有限元法基础-3弹性力学问题有限元法

弹性力学与有限元 （301） 课程考试大纲

一、适用报考的专业：力学、机械、船舶、化机

二、题目类型：1．填空（选择）题 2．简答题 3．论述题 4．计算题

三、参考教材：

1．《弹性力学（上册）》 徐芝纶编著 人民教育出版社

2．《弹性理论》 铁摩辛柯、古地尔编著 人民教育出版社

3．《弹性和塑性力学中的有限元法》 谢贻权、何福保等编著 机械工业出版社

四、基本内容及要求：

1．弹性力学部分

（1）平面问题基本理论：

①平面应力和平面应变问题；②平衡微分方程；③几何方程，刚体位移；④物理方程；⑤边界条件；⑥按位移求解平面问题；⑦按应力求解平面问题；⑧应力函数，逆解法与半逆解法；⑨斜面上应力、主应力。

（2）平面问题的直角坐标解答：

①多项式解答；②矩形梁纯弯曲；③简支梁受均布载荷；④楔形体受重力和液体压力。

（3）平面问题的极坐标解答：

①极坐标中的平衡微分方程；②极坐标中的几何方程及物理方程；③极坐标中的应力函数与相容方程；④圆环与圆筒受均布压力；⑤圆孔的孔边应力集中；⑥楔形体在楔顶或楔面受力。

（4）空间问题基本理论：

①平衡微分方程；②物体内一点的应力状态；③主应力；④几何方程、刚体位移、体积应变；⑤物理方程；⑥极坐标下的轴对称问题的基本方程。

2．有限元部分

（1）有限单元法的基本概念：

①最小势能原理；②虚功原理；③能量法（李蕴法）。

（2）平面问题：

①三角形常应变单元；②形函数的性质；③单元刚度矩阵；④等效节点载荷；⑤收敛准则，多项式位移模式阶次的选择。

（3）轴对称问题：

①三角形截面环形单元；②单元刚度阵；③等效节点载荷。

（4）有限法总体分析步骤。

1989年南昌水专学报

第1一2期

不同拉压模量弹性力学问题的有限元法

张允真

(大连理工大学力学系)王志锋

(南昌水利水电专科学校)

提要

本文以不同模量弹性平面问题为例,

提出了不同模量弹性办学的有限元法,

并

指出此法与相同模量的异同之处,

根本不同点在于不同的弹性矩阵(刀)和数值计算

的试算法。

本文还通过3个具体算例说明不同模量的影响,

并与相同模量的有限元

法结果加以比较,

从中看出新型材杆一

玻璃钢、、

吻瓷、

塑料、

岩石、

混凝土、

某

些特种金属材料等的不同模量衬其工程结构的力学影响。

一、

引言

不同模量弹性理论由C󰀀

月J

阿姆巴尔楚米扬七于年代所创。

该理论是用来计算受拉与受

压时力学特性不同的玻璃钢等新型材料结构的强度、

刚度、

温度应力、

蠕变等问题。

阿姆巴尔楚米扬总结分析了大量的新型材料的试验数据得到结论,

大部分不同模量材料

的拉伸和压缩的应力

—应变图可用两条直线近似画出,

即用在零点切线不连续的分段直线

来表示(图]),

其精度是足够的。

在不同模量弹性理沦中,

与经典弹性理论一样,

亦假定所

研究的物体是连续的弹性体,

并且是均匀的和各向同性的。

不

同模量材料的弹性性质在各个方向是相同的,

没有最优方向。

但是,

根据主应力在给定点上符号的不同,

在相应的方向上可

表现出不同的弹性性质。

同时假定,

所研究的材料在任意应力

状态下只发生弹性小变形并服从连续介质的一般规律。

因此,

经典弹性理论与不同模量弹性理论之间的差别仅包含在建立应

力与应变之间关系的物理关系中。

设材料的弹性模量和泊松比在单向拉伸时分别是E+

和

拜`,

在单向压缩时分别是E一

和产一。

如果沿3个主方向同时拉

{引1

伸时,

则沿3个主方向的弹性性质均为E`

和尸干;

沿3个主方向同时是压缩时,

沿3个主方

向均为E一

和拜一;

假定在不同的主方向既有拉伸又有压缩时,

则弹性模量分别用E`

和E一,

泊松比分别用群平

和召一。

转找自《

计划算结构力学及其应用》1989

不同拉、

压模量弹性力学问题的有限元法

某些结构林料具有相当大的不同模量性,

《弹性力学》复习题

1. 用最小势能原理求解图示结构的结点转角，已知各杆抗弯刚度均为EI = 5.4×104 kN·m2。

2．用最小势能原理求解图示结构在均布荷载作用下的结点转角，已知抗弯刚度为EI =

5.6×104 kN·m2。

3．图示为水库大坝示意图，设其长度远大于截面尺寸，求其在静水压力作用下的应力分布。请采用合适的弹性力学模型对其进行简化，并写出其基本方程。

4．求图示结构在所给坐标系下的整体原始刚度矩阵（各杆件抗压刚度均为EA）。

5．计算抗压刚度为EA的图示结构在引入边界条件之前的原始刚度矩阵。

6. 求图示结构引入边界条件之前的原始整体刚度矩阵和综合结点荷载列阵，设各杆抗弯刚度为EI，不考虑轴向变形和剪切影响。

7. 计算图示常应变三角形单元的单元刚度矩阵。已知弹性模量E，厚度t，泊松比υ＝0。

1 有限元法复习

第一章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理

1．本章应掌握加权余量法基本方法。

2．熟练掌握伽辽金法和里兹方法的应用；

3．熟练掌握弹性力学问题最小位能原理应用。

4．了解虚功原理、虚位移原理及余能原理的基本理论和方法。

5．掌握弹性力学的基本方程和变分原理

1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法

1.2.1 微分方程的积分形式

工程或物理学中的许多问题，通常是以未知函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组。

0)()()(21uAuAuA （在Ω内） （1.2.1）

域可以是体积域、面积域等，如图1.1所示。同时未知函数u还应满足边界条件

0)()()(21uBuBuB （在Г内） （1.2.2）

Г是域Ω的边界。

1.2.3 基于等效积分形式的近似方法——加权余量法

对于微分方程（1.2.1）式和边界条件（1.2.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式 2 NaaNuuniii1 （1.2.16）

其中ia是待定参数；iN是已知函数，称为试探函数（或基函数、形函数），它取自完全的函数序列，是线性独立的。所谓完全的函数序列是指任一函数都可以用此序列表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数u是三维力学问题的位移时可近似取近似解

niiinnuNuNuNuNu12211

niiinnvNvNvNvNv12211

niiinnwNwNwNwNw12211

则有

iiiiwvua

其中iiiwvu,,是待定参数，共有n3个；iiINN是函数矩阵，I是33单位矩阵，iN是坐标独立函数。