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研究生课程考核试卷（适用于课程论文、提交报告）考生成绩:卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语:阅卷教师（签名） ___________________________重庆大学研究生院制科 目:设备状态监测与故障诊断 教 师: 姓 名： 学 号: 专 业：类 别：上课时间: 年 月至 年 月目录1.推导滚动轴承故障的特征频率计算公式............................................................................. 1. .1.1 滚动轴承故障概述............................................................................. 1. .1.2 滚动轴承的固有频率.............................................................................2. .1.3 滚动轴承故障的特征频率计算公式及其推到过程 (3)1.3.1 不承受轴向力时的特征频率............................................................................. 4. .1.3.2 承受轴向力时的特征频率............................................................................. 5. .2.齿轮啮合频率故障产生原因分析............................................................................. 7. .2.1 齿轮啮合频率............................................................................. 7. ..2.2 齿轮啮合频率故障产生原因分析............................................................................. 7. .2.2.1 负载和啮合刚度的周期性变化............................................................................. 8. .2.2.2 节线处运动方向和摩擦方向变化............................................................................. 9. .2.2.3 节线冲击的周期性变化........................................................................... 1.. 2.设备状态监测与故障诊断1•推导滚动轴承故障的特征频率计算公式1.1滚动轴承故障概述旋转机械是设备状态监测与故障诊断工作的重点，而旋转机械的故障有相当大比例与滚动轴承有关。
渐开线齿轮啮合原理复习思考题1．渐开线的基圆内有渐开线。
A．可能B．不可能C．不一定2．渐开线的基圆愈大，则渐开线。
A．愈弯曲B．愈平直C．不变3．渐开在线任意点的法线都切于。
A．分度圆B．基圆C．根圆D．节圆4．分度圆具的圆。
A．标准周节B．标准基节C．标准模数D．标准压力角F．标准模数和标准压力角5. 渐开线标准齿轮是指m、α、h a*、c*均为标准值，且分度圆齿厚齿槽宽的齿轮。
A.小于B.大于C.等于D.小于且等于6．一渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动时，一般情况下是两个作纯滚动。
A．分度圆B．节圆C．一定不可以D．根圆7．一对渐开线齿轮来说，具有中心距可变性。
A．只有标准齿轮才B．只有一对变位齿轮才C．不论两个齿轮是否变位，都8.渐开在线某点的压力角是指该点受正压力的方向与该点方向线之间所夹的锐角。
A.绝对速度B.相对速度C.滑动速度D.牵连速度9.渐开线在基圆上的压力角为。
A.200B.00C.150D.25010．一对渐开线直齿圆柱齿轮，两轮分度圆上的模数和压力角分别相等稳定，连续地进行传动。
A．就一定可以B．不一定可以C．一定不可以11.一对渐开线标准直齿圆柱齿轮要正确啮合，它们的必须相等。
