新高考新教材一轮复习人教B版 第九章 第三节 随机事件的概率与古典概型 学案

2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版） 随机事件的概率与古典概型一．【课标要求】1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

二．【命题走向】本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性.预测2019年高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主.三．【要点精讲】1．随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A+A ）=P （A ）+P （A ）=1。

第九章 概 率第一节随机事件的概率对应学生用书P141基础盘查一 随机事件及概率 (一)循纲忆知1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性． 2．了解概率的意义及频率与概率的区别． (二)小题查验 1．判断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件( ) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不可能事件( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)不可能事件就是一定不能发生的事件( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．(人教B 版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________． 答案：0.903．(2015·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：29基础盘查二 事件关系与运算 (一)循纲忆知了解两个互斥事件的概率加法公式：当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(二)小题查验1．判断正误(1)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件(2)一个人打靶时连续射击出两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“至多有一次中靶”()(3)事件A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)<1()(4)事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．(人教A版教材例题改编)如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________．答案：12.3．(2015·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．答案：78对应学生用书P141考点一随机事件的关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．互斥事件若A∩B为不可能事件(记作：A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．2．对立事件若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．[提醒]“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[题组练透]1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：(1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数；(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数；(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A ．(1) B ．(2)(4) C ．(3)D ．(1)(3)解析：选C (3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．易知其余都不是对立事件．2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． 3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( ) A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.[类题通法]利用集合方法判断互斥事件与对立事件1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．考点二 随机事件的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．[典题例析](2014·陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.[类题通法]求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图法．[演练冲关]假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.考点三 互斥事件与对立事件的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．互斥事件的概率加法公式如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 2．对立事件概率公式若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．A 的对立事件记为A ，当计算事件A 的概率P (A )比较困难时，可通过P (A )＝1－P (A )计算．[典题例析]根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3， 又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2.[类题通法]求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．[演练冲关]现有7名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解：(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一事件．从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为： (A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本事件：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 因而P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{}(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，所以事件N 由两个基本事件组成，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.对应A 本课时跟踪检测(五十五)一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23D.23，12解析：选C “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.或设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23. 6．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 二、填空题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．解析：法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D ，由题意知事件A ，B ，C 彼此互斥，而事件D 包含事件A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件D ，由题意知C 与D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.答案：0.98．(2015·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：79．某城市2014年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T 150时，空气质量为轻微污染，则该城市2014年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2014年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3510．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．解析：由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．答案：9 三、解答题11．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记事件A 为“取出的两个球都是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球都是黑球”为事件B ，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.12．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.第二节古典概型对应学生用书P143基础盘查一古典概型(一)循纲忆知1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(二)小题查验1．判断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为card(A)()card(I)答案：(1)×(2)×(3)√2．(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是________．答案：23243．(2015·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________． 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2015·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案：19对应学生用书P144考点一 古典概型(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[提醒](1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性； (2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关．[题组练透]1．(2015·浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选C 基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.2．(2015·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析：选C 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是36＝12，故选C.3．(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率． 解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步骤步骤一：算出基本事件的总个数n ；步骤二：求出事件A 所包含的基本事件个数m ； 步骤三：代入公式求出概率P .考点二 古典概型的交汇命题(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.归纳起来常见的交汇命题角度有： (1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合； (4)古典概型与统计相结合.角度一：古典概型与平面向量相结合1．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{}－1，1，3，y 随机选自集合{}1，3，9. (1)求a ∥b 的概率； (2)求a ⊥b 的概率．解：由题意，得(x ，y )所有的基本事件为(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．(1)设“a ∥b ”为事件A ，则xy ＝－3. 事件A 包含的基本事件有(－1,3)，共1个． 故a ∥b 的概率为P (A )＝19.(2)设“a ⊥b ”为事件B ，则y ＝3x .事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个． 故a ⊥b 的概率为P (B )＝29.角度二：古典概型与直线、圆相结合2．(2015·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712角度三：古典概型与函数相结合3．设a ∈{}2，4，b ∈{}1，3，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间 ] －∞，－1上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.角度四：古典概型与统计相结合4．(2015·洛阳统考)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[)50，100，第二组[)100，150，第三组[)150，200，第四组[)200，250，第五组[)250，300，第六组[]300，350，相应的样本频率分布直方图如图所示：(1)求频率分布直方图中的x 的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个拔尖工的概率．解：(1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x ＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1， 解得x ＝0.006 0.(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人．抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工为4人． 可设拔尖工为A 1，A 2，熟练工为B 1，B 2，B 3，B 4.则从样本中任抽2个的可能有：A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种，至少有一个是拔尖工的可能有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，共9种． 故至少有一个拔尖工的概率是915＝35.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．对应B 本课时跟踪检测(五十六)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2015·浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12 B.13 C.23D.34解析：选B 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.2．(2015·武汉调研)同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( ) A.118 B.112 C.19D.16解析：选C 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝19.3．(2015·合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712解析：选A 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A. 4.(2015·威海一模)从集合{}2，3，4，5中随机抽取一个数a ，从集合{}1，3，5中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 A.16 B.13 C.14D.12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个， 故所求的概率为16.5．(2015·亳州质检)已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}(a ，b )|a ∈M ，b ∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由所求的概率为416＝14.6．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )A.16 B.13 C ．1－π12D ．1－π6解析：选A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点有：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.二、填空题7．(2015·浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25.答案：258.(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：依题意，记题中的被污损数字为x ，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P ＝310＝0.3.答案：0.39．(2015·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.答案：51210．设集合P ＝{}－2，－1，0，1，2，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． 解析：以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{}－1，1，0，用列表法或坐标法可知满足x ∈{}－1，1，0且y ∈{}－1，1，0的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.答案：925三、解答题11．(2014·福建高考)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035 美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085 美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616 美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616 美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为1a(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝310.12．(2015·绵阳诊断)据《中国新闻网》报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的。

