高中数学·必修1·3.3幂函数

1 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标

实例――→了解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异――→理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义――→掌握解决相应的实际问题

重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．

难点：三种增长函数模型的应用．

一、比较函数增长的差异

探究1

分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

例1 下列所给函数，增长最快的是( )．

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝log5x D．y＝5x

探究2

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．

例2 以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 „

y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 „

y2 1 8 27 64 125 216 343 512 „

y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 „

其中关于x成指数函数变化的函数是__________．

比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．

二、比较大小问题 2 探究3

比较下列各组数的大小：

(1)3423，2334；(2)0.32，log20.3,20.3.

【北师大版】高中数学必修1

《指数函数》教学设计

【教学目标】

1. 理解指数函数的概念；

2. 掌握指数函数的图像特征，能画出具体指数函数的图像；

3. 理解指数函数的性质并会简单应用。

【重点与难点】

重点：指数函数的概念；指数函数的图像与性质

难点：指数函数性质的应用

【教学准备】

教材、课件、几何画板、投影仪

【教学过程】

一、导入

正整数指数函数的概念

去掉定义域限制，得到指数函数的概念

二、新课

1.指数函数的概念

函数叫作指数函数，其中为自变量，定义域为。 注：（1）定义域为 （2）自变量在指数位置

（3）底数为常数（4）最前边系数为1

例1. 判断下列函数是不是指数函数？

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

例2. 若函数是指数函数，则的值为？

例3. 若指数函数的图像经过点（-1,5），则

2. 指数函数的图像与性质

研究内容：定义域、值域、奇偶性、单调性、最值（特殊点）

研究方法：数形结合（图像法）

在同一直角坐标系中画出，，，的函数图像

（1）定义域 （2）值域

（3）非奇非偶函数 （4）过定点 （5），单调递增； ，单调递减 无最值

（6），越大，函数图像越靠近于轴

，越小，函数图像越靠近于轴

（7）与关于轴对称

3. 指数函数性质的应用

（1）解不等式

（a） （b）

（2）过定点

（a）函数的图像恒过定点______.

（b）函数的图像恒过定点______.

三、课堂小结

1. 指数函数的概念

2. 指数函数的图像与性质

3. 指数函数性质的应用

四、布置作业

小册子 A组 6,7,10 B组6

【板书设计】

1. 2.

（1）定义域

（2）值域

（3）非奇非偶函数

（4）过定点

（5），单调递增； ，单调递减 无最值

2020年高中数学人教A版必修第一册课时作业

3.3 幂函数

一、选择题

1.下列函数是幂函数的是( )

A.y=7x B.y=x7 C.y=5x D.y=(x＋2)3

2.已知函数y=xa，y=xb，y=xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )

A.c

3.下列结论中，正确的是( )

A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)

B.幂函数的图象可以出现在第四象限

C.当幂指数α取1,3，0.5时，幂函数y=xα是增函数

D.当幂指数α=－1时，幂函数y=xα在定义域上是减函数

4.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则f(x)的增区间为( )

A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)

5.已知幂函数f(x)=xa，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则a的取值范围是( )

A.0＜a＜1 B.a＜1 C.a＞0 D.a＜0

6.已知幂函数f(x)=(2n2-n)xn＋1，若在其定义域上为增函数，则n等于( )

A.1，- B.1 C.- D.-1，121212

7.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(-x)=f(x)，则m可能等于( )

A.0 B.1 C.2 D.3

8.若幂函数y=(m2-3m＋3)xm-2的图象关于原点对称，则m的取值范围为( )

A.1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1

二、填空题

9.若幂函数y=xα的图像经过点(8，4)，则函数y=xα的值域是________.

10.下列命题中，

①幂函数的图象不可能在第四象限；

②当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线；

③当α>0时，幂函数y=xα是增函数；

④当α＜0时，幂函数y=xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小.

其中正确的序号为________.11.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=3f(2)，则f(0.5)的值等于________.

12.幂函数f(x)=x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)=f(x)，则m等于________.

人教 A 版 高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学设计

教材：人教 A 版高中数学必修第一册

课题：3.3幂函数

一、课时教学内容

幂函数：掌握幂函数定义，探究五个特殊的幂函数图象与性质。

内容解析：

幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其它基本的初等函数经过

运算、复合得到的。幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数。学生已经

学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数。 y = x- 1 ， y = x ， y = x 2 等都是学

生很熟悉的。因此，幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展。主要是在归纳五

个具体函数共性基础上的数学抽象。

幂函数的内容安排在函数的概念与性质一章的第三节，是在学习完一般函数的概念，以

及函数的基本性质后。选取一类简单的基本初等函数进行研究。使学生明确一类具体函数的

研究内容（定义、表示-图象与性质-应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指

导下展开研究。因此幂函数的学习。既是对前面所学内容的巩固。也是为后面指数函数、对

数函数的学习打下基础。

二、课时教学目标

1

y = x, y = x 2 , y = x 3, y = x2 , y = x- 1 ，五 1. 通过具体实例，了解幂函数的定义，会画

个幂函数的图象，理解它们的性质。达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次。

2. 通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法。达到数学建模核心素

养学业质量水平三的层次。

三、教学重点与难点

1. 教学重点：对幂函数概念的掌握、对幂函数图象与性质的探究。

2. 教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容

和方法。

四、教学方法与手段

1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数

的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.