅程
⼀阶微分⽅程可以⽤下⾯的⽅程表⽰ ),(y x f dx dy= (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。
最简单的微分⽅程是)(x f dx
dy
= (1.2) 它的解可表⽰为不定积分：
+=c dx x f y )( (1.3)
其中，?dx x f x F )()(＝表⽰任意⼀个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意⼀个被积函数，例如，令??xdt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定
积分可表⽰为+x
c dt t f y 0)(＝
这时，不定积分仍然代表⽆穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上⾯微分⽅程的解就是+x
y dt t f y 00)(＝ (1.4)
⼆、 常见的⼀阶微分⽅程解法1． ⼀阶线性微分⽅程
⼀阶线性微分⽅程的⼀般形式为)()(x g y x p dx dy
=+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。
为求解线性微分⽅程，在⽅程的两边同乘以?xdt t p 0)(ex p , 则⽅程的左边为
dx
dt t p y d y
dt t p x p dt t p dx
dy
x
x x ??? ???=
+0
00)(exp )(exp )()(exp 所以
??= ??x x
dt t p x g dx
dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2)
⽅程(2.2)的解为
+?
? -=?c dt t p x g dt t p y x x
x 000)(exp )()(exp (2.3)
2. 可分离变量的微分⽅程
⼀个⽅程是可分离变量的，如果它可以写成下列形式dy y g dx x f )()(=
这类⽅程的解只需在⽅程两边同时积分即可。=dy y g dx x f )()( (2.4)
3. 可化为可分离变量或线性⽅程的贝努利⽅程
⽅程 )()(x g y y x p dxdy
n =+ (2.5) 叫做贝努利⽅程。其中，n 为正整数。
⽅程(2.5)两边同除以n y)()(1x g y x p dx
dy
y n n =+-- )()(1111x g y x p dx dy n n n
=+---
n y z -=1
)()(11x g z x p dx
dz
n =+- (2.6)
这样，贝努利⽅程就转化为线性⽅程。4．恰当⽅程
考虑⾮线性⽅程0),(),(=+dx
dy
y x N y x M (2.7)
或者0),(),(=+dy y x N dx y x M
如果存在函数),(y x φ 满⾜),(),(),(y x d dy y x N dx y x M φ=+
则称⽅程(2.7)是恰当⽅程，其解c y x =),(φ。
例1，⽅程0=+ydy xdx 的解是xy=c.
⽅程0)(ln =+dx y dy y
x
的解是c y x =ln . 三、⼀阶常微分⽅程的图解法
对于线性常微分⽅程⽽⾔，⽬前已经有完整的理论，⽅程的解也可以⽤明确的解析表达式来表⽰。但是，对于⾮线性⽅程⽽⾔，除了个别特殊的形式之外，⼀般是没有办法获得解析表达式的，甚⾄根本不存在解析表达式。我们希望在没有明确的解析表达式的情况下，仍然了解⽅程的解的性质。
例2，索罗－斯旺模型的基本⽅程())()()(t k t k s t k
-=δα (3.1) k 表⽰资本存量，δ表⽰资本折旧率，α表⽰资本的收⼊份额。该⽅程表⽰资本存量的净增加等于总储蓄与总折旧之间的差额。
先求稳定点。
令0)(=t k, 得()0)()(＝t k t k s ?-δα可以求得两个解， ()
()
)
1(1*)(,
0)(αδ-==s t k t k
由于0≥k ,
再判断稳定点稳定性。()??
><==<>?-=***
,0,0,0)()()(k k k k k k t k t k s t k δα
根据()0)()(1＝δαα-?=-t k s dkt k d ,可得()())1(1**)(-=ααδs t k , )(t k 在()()
)
1(1**)(-=ααδs t k 有最⼤值，在()()
)
1(1*
*)(-=ααδs t k 的左边⼤于0，是k 的增
函数；在()())
1(1*
*)(-=ααδs t k 的右边⼩于0，是k 的减函数。即：
()??
