经济管理数学模型案例教程(总)

经济管理中数学模型案例分析摘要在研究经济管理学的过程中，理清每个研究对象间的定性关系的同时，不仅要探明其间的相互作用外，而且还要研究现象与现象之间的数量关系，预测其发展趋势，这就需要应用数学模型。

数学模型随着科技的发展和社会的进步在经济管理中的应用越来越广泛，作用与效果更是与日俱增。

在此，从案例中，通过提出问题、简化问题、模型建构、模型验证、模型改进、模型应用等方法进行分析，并运用MATLAB软件、指数分布、泊松分布等数学方法进行计算。

关键词：提出问题模型建构模型求解应用定性关系 MATLAB 指数分布泊松分布AbstractIn the process of economic management research, in addition to the need to clarify each qualitative relationship between the object of study, has proven the intervening interactions, and quantitative relation between the phenomena of the research, predict the development trend, this would require the application of mathematical model. With the development of science and technology and the progress of the society, the mathematical model in economic management, the application of more and more extensive, effect is more and more big, the effect is increasingly significant. Here, from the case, through the proposed problem, simplify the problem, model construction, model validation, model improvement and application of model method is analyzed, and using MATLAB software, the exponential distribution, poisson distribution and other mathematical method to calculate..Key words: Put forward modeling model to solve the problem The relationship between application MATLAB Exponential distribution Poisson distribution目录摘要 (II)Abstract (III)第一章绪论 (1)1.2 数学模型的含义 (1)1.2 数学经济模型及其重要性 (1)1.3 经济管理中数学建模的步骤 (1)第二章经济管理中数学模型的案例分析 (3)2.1 飞机起飞的排队模型 (3)（一）问题的提出 (3)（二）模型的建构 (3)（三）费用矩阵C的生成 (4)（四）模型的求解和应用 (5)2.2 大型购物超市购物者付款排队系统优化模型 (6)（一）问题的提出 (6)（二）模型的建构 (6)（三）模型的求解与应用 (8)第三章结论 (10)致谢 (11)参考文献 (12)原创性声明 (13)论文使用授权声明 (14)第一章绪论1.1数学模型的含义数学模型是在面对实际问题的时候应用相关数学思想对其进行的一种高度概括和表述。

市场经济管理中的数学建模一、数学经济建模及其重要性一般说来，数学并不能直接处理经济领域的客观情况。

为了能用数学解决经济领域中的问题，就必须进行数学经济建模。

数学经济建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化结构的数学刻划。

或者说，数学经济建模就是为了经济目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。

而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。

在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。

如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统（根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模）与客户进行商业谈判。

二、数学经济建模的方法和步骤数学经济建模大致可以分为三个阶段：一是从现实经济世界进入数学世界；二是对现实经济问题的数学模型进行研究；三是从数学世界回到现实经济世界。

数学经济建模还可以用流程图那样简明的形式来表示（如图）概括起来,流程图是由下面一些步骤组成:（1)对现实经济问题的原始背景有深刻的了解和深入细致的观察，并从中抽出最本质特征的东西。

即抓住主要因素，暂不考虑次要因素。

从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。

（2)根据已经掌握的经济信息直接翻译为数学术语，把理想化的自然模型表示成一个数学研究的题材——数学经济模型。

（3)运用数学知识，得到关于这个模型的一个解。

这一步要求对某些数学技巧具有一定的基础知识。

为管理类的学生所学习的数学知识，提供了用武之地。

（4)用理想化自然模型的术语对所得的解进行解释和说明。

（5)根据问题的原始背景对所得的解进行解释和说明。

（6)所得结果的有效性要加以验证。

如果由模型算出的理论值与实际值比较吻合，则模型是成功的。

如果理论值与实际值差别很大，则模型是失败的。

如果理论值与实际值部分吻合，则应找原因，发现问题，修改模型。

常用经济管理数学模型应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。

本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到运用数学模型为现实生活服务的目的。

一、优秀研究成果评选的公平性模型 1. 问题的提出设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？2.模型的构成与求解方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。

分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。

因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。

方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。

设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为1()xr x N C=- （1）上述结果似乎可以接受。