A.直径B.宽度C.齿数D.模数12.齿数大于42，压力角α=200的正常齿渐开线标准直齿外齿轮，其齿根圆基圆。
A.大于B.等于C.小于D.小于且等于13．渐开在线任意一点的半径r k与相应压力角αk的余弦乘积，都等于。
A．基圆半径r bB.分度圆半径rC.根圆半径r fD.顶圆半径r a14.渐开线齿轮传动啮合角，恒等于。
A．节圆压力角α，B．分度压力角αC．基圆压力角αbD．顶圆压力角αa15.齿轮传动的中心距与啮合角余弦的乘积，等于。
A．两分度圆半径r和B．两基度圆半径r b和C．两节圆半径r,和D．两顶圆半径r a和16. 渐开线直齿圆柱齿轮传动重合度是实际啮合线段与之比。
A.齿距B.基圆齿距C.齿厚D.齿槽宽17.用标准齿条刀具加工h a*=1、α=200渐开线标准直齿轮时，不发生根切的最少齿数。
06 齿轮机构及其设计1.渐开线直齿圆柱齿轮传动的主要优点为________________________________________和。
2.渐开线齿廓上K点的压力角应是所夹的锐角，齿廓上各点的压力角都不相等，在基圆上的压力角等于。
3.满足正确啮合条件的一对渐开线直齿圆柱齿轮，当其传动比不等于1时，它们的齿形是的。
4.一对渐开线直齿圆柱齿轮无齿侧间隙的条件是。
5.渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件是。
6.为了使一对渐开线直齿圆柱齿轮能连续定传动比工作，应使实际啮合线段大于或等于£7.一对渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动时，两轮的圆总是相切并相互作纯滚动的，而两轮的中心距不一定总等于两轮的圆半径之和。
8.当一对外啮合渐开线直齿圆柱标准齿轮传动的啮合角在数值上与分度圆的压力角相等时，这对齿轮的中心距为。
9.一对减开线直齿圆柱齿轮传动 , 其啮合角的数值与圆上的压力角总是相等。
10.按标准中心距安装的渐开线直齿圆柱标准齿轮，节圆与重合，啮合角在数值上等于上的压力角。
11.相啮合的一对直齿圆柱齿轮的渐开线齿廓，其接触点的轨迹是一条线。
12.齿轮分度圆是指的圆；节圆是指的圆。
13.渐开线上任意点的法线必定与基圆，直线齿廓的基圆半径为。
14.渐开线齿轮的可分性是指渐开线齿轮中心距安装略有误差时，。
15.共轭齿廓是指一对的齿廓。
16.标准齿轮除模数和压力角为标准值外，还应当满足的条件是。
17.决定渐开线标准直齿圆柱齿轮尺寸的参数有；写出用参数表示的齿轮尺寸公式：r=；rb =；ra=；rf=。
18.渐开线齿廓上任一点的法线必定切于 圆，渐开线外齿轮齿廓曲线在齿轮的凇凇 圆上的压力角为最大值。
19.用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，发生根切的原因是 。
20.齿条刀具与普通齿条的区别是 。
21.h a *,==︒120α的渐开线标准直齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数为 。
22.当直齿圆柱齿轮的齿数少于z m i n 时，可采用 变位的办法来避免根切。
一、选择题1.渐开线在______上的压力角、曲率半径最小。
A.根圆B.基圆C.分度圆D.齿顶圆2.一对渐开线直齿圆柱齿轮的啮合线相切于______。
A.两分度圆B.两基圆C.两齿根圆D.两齿顶圆3.渐开线齿轮的标准压力角可以通过测量_______求得。
A.分度圆齿厚B.齿距C.公法线长度D.齿顶高4.在范成法加工常用的刀具中，________能连续切削,生产效率更高。
A.齿轮插刀B.齿条插刀C.齿轮滚刀D.成形铣刀5.已知一渐开线标准直齿圆柱齿轮，齿数z=25,齿顶高系数h a*=1，齿顶圆直径D a=135mm,则其模数大小应为________。
6.用标准齿条刀具加工正变位渐开线直齿圆柱外齿轮时，刀具的中线与齿轮的分度圆__________。
A.相切B.相割C.相离D.重合7.渐开线斜齿圆柱齿轮分度圆上的端面压力角__________法面压力角。
A.大于B.小于C.等于D.大于或等于8.斜齿圆柱齿轮基圆柱上的螺旋角βb与分度圆上的螺旋角β相比_________。
A.βb >βB.βb =βC.βb <βD. βb =>β9.用齿条型刀具加工，αn=20°,h a*n =1,β=30°的斜齿圆柱齿轮时不根切的最少数是_________。
10.渐开线直齿圆锥齿轮的当量齿数z v=__________。
cosβ cos2β cos3β cos4β11.斜齿圆柱齿轮的模数和压力角之标准值是规定在轮齿的_________。
