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《数值分析》第四章答案

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- 1 - 习题4

1. 给定xxf)(在144,121,100x 3点处的值，试以这3点建立)(xf的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。再给13169建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：xxf)( 2121)(xxf ，2341)(xxf ,2583)(xxf,

27)4(1615)(xxf ，72380529.10)115(f

1000x， 1211x， 1442x， 1693x

100y， 111y， 122y ， 133y

))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL

)121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2L

=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10

72276.1006719.190683.988312.1

))()((!3)()()(2102xxxxxxfxLxf ，144100

)44115()121115()100115()(max61)115()115(1441002xfLfx 296151083615

001631.0101631.02

实际误差 22101045.0)115()115(Lf - 2 - ))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxL

))()(())()(())()(())()((23130321033212023102xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxy

)169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3L

)169121()144121()100121()169115()144115()100115(11

)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12

)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13

)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10

254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512

723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1

))()()((!4)()()(3210)4(3xxxxxxxxfxLxf，169100

)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73Lf )54()29()6(151016152417

0005505.0105505.03

实际误差 321023429.0)115()115(Lf

2. 设jx为互异节点),,1,0(nj求证：

(1) knjjkjxxlx)(0 ),,1,0(nk; - 3 - (2) 0)()(0xlxxjknjj ),,1(nk。

解：(1) 考虑函数 )0(,)(nkxxgkh以nxxx,,,10为插值节点的n次插值多项式，由插值余项公式有

0)()!1()()(~0)1(0iinkjnjkjkxxnxxlxxx

 kjnjkjxxlx)(0, nk0

(2) 法1 当nk1时

)()()()()(000xlxxCxlxxjlkljnjkllkjnjkj

)()()(00xlxxCjnjljlkkllk

00))(()(0kkllkkllkxxxxC

法2 设 ktxxg)()(，nk1考虑它的n次插值多项式

有

kjnjkjtxxltx)()()(0，nk1

令 xt得

njjkjxlxx00)()(，nk1

4. 设],[)(2baCxf，且0)()(bfaf，求证：

)(max)(81)(max2xfabxfbxabxa

解：考虑)(xf以bxax,为节点的一次插值多项式)(1xL，则- 4 - 有

0)()()(1abaxbfbabxafxL

))((2)()()()(1bxaxfxLxfxf，

当],[bax时 ),(ba

于是

)(max)(81))((max)(max21)(2xfabbxaxxfxfbxabxabxa

],[bax

)(max8)()(max2xfabxfbxabxa

法2 设)(xf在],[bac处达到最大值，如果ac或bc

则结论显然成立，现设),(bac 则有0)(cf

0)()(21)()(12fcacfaf ),(1ca

0)()(21)()(22fcbcfbf ),(1bc

当)2,(baac时，

)(max8)()()(21)(212xfabfcacfbxa

当),2(bbac时，

)()(21)(22fabcf - 5 - 5.设nnnnaxaxaxaxf1110)(有个不同的实根nxxx,,,21,证明:

1010)(axfxnjjkj 120nknk 。

解：由于nxxx,,,21是)(xf的n个不同的实根，所以)(xf可为

njiiijniixxxxaxxaxf1010)()()()(

njiiijnjiiixxxxxxaxf110)()()()(

njiiijjxxaxf10)()(

因而 njnjiiijkjnijjkjxxxaxfx110)(1)( (*)

法 1

记 kkxxg)(，则

)!1()(],,,[)()()()1(211111ngxxxgxxkgxxxnknknjnjiiijjknjnjiiijkj

= 10 120nknk

将上式代入(*)得 - 6 - njjkjxfx1)(

,1,00a 120nknk

法2 考虑)(xgk以nxxx,,,21为插值节点的1n次插值多项式，则有

njiiijnjiiinjkjxxxxx111)()( kx，10nk

比较两边1nx的系数，得

njnjiiijkjxxx11)( 01 201nknk

6. 设有函数值表

x 1 3 4 6 7 9

y 9 7 6 4 3 1

试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。

解：

976431

134679

11111

0000

000 00 0

)1)(1(9)(5xxN

7.设13)(47xxxxf，求]2,,2,2[710f及]2,,2,2[810f。

解：1!7)(]2,2,2[)7(710ff，0!8)(]2,2,2,2[)8(8710ff - 7 - 11. 设nxxx,,,10互不相同，

(1) 作12n次多项式)(xai满足

ijjixa)( , 0)(jixa )0(nj

(2) 作12n多项式)(xi满足

0)(jix , ijjix)( (nj0)

