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数值分析实验报告——方程求根

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《数值分析》实验报告

班级 信科1501 学号 150803114 姓名 梁恩昊 日期 2017.10.3

学 院 数学科学学院 专 业 信息与计算科学

课程名称 数值分析 成 绩

实验一 方程求根

一、 实验目的:

掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。

二、 实验内容:

二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。

三、 实验步骤：

① 、二分法：

定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。

PS：本方法应用的软件为matlab。

disp('二分法')

a=0.1;b=1;

tol=0.0001;

n0=100;

fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;

for i=1:n0 p=(a+b)/2;

fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;

if fp==0||(abs((b-a)/2)

disp('用二分法求得方程的根p=')

disp(p)

disp('二分迭代次数为：')

disp(i)

break;

end;

if fa*fp>0 a=p;

else b=p;

end;

end;

if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)

disp('次二分迭代后没有求出方程的根')

end;

程序调试：

运行结果：

用二分法求得方程的根p=

0.1108

二分迭代次数为：

14

② Newton法

定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。

实现方法：我们与二分法一样，先设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根。

PS：本方法应用的软件为matlab。

syms x;

diff(400*(x.^4)-300*(x.^3)+200*(x.^2)-10*x-1) %求导方程

函数文件：

function Newton=fun(a)

Newton=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;

end

function Newton2=dfun(b)

Newton2=1600*b^3-900*b^2+400*b-10; %fun函数的导数

end

主程序：

x0=1;

while 1

x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);

if abs(x1-x0)<1e-8 || abs(fun(x1))<1e-10

break;

end

x0=x1;

end

disp('用牛顿法求得的方程的根为：x=')

disp(x1)

程序调试：

运行结果：

用牛顿法求得的方程的根为：

x=0.1108

③ 、不动点迭代法：

采用不动点迭代法计算非线性方程x3+4x2-10=0，在区间[1,2]上的一个根。

PS：本方法应用的软件为matlab。

不动点迭代法程序：

函数文件：

function [y,n]=BDD(x,eps)

if nargin==1

eps=1.0e-6;

elseif nargin<1

error

return end

x1=gg(x);

n=1;

while (norm(x1-x)>=1e-6)&&(n<=10000)

x=x1;

x1=gg(x);

n=n+1;

end

y=x;

M函数：

function f=gg(x)

f(1)=sqrt(2.5-(x^3)/4);

结果如下：

>> BDD(1)

n =

21

ans =

1.3652

④ 、弦截法：

定义：弦截法是求非线性方程近似根的一种线性近似方法。它是以与曲线弧AB对应的弦AB与x轴的交点横坐标作为曲线弧AB与x轴的交点横坐标的近似值μ来求出方程的近似解。该方法一般通过计算机编程来实现。弦截法的原理是以直代曲即用弦（直线）代替曲线求方程的近似解，也就是利用对应的弦 与 轴的交点横坐标来作为曲线弧 与 轴的交点横坐标

的近似值。

实现方法：我们与二分法一样，先设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根。

PS：本方法应用的软件为matlab。

函数文件：

function[p1,err,k,y]=secant(f,p0,p1,delta,max1)

% f是非线性函数

%p0,p1是初始值

%delta是给定允许误差

%max1是迭代次数的上限

%p1是所求得的方程的近似解

%err是p1-p0的误差估计

%k是所需要的迭代次数 %y=f(p1)

K=0,p0,p1,feval('f',p0),feval('f',p1)

for k=1:max1

p2=p1-feval('f',p1)*(p1-p0)/(feval('f',p1)-feval('f',p0));

err=abs(p2-p1);

p0=p1;

p1=p2;

k,p1,err,y=feval('f',p1)

if(err

break,end

end

end

M文件：secant('400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0',0,1,1.0e-4,100);

disp('用弦截法求得的方程的根为：x=')

disp(p1)

运行结果：

用弦截法求得的方程的根为：

x=0.1108

四、 实验中遇到的问题及解决方法：

MATLAB运用不熟练，于是翻开以前的课本与ppt，并结合网上查阅的资料，才又掌握了一些基础的运用方法。

一开始忘了怎么创建函数文件，于是实现二分法的程序时变得十分麻烦。后来复习过后，运用在牛顿法上，就简单了许多。

二分法与牛顿法是比较容易掌握并实现的，而后两个方法则是查阅了很多资料，却仍然似懂非懂，程序也是大部分参考了资料。我将在此之后继续钻研它们，直到能熟练运用为止。

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数值分析实验报告——非线性方程求根

数值分析实验报告——非线性方程求根

数值分析实验报告——非线性方程求根

二分法

一、题目

0.001. .012 .13要求每个根的误差小于的所有根用二分法求方程xx

二、方法

二分法

三、程序

1、Jiangerfen.M的程序

function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2)

if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end

%nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。

ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。

yb=feval('f',b);

if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,end

max=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。

for k=1:max

c=(a+b)/2;

yc=feval('f',c);

if((b-a)/2

if yb*yc<0

a=c;ya=yc;

else

b=c;yb=yc;

end

end

k,c=(a+b)/2,yc=feval('f',c)

