积的变化规律三条公式

1 积的变化规律教学反思

本节课教材以两组较为简单的乘法算式为载体，引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律，使学生在探索的过程中理解两个因数相乘时，积随着基中的一个因数的变化而变化，同时体会到事物间是密切相关的从而受到了辩证思想的启蒙教育。

由于教材选择的一组题较为简单，很多同学很快就能说出结果，使得积的变化规律没有发挥作用，于是我又加一组难度大些的题使学生不容易口算出得数，而只能运用这个规律来计算，但也没有达到预期的效果，学生干脆就用竖式计算了，因此，在对题的难易程度上还应细心琢磨，有的同学能用这个规律来计算，却说不出其中的道理，有的学生竖着写能看发现规律，横着写就找不规律，说明对这个规律还没有真正理解，更谈不上运用自如了。

在探索新知的过程中，我是采取自主探究与合作交流的方式，让学生根据教者预先设计好的题目来引导学生探索规律，我发现效果不理想，于是我又进一步帮助学生结合具体题目理解积的变化规律，在此基础上我又让学生根据自己的理解出5道类似的题目，我巡视了一遍发现学生掌握了这个规律，随即找出有代表性的三个学生，板演三组算式（有一个因数扩大10倍的，有一个因数扩大3位的，有一个因数缩小2位的）让学生在小组内展开讨论每组算式的另一个因数积是怎样变化的，这样发挥了集体的智慧，群策群力，使学生经历了提出问题——探索规律——解释说明规律——验证规律的探索新知的全过程，从而一方面落实课标不只重视新知结果，更要重视获取新知过程的新理念，一面培养了学生学习能力，收到了良好课堂效果。 2 教学中不足的是，课堂上看因数和积的变化规律直接写出得数的练习题做得有点少，在以后的教学中努力做到精心设计练习，合力把握时间，让学生学得更扎实。

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（积的变化规律及乘法估算）

课程解读

一、学习目标：

1. 会根据积的变化规律直接写出得数。

2. 掌握乘法的估算方法。在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算，养成估算的习惯。

二、重点、难点：

1. 根据积的变化规律直接写出得数。

2. 在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算。

三、考点分析：

1. 根据积的变化规律直接写出得数。

2. 在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算。

知识梳理 积的变化规律 1. 在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个数（0除外），积也要乘（或除以）这个数。

2. 在乘法算式中，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，它们的积不变。

乘法估算 1. 估算结果要符合实际情况，有些情况需估大些，有些情况需估小些。

2. 尽量接近准确值。

3. 计算要方便（即将两个因数估成整十、整百或几百几十的数）。

典型例题

［方法应用题］

例1. 根据15×42＝630，直接写出下面各题的得数。

思路分析：

（1）题意分析：本题考查根据积的变化规律直接写出得数。

（2）解题思路：首先将各式与已知式子相比较，看看因数有什么变化，然后根据积的变化规律直接写出得数。

解答过程：

解题后的思考：

先找到不变的因数，再观察另一个因数的变化情况，就可以判断积的情况了。变化的一个因数乘几，积也乘几；变化的一个因数除以几，积也跟着除以几。

例2. 市政府前面的广场上有一个边长是40米，面积是1600平方米的正方形草坪，现在扩大草坪面积，把边长扩大为原来的2倍，扩宽后的草坪面积是多少平方米？

思路分析：

（1）题意分析：本题考查应用积的变化规律。

（2）解题思路：正方形的面积＝边长×边长

边长扩大为原来的2倍

面积扩大为原来的4倍 - 46 - 解答过程：

积的变化规律三条公式

积是数学中最基本的运算之一，通常用符号“×”表示。在数学

中，积的变化规律有很多，但其中最常见的三条规律公式如下：

一、分配律：a×(b+c)=ab+ac

分配律是数学中最基本的规律之一，它的本质是说明了对于任何

三个数a、b、c，a与(b+c)的积等于a与b的积加上a与c的积。这

个规律在实际应用中非常广泛，比如我们常用到的乘法分配律，就可

以利用分配律来简化计算。在实际生活中，我们常常需要将数字进行

运算，尤其是在做生意的时候，准确地应用分配律可以让我们更加容

易地计算商品的价格、优惠等折扣。

二、结合律：a×(b×c)=(a×b)×c

结合律也是一种基本的积的变化规律，它的核心思想是将积的顺

序改变而不改变结果。具体地讲，在乘法运算中，我们可以把连乘的

顺序改变而不改变结果，也就是说，a与(b×c)的积，等于(a×b)与c

的积。结合律在实际应用中也非常常见，它可以帮助我们更加快捷地

完成运算，比如在计算几项之积时，我们可以采用结合律，将优先级

高的项一起计算，以达到更高效的效果。

三、交换律：a×b=b×a

交换律也是积的基本变化规律之一，它的本质是指任意两个数的

积都是相等的，而不受数的顺序的影响。在日常生活中，我们经常会用到交换律的原理，比如在算账时，我们可以把乘号两边的数字互换

位置，以方便计算，而不会改变最后的计算结果。对于学习数学的学

生来说，在数学中准确理解和掌握交换律，可以更好地完成课堂作业

和考试。

小结：

积的变化规律是数学中最基本的运算之一，它包括了分配律、结

合律和交换律。在实际应用中，准确理解和掌握这些规律，可以帮助

我们更好地完成生活和学习中的数学问题。因此，我们应该切实学好

这些规律，提高自己的数学素养和计算能力。

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“积的变化规律”应用举例

作者：石晟霖

来源：《新教育时代·学生版》2018年第42期

“探索规律”是数与代数领域主要的教学内容之一，人教版小学《数学》四年级上册安排了“积的变化规律”：“两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。”

“积的变化规律”应用以填空题判断题选择题为主，三种题型可以互相变换下面列举几例，供大家参考

一、用积的变化规律填空中的应用

学生已学过三位数乘两位数的笔算，掌握三位数乘两位数的笔算算理和一般方法，灵活运用积的变化规律进行快捷计算是教学难点，因此，可能遇到下面的题目

例1根据15×24=360，直接写出下面各题的积。

15×72=（ ） 15×（24÷10）=（ ）

[分析]根据“积的变化规律”：“两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。”15×72与15×24相比较，15不变，72是24乘3得到的，因此积360也要乘3得1080； 15×（24÷10）与15×24相比，15不变，24这个因数除以10，积也要除以10，所以 15×（24÷10）=36

[练习]根据37037×3=111111，直接写出下面各题的积。

37037×6= 37037×9= 37037×15=

二、在周长公式中的应用

学生已学习过长方形、正方形周长公式：长方形周长=（长+宽）×2，正方形周长=边长×4。其中，长方形周长、正方形周长就是积，长与宽的和、边长、2、4都是因数，而且2和4是不变的因数。因此，会遇到下面的题目。

例1填空：正方形的边长扩大3倍，它的周长 。

[分析]因为“正方形周长=边长×4”，边长和4都是因数，正方形的周长是积，所以，根据“积的变化规律”，一个因数（4）不变，另一个因数（边长）扩大3倍，积（周长）就扩大3倍。答案是：扩大3倍。 龙源期刊网