中考数学专题列方程(组)解应用题

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中考数学专题 6 列方程（组）解应用题

【前言】 在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的 时候苦思冥想很久也没有想法， 这就是列方程或方程组解应用题。 方程可以说是初中数学当 中最重要的部分， 所以也是中考中必考内容。 从近年来的中考来看， 结合时事热点考的比较

多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不

得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类， 总结出一些定式，就可以 从容应对了。

第一部分 真题精讲

【例 1】 “家电下乡 ”农民得实惠，根据 “家电下乡 ”的有关政策：农户每购买一件家电，国家 将按每件家电售价的 13%补贴给农户，小明的爷爷 2009年 5 月份购买了一台彩电和一台洗 衣机，他从乡政府领到了 390 元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高 1000 元，问一台

彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？

【思路分析】 首先仔细看题，明确说明彩电售价比洗衣机售价高 1000，那么一方面可以设

一个未知数彩电为 x，那么洗衣机自然就可以用 x-1000 表示，另一方面也可以直接设两个 未知数彩电 x 和洗衣机 y ，利用高 1000 的条件制造等量关系。 其次说补贴是售价的 13%，而 又明确给出小明的爷爷领到了 390 元，所以这 390 元就是售价的补贴。于是建立方程 13%（x+x-1000）=390 或者方程组 x y 1000, 。这一题要把握的就是两个等量关系， 一 13%（x y） 390.

个是售价差等于 1000，另一个是售价的 13%等于补贴。于是可以得出答案。

解析】（列方程组解）

解：设一台彩电的售价为 x 元，一台洗衣机的售价为 y 元.

根据题意得： x y 1000,

13%（x y） 390.

答：一台彩电售价 2000 元，一台洗衣机售价 1000 元．

例 2】 某采摘农场计划种植 A、 B 两种草莓共 6 亩，根据表格信息，解答下列问题：

项目 品种 A B

年亩产（单位：千克） 1200 2000

采摘价格（单位：元 /千克） 60 40

(1) 若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为 460000元，那么 A、B 两种草莓各种多少

亩? 解得 x 2000, y

1000. 学习好资料 欢迎下载

(2) 若要求种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B 种草莓的一半，那么种植 A 种草莓多少亩时， 可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多 ?

【思路分析】 本题依然是通过方程表达总量去解决。总收入就是 A 的亩产乘以价格加上 B 的亩产乘以价格， 列出方程即可。 至于第二问则是先根据 “种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B

种草莓的一半” 列出不等式， 求出 A种草莓的范围， 然后列出函数式来看在范围内总收入 最大值是多少。

【解析】 解：设该农场种植 A 种草莓 x 亩， B 种草莓 (6 x)亩

依题意，得： 60 1200x 40 2000(6 x) 460000 ⋯⋯⋯⋯2 分 解得： x 2.5， 6 x 3.5

1

(2)由 x≥ (6 x) ，解得 x≥2

2 设农场每年草莓全部被采摘的收入为 y 元，则：

y 60 1200x 40 2000(6 x) 8000x 480000 ∴当 x 2 时， y有最大值为 464000 答：(l) A种草莓种植

2.5亩, B种草莓种植 3.5 亩．

(2)若种植 A种草莓的亩数不少于种植 B种草莓的一半， 那么种植 A种草莓 2 亩时，

可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多 .

【例 3】 2009年 12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要

3 小时，若乘汽车需要 9 小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为 70 千 克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多 54 千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧 化碳的排放量．

【思路分析】本题比较简单，但是涉及了时事热点，看似复杂，实际一分析就发现等量非常 好找。一个是单独排放量之和等于 70，另一个是排放总量之差等于 54. 于是可以列方程组求 解。

【解析】 解：设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 x千克和 y千克 .

依题意，得 x y 70,

3x 9y 54.

x 57, 解得 y 13.

答:飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 57 千克和 13 千克

【例 4】某中学拟组织九年级师生外出．下面是年级组长李老师和小芳同学有关租车问题的 对话：

李老师： “客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用， 60 座客车每辆每天的租金比

45 座客车每辆每天的租金多 200 元． ”

小芳： “我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 4 辆 60座和 2 辆 45座的客车外出参

观，一天的租金共计 5000 元． ” 学习好资料 欢迎下载

根据以上对话，求客运公司 60座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 【思路分析】

本题两句话就是两个等式， 第一句话的等式两边就是租金的差价， 第二句话的 两边是总租金的和。 本题虽然也比较简单， 但是随时可能有变化的空间。 例如说八年级师生 一共有 xx

人，问怎样租车最经济。那么依然是做一个函数然后看函数的最小值。这种思路 中考中也会比较容易考到，大家可以多发散思考一下。

【解析】

解：设客运公司 60座和 45 座客车每天每辆的租金分别为 x元和 y元．

由题意，列方程组 x y 200，

4x 2y 5000．

解之得 x 900，

y 700.

