角平分线性质定理

1 第11章 角平分线性质定理教案 孙建华

2009-7-25

教学目标：1。角平分线的画法

2．掌握角平分线的性质并运用性质进行证明

教学重点：利用三角形全等得出、掌握角平分线的性质并运用性质进行证明

角平分线的画法的基本作图

教学难点：角平分线的性质并运用性质进行证明

集体备教 教学设计 个性补教

知识回顾：

角平分线定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线

新知探究：

1．看书:P19页探究

思考:(1)说明AE是∠DAB的平分线

(2)怎么用直尺和圆规作已知角的平分线？

2．基本作图：平分已知角

已知：∠AOB

求作： ∠AOB 的平分线

3．作一个角等于已知角的理论依据是:SSS

4．练习:作平角∠AOB的平分线

5．思考:通过作平角∠AOB的平分线得到射线OC后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?

结论:直线CD与直线AB垂直

6．得到基本作图:过直线上一点作已知直线的垂线

7．做一做: 如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？

结论:角平分线上的点到角两边的距离相等

8．让学生用所学过知识的说明结论的正确性。

证明一个命题是真命题的一般步骤：

（1）明确命题中的已知和求证

（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程

9．角平分线性质定理:

角平分线上的点到角两边的距离相等

几何语言:

2 PABCMNCABD∵ OC平分∠AOB, PD⊥OA，PE⊥OB （已知）

∴ PD = PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)

新知应用：

1.如图△ABC中, AC⊥BC,AD平分∠ CAB,且CD=3,求点D到AB的距离是多少？

.

2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm， 求AE+DE

角平分线定理

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

提供四种证明方法：

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC

已知和证明1图

证明：方法1：（面积法）

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,

∴S△ABM：S△ACM=AB:AC

又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

证明2图

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM

∴AB／AC=MB／MC

方法2（相似形）

过C作CN‖AB交AM的延长线于N

则△ABM∽△NCM

∴AB/NC=BM/CM

又可证明∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB／AC=MB／MC

证明3图

方法3（相似形）

过M作MN‖AB交AC于N

则△ABC∽△NMC,

∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC

又可证明∠CAM=∠AMN

∴AN=MN

∴AB/AC=AN/NC

∴AB／AC=MB／MC

一、数学内容的本质、地位、作用分析

1.数学内容的本质

角的平分线的点到角的两边的距离相等。

2。数学内容的地位和作用

角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续,它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的、更为简单的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法、角的平分线的性质；第二课时主要探究角的平分线的判定，并在此基础上进行简单应用.本节课是第一课时的内容，它不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型、解决实际问题.

二、教学目标分析

1、教学目标

根据课程标准要求、教材及学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面确定教学目标。

1.知识与技能

（1）会作已知角的平分线；

（2）了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质；

（3）会利用角的平分线的性质进行证明与计算.

2。过程与方法

在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

3.情感、态度与价值观

在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.

2、目标分析：

1.知识与技能

(1）所谓“会作已知角的平分线”，就是让学生通过探究角平分仪的原理,从而抽象概括出用尺规做角的平分线的作法；

(2）所谓“了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质”，就是让学生通过折纸归纳出角的平分线的性质，并能用三角形全等证明这个性质,体会用数学推理的方法证明猜想成立的必要性。

（3）所谓“会利用角的平分线的性质进行证明与计算”，就是通过变式训练,让学生会利用角的平分线的性质进行证明与计算.

2。过程与方法

所谓“在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力”， 就是在活动中，让学生通过自主探索、合作交流等方式,帮助学生积累数学活动的经验,发展有条理的思维及初步的演绎推理能力。

人教版角平分线性质定理及逆定理练习

一．选择题（共11小题）

1．（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）

3．（2010•柳州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）

A． 5cm B． 4cm C． 3cm D． 2cm

4．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）

A． 4 B． 3 C． 6 D． 5

5．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A． PA=PB B． PO平分∠APB C． OA=OB D． AB垂直平分OP

6．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）

A． 三条中线的交点 B． 三条高的交点

C． 三条边的垂直平分线的交点 D． 三条角平分线的交点

7．（2006•贵港）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=：，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）

A． 11 B． 5.5 C． 7 D． 3.5

A． 3：2 B． ： C． 2：3 D． ：

8．（2005•仙桃潜江江汉）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（ ）

A． 6 B． 4 C． 3 D． 2