因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。

参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为2()x Cr x N+= (2)通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。

因为当x N C <-时，恒有1()r x <2()r x .综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对1()r x 和2()r x 的折衷方案，即度量得票多少的函数()y x 应满足以下三个条件：（1）()y x 是x 的单调递增函数;（2）1()r x ()y x <<2()r x ，0,0;x N C C <<-> （3）(0)0,() 1.y y N C =-=由上述三个条件还不能唯一确定函数()y x ，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()y x 。

O 引言房地产行业是国民经济的支柱产业之•,与人民生活休咸相关,它的发展对国民经济的整体态势和全国人民的生活水平影响很大.近年来,我国房地产业发展快速,既为整个国民经济的发展做出了贡献,又为改善人民居住条件发挥了确定性作用.但同时也面临较为严峻的问题和挑战.引起诸多争议,各方都坚持自己的观点.然而多是从政策层面、心理层面和资金层面等因素来考虑,定性分析多于定量分析.明显从定量角度把握各指标之间的数量关系,能较为精确的预见房地产行业的发展态势,从而进行有效地调控,进而实现可持续发屣.因此通过建立数学模型定量地探讨我国房地产问物是一个值得探究的方向.以卜.主要从将来商品房价格和房地产行业泡沫两个方面分别建立基于GM(1.l)模型和Cobweb 模型的房地产行业模型,并参考国家统计局数据.利用MAT1.AB 软件定量分析将来我国房地产市场的发展态势,希望对我国房地产行业的健康发展起到肯定的指导作用.1房价预料模型1.1模型的建立与求解灰色模型N(GrUyMOdCI,又称灰色理论)有严格的理论基础,其最大的优点是好用,预料结果比较稳定.既适用于大量数据的预料,数据量较少时预料结果也很精确用文献⑵中供应的数据(即“商品房本年销售价格”1991-2(X2年的数据)建立灰色系统中单序列•阶线性微分方程模型一GM(1,1)模型。

这里,记原始数据列为：X°=(x°⑴4(2)..Λ,,(∣9))=(786,995..4681).(I)原始数据笈加以便弱化随机序列的波动性和随机性,得到新数据序列：X ,=(Λ-,(∣),X ,(2).∙.Λ-'(19)).Λ'(Λ)=∑X C ,(/)./=1.2.....19.(II)对，(〃)建立•阶线性微分方程:£■+"'=〃，其中化〃为待定系数.分别称为发展系数和灰色作用量，〃的有效区间为(22),并记构成的列向量为只要能求出参数就能求出，(4),进而求出X"的将来预料值.(HI)记7为X’的紧邻均值生成序列，Z=(Z'⑴,z'(2).∙,z'(19)),其中 z'（八）=0.5，仕)+0.5M(A-I),A=1,2,…,19.从而生成矩阵，_(O.5f ⑴+O.5x ,(2))1-(O.5X ,(2)+O.5X ,(3))I1.J=-(0.5.√(18)+0.5x ,(19))I(IV)用最小二乘法求灰参数心则1.=(8'8)'8W=(a 〃)'=(-<).0768.1056.944刈.将 a,u 代入—+αr ,=u 求解得dt√(Λ+l)=^x"(l)--^(f*t )+-=l4554325∖(e,,,n *l -∖3768.3251).由于”.“是由最小二乘法求得的近似值,所以上式是一个近似表达式,区分于原序列3(2)] 996与丫=：=H(19»146队记为ΛJ(A+∣)记为x(k+l).(V)将；(£+1)与x'（八）作差，得到近似数据序列，(k+l)=x'(jl+l)-J（八）.(VI)对建立的灰色模型进行精度检验M”：模型的精度由均方差比值C和小误差概率P共同划分,一般将模型的精度分为好、合格、牵强合格、不合格四级,若记该模里的均方差比值C所在等级为加.小误差概率P所在等级为“,则该模型的精度等级为maxHM∙精度检验等级参照表(见表1).表I精度检验等级参照表指标精度等级相对误差α均方差比值C小误差概率P一级(好) <0.01<0.35>0.95二级(合格) <0.05<0.50<0.80三级(牵强合格) <0.10<0.65«).70四级(不合格) X).20>0.80<0.60利用MAT1.AB软件编程计算得,该模型的均方差比值C=O.1114V0.35.其精度为•级.小误差概率Al∙0X).95,精度也为一级,因此所建模型的精度为一级(好).故可用如下高精度模型硕料房价：x∖k+∖)=x(k+∖)-x(k)=∖4554.3251(。

