角平分线的性质定理及其逆定理
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角平分线得性质定理及其逆定理
学习目标:掌握角平分线得性质；4^理及幷逆圧理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明
步骤。
(1)角平分线得性质定理证明：
角平分线得性质竝里角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时，将用到三角形全等得判宦公理得推论：
推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等-(AAS)
推导过程：
已知:OC平分ZMON.P就是OC上任意一点FA丄OM.PB丄ON, 垂足分別为点A、点B.
求证:PA=PB・
证明:•••PA 丄 0 M.PB 丄 ON
A ZPAO=ZPBO=90°
TOC 平分ZMON
AZ1 = Z2
在△PAO *jAPBO 中.
•'•△PAOMPBO
APA=PB
②几何表达角得平分线上得点到角得两边得距离相等)
如图所示J・OP平分ZMON(Zl = Z2)・PAdOM・PBdON, •'•PA=PB.
(2)角平分线性质定理得逆定理：
到一个角得两边距离相等得点■在这个角得平分线上。
推导过程
已知:点P就是ZMON内一点,PA丄OM P A.PB丄ON于B但PA=PB・ 求证:点P在ZMON得平分线上.
证明:连结OP
在 RtAPAO 与 R1APBO 中.
RtAPAO^RtAPBO(HL)
AZ1 = Z2
A OP 平分 ZMON
即点P在ZMON得平分线上.
②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上・)
如图所示,TPA丄OM.PB丄0 N・PA=PB
••• Z1 = Z2{0P 平分 ZMON)
(3)角平分线性质及判定得应用
① 为推导线段相等、角相等提供依据与思路：
② 实际生活中得应用.
例:一个工厂，在公路西侧•到公路得距离与到河岸得距离相等，并且到河上公路桥头得距离为300米•在
观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图)，思考这种作法得依据。
A,B两点。
由作图可知：OA = OB
步骤二:分别以点A.B为圆心■以固定长(大于AB长得一半)为半径 画弧，两弧交于点C。
由作图可知：AC = BC
步骤三:作射线OC•则OC就就是ZAOB得平分线。 N
(4)角平分线得尺规作图
活动三:观察与思考：尺规作角得平分线 由作图可知: _____ 定理,可得.
同学们，讨论交流一下，您能说出作图得每一步骤得依据就是什么吗？试用证明得方法说 出作图得正确性。
二、【典型例题】
例 1、已知:如图所示,ZC=ZC' =90° ,AC=AC'.
求证:(1)ZABC=ZABC';
(2)BC = BC'(要求:不用三角形全等判定).
例2. 如图所示启知ZiABC中.PE#AB交BC于ETF//AC交BC于EP就是AD上一点. 且D点到PE得距离与到PF得距离相等，判断AD就是否平分ZBAC.并说明理山.
例3、如图所示■已知△ABC得角平分线BM,CN相交于点R那么AP能否平分ZBAC?请 说明理山•山此题您能得到一个什么结论？
例4、如图所示得就是互相垂直得一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角得平分线上得
P点处,距公路400m,a分别以公路、铁路所在直线为X轴、y轴建立平面直角坐标系.
(1) 学校距铁路得距离就是多少？
(2) 请写出学校所在位置得坐标.
例5、如图所示，在△ABC中,ZC = 90" ,AC = BC・DA平分ZCAB交BC于D问能否在AB 上确定一点E使△BDE得周长等于AB得长？若能，请作出点E,并给出证明;若不能，请说明理 山•
练习一
一、 填空题：
1、 如1-3LAABC中就是BC得垂直平分线J5E平分ZABC交AD于EEF丄AB.则
AB= _______ ・BF= _____ ;
2、 已知:如图 1・32,在 RtAABC 中,Z C = 90° • AC = BC. BD 平分 ZABC 交 AC 于
DDE 丄 AB
于E若BC = 5,则△/）£（：得周长为 ______ 、
二、 选择题：
1、如图 1-33.A4BC
BD 度
A、
64° A
E 上一点.EF丄
数为R
60- D
D 66。图卜"
2、给出下列命题：
①
②
③
④ 垂宜于同一条直线得两直线平行;
三角形得三条角平分线相交于一点； 全等三角形得面积相等：
其中原命题与逆命题都就是真命题得共有（ ）
A. 1个 B、2个 C. 3个
三、解答题：
如图1・34,已知:ZVIBC中,ZBAC = 90° .AD丄BC于DAE平分ZD4C£F2BC交AC于F,连接BF、求 证:就是ZABC得平分线、
【综合练习】
已知:如图1・35・Z\ABC中SB = 24C AD平分ZBAC
证:DC丄AC、 D、 4个
例题答案 图Z4
例 1、已知:如图所示,ZC=ZC' =90° ,AC=AC'. 求证:（1）ZABC=ZABC';
⑵BC = BC^ （要求:不用三角形全等判定）.
