2015年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

*** *** 2015 年重庆市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的 .

1．（5 分）（2015 ?重庆）已知集合 A={1 ，2，3} ，B={1 ，3} ，则 A∩B=（ ）

A ．{ 2} B．{1，2} C．{ 1，3} D．{ 1，2，3}

考点 ：交 集及其运算．

专题 ：集合．

分析： 直 接利用集合的交集的求法求解即可．

解答：解 ：集合 A={1 ，2，3} ，B={1 ，3} ，则 A ∩B={1 ，3} ．

故选： C．

点评： 本 题考查交集的求法，考查计算能力．

2

﹣2x+1=0 ”的（ ） 2．（5 分）（2015 ?重庆） “x=1”是

“x

A ．充 要条件 B． 充 分而不必要条件

C． 必 要而不充分条件 D． 既 不充分也不必要条件

考点 ：充 要条件．

专题 ：简 易逻辑．

2

分析：先 求出方程 x ﹣2x+1=0 的解，再和 x=1 比较，从而得到答案．

2

解答：解 ：由 x ﹣2x+1=0 ，解得： x=1，

2

故“x=1”是 “x ﹣2x+1=0 ”的充要条件，

故选： A．

点评： 本 题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．

2

3．（5 分）（2015 ?重庆）函数 f（x）=log 2（x

+2x﹣3）的定义域是（ ）

A ．[﹣3，1] B． （﹣3，1） C．（﹣∞，﹣ 3]∪[1，

D．（﹣∞，﹣3）∪（1，

+∞） +∞）

考点 ：一 元二次不等式的解法；对数函数的定义域．

专题 ：函 数的性质及应用；不等式．

分析：利 用对数函数的真数大于 0 求得函数定义域．

2

解答：解 ：由题意得： x

+2x﹣3＞0，即（ x﹣1）（x+3）＞0

解得 x＞1 或 x＜﹣3

所以定义域为（﹣ ∞，﹣3）∪（1，+∞）

故选 D．

点评： 本 题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型． ***

*** 4．（5 分）（2015 ?重庆）重庆市 2013 年各月的平均气温（℃ ）数据的茎叶图如，则这组数据

的中位数是（ ）

1*** *** A ．19 B．20 C．21.5 D．23

考点 ：茎 叶图．

专题 ：概 率与统计．

分析： 根 据中位数的定义进行求解即可．

解答：解 ：样本数据有 12 个，位于中间的两个数为 20，20，

则中位数为 ，

故选： B

点评： 本 题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．

5．（5 分）（2015 ?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ． B． C． D．

考点 ：由 三视图求面积、体积．

专题 ：空 间位置关系与距离．

分析： 利 用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．

解答： 解 ：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为 1，高为 2，左侧与一个底

面半径为 1，高为 1 的半圆锥组成的组合体，

几何体的体积为： = ．

故选： B．

点评： 本 题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．

6．（5 分）（2015 ?重庆）若 tanα= ，tan（α+β）= ，则 tanβ=（ ）

A ． B． C． D．

考点 ：两 角和与差的正切函数．

专题 ：三 角函数的求值．

分析： 由 条件利用查两角差的正切公式，求得 tanβ=tan[（α+β）﹣ α]的值．

2*** *** 解答：

解：∵tanα= ，tan（ α+β） = ，则tanβ=tan[（α+β）﹣

α] = = = ，

故选： A．

点评：本 题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．

7．（ 5 分）（2015 ?重庆）已知非零向量 满足| |=4| |，且 ⊥（ ）则

的夹角为（ ）

A ． B． C． D．

考点 ：数 量积表示两个向量的夹角．

专题 ：平 面向量及应用．

分析：

由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量 的模与夹角的关系， 求出

夹角的余弦值．

解答：

解：由已知非零向量 满足| |=4| |，且 ⊥（ ），设两个非零向量

的夹角为θ，

所以 ?（ ）=0，即 2 =0，所以 cosθ= ， θ∈[0，π]，

所以 ；

故选 C．

点评：本 题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角； 熟练运用公式

是关键．

8．（ 5 分）（2015 ?重庆）执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）