><==<>=-?=-*
****
*1
,0,0,0)()(k k k k k k t k s dk t k d δαα
四、 ⼀元⾼阶线性微分⽅程与多元微分⽅程组
以⼆阶线性微分⽅程为例：0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y
a 令)()(t y t z =，则，)()(t y
t z =，于是该⼆阶线性微分⽅程就可以⽤⼀个⼀阶线性微分⽅程组来表⽰：
)()(0)()()()(321t z t y t x t y a t z a t z
a ==+++
或者
=---)()()(1)()()(11312t z t y
t x a t y a a t z a a t z ＝ 由此看来，⼀个⼆阶微分⽅程就可以⽤⼀个⼀阶线性微分⽅程组来表⽰。同样道理，任何⼀个更⾼阶的微分⽅程，可以化成⼀个⼀阶微分⽅程组。因此，要了解⾼阶微分⽅程的性质，只要研究⼀阶微分⽅程组的性质即可。1. 最简单的线性线性⽅程组：对⾓矩阵系统。
)()()()(22221111t y a t y
t y a t y
==
写成矩阵形式就是：
= )()(00)()(21221121t y t y a a t y t y 系数矩阵有两个特征根，分别是11a 和22a 。 ⽅程的解
1111)(c e t y t a +=
2222)(c e t y t a +=
情形1，,011>a 且022>a : 0)(,0)(0201>>t y t y , y 1，y 2都随着时间的推移⽽增加。状态不稳定。
情形2，,011>t y t y , y 1，y 2都随着时间的推移⽽下降。状态稳定。
情形3，,011>a 且022>t y t y , y 1都随着时间的推移⽽增加, y 2随着时间的推移⽽下降。状态为鞍点稳定。2．⼀般⾮对⾓线性系统：
+ = )()()()()()(21212222121121t x t x t y t y a a a a t y t y 该⽅程组的矩阵形式为
)()()(t X t AY t Y
+= 根据矩阵理论，对于矩阵A ，存在矩阵V ，使D AV V =1－为⼀个对⾓矩阵。其中，对⾓线上的元素是矩阵A 的特征根。令)()(1t Y V t Z -=，则)()()()()(111t X V t DZ t X V t AVZ V t Z
---+=+= 这个⽅程组定义了两个独⽴的⼀阶常系数线性微分⽅程：
)()()(1t X V t z t z
i i i -+=α 其中，i α是矩阵A 的第i 个特征根，1-i V 是1－V 第i ⾏。
+=-t i i t t i i i i e b dt t X V e e t z ααα)()(1 再通过变换)()(1t Y V t Z -=求Y 。
⼆维系统稳定性的⼀般讨论：对⾓例⼦的稳定性性质依赖于对⾓元的符号。
所以，依此类推，⾮对⾓系统的稳定性性质依赖于其特征值的符号。于是会产⽣以下⼏种可能性：1) 两个特征值不同且都是正实数，在这种情况下系统是不稳定的。 2) 两个特征值不同且都是负实数，在这种情况下系统是稳定的。3) 两个特征值是实数但符号相反，在这种情况下系统是鞍点路径稳定的。 此外，当系统是鞍点路径稳定时,稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量。同理，不稳定臂对应于正特征值相关的特征向量。这⾥的直观想法仍然是与对⾓矩阵相关的轴就是特征向量。正如我们前⾯的例⼦中看到的,当系统是对⾓的时,与对⾓矩阵的负分量相关的轴是稳定臂,与正分量相关的是不稳定臂。4) 两个特征值都是负实部的复数，在这种情况下系统以⼀种振荡⽅式收敛到
稳态。5) 两个特征值都是有正实部的复数，系统是不稳定且振动的。6) 两个特征值是有零实部的复数，所⽰其轨迹是环绕着稳态运动的椭圆。 7) 两个特征值相等。在这种情况下特征向量矩阵不可逆，所以前⾯概括的解
析解法不适⽤，此时的解的形式为 t i i i e t b b t y α)()(21+=
其中1i b 和2i b 是积分常数和矩阵A 中的系数函数。α是唯⼀的特征值。若0α, 解是不稳定的。
更⾼维系统的稳定性也有类似的性质。
如果所有的特征值都为正，这系统是不稳定的。 如果所有的特征值都为负，则系统稳定的。 如果特征值异号，则系统是鞍点路径稳定的。
由于像前⾯所说的⼀样，稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量，那么稳定臂的维数就是负特征值的个数。例如在有⼀个负特征值的3*3系统中,稳定臂(有时被称为稳定流形(stable manifold))是⼀条通过稳态且对应于这⼀负特征向量的直线。如果有两个负特征值，则稳定流形是⼀个通过稳态的平⾯。这⼀平⾯由这两个负特征值⽣成。在⼀个n*n 系统中,稳定臂是由相关特征向量⽣成的⼀个超平⾯，其维数等于负特征值的个数。
例3，考虑⼀个⾮对⾓系统。04.0)(004.0)(4.1)()(06.0)(12211+-=+-=t y t y
t y t y t y
以矩阵符号表⽰,这⼀系统可被写成 ??+ ?? ?
--= 04.04.1)()(0004.0106.0)()(2121t y t y t y t y 它有初始条件为1)0(1=y , []
0)(lim 106.0=-∞
→t y e t t 。
在这个例⼦中x 是⼀个常数向量。
=04.04.1)(t X
对⾓特征值矩阵D 和特征向量矩阵V 为 ??-04.0001.0＝D , ???? ??-=1.004.011V ，???? ??-=-14.0/114.0/04.014.0/114.0/1.01
