第5章 实验四Lagrange插值多项式
实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。
5.1 Lagrange插值多项式
Lagrange插值多项式的表达式：
1,,2,1,)()()(,)()(1111nixxxxxlxlyxLnijjjijiniii。
其中)(xli被称为插值基函数，实际上是一个n次多项式。)(xli的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。
5.2 Lagrange插值多项式源代码I
% 功能： 对一组数据做Lagrange插值
% 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)
% x,y 数组形式的数据表
% xi:待计算y值的横坐标数组
% yi用Lagrange 插值算出的y值数组
function fi=Lagran_(x,f,xi)
fi=zeros(size(xi));
np1=length(f);
for i=1:np1
z=ones(size(xi));
for j=1:np1
if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end
end
fi=fi+z*f(i);
end
return
例5.1 已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。
解：4个数据点的Lagrange插值公式为：
计算方法第5章插值
插值与拟合5.1插值的基本概念
设y = f (x)在某些离散点上的函数值, 或函数y = f (x)以表格形式给出:
x y
x0 y0
x1 y1
x2 xn y2 yn
(5.1)
插值问题： 根据已知数据,构造函数y = f (x)的一种简单的近似表达式 P(x),以便于计算点 x xi 的函数值 f ( x ) , 或计算函数的导数值。
用简单的函数y=P(x)来近似地表示 y=f(x), 使得:
p( xi ) = f ( xi ) (i=0,1,2,。,n)
(5.1)
称P(x)为插值函数， 称f(x)为被插值函数, 称xi为插值节点,
称式(5.1)为插值条件.
选P(x)为n次多项式 Pn(x)作为 f (x) 的近似,且使得
Pn ( xi ) yi ,设 x0 x1 。 xn
i 0, 1, 2, , n (5.2)
满足关系(5.2)的函数Pn(x)为f (x)的n次插值多项式.
记 a = x0, b = xn,则 [a, b] 为插值区间。 5.1.2
插值多项式的存在唯一性
三个问题: (1)满足插值条件的多项式是否存在? 是否唯一?
(2)用 pn ( x) 表示f(x)的误差是多少? (3)怎样求出 pn ( x) ?
定理1: 插值多项式Pn(x)存在且唯一. 证:设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：n 1 a0 x0 a1 x0 an y0 n 1 a0 x1a1
x1 an y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0
插值的概念和各种基本方法
插值是一种基于已知数据点的函数关系来估计未知数据点的方法。在实际应用中，由于各种原因，我们经常只能通过有限的数据点来描述一个函数关系，而无法得到函数的精确表达式。因此，通过插值方法，我们可以根据已知数据点推断出未知数据点的值，从而进行进一步的分析和预测。
插值的基本方法可以分为两类：多项式插值和非多项式插值。
1.多项式插值方法
多项式插值是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且在插值区间内的其他位置也能够比较好地拟合实际数据。常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是利用拉格朗日多项式来进行插值的方法。给定 n+1 个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值函数可以表示为：
L(x) = Σ(yi * li(x))
其中，li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，i ≠ j，函数 L(x)即为插值函数。
-牛顿插值：牛顿插值是通过对已知数据点进行差商运算来构造插值多项式的方法。牛顿插值多项式可以表示为：
N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)
* ... * (x - xi-1))
其中，f[x0, x1, ..., xi]表示 x0, x1, ..., xi 对应的差商。 2.非多项式插值方法
非多项式插值方法是通过其他函数形式进行插值的方法，常用的非多项式插值方法包括分段线性插值和样条插值。
-分段线性插值：分段线性插值是将插值区间划分为多个小区间，然后在每个小区间内用线性函数来逼近实际数据。具体地，给定相邻的两个已知数据点(x0,y0)和(x1,y1)，分段线性插值函数可以表示为：
L(x)=(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)+y0
-样条插值：样条插值是利用分段多项式函数来进行插值的方法。样条插值在每个小区间内使用不同的多项式函数来逼近实际数据，从而能够比分段线性插值获得更好的拟合效果。通常，样条插值函数要求在相邻区间之间具有一定的光滑性，最常见的样条插值方法是三次样条插值。
- 1 - 拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法是通过构造一个多项式函数来逼近原函数的一种方法。它的基本思想是，给定一个函数在不同点上的取值，通过构造一个多项式函数，使其在这些点上与原函数取值相同，从而得到一个逼近函数。具体地，拉格朗日多项式插值法的步骤如下：
1. 给定一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，其中$x_i$为自变量，$y_i$为因变量。
2. 构造拉格朗日基函数$L_i(x)$，定义为：
$$L_i(x)=prod_{j=1,j
eq i}^nfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
其中，$i=1,2,...,n$。这里的基函数$L_i(x)$可以看作是在每个数据点处都为1，而在其他点处都为0的一个函数，具有良好的插值性质。
3. 构造拉格朗日插值多项式$p(x)$，定义为：
$$p(x)=sum_{i=1}^n y_iL_i(x)$$
这个多项式函数就是通过拉格朗日基函数和数据点的取值所构造出来的逼近函数，它在每个数据点处都与原函数取值相同。
4. 利用插值多项式$p(x)$进行求解。
拉格朗日多项式插值法是一种简单而有效的插值方法，它可以用于求解函数值、导数、积分等问题，并被广泛应用于科学、工程等领域。
