必修一第三章--3.3幂函数

必修一第三章幂函数

1 §

幂函数

课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．

1．一般地，形如______________________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象．

3．结合2中图象，填空．

(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．

(2)若α>0时，幂函数图象过点________________________________，

且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．

(3)若α<0，则幂函数图象过点______，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．

(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．

(5)幂函数在第____象限无图象．

一、选择题

1．下列函数中不是幂函数的是( )

A．y＝xB．y＝x3

C．y＝2xD．y＝x－1

2．幂函数f(x)的图象过点(4，12)，那么f(8)的值为( )

B．64

C．22

3．下列是y＝23x的图象的是( )

必修一第三章幂函数 2

4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )

A．－2，－12，12，2

B．2，12，－12，－2

C．－12，－2,2，12

D．2，12，－2，－12

5．设a＝2535，b＝3525，c＝2525，则a，b，c的大小关系是( )

A．a>c>bB．a>b>c

C．c>a>bD．b>c>a

6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )

A．0B．2

C．3D．4

题 号 1 2 3 4 5 6

答 案

二、填空题

7．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的序号为________．

8．函数y＝12x＋x－1的定义域是________．

9．已知函数y＝23mx的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．

三、解答题

10．比较121.1、121.4、131.1的大小，并说明理由．

必修一第三章幂函数

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11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．

能力提升

12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·21mmx，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

13．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

必修一第三章幂函数

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1．幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数nm中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝nm(m、n∈N*，m、n互质)时，有：

n m y＝nmx的奇偶性 定义域

奇数 偶数 非奇非偶函数 [0，＋∞)

偶数 奇数 偶函数 (－∞，＋∞)

奇数 奇数 奇函数 (－∞，＋∞)

3.幂函数y＝nmx的单调性，在(0，＋∞)上，nm>0时为增函数，nm<0时为减函数．

§ 幂函数

知识梳理

1．函数y＝xα(a∈R)的函数 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1)

递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四

作业设计

1．C [根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]

2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，12＝4α，

即22α＝2－1，∴α＝－12.

∴幂函数为y＝12x，∴f(8)＝128＝18＝122＝24.]

3．B [y＝23x＝3x2，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝3－x2＝3x2

＝f(x)，即y＝23x是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]

4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]

5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝25x在x>0时是增函数，必修一第三章幂函数

5 所以a>c，y＝(25)x在x>0时是减函数，所以c>b.]

6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，

所以0<|x|<1.

要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，

所以α＝－1,1显然是不成立的．

当α＝0时，f(x)＝1>|x|；

当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；

当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.

综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]

7．④

解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．

8．(0，＋∞)

解析 y＝12x的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．

9．m<－32

解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，

故m<－32.

10．解 考查函数y＝，∵>1，

∴它在(0，＋∞)上是增函数．

又∵12>13，∴121.1>131.1.

再考查函数y＝12x，∵12>0，

∴它在(0，＋∞)上是增函数．

又∵>，

∴121.4>121.1，

∴121.4>121.1>131.1.

11．解 由题意，得3m－7<0.

∴m<73.

∵m∈N，∴m＝0,1或2，

∵幂函数的图象关于y轴对称，

∴3m－7为偶数．

∵m＝0时，3m－7＝－7，

m＝1时，3m－7＝－4，

m＝2时，3m－7＝－1.

故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.

12．解 (1)若f(x)为正比例函数，

则 m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.

(2)若f(x)为反比例函数， 必修一第三章幂函数

6 则 m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.

(3)若f(x)为二次函数，则

 m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.

(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±2.

13．解 设f(x)＝xα，则由题意，得

2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2.

设g(x)＝xβ，由题意，得14＝(－2)β，

∴β＝－2，即g(x)＝x－2.

在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．

由图象可知：

(1)当x>1或x<－1时，

f(x)>g(x)；

(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1