[2-1-12] 利益分配的合作博弈模型1、问题的提出在经济和社会活动中，若干实体（如个人、公司、党派、国家等）相互合作结成联盟或者集团，常能获利得比他们单独行动时更大的经济或社会效益，并且，通常这种利益是非对抗性的。

合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提，那么，应该如何分配利益才算是合理？2、模型的构建若干方合作获利的效益分配问题，称为合作博弈。

1953年，L.S.Shapley 给出了n 人合作博弈问题的一种方法。

假定在n 方合作博弈中，若干人的每一种组合（特别，单人也看作为一种组合）都会得到一定的效益，合作中人数的增加不会引起效益的减少，于是，全体人员的合作将带来最大效益，在这种假定下，Shapley 提出了一系列的公理的唯一的分配这个最大效益的一种方案，并且严格证明了这种方案是满足这组公理的唯一的分配。

设},,2,1{n I =为合作博弈的n 方。

对于参加者的某种组合(即I 的一个子集)S,以)(S v 记其相应的效益(它是一种有特定含义的特征函数).。

用i P 表示I 中第i 位成员从合作收益中应得到的一份收入。

称T n v p v p v p P ))(,),(),((21 =为Shapley 值，它由效益函数)(S v 确定它的计算公式为∑∈=-=iS s i ni i S v S v S w p )17.1.2(,,2,1)],\()()[(其中i S 是I 中包含i 的所有子集，S 是子集S 中的元素个数（组合S 中的参加者数量），)(S w 是加权因子!)!1()!()(n S S n S w --=注意到)(S v 是有第i 方参加的某种合作方案S 的获利，)\(i S v 表示在这种合作方式中第i 方退出以后的获利。

