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《数值分析》第一章答案

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《数值分析》第一章答案

习题1

1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。

（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；

（2）*

2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；

（3）*

3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4； （4）*

4x ＝3

1

， 4x ＝0.333 3；

（5）*

5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）*

6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。 解：(1) =*

1x 451.023 =1x 451.01

=-1*1x x 0.0131

10

2

1-?≤

，1x 具有4位有效数字。→1x 451.0

(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18

=-

24

10

21x x 0.045 18045113.0-=0.000 0673

10

2 1-?<

2x 具有2位有效数字，045

.02

-→x

(3)=*

3x 23.4213 =3x 23.4604

=-3*

3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231

10

2

10391.0-?≤

3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)

(4) =

*

4x 3

1 ，=4x 0.3333

=-4*

4x x 4

10

2

1000033.0-?<

,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333

(5) =*

5x 23.496，=

5

x 23.494

=-5

*5

x x =-494.23496.232

10 21002.0-?<

5x

具有4位有效数字，

→

5x 23.50 (不能写为23.49)

(6) =

*

6x 5

1096?7

10

96.0?=

=6x 5

10

1.96?7

10

961.0?=

=-6*6

x x 7

10

001.0-?7

2

10

102

1--??≤

6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x

(7) =*7x 0.00096 3

71096.0-?=x

3

*710

96.0-?=x =-7* 7x x 0 7x 精确

(8) 8700*

8-=x 8x 3.8700-=

8*8

x x -0

10

2

13.0?≤

=

8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确

2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;

(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。

问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1)

1x =0.1062，2x =0.947，1x +2x =1.0532

)(1x e 4

10

2

1-?≤

，)(2x e 3

10

2

1-?≤

)()()(2121x e x e x x e +≈+≤

+≤)()(21x e x e 3

4

10

2

110

21--?+

=0.00055

*

2*1x x +∈[1.053200055

.0-，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375] (2)

1x =23.46， -=2x 12.753

=

-21x x 10.707

)(1x e 2

10

2

1-?≤

，)(2x e 3

10

2

1-?≤

)()()(2121x e x e x x e -≈-≤)

()(21x e x e +

3

2

10

2

110

2

1--?+

≤

=0.0055

∈-*

2*

1x x [10.7070055 .0-, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]

(3)

=1x 2.747

=2x 6.83

=21x x 18.76201,

≤

)(1x e 3

10

2

1-?, )(2x e 2

10

2

1-?≤

)()()()()(2112211221x e x x e x x e x x e x x x e +≤+≈

=

+??

≤---2

2

3

10

2

110

2

1747.210

2

183.6(0.683+2.747)=0.01715

]77916.18,74486.18[]01715.076201.18,01715.076201.18[*

2*1=+-∈x x

(4) =1x 1.473 ,

=2x 0.064 ,

=21x x 23.015625

)(1x e 3

102

1-?≤, )(2x e 3

10

2

1-?≤

)()(1)(222

1

12

2

1

x e x x x e x x x e -

≈

=

+≤

)()(1)(

222

1

12

2

1

x e x x x e x x x e 3

2

3

10

2

1064 .0473.110

21064

.01--??

+

=0.187622

∈*2

*1

x x [23.015625187622.0-, 23.015625+0.187622]

=[22.828003 , 23.203247] 3.对一元2次方程01402

=+-x x ，如果≈39919.975

具有5位有效数字，

求其具有5位有效数字的根。

解：01402

=+-x x

399

400402

=+-x x

=*

1x 39920+

, =*

2x 399

20139920+

=

-

记

=

*

x 399

,=x 19.975 )(x e 3 10

2

1-?≤

=1x 20x +=20+19.975=39.975 )()(21x e x e =3

10

21-?≤

∴

1x 具有5位有效数字。

=

2x

025*******

.0975

.391975

.19201201==

+=

+x

-

≈)(2x e 2

)20()(x x e + ，

≤+≈

2

2)

20()

()(x x e x e 6

6

2

310

2

110

313.0975 .3910

2

1---?<

=?

因而

2x 具有

5位有效数字。

≈2x 0.025016

也可根据

=21x x 1

得到 =

=

1

21x x 025*******

.0975

.391

= 21

12)

()(x x e x e -

≈ 2

6

21

12975

.3910

2

1

)

()(-?≤≈

x x e x e

4.若937.01≈x 具有3位有效数字，问1x 的相对误差限是多？设 x x f -=

1)(，求)(1x f 的绝对误差限和相对误差限。

解：=1x 0.937

)(1x e 3

10

2

1-?≤

≤=

111)()(x x e x e r 3

3

10

534.0937

.010

2

1

--?=?

x

x f -=

1)( ,x x f --=

'121)(

='≈)()()(x e x f f e 21-

)(11x e x

-?

,

≈

))((1x f e 2

1)(1111x e x -?

