角平分线的性质定理及其逆定理

角平分线的性质定理及其逆定理之宇文皓月创作

一、 基础概念

学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步调。

（1）角平分线的性质定理证明：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

推导过程：

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，

垂足分别为点A、点B．

求证：PA＝PB．

证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∵OC平分∠MON

∴∠1＝∠2

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO

∴PA＝PB

②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB．

（2）角平分线性质定理的逆定理：

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

推导过程

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：点P在∠MON的平分线上．

证明：连结OP 在Rt△PAO和Rt△PBO中，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）

∴∠1＝∠2

∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上．

②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

（3）角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

②实际生活中的应用．

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

（4）角平分线的尺规作图

活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线

观察下面用尺规作角的平分线的步调(如图)，思考这种作法的依据。

步调一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点。

由作图可知： OA = OB

步调二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C。

由作图可知： AC = BC

步调三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。

由作图可知：定理，可得≌

同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步调的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。

二、【典型例题】

例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不必三角形全等判定）． 图1-32FEDCBA图1-31EDCBA例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．

（1）学校距铁路的距离是多少？

（2）请写出学校所在位置的坐标．

例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不克不及，请说明理由．

练习一

一、填空题：

1.如图1-31，△ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分∠ABC交AD于E, EF⊥AB , 则AB = ，BF = ；

2.已知：如图1-32，在Rt△ABC中，∠C = 90°, AC = BC,

BD平分∠ABC交AC于D, DE⊥AB于E，若BC = 5, 则△DEC的周长为 .

二、选择题：

1.如图1-33，△ABC中，∠B = 42°, AD⊥BC于D，E是BD上一点，EF⊥AB于F，若ED = EF, 则∠AEC的度数为（ ）；

A. 60° B. 62° C. 64° D. 66°

2.给出下列命题：

① 垂直于同一条直线的两直线平行； 图1-33FEDCBA② 角平分线上的点到角两边的距离相等；

③ 三角形的三条角平分线相交于一点；

④ 全等三角形的面积相等；

其中原命题和逆命题都是真命题的共有（ ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.

4个

三、解答题：

如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线.

【综合练习】

已知：如图1-35，△ABC中，AB = 2AC, AD平分∠BAC，且AD

= BD. 求证：DC⊥AC.

例题答案

例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不必三角形全等判定）．

证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），

∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．

又∵AC＝AC′（已知），

∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，

∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．

即∠BAC＝∠BAC′，

∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，

∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． ABCDEF图1-34ABCD图1-35例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

解：AD平分∠BAC．

∵D到PE的距离与到PF的距离相等，

∴点D在∠EPF的平分线上．

∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．

同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．

例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

解：AP平分∠BAC．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，而且这一点到三边的距离相等．

理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．

∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．

同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．

（1）学校距铁路的距离是多少？

（2）请写出学校所在位置的坐标．

解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，

∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，

又∵点P到公路的距离是400m，

∴点P（学校）到铁路的距离是400m．

（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．

评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．

例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不克不及，请说明理由．

解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE．

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．

∴AC＝AE．

又∵AC＝BC，∴AE＝BC．

∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．

1.4 角平分线

练习一

【基础练习】 一、1. AC, BD； 2. 52. 二、1. D； 2. A. 三、提示：证AF = EF.

【综合练习】提示：作DE⊥AB, 证△ADC≌△ADE.