A.端截面中B.法截面中C.轴截面中D.分度面中12.在一对渐开线直齿圆柱齿轮传动时，齿廓接触处所受的法向作用力方_________。
A.不断增大B.不断减小C.保持不变D.不能确定13.渐开线齿轮齿条啮合时，其齿条相对齿轮作远离圆心的平移时，其啮合角_____。
A.加大B.不变C.减小D.不能确定14.一对渐开线斜齿圆柱齿轮在啮合传动过程中，一对齿廓上的接触线长度________变化的。
*************学校硕士学位课程考试试卷考试科目： 齿轮啮合原理考生姓名： 考生学号：学 院： 机械工程学院 专 业： 机械制造及自动化 考 生 成 绩：任课老师 (签名)一 基本概念1．解释齿轮的瞬心线？两平面啮合齿轮的传动比可以是可变的，也可以是恒定的，传动比函数将确定两齿轮的瞬时角速度比，后者随第一个齿轮的转角1ϕ而变化 )(2:112112ϕϕϕωωf dtd dt d i === 类似的 ()121121ϕωf i == 在1ϕ的变化范围内，函数()112ϕf i =取有限的正值。
假定从1o 轴向2o 轴传递回转运动（如图）， 在垂直于轴线1o 和2o 的平面内，构件1 和构件2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线叫瞬心线。
在齿轮啮合原理中，把瞬心P 称为啮合节点。
传动比恒定时，节点P 固定不动；传动比是变数时，节点P 在连心线21O O 上作相应的变动。
每个齿轮的瞬心线，就是节点p 在与该齿轮相固连的坐标系中的轨迹，因而两齿轮的相对运动可以归结为它们的瞬心线作纯滚动。
2. 解释共轭齿廓？凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。
共轭齿廓在接触点处的公法线（简称为齿廓法线）必须通过瞬心线的瞬时切点。
这是齿廓啮合的基本定理，确定了一对共轭齿廓的几何条件。
共轭齿廓的曲线:在已知一条齿廓曲线)(1Γ和两构件相对运动的条件下，与)(1Γ相共轭的齿廓曲线)(2Γ的曲率2k 可用下式求得：)1()12()1(11)12()1(12n dt r d k dt r d k ⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωυ （1）式中 )1(n ——齿廓)(1Γ的幺法矢； 1k ——)(1Γ的相对曲率。
当)(1Γ以方程式1111)1()()(j u y i u x r +=给出时，1k 由下式计算： 2/3212111111)(y x y x y x k '+''''-'''= （2） 3．解释Willis 定理？Willis 定理也称为啮合基本定理，起表述如下：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。
齿轮啮合原理(一)齿轮啮合原理1. 什么是齿轮啮合？•齿轮啮合是指两个或多个齿轮的齿顶和齿谷之间的正面接触，使得齿轮能够传递转矩和运动。
2. 齿轮的结构•齿轮由齿圈和齿柱组成。
齿圈是齿轮的外部圆柱形部分，齿柱则是齿圈上的齿状突起。
3. 齿轮的类型•齿轮根据其结构和用途可分为直齿轮、斜齿轮、锥齿轮等类型。
4. 齿轮啮合的基本原理•原理1：齿轮的啮合使得两个齿轮之间形成了准确的传动比。
例如，一个小齿轮传递给一个大齿轮，可以实现转速的降低但转矩的增加。
•原理2：齿轮啮合过程中，两个齿轮的齿面通过滚动或滑动方式接触，形成传递转矩的力。
•原理3：齿轮的齿顶和齿谷之间接触面积大，接触压力均匀分布，从而能够传递较大的转矩。
5. 齿轮啮合的应用•齿轮啮合广泛应用于机械传动系统，如汽车变速箱、工业机械、机器人等。
•齿轮还被用于时钟、钟表等领域，通过啮合方式实现精确的时间测量。
6. 齿轮啮合的优势和注意事项•优势：齿轮传动的效率高，传递效果稳定可靠，使用寿命长。
•注意事项：齿轮的制造和安装需要保持精度，以确保齿轮的准确啮合，避免因啮合不良造成的振动和噪音。
7. 齿轮啮合的未来发展•随着科技的发展，新材料和新制造技术的应用，齿轮啮合技术将不断进步和改进，以提高效率、降低噪音和延长使用寿命。
•齿轮啮合的自动化和智能化应用也将成为未来的发展方向，提高生产效率和精确度。
以上是对齿轮啮合原理的简要解释。
齿轮啮合作为一项重要的机械传动技术，其原理和应用对我们日常生活和工业制造有着重要的影响。
希望通过本文能够让读者对齿轮啮合有一个初步的了解。
8. 齿轮啮合的计算与设计•齿轮啮合的计算与设计是确保齿轮传动有效运行的重要环节。
•在计算过程中，需要考虑齿轮的模数、齿数、压力角、重合度等参数，并采用力学原理进行力和转矩的计算。
•齿轮啮合设计的目标是使得齿轮的使用寿命长、传动效率高，并且尽量减小噪音和振动。