因此，)\()(i S v S v -可以看成在这种合作方案中第i 方的“贡献”。

根据前面的假设，任何一方在任何合作方案中的贡献都是非负的。

而i P ()v 则是在各种有第i 方参加的合作方案i S 中第i 方“贡献”的加权总和。

最值问题在经济管理中的应用本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用. 1. 最小成本问题实际问题中成本一般是产量q 的函数: C =C (q ),求最小成本问题即是求C (q )的最小值问题,但在实用中,经常是用平均成本qq C )(达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值. 例2 设某企业每季度生产某种产品q 个单位时,总成本函数为)0,0,0()(23>>>+-=c b a cqbq aq q C(1) 求使平均成本最小的产量;(2) 求最小平均成本及相应的边际成本. 解 (1)平均成本函数为c bq aq qq C q C +-==2)()( )0(>q 令 02)(=-='b aq q C , 得唯一驻点ab q 2= 又 02)(>=''a q C , 故 abq 2=就是)(x C 的极小值因而是最小值. 所以,每季度产量为ab2个单位时,平均成本最小. (2) 当abq 2=时,最小平均成本为 ab ac c a b b a b a a b C 44)2()2()2(22-=+-= 而边际成本函数为 c bq aq q C +-='23)(2所以当abq 2=时,相应的边际成本为 ab ac c a b b a b a a b C 44)2(2)2(3)2(22-=+-=' 由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本.一般而言,如果平均成本qq C q C )()(=可导,则令 0)]()([(1)()()(2=-'=-'='q C q C qq q C x C q q C 当)(q C 在q 处取得极小值时,有)()(q C q C =',即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论.由于,5211500,380,40010015+======k yk yk yx x x 其中x =15时,y 最小,因此,当AD =15km 时,总运费最省.2. 最大利润问题在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总成本之差,即)()()(x C x R x L -=若企业以最大利润为目标而控制产量,问题就转化为选择怎样的产量,使利润最大. 根据极值存在的必要条件可知,0)()()(='-'='x C x R x L即当边际收入)(x R '等于边际成本)(x C '时,企业可获最大利润.例 4 某厂生产服装,每天固定开支为500元,每件服装还要花销9元.已知需求函数p =30-0.2q ,其中p 为每件衣服的单价,q 为每天卖出衣服的件数,假设产量等于销量,问每件衣服以多少价格出售才能获利最大,并求最大利润.解 由题意可知,需求函数为2)30(25p q -=. 由此,有 成本函数 C =500+9q = 500+9·25(30 - p )2 0<p <30 收入函数 2)30(25p p q p R -⋅=⋅=利润函数 ])30(259500[)30(2522p p p C R L -⋅+--=-= 500)30)(9(252---=p p对L (p )求导得 )348()30(25)(p p p L --='令 0)(='p L ， 得p =16 (元)， L (16)=33800 (元).根据实际问题,最大利润点一定存在,由于p =16是(0,30)内唯一的驻点,所以当每件衣服的单价为16元时获利最大,最大利润为33800元.例5 一家工厂生产一种成套的电器维修工具、厂家规定,若订购套数不超过300套,每套售价400元,若订购套数超过300套,每超过一套可以少付1元,问怎样的订购数量,才能使工厂销售收入最大?解 设订购套数为q ,销售收入为R (q ).那么,当订购套数不超过300套时,每套售价为p =400,当订购套数超过300套时,每套售价为p =400-1×(q -300)=700-q .所以,工具每套售价为⎩⎨⎧>-≤≤=3007003000400q qq p由此可得总收入函数为⎩⎨⎧>-≤≤==3007003000400)(2q qq q qpq q R令 0)(='q R ,得驻点3501=q ,且3002=q 是不可导点.又当300>q 时,02)(<-=''q R ,故3501=q 是极大值点.对3002=q ,当q 经过2q 的两侧时, )(q R '不变号,故2q =300不是极值点.故q =350是最大值点.即工厂若想获得最大销售收入,应将定购套数控制在350套.3.最优库存问题库存在正常生产经营活动中是不可避免的.但库存太多会使资金积压,库存变质会造成浪费,库存太少又会使生产活动受到影响,因此,确定最优库存量是很重要的.下面以确定型单周期库存问题为例,说明库存问题的解法.例6 某厂每年需要某种材料3000kg,这个厂对该种原料的消耗是均匀的(即库存量是批量的一半).已知这种材料每kg 库存费为2元,每次订货费30元,试求最经济的订货批量和全年订购次数.解 设每次订货批量为x kg,则库存量为2x kg.库存费为x x=⋅22(元),全年订购次数为x3000,订购费为xx 90000303000=⋅,设定购费与库存费之和为C (x ),则 xx x C 90000)(+= (30000≤<x ) 令 0900001)(2=-='x x C , 在(0,3000]中得唯一驻点x =300kg. 又 0180000)(3>=''x x C 故x =300为极小值点,也就是最经济的定货批量为300kg,这时相应的订购次数为10次.偏导数在经济分析中的应用在本章第一节我们已说明了偏导数的经济意义.当),(y x f z =表示经济函数时，),(y x f x 、),(y x f y 分别表示函数对自变量x 和y 的边际量，下面以边际需求和价格偏弹性为例详细说明偏导数在经济分析中的应用。

