工程力学基础第9章 圆轴和梁的强度分析

材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算

在工程结构中，梁是一种常见的构件，其在承受载荷时会发生弯曲变形。而梁的挠度和刚度计算是材料力学中的重要内容，对于确保梁的正常工作和结构的安全性具有至关重要的意义。

首先，我们来理解一下什么是梁的挠度。简单来说，梁的挠度就是梁在受力作用下，横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。想象一下一根水平放置的梁，在受到垂直向下的力时，它会向下弯曲，这个弯曲的程度就是挠度。

那么为什么要计算梁的挠度呢？这是因为过大的挠度可能会影响梁的正常使用功能。比如，在桥梁结构中，如果梁的挠度过大，可能会导致桥面不平整，影响车辆行驶的舒适性和安全性；在机械零件中，过大的挠度可能会导致零件之间的配合出现问题，影响机器的正常运转。

接下来，我们谈谈梁的刚度。梁的刚度是指梁抵抗变形的能力。刚度越大，梁在相同载荷作用下产生的挠度就越小。刚度与梁的材料特性（如弹性模量）、截面形状和尺寸以及梁的支撑方式等因素有关。

在计算梁的挠度时，通常需要运用一些基本的力学原理和公式。比如，对于简单的静定梁，可以使用积分法或叠加法来求解挠度和转角方程。 积分法的基本思路是根据梁的弯曲微分方程，通过两次积分得到挠度和转角的表达式。这个过程需要对梁的受力情况进行详细的分析，确定弯矩方程，然后进行积分运算。

叠加法则是基于线性叠加原理。如果梁同时受到多个载荷的作用，可以先分别计算每个载荷单独作用时梁的挠度和转角，然后将这些结果进行叠加，得到最终的挠度和转角。

然而，实际工程中的梁往往比较复杂，可能是超静定梁，或者具有变截面、非均布载荷等情况。对于这些复杂的梁，我们可能需要借助更高级的力学方法，如力法、位移法或者有限元法来进行分析。

在进行梁的挠度和刚度计算时，还需要考虑一些实际因素。例如，材料的非线性特性在某些情况下不能忽略。当梁所承受的载荷较大时，材料可能会进入塑性阶段，此时弹性模量不再是一个常数，需要采用相应的塑性力学理论进行分析。

梁的应力和强度计算

1.梁的基本假设

梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。

2.梁的受力分析

在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。

2.1弯曲

弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。

2.2剪切

剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。

2.3轴向拉压

轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。

3.梁的应力分析

根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。 3.1黄金区和非黄金区判断

黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。

3.2应力分布计算

根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。

4.梁的强度设计

梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。

总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。

1 第九章 应力、应变分析、强度理论

一、是非题

9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。（ ）

9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。（ ）

9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。（ ）

9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。（ ）

9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。（

）

9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。（ ）

9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。（ ）

9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。（ ）

9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx>σy>σz，则对应的三个线应变也有εx>εy>εz 。（ ）

9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，

若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）

（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）

（3）、当ε1>ε2>0，则21max12E。（ ）

9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。（ ）

二、选择题

9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x轴至σ1方向的夹角为（ ）。

A、＋13.5°；B、－76.5°；C、＋76.5°；D、－13.5°。

9-13、 若已知σ1=5MPa，则另一个主应力为（ ）。

A、σ2=－85MPa； B、σ3=－85MPa； C、σ2=75MPa； D、σ3=－75MPa。

9-14、 三种应力状态分别如图9-2a、b、c所示，则三者间的关系为（ ）。

A、完全等价； B、完全不等价； C、（b）和（c）等价； D、（a）和（c）等价。

第9章 强度理论及组合变形

概述

如图9-1所示的各种处于复杂应力状态的点，当单元体微分面上的正应力满足正应力强度条件][i，同时切应力满足切应力强度条件][ij时，依然不能判别其在强度上是否安全。那么它们在什么情况下安全？又在什么情况下危险？本章的强度理论部分就要回答这个问题。

材料力学主要研究杆件以及杆件结构系统在外力作用下的强度，刚度和稳定性问题，而材料力学最复杂的问题是杆件的组合变形问题，最一般的组合变形杆件危险点的应力状态通常是复杂应力状态，如图9-2所示。因此，本章强度理论的诸多结论主要用于组合变形杆件的强度计算和设计，所以，本章组合变形部分主要研究杆件各种组合变形情况下的强度计算。

9.1 强度理论概念

根据材料力学的强度观点，构件在强度方面的安全性实质上可考察构件中的危险点是否安全，若危险点安全，则整个构件也安全；若危险点不安全，则整个构件就不安全。假设构件中A点是最危险的点，问题：当A点处于任意应力状态时，亦即A点的应力状态可以是简单应力状态，也可以是复杂应力状态，那么该点在什么情况下强度是安全的？又在什么情况下强度是不安全的？如何判断？

如果A点的应力状态是简单应力状态，如图9-3所示。那么可以根据强度条件：

][ ][ （9-1）

判别A点的安全性。如果危险点是单向应力状态，则是A点处的最大正应力(图9-3(a))；如果危险点是纯剪应力状态，则是A点处的最大切应力(图9-3(b))。从而也就知道杆件在强度上是否安全。

][是材料的许用正应力；][是材料的许用切应力。大量事实说明，工程材料的破坏形式图9-1 复杂应力状态 yxzxyxzyxyzzxzyxyxy(a) (b (c)

ABFMm图9-2 组合变形危险点的应力状态 

主要有两种，一是脆性断裂，二是塑性屈服，脆性断裂的极限应力为强度极限)(bb，而塑性屈服的极限应力为屈服应力)(ss，考虑到诸多偶然因素的影响（如材料缺陷，加工误差，实际工作环境，载荷非理想化等等），所以通常将极限应力除以一个适当的安全系数1n，这样就得到材料的许用正应力][和许用切应力][。