9. 齿轮啮合的振动和噪音控制•齿轮啮合过程中，由于齿轮齿面的不完全匹配和啮合角度的误差，会产生振动和噪音。
齿轮基本知识问题及答案基本概念题和答案1.什么是齿廓啮合基本定律，什么是定传动比的齿廓啮合基本定律？齿廓啮合基本定律的作用是什么？答：一对齿轮啮合传动，齿廓在任意一点接触，传动比等于两轮连心线被接触点的公法线所分两线段的反比，这一规律称为齿廓啮合基本定律。
若所有齿廓接触点的公法线交连心线于固定点，则为定传动比齿廓啮合基本定律。
作用；用传动比是否恒定对齿廓曲线提出要求。
2.什么是节点、节线、节圆？节点在齿轮上的轨迹是圆形的称为什么齿轮？答：齿廓接触点的公法线与连心线的交点称为节点，一对齿廓啮合过程中节点在齿轮上的轨迹称为节线，节线是圆形的称为节圆。
具有节圆的齿轮为圆形齿轮，否则为非圆形齿轮。
3.什么是共轭齿廊？答：满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓。
4.渐开线是如何形成的？有什么性质？答：发生线在基圆上纯滚动，发生线上任一点的轨迹称为渐开线。
性质：（1）发生线滚过的直线长度等于基圆上被滚过的弧长。
（2）渐开线上任一点的法线必切于基圆。
（3）渐开线上愈接近基圆的点曲率半径愈小，反之则大，渐开线愈平直。
（4）同一基圆上的两条渐开线的法线方向的距离相等。
（5）渐开线的形状取决于基圆的大小，在展角相同时基圆愈小，渐开线曲率愈大，基圆愈大，曲率愈小，基圆无穷大，渐开线变成直线。
（6）基圆内无渐开线。
5.请写出渐开线极坐标方程。
答：rk = rb / cos αkθk= inv αk = tgαk一αk6.渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律的原因是什么？答；（1）由渐开线性质中，渐开线任一点的法线必切于基圆（2）两圆的同侧内公切线只有一条，并且两轮齿廓渐开线接触点公法线必切于两基圆，因此节点只有一个，即i12 ＝ω1 / ω2 ＝O2P / O1P ＝r2′/ r1′= rb2 / rb1 = 常数7．什么是啮合线？答：两轮齿廓接触点的轨迹。
8．渐开线齿廓啮合有哪些特点，为什么？答：（1）传动比恒定，因为i12 ＝ω1 /ω2＝r2′/r1′ ，因为两基圆的同侧内公切线只有一条，并且是两齿廓接触点的公法线和啮合线，因此与连心线交点只有一个。
*************学校硕士学位课程考试试卷》考试科目：齿轮啮合原理考生姓名：考生学号：学院：机械工程学院专业：机械制造及自动化考生成绩：任课老师(签名)。
~一 基本概念1．解释齿轮的瞬心线？两平面啮合齿轮的传动比可以是可变的，也可以是恒定的，传动比函数将确定两齿轮的瞬时角速度比，后者随第一个齿轮的转角1ϕ而变化 )(2:112112ϕϕϕωωf dtd dt d i === 类似的 ()121121ϕωf i ==在1ϕ的变化范围内，函数()112ϕf i =取有限的正值。
假定从1o 轴向2o 轴传递回转运动（如图）， 在垂直于轴线1o 和2o 的平面内，构件1 和构件2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线叫瞬心线。
在齿轮啮合原理中，把瞬心P 称为啮合节点。
传动比恒定时，节点P 固定不动；传动比是变数时，节点P 在连心线21O O 上作相应的变动。
每个齿轮的瞬心线，就是节点p 在与该齿轮相固连的坐标系中的轨迹，因而两齿轮的相对运动可以归结为它们的瞬心线作纯滚动。
"2. 解释共轭齿廓？凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。
共轭齿廓在接触点处的公法线（简称为齿廓法线）必须通过瞬心线的瞬时切点。
这是齿廓啮合的基本定理，确定了一对共轭齿廓的几何条件。
共轭齿廓的曲线:在已知一条齿廓曲线)(1Γ和两构件相对运动的条件下，与)(1Γ相共轭的齿廓曲线)(2Γ的曲率2k 可用下式求得：)1()12()1(11)12()1(12n dt r d k dt r d k ⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωυ （1） 式中 )1(n——齿廓)(1Γ的幺法矢；1k ——)(1Γ的相对曲率。
\当)(1Γ以方程式1111)1()()(j u y i u x r+=给出时，1k 由下式计算：2/3212111111)(y x y x y x k '+''''-'''=（2）3．解释Willis 定理？Willis 定理也称为啮合基本定理，起表述如下：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。