《随机事件的概率与古典概型》学案课前准备 【考纲要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式． 3．理解古典概型及其概率计算公式． 【知识梳理】 12（1）在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数An 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率． （2）对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率()n f A 来估计概率()P A ． 34（1）古典概型的两个特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相同． （2）古典概型的概率公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．1．一定会发生，一定不会发生，可能发生也可能不发生．【基础自测】1．（2018新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】10.450.150.4P =--=． 2．（2019滨州质检）从甲、乙、丙3人任选2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】D3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ） A ．65 B ．52 C ．61 D ．31【答案】A【解析】甲不输的概率为115236+=． 4．（2019山西联考）从集合{}1,3,5,7,9A =和集合{}2,4,6,8B =中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（ ） A ．13 B ．15 C ．25 D ．310【答案】D【解析】所有情况有5420⨯=种．满足条件的情况有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4)，共6种， ∴所求的概率632010P ==．课堂互动 【典例剖析】考点一 随机事件的频率与概率 【例1】在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（ ） A ．49 B ．0.5 C ．0.51 D ．0.49 【答案】C【解析】由题意,根据事件发生的频率的定义可知, “正面朝上”的频率为510.51100=. 【方法技巧】概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．【变式】在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（ ） A ．310 B ．58 C ．710 D ．25【答案】A【解析】从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)， ∴选出的火炬手的编号相连的概率为310P =. 考点二 互斥事件、对立事件的概率【例2】(2019衡阳模拟) 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =，()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．3 【答案】C【方法技巧】求复杂事件的概率的两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率． 【变式】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（ ） A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡 D ．至少有一张移动卡【答案】A【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.考点三 古典概型命题点1 简单的古典概型 【例3】（2018新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】不超过30的素数为：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个． 随机选取两个不同的数共有45种情况，其中和等于30的有：(7,23),(13,17),(11,19)，3种情况． ∴其和等于30的概率314515P ==． 【方法技巧】求简单古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n ；(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m ；(3)代入公式()mP A n=，求出()P A ． 【变式】(2018深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12 B ．14 C ．13 D ．16【答案】B【解析】两人分书的基本情况有：(0,3)，(1,2)a ，(1,2)b ，(1,2)c ，(2,1)a ，(2,1)b ，(2,1)c ，(3,0)，共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的情况有2种，故概率2184P ==． 命题点2 古典概型的交汇命题【例4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310 B ．15 C ．110 D ．120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，这3个数构成一组勾股数为(3,4,5)，共1个， ∴所求的概率是110P =． 【方法技巧】解决古典概型交汇命题的关注点解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．【变式】(2019洛阳质检)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________．【答案】712【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(,)a b 有，(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种．其中满足直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点，≤，22a b ≤的数组(,)a b 有，(1,1)，(1,2)，(1,3) ，(1,4)，…，(6,6)，共65432121+++++=种， 因此所求的概率等于2173612=. 命题点3 复杂的古典概型【例5】一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．【解析】 (1) 无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，总数为26⨯个．两张标签上的数字为相邻整数基本事件为(1,2)，(2,3)，(3,4)，总数为23⨯个．∴61122P ==． (2) 有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)和(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，总数为26416⨯+=个．两张标签上的数字为相邻整数基本事件为(1,2)，(2,3)，(3,4)，总数为23⨯个．63168P ==． 【方法技巧】在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例，设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法．(1)有放回每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去．(2)无放回每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．【变式】（2019黄山质检）编号分别为1216,,,A A A L 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人． (ⅰ)用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这2人得分之和大于50的概率． 【解析】(1) 4,6,6．(2)(ⅰ)得分在区间[)20,30内的运动员编号为3A ，4A ，5A ，10A ，11A ，13A ．从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有34{}A A ,，35{}A A ,，35{}A A ,，311{}A A ,，313{}A A ,，45{}A A ,，410{}A A ,，411{}A A ,，413{}A A ,，510{}A A ,，511{}A A ,，513{}A A ,，1011{}A A ,，1013{}A A ,，1113{}A A ,，共15种．(ⅱ)“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， 这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有45{}A A ,，410{}A A ,，411{}A A ,，510{}A A ,，1011{}A A ,，共5种．∴51()153P B ==．【课时作业】1．（2019郴州二测）甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是（ ） A ．1 B ．16 C ．12 D ．13【答案】D 【解析】2163P ==． 2．（2019肇庆质检）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】B【解析】两位数为12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12种情况，满足条件的数13，31，24，42，故所求的概率41123P ==． 3．（2018新课标Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】2名男同学，记为12,A A ，3名女同学，记为123,,B B B ．从这5人中任中任选2人的基本事件有：12111213(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，共10种．2人都是女同学的事件有：12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，共3种．∴选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==． 4．（2019深圳质检）一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x 、y 、z ，当且仅当y x >，y z >时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{1,2,3,4}中取出三个不同的三个数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A ．23 B ．13 C ．16 D ．112【答案】B【解析】从{1,2,3,4}中任取3组成的三位数有24个， 其中三位数是“凸数的有8个，∴所求的概率是81243P ==．5．（2018江苏高考）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【答案】3 10【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3 10．6．（2019海南八校）从某班5位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为710,则在这5位老师中,女老师有_______人．【答案】2【解析】假设女老师有1人，则女老师被选中的概率为410，不合题意．假设女老师有2人，通过列举便知有女老师被选中的概率为7 10．7．（2018天津高考）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A B C D E F G,,,,,,表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解析】由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ⅱ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．∴事件M发生的概率为5 ()21 P M ．8．（2019雅礼中学）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分． 两人4局的得分情况如下：（1）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求y x +的值；（2）如果6,10x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为,a b ，求a b ≥的概率．【解析】（1）由题意得79669944x y ++++++>，即14x y +>． ∵在乙的4局比赛中随机选取1局时， 此局得分小于6分的概率不为零， ∴,x y 至少有一个小于6， ∵10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， ∴15x y +≤，∴15x y +=．（2）设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a b ≥”为事件M ， 记甲的4局比赛为1234,,,A A A A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1234,,,B B B B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11()A B ，12()A B ，13()A B ，14()A B ，21()A B ，22()A B ，23()A B ，24()A B ，31()A B ，32()A B ，33()A B ，34()A B ，41()A B ，42()A B ，43()A B ，44()A B .而事件M 的结果有8种，它们是：13()A B ，23()A B ，31()A B ，32()A B ，33()A B ，41()A B ，42()A B ，43()A B ， 因此事件M 的概81()162P M ==．。