解：由条件 0)(,0)(jijixx nj0,ij

可设 )]([)(iiiixxBAx)(2xli

再由 1)(iix 得 1)(2iiiiAxlA

对)(xi求导得 )]([)()(2iiiiiixxBAxlBx)()(xlxlii

由 0)(2)(2)(iiiiiiiiixlBxlABx

得 )(2iiixlB

于是

)()](21[)(2xlxlxiiii

2) 由 0)(jix，nj0

0)(jix，nj0，ij

可设 )()()(2xlxxCxiiii

求导得 )]()(2)()([)(2xlxlxxxlCxiiiiii

求 1)(iix 得

1iC

于是

)()()(2xlxxxiii

13. 给定xexf)(。设0x是4重插值节点，1x是单重插值节点，

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《数值分析》参考答案

《数值分析》参考答案

参考答案

第1章

一、选择题

1. D 2. C 3. A 4. B 5. B

二、填空题

1. 函数题头 H1行 帮助信息 函数体 注释部分 函数题头

2. nargin varargin

3. A=rand(4)

4. 单引号

三、解答题

1. for语句和while语句均可以实现循环执行的功能。二者的区别在于，for循环语句一般适用于已知道循环次数，而不知道循环运算的目标的问题，而while循环语句则相反，一般适用于已知循环目标，而循环次数未知的问题。

2. 程序如下：

function [highavg,weightavg]=avg_high_weight(varargin)

n=length(varargin);

highsum=0;

weightsum=0;

for i=1:n

highsum=highsum+varargin{i}(1);

weightsum=weightsum+varargin{i}(2);

end

highavg=highsum/n;

weightavg=weightsum/n;

第2章

一、选择题

1. A 2. B 3. A 4. C 5. D

二、填空题

1. 1.7 1.73 1.732

2. 3 1

3. 5％

4. 3

三、解答题

1. 解：

1*()()nnxnxxx

1***()()nnrnxxxxxxnnxx

()0.02rnexn 2 数值分析

2. 解：

*11.1021x有五位有效数字；*20.031x有两位有效数字；*3385.6x有四位有效数字；*471.0x有一位有效数字。

3. 解：

（1）*******124124()()()()xxxxxx

4331111010102223*1.0510

数值分析第四版课后习题答案

数值分析第四版课后习题答案

1

第一章习题解答

1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(

0031.0,1000/)3(1.3,)1(

====

====

xaxa

xaxa



试估计x的绝对误差和相对误差。

解：（1）0132.00416.01.3=−=−=

ae

exae

r

（2）0011.00143.0143.07/1=−=−=

ae

exae

r

（3）0127.000004.00031.01000/=−=−=

ae

exae

r

（4

）001.00143.03.147/100=−=−=

ae

exae

r

2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.26

4321====xxxx。试估计各近似数的有效

位数和误差限，并估计运算3211xxx=和1431/xxx=的相对误差限。

解：

2

11

11

12

1101901.0,10

21

,3,10263.06.23−−=====

xx

xxnx

r



2

22

14

21

2102.0,10

21

,3,10250.00250.0−−−=====

xx

xxnx

r



4

33

32

33

3103724.0,10

21

,5,1013425.025.134−−=====

xx

xxnx

r

 5.0,10

21

,1,101.0001.0

44

43

42

4======−−

xx

xxnx

r



由相对误差限公式：ir

in

ini

nn

ii

i

rx

xf

xxfx

xxfx

xf

u



=

=

==

1111

),,(),,()(

 所以有：2

321231132

11103938.0)(1

)(−++=xxxxxxxxx

r



2 4971.0)(1

)(

4

13

3

14

12

143

11++−=x

xx

x

xx

x

xxx

r



3、设精确数ａ>0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x的相对误差限。

解：设=()ufx，

数值分析课后习题部分参考答案.doc

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数值分析课后习题部分参考答案

Chapter 1

(P10) 5.求厲的近似值x*,使其相对误差不超过0.1%。

解：V2 = 1.4 ••- o

设X*有"位有效数字，则le(x*)lV0.5xl0xl(T"。

从而，丨< ,*““0.5x10-" 牛(x )1< ] 。

故，若0.5x10-" <0.1%,则满足要求。

解之得，M>4O %* =1.414 O

(P10) 7.正方形的边长约100cm ,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超 过 1 cm2

o

解：设边长为a ,则a心100cm。

设测量边长时的绝对误差为e,由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如 下估计:® 2xl00xe„按测量要求，l2xl00xel

解得，lel< 0.5x10 2 o

Chapter 2

(P47) 5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：

‘1 1 -1]

A = 2 1 0 。

J j 0丿

解：设A1 =(« 0 /)=分别求如下线性方程组:

先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式),

气1)1 (1)1 (-D-(2)2 (D-1 (0)2

、⑴1 (-1)2 (0) —

3,

(1 0 0、 ri 1 -1]

即，厶= 2 1 0 ,U = 0-12

J 2 1丿 <0 0 -3

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,

1

0Ly

= 0 和 Ua = v ,得，a = 0

J

3 2

3 1

(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:

(1 2 1 -3兀1)

2 5 0 -5 兀2 2

1 0 14 1 x3 16 、一 -5 1 15丿 3

解：

平方根法：

先求系数矩阵4的Cholesky分解(利用分解的紧凑格式),'(1)1 、 < 1 0 0 0、 (2)2 (5)1

,即，L = 2 1 0 0

数值分析课程第五版课后习题答案

数值分析课程第五版课后习题答案

数值分析课程第五版课后习题答案

课后习题一：

a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 -

2。选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠

i。

课后习题二：

a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。常用的迭代方法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。这些迭代法的基本思想都是通过不断更新近似解来逼近方程组的精确解。这些方法在迭代过程中需要选择适当的停止准则，例如，两次迭代间的近似解的差值小于某个预设的精度。