Willis 定理确定了按给定传动比规律传递运动的一对齿廓共轭的几何条件。
不论对定传动比的平面啮合，还是对变传动比的平面啮合都是正确的。
Willis 定理的证明：设两齿轮的瞬心线在p 点相接触（如右图），与瞬心线固连一对齿廓，并且要这对齿廓传递两轴1o 和2o 间具有给定瞬时角速比的回转运动，该瞬时角速比由下式确定po p o i 1212=nn 线是两齿廓接触点处的公法线。
根据前面建立的关系，第二个齿轮齿廓上2B 点相对于第一个齿轮齿廓上1B 点的速度，等于瞬时角速度*21ω与回转半径2pB 的乘积。
相对速度12B B v 的方向应当和两齿廓在B 点的公切线方向重合，因为如果这个条件不成立，两齿廓将彼此嵌入或者脱开。
由此可以得到结论：瞬时回转半径PB 的方向与两齿廓在接触点处的公法线的方向重合。
Willis 定律（轮齿齿廓正确啮合的条件 ）在定传动比中的表述：要使一对齿轮的传动比为常数，那么其齿廓的形状必须是不论两齿廓在哪一点啮合，过啮合点所作的齿廓公法线都与连心线交与一定点P 。
P ——节点 ； *节圆 ：节点P 在两个齿轮运动平面上的轨迹是两个圆。
（轮1的节圆是以O1为圆心，O1P 为半径的圆。
） 设节圆半径 21,r r '' 12122112r r P O P O i ''===ωω4．解释齿廓渐屈线？一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心 的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（见右图）。
齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此， 齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。
齿廓渐屈线的确定%在齿轮的瞬心线给出的情况下（见下图），齿轮齿廓的渐屈线可由下式确定PC r p += （1）式中p ——齿廓渐屈线的径矢；r ——瞬心线的径矢。
PC 的模l 由下式确定：u d d rl PC sin 1)sin(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==ϕλμλ （2） 式中 r r =在图示的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为~⎭⎬⎫++=++=)sin(sin )cos(cos λϕϕλϕϕl r y l r x （3）5. 写出Eulor-Savary 的方程式？212111sin 11r r a x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+ρρ 在两瞬心线内切的情况下，方程式中凹形瞬心线的曲率半径应取负值。
类似的，在凸齿和凹齿共轭的情况下，凹齿齿廓的半径也应取负值。
这个公式表明了平面啮合中共轭齿廓在接触点处的曲率半径1ρ、2ρ与两齿轮节圆半径1r 、2r 以及接触点位置（由a '、x 确定）之间的关系。
在已知1r 、2r 、a '和x 的情况下，可通过一个齿廓的曲率半径1ρ求得另一个齿廓的曲率半径2ρ。
6．用齿廓啮合方程式的运动学法，写出啮合方程式？用啮合函数0)2(==Φυn 来确定共轭齿廓的方法，通常称为运动学法。
设有三个坐标系σ、)1(σ、)2(σ，其中σ为固定坐标系，)1(σ和)2(σ是分别与构件1、2相固连的动坐标系。
若构件1的齿廓)(1Γ在)1(σ里的方程式为1111)1()()(j u y i u x r +=~式中 u ——参数。
则)(1Γ上啮合点的方程式为⎭⎬⎫==Φ+=0),()()()12(1111)1(υn t u j u y i u x r （1）在)2(σ中，与)(1Γ相共轭的齿廓)(2Γ由下式确定：⎭⎬⎫=Φ=0),()1(21)2(t u r M r （2）式中 21M ——由)1(σ到)2(σ的坐标变换矩阵。
啮合线的方程为⎭⎬⎫=Φ=0),()1(01t u r M r （3）式中 01M ——由)1(σ到)2(σ的坐标变换矩阵。
？二 采用数学软件推导微分的方法1，确定微分方程的类型2，确定所求是解析解还是数值解。
Matlab 软件求解微分方程解析解的命令dsolve()；微分方程求数值解的方法：（1）欧拉公式（2）龙格-库塔法求通解的命令格式：dsolve(‘微分方程’，‘自变量’)求特解的命令格式：dsolve(‘微分方程’,‘初始条件’,‘自变量’) 微分方程组命令格式：dsolve(‘微分方程1，微分方程组2’)&3，采用软件提供的合适的算法求解三 简述曲线族包络的方程式在相对运动中，两个齿轮的齿廓是相互包络的。