3

3

10

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《数值分析》第一章答案

《数值分析》第一章答案

习题1

1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。

（1）*1x＝451.023， 1x＝451.01；

（2）*2x＝－0.045 113， 2x＝－0.045 18；

（3）*3x＝23.421 3， 3x＝23.460 4；

（4）*4x＝31， 4x＝0.333 3；

（5）*5x＝23.496， 5x＝23.494；

（6）*6x＝96×510， 6x＝96.1×510；

（7）*7x＝0.000 96， 7x＝0.96×310；

（8）*8x＝－8 700， 8x＝－8 700.3。

解：(1) *1x451.023 1x451.01

1*1xx0.01311021，1x具有4位有效数字。1x451.0

(2) *2x0.045 113 2x0.045 18

2*241021xx0.045 18045113.0=0.000 06731021

2x具有2位有效数字，045.02x

(3)*3x23.4213 3x23.4604

3*3xx4604.234213.234213.234604.23110210391.0

3x 具有3位有效数字，4.233x (不能写为23.5)

(4) *4x31 ，4x0.3333 2 4*4xx41021000033.0 ,4x具有4位有效数字，4x0.3333

(5) *5x23.496，5x23.494

5*5xx494.23496.2321021002.0

5x 具有4位有效数字， 5x23.50 (不能写为23.49)

(6) *6x5109671096.0 6x5101.96710961.0

数值分析第五版第1章习题答案-李庆扬

数值分析第五版第1章习题答案-李庆扬

第1章

复习与思考题

1、什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？

答：数值分析是研究数值问题的算法，概况起来有四点：

第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法，即算法只能包括计算

机能直接处理的加、减、乘、除运算和逻辑运算。

第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值

稳定性，还要对误差进行分析，这些都是建立在相应数学理论基础上

第三， 要有好的计算复杂性，时间复杂性是指能节省计算时间，空间复杂性是指能节省计

算存储空间，这也是算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。

要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三个条件外，还要通过数值试验证

明是行之有效的。

2、何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

答：将连续问题离散化，使得输出数据是原函数在求解区间上的离散点的近似值，就是“数

值问题”，求解“数值问题”的各种数值方法就是算法。

判断数值算法的指标是计算复杂性，分为时间复杂性和空间复杂性。

3、列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差和舍入误差的区别？

答：科学计算中的误差的三个来源是：截断误差、舍入误差和模型误差

截断误差是数值计算方法的近似解与模型精确解之间产生误差。

舍入误差是计算机由于字长限制，原始数据在计算机上表示时产生的误差。

4、什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何

关系

答：绝对误差是计算机计算的近似值与模型精确值之间的差值的绝对值

相对误差是绝对误差除以精确值的绝对值，通常使用绝对误差除以计算机计算的近似值

的绝对值表示

近似数的有效数字：若近似数第m位有效，而第m+1为无效，则从第m位向前数到X*

的第一位非零数字共有n位。就说近似数具有n位有效数字。

此时的近似数的绝对误差不大于第m位的半个单位。即有效数字越多，绝对误差限越小

5、什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定的算法不能使用

数值分析第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章

数值分析第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章

第一章 绪论（12）

1、设0x，x的相对误差为，求xln的误差。

[解]设0*x为x的近似值，则有相对误差为)(*x

r，绝对误差为**)(xx，

从而xln的误差为*

****1

)()(ln)(lnx

xxxx， 相对误差为

***

*

lnln)(ln

)(ln

xxx

x

r

。

2、设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

[解]设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*x

r，绝对误差为**%2)(xx，

从而nx的误差为nn

xxnxnxxnxxx**1***%2%2)()()()(ln

*

， 相对误差为%2

)()(ln

)(ln

**

*n

xx

x

nr

。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单

位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*

1x，031.0*

2x，6.385*

3x，430.56*

4x，0.17*

5x。

[解]1021.1*

1x有5位有效数字；0031.0*

2x有2位有效数字；6.385*

3x有4

位有效数字；430.56*

4x有5位有效数字；0.17*

5x有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*

4*

3*

2*

1,,,xxxx均为第3题所给

的数。

（1）*

4*

2*

1xxx；

[解]

3334*

4*

2*

1

1**

*

4*

2*

1*

1005.110

21

10

21

10

21)()()()()(













xxxx

xf

xxxen

kk

k

；

（2）*

3*

2*

1xxx； [解]

52130996425.01009964255.2131001708255.01048488.2121059768.010

21

)031.01021.1(10

21

)6.3851021.1(10

21

)6.385031.0()()()()()()()()(

数值分析第二章计算实习题

数值分析第二章计算实习题

数值分析第二章计算实习题

% 对龙格函数：2(x)1(125)fx 的三次样条插值.

clear;

x0 = -1:0.1:1;

y0 = 1./(25*x0.^2);

x1 = linspace(-1,1,20);

y1 = interp1(x0,y0,x1,'spline');

plot(x0,y0,'b');

hold on

plot(x1,y1,'m');

title('三次样条插值','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

legend('龙格函数曲线','三次样条插值曲线',-2);

axis ([-1,1,0,1]);

xlabel('x轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

ylabel('y轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

% 对龙格函数：2(x)1(125)fx 的三次多项式插值.

clear;

x0 = [-1:0.01:1];

y0 = 1./(1+25*x0.^2);

x1 = linspace(-1,1,10);

y1 = interp1(x0,y0,x1,'cubic');

plot(x0,y0,'b');

hold on

plot(x1,y1,'m');

title('三次多项式','FontName','Times New Roman','FontSize',11);

legend('龙格插值曲线','三次多项式插值曲线',-2);

axis ([-1,1,0,1]);

xlabel('x轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

ylabel('y轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);