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座2019随机事件的概率与古典概型一．课标要求：1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

二．命题走向本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。

预测07年高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。

三．要点精讲1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。

2019-2020年高考数学一轮复习随机事件的概率与古典概型教学案一、考点要求：学习目标：了解随机事件与概率；理解古典概型；理解互斥事件的概率；能熟练掌握用穷举法解古典概型问题。

二、知识要点：2．古典概型：（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果；（2）等可能基本事件：若在一次实验中，每个基本事件发生的 相同；（3）具有以下两个特点：① ；② ， 称这样的随机试验的概率模型为古典概型。

（4）如果一次实验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 。

若果某个事件A 包含了其中m 各等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为 3．互斥事件：（1） 的两个事件叫做互斥事件； 的互斥事件叫做对立事件． （2）从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 ．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． （3）由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A 、B 是两个事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 或B 中 就表示A+B 发生．我们称事件A+B 为事件A 、B 的和．它可以推广如下：“12A A A n+++”表示这样一个事件，在同一试验中，,,,12A A A n中 即表示12A A A n+++发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．（4）如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．（5）由于A A +是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B)，故1P(A A )P (A )P (A )+=+=，于是P( A)= ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．三、课前热身：1. 下列说法正确的是_________（1）某事件发生的频率为P （A ）=1.1；（2）不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；（3）小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件；（4）某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的。