设固定瞬心线——2，沿瞬心线2滚动的动瞬心线——1，αα是和动瞬心线1相固连的齿廓。
当两条瞬心线相互滚动时，将形成齿廓αα的曲线族；所求的齿廓ββ就是齿廓αα的曲线族的包络。
微分几何中采用的求曲线族包络的解析方法：设在坐标系11,y x 中，给出了第一个齿轮的齿廓方程式 ()0,111=y x F ——（1）。
假定曲线（1）仅由正常点组成。
坐标系1s 分别与齿轮1和2相固连。
每个齿轮绕自身轴线回转；转角分别用21ϕϕ和来表示。
坐标系22,y x 到11,y x 的变换: ()()12122111212211,,,,,,i y x y y i y x x x ϕϕ==把这两个表达式代入（1），得到 ()()[]0,,,,,,,1212211212211=i y x y i y x x F ϕϕ。
则，给定齿廓在坐标系2s 中的曲线族的方程式为()0,,,121222=i y x F ϕ ——（2）。
在此方程中，取1ϕ为给定齿廓是曲线族的参数，而2ϕ随1ϕ变化，因为:⎰=11212ϕϕϕi d 式中212112:ϕϕϕϕd d dt d dt d i ==。
当常数=12i ，1212i ϕϕ=。
当参数1ϕ的值给定时，方程式（2）将确定第一个齿轮在坐标系22,y x 中转过1ϕ角后的齿廓。
曲线族的包络由下述方程式表达: 、()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=0),,,(0,,,x 1212212121222i y x F i y F ϕϕϕ （3） 当1ϕ值给定时，方程式（3）表示坐标系22,y x 中这样的一个点，在该点共轭齿廓ββαα和彼此接触。
显然，当参数1ϕ取各个不同的数值时，所得到的点集就是要求的齿廓ββ。
方程（3）可以解释为共轭齿廓接触点的集合在坐标系22,y x 中的解析表达式。
如果把方程式（3）写于固定坐标系y x ,，那么在这个坐标系中，接触点的集合将是两齿廓的啮合线。
在坐标系11,y x 中写出的方程式（3），表示在这个坐标系中的接触点集合，并且每一个接触点的位置将由第一个齿轮的转角1ϕ决定。
四 计算题解：已知: x 1k ，y 1k —— 圆心K 的坐标，圆的半径为ρ齿条的齿廓方程式111111sin cos u y y u x x k k ρρ+=+= ——（1）求:根据接触点M 的法线必须通过啮合节点P 这一条件，可以求得齿条和齿轮的啮合方程式。
由此得到 22111tg ϕγμ+=x y ——（2）将方程式（1）代入（2）得()()0,12211211=-+=k k y x tg f ϕγμϕμ——（3）现给出方程式 02211111121=∂∂-∂∂dtd f d dx f x ϕϕμμν——（4） ~方程式（4）的证明：如果在包络齿廓上存在奇异点，则方程式()0,111=ϕμf ；()121111x dt d d dx νμμ-=；dtd f dt d f 111111ϕϕμμ∂∂-=∂∂成立，并且构成的线性方程组是相容的，即可以求出一个值dt d 11μη=，使其满足方程式。
21121111b a b a ==ηη 式中 ()dtd f b b dt d f a d dx a x 111212111111121111,,,,ϕϕνμημμ∂∂-=-==∂∂==由线性代数可知，如果含有n 个未知量的n+1个线性方程式组成的方程组相容，则用各自由项和未知量的系数构成的行列式，应当等于零。
则有0212111=b a b a 得到：0112211=-b a b a 或 01111111121=∂∂-∂∂dtd f d dx f x ϕϕμμν 本题中情况公式应为: 02211111121=∂∂-∂∂dtd f d dx f x ϕϕμμν, 即公式（4）得证。
相对运动速度矢量为:()()()()()[]()()[]122111212211122111121sin cos j i j x i y h h ϕγαμαμωϕγωννν++-=++-=-=——（5）由公式（5）和（1）得：()()()11212121sin μρωων+-=-=k x y y ——（6）；对方程式（3）微分，得：1111222111cos sin cos μμμϕγμkk y x f =+=∂∂——（7）1221μγϕtg f =∂∂——（8） 对方程式（1）微分，得到：111sin μρμ-=d dx ——（9）将（6）（7）（8）（9）代入方程式（4），得到确定被包络齿廓界限点的方程 0sin sin 22112113=--ργμγμkky y解此微分方程，去除界限点，就是满足不根切的条件。