G
证明:（1）TZC=ZC' =90° （S知），
/.AC丄BC,AC'丄BC'（垂直得定义）.
乂 TAC=AC（已知）， •:点A在ZCBU得角平分线上(到角得两边距离相等得点在这个角得平分线上).
AZABC=ZABC\
(2)V ZC=ZC\ZABC= ZABC；
「•180° -(ZC+ZABC)=180° -(ZU+ZABU)(三角形内角与定理).
即 ZBAC=ZBAC\
VAC 丄 BC,AC'丄 BC；
二BC=EU(角平分线上得点到这个角两边得距离相等).
例2. 如图所示，已知△ABC中,PE〃AB交BC于E,PF〃 AC交BC于EP就是AD上一 点但D点到PE得距离与到PF得距离相等■判断AD就是否平分ZBAC并说明理山.
解:AD平分ZBAC.
VD到PE得距离与到PF得距离相等，
二点D在ZEPF得平分线上.
AZ1 = Z2.
乂 TPE〃AB,・：Z1 = Z3.
同理,Z2=Z4.
.•.Z3 = Z4,/.AD 平分ZBAC.
例3、如图所示，已知△ABC得角平分线相交于点R那么AP能否平分ZBAC?请 说明理山•山此题您能得到一个什么结论？
解:AP平分ZBAC.
结论:三角形得三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边得距离相等. 理山:过点P分别作BCAC.AB得垂线■垂足分别就是E、F、D.
VBM就是ZABC得角平分线且点P在BM上・
/.PD = PE(角平分线上得点到角得两边得距离相等).
同理 PF=PE：・PD = PE
•••AP平分ZBAC(到角得两边得距离相等得点在这个角得平分线上).
例4、如图所示得就是互相垂直得一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角得平分线上得
P点处•距公路400g现分别以公路、铁路所在直线为X轴、y轴建立平面直角坐标系.
(1) 学校距铁路得距离就是多少？
(2) 请写出学校所在位置得坐标.
解•点P在公路与铁路所夹角得平分线上，
二点P到公路得距离与它到铁路得距离相等， 乂T点P到公路得距离就是400m.
「•点P(学校)到铁路得距离就是400m.
(2)学校所在位置得坐标就是(400,-400).
评析:角平分线得性质得作用就是通过角相等再结合垂直证明线段相等.
例5、如图所示，在△ABC中,ZC = 90" ,AC = BC.DA平分ZCAB交BC于D问能否在AB 上确定一点E使△BDE得周长等于AB得长？若能■请作出点E并给出证明;若不能■请说明理
ill.
解:能•过点D作DE丄AB于巳则^BDE得周长等于AB得长•理山如下： TAD 平分ZCAB.DC丄ACQE丄AB,
.•.DC = DE.
在 RtAACD 'j RtAAED 中,，
/. RtAACD^RtAAED(HL).
「•AC = AE・
乂 '.•AC = BC,/.AE=BC.
「•△BDE 得周长=BD + DE+BE=BD + DC + BE=BC+BE=AE+BE=AB.
1、4角平分线
练习一
【基础练习】1、AC・BD:2、571、 二、1、D:2、
【综合练习】提示:作DE丄AB.证△ADC A、 三、提示:证AF = EF、
