正方体的几种截面

正方体截面的形状tf O结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。

若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：1•正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2. 矩形:因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

》》》其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下:由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3. 平行四边形:当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下:由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4. 三角形:根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下:》得到: 正三棱锥5. 猜想之外的截面形状:(1)菱形:女口下图所示，f A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形:当(2)梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形:(4 )六边形：如图所示，可以截得六边形截面:==》》》(3 )五边形：如图所示，可以截得五边形截面:通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。

但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。

正方体的截面问题作者：陈斌来源：《读与写·教师版》2018年第12期摘要：近几年高考全国数学试卷涉及正方体的截面问题的试题，本文就正方体的截面形状及性质进行了归纳整理，并对几道高考试题提出了解法。

关键词：高考;理数;正方体;截面中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）12-0237-01正方体的截面就是用一个平面去截正方体，正方体的表面与这个平面的交线围成的平面图形。

1.正方体的截面形状正方体的截面可以是三角形，四边形，五边形或六边形，具体说：（1）截面三角形一定是锐角三角形;其中可以是等边三角形、等腰三角形、不等边三角形;但不能是直角三角形、钝角三角形;（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;并且四边形中至少有一组对边平行;截面不能是直角梯形;（3）截面可以是五边形;截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形（因为必有两组对边平行）;（4）截面可以是六边形;截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等;截面六边形可以是等角（均为1200）的六边形，特别地，可以是正六边形。

2.正方体的截角面的性质所谓正方体的截角面就是沿正方体的某三个顶点截去它的一个角后的三角形截面。

如右图中的△A'BD。

（1）每个正方体都有八个截角面;（2）正方体的截角面垂直于它的一条体对角线，垂足是这条体对角线的一个三等分点。

（3）正方体的截角面与它的12条棱所成的角相等，也与它的六个面所成角相等。

由于截去的是正三棱锥，结合线面平行或面面平行的有关性质容易证明上述结论。

3.有关试题解法浅析（1）把正方体截去一个角，求证：截面三角形是锐角三角形。

分析：如图，应该从截去的部分入手，关注被截去棱的部分长AE、AF，AG对△EFG形状的影响。

解答：如图，设AE=a，AF=b，AG=c，则所以所以∠EFG所以为锐角;同理∠FGE，∠GEF都为锐角;故ΔEFG为锐角三角形。

正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。

若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面不能是直角梯形；
⑤截面可以是五边形；截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形；
⑥截面可以是六边形；截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等；
⑦截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形，特别地可以是正六边形．
对应截面图形如下图中各图形所示．。

正方体的截面
作者：刘思武
来源：《初中生世界·七年级》2018年第12期
研究立体图形的时候，我们有时考虑截一个立体图形，研究截面的形状.本文通过研究正方体的截面来探究几何体截面的规律.
正方体的截面可以分为以下几种：
截面是三角形：如图1为锐角三角形，图2为等腰三角形，图3为等边三角形；
截面是四边形：如圖4为任意四边形，图5为等腰梯形，图6为长方形，图7为正方形；
截面是五边形：图8为任意五边形；
截面为六边形：图9为普通六边形，图10为正六边形.
（作者单位：南京外国语学校仙林分校燕子矶校区）。

1.3截一个几何体新知概览：知识要点课标要求中考考点用平面去截几何体所得截面的形状探索并理解几何体的截面形状。

截面的定义（掌握）几种常见几何体的截面掌握几种常见几何体的截面。

判断一个几何体的截面(应用)本节重、难点1.重点：截面的定义和形状．2.难点：利用截面解决实际问题．知识全解知识点1截面（1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．（2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.知识警示：（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．知识拓展正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．知识方法：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．知识点2几种常见几何体的截面（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．图1-3-1A图1-3-2B C D（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.知识警示： (1) 用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形.(2) 用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆.【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ）思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．图1-3-5图1-3-4 图1-3-6。

结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。

若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。