第七章-向量代数与空间解析几何

第七章 空间解析几何与向量代数

为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术

上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线

方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.

第一节 空间直角坐标系

一、 空间直角坐标系

众所周知，实数x与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x,y)与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x,y,z)建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.

1.空间直角坐标系的建立

过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向以π/2的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向．这个法则叫做右手法则(图71)．这样就组成了空间直角坐标系．O称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面．类似地有yOz坐标面、zOx坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图72)．x、y、z轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

图71 图72

2.空间中点的直角坐标

设M为空间的一点，若过点M分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P，Q，R三点，且这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z，则点M唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)．反之，设给定一个有序数组(x，y，z)，且它们分别在x轴、y轴和z轴上依次对应于P，Q和R点，若过P，Q和R点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M．这样，空间的点就与一个有序数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系(图73)．有序数组(x，y，z)就称为点M的坐标，记为M(x，y，z)，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标． 显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z＝０．

第8章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌

握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练

掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会

利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问

题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运

算；

2、两个向量垂直和平行的条件；

3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判

定条件；

5、点到直线以及点到平面的距离；

6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算；

2、平面方程和直线方程及其求法；

3、空间曲线在坐标面上的投影

4、点到直线的距离；

5、二次曲面图形；

6、旋转曲面及柱面的方程。主要外语词汇：

Vector, Mold, Direction Cape, Direction cosine, The quantity

accumulate，The vector accumulate, Curved face square distance, Revolve

curved face，Pillar noodles, Curves, Equations, Plane, Straight line.

第七章 向量代数与空间解析几何

（一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算

一、判断题

1． 点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。 （ ）

2． 任何向量都有确定的方向。 （ ）

3． 任二向量 a,b ，若 a b .则 a = b 同向。 ( )

4． 若二向量 a,b 满足关系 a b = a + b , 则 a,b 同向。 （ ）

5． 若 a b a c, 则 b c ( )

6． 向量 a, b 满足 a = b ，则 a, b同向。 （ ）

a b

7．若 a ={ ax ,a y , az } ，则平行于向量 a 的单位向量为 { ax ， ay ， az } 。（ ）

| a | | a | | a |

8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ）

二、填空题

1． 点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是

2． 点（ 4， 3， -5）在 坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5）

3． 点（ 5， -3， 2）关于 的对称点是 M（ 5， -3， -2）。

4． 设向量 a 与 b 有共同的始点，则与 a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为

5． 已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b = 。

6． 设 a =4， a 与轴 l 的夹角为 ，则 prj l a =

6

7． 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。 以及它的对角线

交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为 ，则顶点 D 的坐标为 。

第4章 向量代数与空间解析几何练习题

习题4.1

一、选择题

1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )

（A）直线； （B） 线段； （C） 圆； （D） 球．

2．下列叙述中不是两个向量a与b平行的充要条件的是( )

（A）a与b的内积等于零； （B）a与b的外积等于零；

（C）对任意向量c有混合积0)(abc； （D）a与b的坐标对应成比例．

3．设向量a的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( )

（A）向量a的终点坐标为),,(zyx； （B）若O为原点,且aOA, 则点A的坐标为),,(zyx；

（C）向量a的模长为222zyx；（D） 向量)2/,2/,2/(zyx与a平行．

4．行列式213132321的值为( )

（A） 0 ； （B） 1 ； （C） 18 ； （D） 18．

5．对任意向量a与b, 下列表达式中错误的是( )

（A）||||aa； （B）||||||baba； （C） ||||||baba； （D） ||||||baba．

二、填空题

1．设在平行四边形ABCD中，边BC和CD的中点分别为M和N，且pAM，qAN，则BC=_______________，CD=__________________．

2．已知ABC三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________．

3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________．

4．设力kjiF532, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(,B所做的功为____________________________．