数值计算第一二章答案

第一章数值计算中的误差

习题一

1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。

1x=-3.105 , 2x=0.001， 3x=0。100，

4x=253.40, 5x=5000， 6x=5310.

答案：4，1，3，6，4，1.

1.2 设100〉*x>10，x是*x的有五位有效数字的的近似数，求x的绝对误差限。

答案：当10〈x〈100时,因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0。005。

1。3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数：

1) 123xxx,2） 124xxx3) 24xx

答案:

10.0005ex20.0005ex30.0005ex

40.005ex 50.5ex 60.5ex

1）123123exxxexexex

123exexex3221.5100.15100.510

2123()0.1510xxx

123123123()()0.0004993...0.0004994rxxxexxxxxx

123xxx=-3。004 精确到小数点后两位，所以有三位有效数字.

2)12424112424114224()exxxxxexxexxxxexxxexxex

=241142124)xxexxxexxxex241142124xxexxxexxxex

=660.5100.31050.00053.1050.510

所以43124()1.71275100.510xxx

124xxx=43.105100.0003105

41241244124()1.7127510()0.5515...3.10510rxxxexxxxxx

3）2222424244444()()1xxexxexeexexxxxxx325105420.5100.5100.197316100.77868100.1997100.510253.40253.40

又由24xx50.3946310知有0位有效数字

522440.1997100.5rxexxx

1.4 x+yz，xyz和xyz中哪一个的相对误差可能超过所有单项（x，y,z）的相对误差的五倍

答案：()()()()(()())rrrrrrxyzxyzexyzexeyzexeyezxyzxyzxyzxyz

如果5yzxyz 5xxyz且两式同号，则()rexyz可能大于()rex，()rey,()rez的5倍。()()()()rrrrexyzexeyez

()()()()()()rrrrrrxeexeyzexeyezyz

1.5 计算球体积要使相对误差为210,问测量半径r时允许的相对误差限时多少？

答案:31=r3V球 3()()3()rrreverer 要使2()10rev,只需使23()10rev

即1()300rev.

1.6 设s=212gt，假定g是准确的,但对t测量有0。1秒的误差。证明:当t增加时,s的绝对误差限增加,而相对误差限却减少。

答案:21,0,()0.12sgttet ()()esgtet ()()()0.1esgtetgtetgt

显然,当t增加时, ()es增加, ()0.2()2()2rretesettt。

1。7 用下列近似数据计算lg x—lg y：

1) x=100,y=100.1 2)x=100，y=410。

答案：由于lg x 与lg y相近,应避免它们想减，所以lg x—lg y=lgxy

1) lg 100—lg100。1=lg100100.1lg0.9990009990.000434077

2) 2）lg 100—lg410=lg410010=lg610=6

1。8 取7位有效数字计算r=21cos,10sinxxx（准确值为0.0050000416...r)

答案:因为1与cos210相近，sinx很小,应令1cossinsin1cosxxrxx

即 22sin100.0099998330.00500004151cos1010.9999500r

221cos1010.099995000.005000084sin1010.009999833r

比较知后者产生有效数字的损失

1。9 序列｛ny｝满足递推关系

1101nnyy （n=1，2,3，…)

若021.41y（3位有效数字），问计算10y的绝对误差限是多少，这个计算过程稳定吗?

答案：因为101099010110...10eyeyeyey

所以101010010100.005eyey

误差发生了积累和扩散，故此计算过程不稳定。

1。10 236(21)2199702是一个恒等式，但用21.4却出现了0.004096=1的结果。这是怎么回事，哪一个较准确呢？

答案：分别分析611yx与29970yx的误差

651161eyexxex=560.4ex560.40.0142=0.0008731

2997070700.01420.9947eyexex

所以12eyey 611yx更准确,而2y得误差太大,导致产生0.004096=1的现象。

第二章 插值法与最小二乘法

习题二

2.1证明：对于次数小于等于n的多项式f(x）,满足条件(2.1）的n次插值多项式()nPx就是

它自身.并由此证明

00,(0,1,2,,)nnjmmkkjjkkjxxxxmnxx

答案：① 1令nhxfxPx，显然hx是次数n的多项式

只需证0hx，有插值条件知jnjfxPx（j=0，1,2,…n)

所以有jhx=0jnjfxPx(j=0，1,2，…n）

即hx有n+1个互异的根

由代数基本定理知n次代数方程有且仅有n个根,因此0hx ,即fxhx，得证.