最值问题在经济管理中的应用本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用. 1. 最小成本问题实际问题中成本一般是产量q 的函数: C =C (q ),求最小成本问题即是求C (q )的最小值问题,但在实用中,经常是用平均成本qq C )(达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值. 例2 设某企业每季度生产某种产品q 个单位时,总成本函数为)0,0,0()(23>>>+-=c b a cqbq aq q C(1) 求使平均成本最小的产量;(2) 求最小平均成本及相应的边际成本. 解 (1)平均成本函数为c bq aq qq C q C +-==2)()( )0(>q 令 02)(=-='b aq q C , 得唯一驻点ab q 2= 又 02)(>=''a q C , 故 abq 2=就是)(x C 的极小值因而是最小值. 所以,每季度产量为ab2个单位时,平均成本最小. (2) 当abq 2=时,最小平均成本为 ab ac c a b b a b a a b C 44)2()2()2(22-=+-= 而边际成本函数为 c bq aq q C +-='23)(2所以当abq 2=时,相应的边际成本为 ab ac c a b b a b a a b C 44)2(2)2(3)2(22-=+-=' 由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本.一般而言,如果平均成本qq C q C )()(=可导,则令 0)]()([(1)()()(2=-'=-'='q C q C qq q C x C q q C 当)(q C 在q 处取得极小值时,有)()(q C q C =',即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论.由于,5211500,380,40010015+======k yk yk yx x x 其中x =15时,y 最小,因此,当AD =15km 时,总运费最省.2. 最大利润问题在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总成本之差,即)()()(x C x R x L -=若企业以最大利润为目标而控制产量,问题就转化为选择怎样的产量,使利润最大. 根据极值存在的必要条件可知,0)()()(='-'='x C x R x L即当边际收入)(x R '等于边际成本)(x C '时,企业可获最大利润.例 4 某厂生产服装,每天固定开支为500元,每件服装还要花销9元.已知需求函数p =30-0.2q ,其中p 为每件衣服的单价,q 为每天卖出衣服的件数,假设产量等于销量,问每件衣服以多少价格出售才能获利最大,并求最大利润.解 由题意可知,需求函数为2)30(25p q -=. 由此,有 成本函数 C =500+9q = 500+9·25(30 - p )2 0<p <30 收入函数 2)30(25p p q p R -⋅=⋅=利润函数 ])30(259500[)30(2522p p p C R L -⋅+--=-= 500)30)(9(252---=p p对L (p )求导得 )348()30(25)(p p p L --='令 0)(='p L ， 得p =16 (元)， L (16)=33800 (元).根据实际问题,最大利润点一定存在,由于p =16是(0,30)内唯一的驻点,所以当每件衣服的单价为16元时获利最大,最大利润为33800元.例5 一家工厂生产一种成套的电器维修工具、厂家规定,若订购套数不超过300套,每套售价400元,若订购套数超过300套,每超过一套可以少付1元,问怎样的订购数量,才能使工厂销售收入最大?解 设订购套数为q ,销售收入为R (q ).那么,当订购套数不超过300套时,每套售价为p =400,当订购套数超过300套时,每套售价为p =400-1×(q -300)=700-q .所以,工具每套售价为⎩⎨⎧>-≤≤=3007003000400q qq p由此可得总收入函数为⎩⎨⎧>-≤≤==3007003000400)(2q qq q qpq q R令 0)(='q R ,得驻点3501=q ,且3002=q 是不可导点.又当300>q 时,02)(<-=''q R ,故3501=q 是极大值点.对3002=q ,当q 经过2q 的两侧时, )(q R '不变号,故2q =300不是极值点.故q =350是最大值点.即工厂若想获得最大销售收入,应将定购套数控制在350套.3.最优库存问题库存在正常生产经营活动中是不可避免的.但库存太多会使资金积压,库存变质会造成浪费,库存太少又会使生产活动受到影响,因此,确定最优库存量是很重要的.下面以确定型单周期库存问题为例,说明库存问题的解法.例6 某厂每年需要某种材料3000kg,这个厂对该种原料的消耗是均匀的(即库存量是批量的一半).已知这种材料每kg 库存费为2元,每次订货费30元,试求最经济的订货批量和全年订购次数.解 设每次订货批量为x kg,则库存量为2x kg.库存费为x x=⋅22(元),全年订购次数为x3000,订购费为xx 90000303000=⋅,设定购费与库存费之和为C (x ),则 xx x C 90000)(+= (30000≤<x ) 令 0900001)(2=-='x x C , 在(0,3000]中得唯一驻点x =300kg. 又 0180000)(3>=''x x C 故x =300为极小值点,也就是最经济的定货批量为300kg,这时相应的订购次数为10次.偏导数在经济分析中的应用在本章第一节我们已说明了偏导数的经济意义.当),(y x f z =表示经济函数时，),(y x f x 、),(y x f y 分别表示函数对自变量x 和y 的边际量，下面以边际需求和价格偏弹性为例详细说明偏导数在经济分析中的应用。