答：客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是 900 元和 700 元

例 5 】《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和 狼公仔的生产专利． 该企业每天生产两种公仔共 450 只，两种公仔的成本和售价如下表 所示．如果设每天生产羊公仔 x 只，每天共获利 y 元．

（ 1）求出 y 与 x 之间的函数关系及自变量 x 的取值范围；

（ 2）如果该企业每天投入的成本不超过 10000 元，那么要每天获利最多， 应生产羊公仔

和狼公仔各多少只？

类别 成本（元 /只） 售价（元 /只）

羊公仔 20 23

狼公仔 30 35

【思路分析】 本题是刚刚火热出炉的二模题， 结合了社会的热点动画片来设立问题。 虽然是

应用题，但是却涉及了函数的思想，造成了一定的困扰。分析本题首先需要清楚“获利”这 个概念，就是售价减成本再乘以数量。其中，每天生产的数量是定值 450，所以狼公仔就要

用羊公仔数去表示， 然后合理列出函数表达式。 第二问夹杂进了不等式， 需要判断出 x 的范

围上限和下限分别代表什麽意思，尤其是明白一次函数的单调性。

【解析】

解：（ 1）根据题意，得 y =（23－ 20） x +（35－30）（450 － x ），

即 y=－2x +2250．

自变量 x 的取值范围是 0≤x≤ 450 且 x 为整数．

（2）由题意，得 20 x +30（450- x ） ≤10000． 解得 x ≥ 350．

由（ 1）得 350≤ x≤450．

∵ y随 x 的增大而减小， 学习好资料 欢迎下载

∴当 x =350 时， y 值最大．

y 最大=－2×350+2250=1550 ． ∴450－350=100．

答：要每天获利最多，企业应每天生产羊公仔 350 只，狼公仔 100 只 .

【总结】列方程解应用题作为必考内容，难度一般都不会很大。但是这类问题的特点是冗 余信息多，干扰思考。例如动辄来个知识背景介绍，或者模拟情景对话，简单说就是废话 非常多。所以作为考生来说，碰到此类问题，第一步就是要从废话中提取有用信息，然后 设元，将废话转化为数学元素。第二步就是提取题目中的等量信息。一般来讲，等量信息 无非分两种，一个是个体的关系，如例 5 中的狼羊公仔数量和，以及不同客车的租金差； 另一部分就是总体的关系，例如总收入，总支出之类的。顺风逆风问题似乎近年来很少考 到，大多是和钱有关的事情（笑） 。所以需要考生关注“总和” “比⋯少”“比⋯的几倍多” 这种字眼，分析出等量关系去列出方程。具体操作来看，笔者比较倾向于非函数问题列二 元方程去算，例如例 1 的解法，这样的好处是比较直观，在较为复杂的等式中如果一直用 某个未知数的关系去表示另一个未知数容易造成等式过于冗长，容易出错。

第二部分 发散思考

【思考 1】 改革开放 30 年来，我国的 文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为

例， 1978年全国两馆共约有 1550个，至 2008年已发展到约 4650个. 2008 年公共图书馆的

数量比 1978 年公共图书馆数量的 2 倍还多 350 个，博物馆的数量是 1978 年博物馆数量的 5

倍. 2008 年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？ 【思路分析】 本题看起来数字很多，什么

1978，1550，4650，2008 等等等等，但是年份都 是多余的信息。仔细分析有用信息就是两馆和，两馆分别的增长量。于是设 78 年的两馆数 量求解。但是注意的是最后题目问的是 2008 年的数量，所以不要忘记算一下再作答。

【思考 2】将进价为 40元的商品按 50元售出时，能卖出 500 个，经市场调查得知，该商品 每涨价 1 元，其销售量就减少 10个，为了赚取 8000 元的利润，售价应定为多少元？ 学习好资料 欢迎下载

【思路分析】 本题也是和钱有关的题目， 但是列出来的方程式一个一元二次方程， 所以需要

仔细对“每涨价 1，销售量减 10”这个关系进行分析。所以直接设涨价为 x 最为合适，利用

8000 元的总利润列出方程求解即可。

【思考 3】北京市实施交通管理新措施以来， 全市公共交通客运量显著增加 .据统计， 2008

年 10 月 11 日到 2009 年 2 月 28 日期间， 地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和

为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次 .在此期

间，地面

公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？

【思路分析】 中考原题，正如在上面总结中所说，这类问题一定要关注“总和” ，“比 xxx 几倍少 / 多”这种字眼。本题来说既然求各为多少万人次，直接设两个元。然后利用一次总 和，利用一次倍差关系，轻松列出两个方程构成方程组求解。

【思考 4】某运输公司用 10 辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装 8 吨甲种苹

果，或 10吨乙种苹果，或 11 吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且 必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共 100 吨，且每种苹果不少于一车．

（1）设用 x辆车装甲种苹果， y辆车装乙种苹果，求 y与 x之间的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围；

（ 2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：

苹果品种 甲 乙 丙