3*** *** A ． B． C． D．

考点 ：循 环结构．

专题 ：图 表型；算法和程序框图．

分析：模 拟执行程序框图， 依次写出每次循环得到的 k，s的值， 当 k=8 时不满足条件 k＜8，

退出循环，输出 s 的值为 ．

解答：解 ：模拟执行程序框图，可得

s=0，k=0

满足条件 k＜8，k=2，s=

满足条件 k＜8，k=4，s= +

满足条件 k＜8，k=6，s= + +

满足条件 k＜8，k=8，s= + + + =

不满足条件 k＜8，退出循环，输出 s 的值为 ．

故选： D．

点评： 本 题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．

9．（5 分）（2015 ?重庆）设双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右焦点是 F，左、右顶点分

别是 A1，A2，过 F 做 A 1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A 1B⊥A 2C，则该双曲线的

渐近线的斜率为（ ）

A ．

B． C．±1 D．±

± ±

考点 ：双 曲线的简单性质．

专题 ：计 算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

求得 A1（﹣ a，0），A2（a，0），B（c， ），C（c，﹣ ），利用 A1B⊥A2C，可得

，求出 a=b，即可得出

双曲线的渐近线的斜率．

解答：

解：由题意， A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c， ），C（c，﹣ ），

∵A 1B⊥A 2C，

4*** *** ∴ ，

∴a=b，

∴双曲线的渐近线的斜率为 ±1．

故选： C．

点评：本 题考查双曲线的性质， 考查斜率的计算， 考查学生分析解决问题的能力， 比较基础．

10．（5 分）（2015?重庆）若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积

等于 ，则 m 的值为（ ）

A ．﹣3 B．1 C． D．3

考点 ：二 元一次不等式（组）与平面区域．

专题 ：开 放型；不等式的解法及应用．

分析：作 出不等式组对应的平面区域， 求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进

行求解即可．

解答： 解 ：作出不等式组对应的平面区域如图：

若表示的平面区域为三角形，

由 ，得 ，即 C（2，0），

则 C（2，0）在直线 x﹣y+2m=0 的下方，

即 2+2m＞0，

则 m＞﹣1，

则 C（2，0），F（0，1），

由 ，解得 ，即 A（1﹣m，1+m），

由 ，解得 ，即 B（ ， ）．

|AF|=1+m ﹣1=m，

则三角形 ABC 的面积 S= ×m×2+ （﹣ ）= ，

2

即 m

+m﹣2=0，

解得 m=1 或 m=﹣2（舍），

故选： B

5*** *** 点评：本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公

式是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上 .

11．（5 分）（2015?重庆）复数（ 1+2i）i 的实部为 ﹣2 ．

考点 ：复 数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．

专题 ：数 系的扩充和复数．

2

分析：利 用复数的运算法则化简为 a+bi 的形式，然后找出实部；注意 i

=﹣1． 2

解答：解：（1+2i）i=i+2i

=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣ 2；

故答案为：﹣ 2．

2

点评： 本 题考查了复数的运算以及复数的认识；注意 i

=﹣1．属于基础题．

12．（5 分）（2015?重庆）若点 P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的

切线方程为 x+2y ﹣5=0 ．

考点 ：圆 的切线方程；直线与圆的位置关系．

专题 ：直 线与圆．

分析：由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜

式求出该圆在点 P 处的切线的方程．

解答：

解：由题意可得 OP 和切线垂直，故切线的斜率为﹣ = =﹣ ，

故切线的方程为 y﹣2=﹣ （x﹣1），即 x+2y﹣5=0，

故答案为： x+2y ﹣5=0．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，

属于基础题．

13．（5 分）（2015?重庆）设 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a=2，cosC=

﹣ ，3sinA=2sinB ，则 c= 4 ．