中考数学一轮复习第20讲等腰三角形教案

第1页 共9页 中考数学一轮复习第2019腰三角形教案1

第2019等腰三角形

一、复习目标

1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质

2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。

四、教学过程

（一）知识梳理

等腰三角形的概念与性质

定义

有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底

性质 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴

定理1 等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)

定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

拓展 (1)等腰三角形两腰上的高相等

(2)等腰三角形两腰上的中线相等

(3)等腰三角形两底角的平分线相等

(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行

(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

第2页 共9页 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高

等腰三角形的判定

定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)

拓展 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形

(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形

(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形

等边三角形

定义 三边相等的三角形是等边三角形

性质 等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______

等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴

判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形

(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

线段的垂直平分线

定义 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线

性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________

判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上

实质构成 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合

（二）题型、技巧归纳

考点1等腰三角形的性质的运用

技巧归纳：

第3页 共9页 (1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．

考点2等腰三角形判定

技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．

考点3等腰三角形的多解问题

技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．

考点4等边三角形的判定与性质

技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．

（三）典例精讲

例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.

(1)求证：△ADE≌△BFE；

(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，

并说明理由．

[解析] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．

解： (1)证明：∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE.

第4页 共9页 ∴△ADE≌△BFE.

(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.

∵∠GDF＝∠ADF，

又∵∠ADE＝∠BFE，

∴∠GDF＝∠BFE，

∴GD＝GF.

由(1)得，DE＝EF，

∴EG⊥DF.

例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．

解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.

又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．

∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

(2)点O是在∠BAC的平分线上．

连接AO.

∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.

第5页 共9页 ∵OB＝OC，∴ OD＝OE.

又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，

∴△ADO≌△AEO(HL)．

∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．

例3 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC底角的度数为( )

A．45° B．75°

C．45°或75° D．60°

[解析]

首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．

如图(1)：AB＝AC，

∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC，∠ADB＝90°.

∵AD＝12BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，

即此时△ABC底角的度数为45°；

如图(2)，AC＝BC，

∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.

∵AD＝12BC，∴AD＝12AC，∴∠C＝30°.

∴∠CAB＝∠B＝180°－∠A2＝75°，

即此时△ABC底角的度数为75°.

综上，△ABC底角的度数为45°或75°.

故选C.

例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D

第6页 共9页 在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE________DB(填“>”“<”或“＝”)

（1） （2）

(2)特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.

(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．

（1）=

（2）=

方法一：等边三角形ABC中，

∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

AB＝BC＝AC.

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，

∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，

∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.

第7页 共9页 又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，

∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，

且ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.

又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB＝EF，

∴AE＝BD.

方法二：在等边三角形ABC中，

∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.

∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，

ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，

∴∠BED＝∠ACE.

∵FE∥BC，

∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，

∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.

∴△EFC≌△DBE，

∴DB＝EF，

而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.

∴AE＝DB.

（3）3)1或3.

（四）归纳小结

本部分内容要求熟练掌握等腰三角形的概念、性质与判定、等边三角形、线段的垂直平分线的运用。

（五）随堂检测

1.(2013·黔西南中考)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度.

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2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重

合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是

.

3.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是

.

4.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).

(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.

五、板书设计

等腰三角形

六、作业布置

等腰三角形课时作业