2、f.M的程序

function y=f(x);

y=x^3-2*x-1;

四、结果

>> format compact

>> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]);

>> jiangerfen('f',-1.5,-0.8);

k =

8

c =

-0.9996 yc =

3.9017e-004

>> jiangerfen('f',-0.8,-0.3);

k =

8

c =

-0.6184

yc =

2.7772e-004

>> jiangerfen('f',1.3,2);

k =

10

数值分析课程实验报告-二分法和牛顿迭代法

数值分析课程实验报告-二分法和牛顿迭代法

《数值分析》课程实验报告

用二分法和牛顿迭代法求方程的根

算法名称 用二分法和牛顿迭代法求方程的根

学科专业 机械工程

作者姓名 xxxxxx

作者学号 xxxxxx

作者班级 xxxxxxxx

xx大学

二〇一五年十二月

《数值分析》课程实验报告

《数值分析》课程实验报告

实验名称 用二分法和牛顿迭代法求方程的根 成绩

一、问题背景

在科学研究与工程计算中，常遇到方程（组）求根问题。若干个世纪以来，工程师和数学家花了大量时用于探索求解方程（组），研究各种各样的方程求解方法。对于方程f(x)=0，当f(x)为线性函数时，称f(x)=0为线性方程；当f(x）为非线性函数时，称式f(x)=0为非线性方程。对于线性方程（组）的求解，理论与数值求法的成果丰富；对于非线性方程的求解，由于f(x）的多样性，尚无一般的解析解法。当f(x)为非线性函数时，若f(x)=0无解析解，但如果对任意的精度要求，设计迭代方程，数值计算出方程的近似解，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能够满足实际要求。

二、数学模型

1.使用二分法求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根（误差<10^-5）。

2.使用牛顿迭代求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根，设置迭代格式为

三、算法描述

1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{kx}来逼近根x。

2、牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。

四、主要代码

（1）二分法程序代码：

function y=erfen1(m,n,er)

第二章 数值分析--方程求根

第二章 数值分析--方程求根

1 第二章 方程求根

教学内容：

1．二分法

2．基本迭代法

3．牛顿法

4．弦位法

5．埃特金法和斯基芬森法

6．重根的情况

教学重点：

各种算法的思路及迭代公式的构造

教学难点：

各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计

计划学时：5-6学时

授课提纲：

方程求根就是求函数)(xf的零点*x，即求解方程

0)(xf

这里，0)(xf可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。

方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。

本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有使得0)(,0)(ff，则称是方程0)(xf的单根；若有使得

0)(,0)()()()()1(mmffff，

则称是方程0)(xf的m重根。

设)(xf在区间[a,b]连续，若0)()(bfaf，则)(xf在区间（a,b）内至少有一个实根，若再有)(xf不变号，则有根区间（a,b）内仅有一个实根。除特别声明，本章介绍的算法都是求单实根。

2.1 二分法

二分法又称区间对分法，是最直观、最简单的一种方法。

2.1.1 二分法原理

若 f (x)在[a, b]内单调连续，且f(a) f(b)<0，则f在(a, b)内必有惟一的实根。 2 2.1.2 二分法思想

区间对分，去同存异

2.1.3 二分法计算步骤

步1：令2/)(0bax，计算)(0xf；

步2：若0)(0xf，令0*xx，计算结束；

步3：若)(0xf*)(af>0，令0xa；否则令0xb；

步4：若||ab，令2/)(*bax,计算结束；否则转步1。

2.1.4 二分法误差分析和收敛性

记第k次区间中点为kx，则有

2/)(0*abxx，21*2/)(abxx，1*2/)(,kkabxx

实验五 用Newton法计算方程的根

实验五 用Newton法计算方程的根

佛山科学技术学院

实 验 报 告

课程名称 数值分析

实验项目 用Newton法和steffensen加速法计算方程的根

专业班级 姓名 学号

指导教师 成 绩 日 期

一. 实验目的

1、 在计算机上用迭代法求非线性方程()0fx的根。

二. 实验要求

1、按照题目要求完成实验内容；

2、写出相应的Matlab 程序；

3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；

4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。

5、写出实验报告。

三. 实验步骤

1、 用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序

2、用Newton法求解书本P229例题4，Steffensen加速法计算P255例题1。

3、用调试好的程序解决如下问题

求020sin35xxex的根，其中控制精度1010eps，最大迭代次数40M。

编制计算函数值的程序：

四. 实验结果

1、用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序；

利用Newton法求方程的根：

function [x_star, index, it]=Newton(fun, x, ep, it_max)

% 求解非线性方程的Newton法，其中

% fun(x) --- 需要求根的函数，

% 第一个分量是函数值，第二个分量是导数值

% x --- 初始点。 % ep --- 精度，当|(x(k)-x(k-1)|

% it_max --- 最大迭代次数，省缺为100

% x_star --- 当迭代成功时，输出方程的根，

% 当迭代失败时，输出最后的迭代值。