当前位置：文档之家 › 计算方法实验：方程求根

计算方法实验：方程求根

  • 格式：docx
  • 大小：1.60 MB
  • 文档页数：4

实验一 方程求根

一、实验目的

用不同方法求任意实函数方程f（x）=0在自变量区间[a，b]内或某一点附近的实根，并比较方法的优劣性。

二、实验方法

（1）二分法

对方程f（x）=0在[a，b]内求根。将所给区间二等分，在二分点x=(b-a)/2处判断是否f（x）=0。若是，则有根x=(b-a)/2；否则继续判断是否f(a)·f(b)<0,若是，则令b=x，否则令a=x。重复此过程，直至求出方程f(x)=0在[a，b]内的近似根为止。

（2）迭代法

将方程f（x）=0等价变换为x=φ（x）的形式并建立相应的近似根为止。

（3）牛顿法

设已知方程f（x）=0的一个近似根x0,则函数f（x）在点x0附近可用一阶泰勒多项式p1（x）=f（x0）+f’（x0）（x-x0）来近似，因此方程f（x）=0可近似表示为f（x0）+f’（x0）（x-x0）=0。设f’（x0）≠0，则

x=x0-f（x0）/’f（x0）

取x作为原方程新的近似根x1，然后再将x1作为x0代入上式。迭代公式为

xk+1=xk-f（xk）/f’（xk）

三、实验内容

1）在区间[0,1]内用二分法求方程ex+10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。

2）取初值x0=0，用迭代公式xk+1=（2-exk ）/10,(k=0,1,2,…)求方程ex+ 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。

3）取初值x0=0用牛顿迭代法求方程ex+ 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。

四、实验程序

（1）二分法

（2）迭代法

（3）牛顿法 五、实验结果（仅供参考）

（1）x11=0.09033 （2）x5=0.09052 （3）x2=0.09052

六、结果分析

由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：

二分法要循环k=10次，迭代法要迭代k=4次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5×10-3的要求，而且方程ex+10x-2=0的精确解经计算，为0.0905250,由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。而这三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快，但由所学的内容可知，其收敛性与初值有关，它是局部收敛的。二分法收敛虽然是速度最慢，但也常用于求精度不高的近似根。而迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。总之各种方法都各有优劣，适用于不同的情况中，须具体情况具体分析。

合集下载

实验四 方程求根实验

实验四 方程求根实验

《计算方法》

实验报告

学 院： 信息学院

专 业： 计算机科学与技术

指导教师： 郭卫斌

班级学号： 10101438 计102

姓 名： 闻翰

计算机科学与工程系

实验四 方程求根实验

一. 实验目的

（1）深入理解方程求根的迭代法的设计思想，学会利用校正技术和松弛技术解决某些实际的非线性方程问题，比较这些方法解题的不同之处。

（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab解决具体的方程求根问题。

二. 实验要求

用Matlab软件实现根的二分搜索、迭代法、Newton法、快速弦截法和弦截法，并用实例在计算机上计算。

三. 实验内容

1. 实验题目

（1）早在1225年，古代人曾求解方程020102)(23xxxxf并给出了高精度的实根368808107.1*x，试用Newton法和弦截法进行验证，要求精度610，并绘制方程的图形。

（2）取5.00x，用迭代法求方程xex的根，然后用Aitken方法加速，要求精度为结果有4为有效数字。

（3）用快速弦截法求解方程01)(xxexf，要求精度为610，取6.05.010xx，作为开始值，并绘制1)(xxexf的图形。

2. 设计思想

(1)1.Newton法:

对于一般形式的函数方程，首先运用校正技术建立迭代公式，得到关于增量的线性方程，从而得到关于校正值的计算公式。核心思想即为将非线性方程逐步线性化。

2.弦截法:

将Newton公式中导数值曲线上两点之间弦线的斜率来替代，这种方法就是弦截法。

(2)1.迭代法:

迭代法是一类逐次逼近的方法，用某个固定的公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得出满足精度要求的结果。

数值分析实验报告——方程求根

数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告

班级 信科1501 学号 150803114 姓名 梁恩昊 日期 2017.10.3

学 院 数学科学学院 专 业 信息与计算科学

课程名称 数值分析 成 绩

实验一 方程求根

一、 实验目的:

掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。

二、 实验内容:

二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。

三、 实验步骤：

① 、二分法：

定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。

PS：本方法应用的软件为matlab。

disp('二分法')

a=0.1;b=1;

tol=0.0001;

n0=100;

fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;

for i=1:n0 p=(a+b)/2;

fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;

if fp==0||(abs((b-a)/2)

disp('用二分法求得方程的根p=')

disp(p)

disp('二分迭代次数为：')

disp(i)

break;

end;

if fa*fp>0 a=p;

else b=p;

end;

end;

if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)

实验一_非线性方程求根

实验一_非线性方程求根

1 实验一 非线性方程求根

实验名称：非线性方程求根

实验类型: 验证性实验

学 时：2

2.1 实验环境

① 操作系统：WindowsXP/Win7

② 编程环境：自定

2.2 实验目的

① 掌握二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法；

② 了解迭代算法的设计原理及初值对收敛性的影响。

2.3 实验原理和方法

2.3.1 二分法的算法描述

计算()0fx的根的二分法如下：

① 输入有根区间[,]ab，根的容许误差和()fx与零之间的容许误差，置二分次数0n，并计算(),()abffaffb，如果 0abff，转②；否则，算法失败，结束；

② 当ba时，计算

()/2xab，()ffx；

分情况处理：

若f，则停止计算，输出近似根x以及二分次数n；

否则

若0aff，则,bbxff；

否则，,aaxff；

1nn，转②

③ 2abx；

④ 输出近似根x以及二分次数n。

2.3.2 牛顿迭代法的算法描述

给定初始值0x，为根的容许误差，为()fx与零之间的容许误差，N为最大迭代次数。置

2 迭代次数0n，进行如下计算：

① 如果'0()0fx或nN，则算法失败，结束；

否则执行②

② 计算010'0()()fxxxfx，1nn；

③ 若10xx或1()fx，则输出近似根1x及迭代次数n，程序结束；

否则执行④

④ 令01xx，转向①

2.3.3 牛顿迭代法的改进

弦截法（割线法）

改用差商11()()kkkkfxfxxx代换牛顿法中的1'()kfx，可得迭代公式

111212()()()()kkkkkkkfxxxxxfxfx 2,3,4,k

称之为弦截法。该方法是超线性收敛的，与单点弦截法相比有所改善。不需要计算导数，但是它需要提供两个初值01,xx，而且收敛速度不如牛顿迭代算法。

实验二 非线性方程求根

实验二 非线性方程求根

实验二非线性方程求根

实验目的：通过对二分法、简单迭代法与牛顿迭代法编程练习与上机运算，进一步体会各方法的不同特点。

实验内容：

1、用下列方法求方程1020xex的近似根，要求误差不超过-31102，并比较计算量。

（1）取初值00x并用迭代过程12(0,1,2,);10kxkexk

（2）取初值00x用牛顿法；

（3）利用埃特金/斯蒂芬森加速法求解

实验要求：

写成实验报告，报告格式见附件，报告内容包括：

1、实验内容和要求

2、算法说明

3、源程序（要求包含必要的注释）

4、实验结果（截图+必要文字说明）

5、对实验结果进行分析比较