2 1()(1)!nnnfRxfxPxxn 其中0nxx，0()()njjxxx，

由于fx为次数小于等于n的多项式,因此1nf0，0nxx，

从而0nnRxfxPx，即nfxPx。

②利用上次结论 令mfxx记0njkjjkkjxxlxx

以0x,1x,…，nx为插值节点，作fx的n次插值多项式得 0nnkkkPxxl

由nfxRx即得证

2.2 给出概论积分202()xxfxedx的数据表

x 0。46 0.47 0。48 0。49

f(x） 0。4846555

0.4937452 0.5027498

0.5116683

试用二次插值计算：

1)当x=.472时该积分的值,

2）当x为何值时积分值等于0.5。

答案:1)220()iiiPxylx，其中20()()()jijjiijxxlxxx

0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxPxyyyxxxxxxxxxxxx

2(0.472)P=0.4955529

2）作反插值 以0y，1y，2y为插值节点,以0x,1x,2x为函数值

则220()iiiPyxly，其中20()()()jijjiijyylyyy

220(0.5)(0.5)iiiPxl=0。4769363

2.3 想一想，抛物线插值基础函数是怎么设计出来的？

答案：由0102()0lxlx得lx中含因式12()()xxxx

又因为012()()lxaxxxx 其中a为常数，又由001lx得01021()()axxxx

从而得1200102()()()()xxxxlxxxxx，同理可得1lx，2lx…

2。4 设f（x）=4x，试用余项定理写出以—1,0，1，2为节点的三次插值多项式。

答案：(4)31(1)(0)(1)(2)4!Rxfxxxx=(1)(1)(2)xxxx 1,2

43233(1)(1)(2)22PxfxRxxxxxxxxx

2。5 证明:对于fx的以0x，1x为节点的一次插值多项式1Px，插值误差

012101()max()8xxxxxfxPxfx

答案：1011()()()2fxPxfxxxx

0101011max()max()()2xxxxxxfxxxxx ①

2210100110()()()()()()()24xxxxxxxxxxxxxx

即0121001()max()()4xxxxxxxxx ②

由①②得012101()max()8xxxxxfxPxfx

2。6 已知y=sin x的函数表

x 1.5 1.6 1。7

sin x 0。99749 0.99957 0。99166

试构造差商表,利用二次Newton插值公式计算sin(1。609）（保留五位小数），并估计其误差。

答案：造差商表

ix 0阶差商 1阶差商 2阶差商

1。5 0。99749

1。6 0。99957 0。0208

1.7 0。99166 —0.0791 -0.04995

由公式（2.18)将数据代入得sin(1。609） 2(1.609)p=0。999267

再用余项估计式（2.10）得出82(1.609)1.579510R.

2.7 用Newton插值公式解例2。2和例2。3.

答案：根据例题所给数据造差商表

ix 0阶差商 1阶差商 2阶差商

100 10

121 11 0.04762

144 12 0.04348 -0。00009409

11100.04762(100),11510.7143pxxp

22100.04762(100)0.00009409(100)(121),11510.7228pxxxxp

2。8 设sin,0,fxxx

1）求一个2次Hermie插值多项式2()Px,使得

22(0)0,()PfPf

2(0)0Pf

2)写出插值余项2()fxPx的表达式.

答案：1）设22012221()()2PxaaxaxPxaxa