15.6球面距离

精品文档球面上两点间距离的求法球面距离的定义：球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆（从正面看），这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。

球面距离不是指险段的长度而是指的是弧长。

地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。

下面简单的谈谈求法：一. 同经度两点间的球面距离例1. 在地球本初子午线上有两点A 、B 。

它们的纬度差为90°，若地球半径为R ，求A 、B两点间的球面距离。

解：如图1所示，设O 为地球球心，由题意可得，故。

所以：A 、B 两点间的球面距离为2R。

图1二. 同纬度两点间的球面距离例2. 在地球北纬度圈上有两点A、B，它们的经度差为度，若地球半径为R，求A、B两点间的球面距离。

解：设度的纬线圈的圆心为，半径为r，则。

依题意。

取AB的中点C，则。

在图2图3三. 不同纬度、不同经度两点间的球面距离例3. 设地球上两点A、B，其中A位于北纬30°，B位于南纬60°，且A、B两点的经度差为90°，求A、B两点的球面距离。

解：如图4所示，设，分别为地球球心、北纬30°纬线圈的圆心和南纬60°纬线圈的圆心。

图4连结。

则。

由异面直线上两点间的距离公式得下面给出球面距离的计算公式（仅供参考）：设一个球面的半径为，球面上有两点、. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有（弧度）A、B间的球面距离为：证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、. 则在中，由余弦定理，得：故又比较上述两式，化简整理得：过两点的大圆劣弧所对的圆心角为从而可证得关于与的两个式子.例题：北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.解：∴（弧度）∴所求球面距离为。

2019-2020年高三数学上册 15.6《球面距离》教案（2）沪教版授课地点：学校多媒体教室；学生状况：学生整体基础尚好，学习勤奋，但是，思维水平差异较大．可喜的是学生普遍喜欢上数学课，并且参与意识较强，课堂上师生感情融洽、民主、平等．教学目标：1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．教学重点：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．教学难点:实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．教具学具：TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．教学过程1．创设问题情境引发研究课题教师：同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？学生众：世界环境日！教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．引例（计算机演示）：1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）师：那么，怎样的航线可能最短呢？生1：沿纬线圈走可能短些．生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短．生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线?目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．师：非常好！对我们的问题有帮助吗？生7：把球面展成平面图形……生8：球面不能展成平面图形！师：有这方面的经验吗？生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．2．动手实验探索新知学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．（用实物投影仪演示,如图1）猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．3．思辩论证，得出结论师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．生15：（实物投影）如图，AB 是圆O 1和圆O 2的公共弦，O 2A ＞O 1A ，求证：．分析：分析：设∠A O 1B=2α，∠A O 2B=2β，O 2A=R,O 1A=r, 则0＜β＜α＜，0＜ r ＜R ．欲证，，即：2αr ＞2βR （公式化），也就是，α·＞β·， ＞，或证，＜．又因为y=（0＜x ＜是单调减函数，所以，问题得证．在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短． 师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“（0＜x ＜是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？生16：能！用TI 图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数（0＜x ＜是单调减函数．师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？生众：两点间的球面距离．（多媒体演示课题：球面距离）师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．生17： …（投影球面距离的定义，略）师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了．4．看图辨析 强化概念师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB 的长是不是A 、B 两点的球面距离？同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A 、B 两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .5．距离扩张的历程回顾师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）两点间的距离点到直线的距离 异面直线间的距离 O 2O 1A B R m n r点到平面的距离平行直线间的距离平行平面间的离平行于平面的直线与平面间的距离共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有“最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．6．例题分类寻求解法师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．例1．东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？例2．求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）．例3．xx年的奥运会在雅典举行，xx年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．7.课题小结交流体验师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？生：……师：随便说，一句不少，十句不多．生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．师：朴素的语言，真实的感受．以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．. 结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？生众：面积和体积！师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！案例分析“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．2019-2020年高三数学上册16.1《乘法原理》教案（1）沪教版一、教学内容分析本节是涉及计数问题的基本原理之一，也是推导排列、组合数的依据，所以较少单独应用，多与后面即将学习的加法原理结合起来综合应用二、教学目标设计1.掌握乘法原理的内容；2.能够熟练运用该原理解决一些实际应用问题.三、教学重点及难点掌握乘法原理的核心：分步；分步时注意避免重复及遗漏.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计生活中的实例导入→引出乘法原理→分析乘法原理→乘法原理的应用→方法小结→作业六、教学过程设计一、导入导入1：课本P49实例：“行走线路”导入2：某校学生午餐的选择有两大类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩面条饺子面食可供选择的种类馒头锅贴,⎧⎪⎨⎪⎩白米饭大米可供选择的种类大米粥蛋炒饭. 学生每人选择两类中的各一种用餐，那么该校学生的午餐选择共有多少种？分析：第一步，选面食，共有4种选择；第二步，选大米，有3种选择.所有选择如下： 面条——白米饭；面条——大米粥；面条——蛋炒饭；饺子——白米饭；饺子——大米粥；饺子——蛋炒饭；馒头——白米饭；馒头——大米粥；馒头——蛋炒饭；锅贴——白米饭；锅贴——大米粥；锅贴——蛋炒饭.所以共有12种选择.由导入1、导入2可总结如下：(1)这两个问题都是分两个步骤完成； (2) 方法总数只要把每个步骤的方法数相乘即可.这就是我们要学习的一个基本原理二、乘法原理乘法原理的内容：课本P49如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，……，第n 步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.三、乘法原理分析乘法原理的核心：分步.四、乘法原理的应用1、课本P49例1~例32、例3的改编：（1）540的不同正偶数约数有多少个？分析：正偶数约数必须含因数2，则，即有2种选择，所以540的不同正偶数约数有个.（2）540的不同的末位数是0的正约数有多少个？分析：末位是0的正约数必须含因数2、5，则，即有2种选择，有1种选择，所以540的不同的末位是0的正约数有个.3、巩固与提高4名运动员争夺3项冠军，则冠军获得者的可能情形有多少种？分析：第一项冠军获得者有4种可能性，第二项冠军获得者也有4种可能性，第三项冠军获得者还是有4种可能性，由乘法原理，冠军获得者的可能情形有种.4、巩固练习：P50 16.1五、方法小结在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数.六、作业习题册相应部分七、教学设计说明：本教学设计紧扣课本，同时作了以下安排：（1）导入部分在课本实例的基础上增加一个实例，让学生对乘法原理有一个感性认识；（2）在应用部分，对例3进行了改编，不仅加大了容量，也增加了灵活性，能引起学生进一步探讨的兴趣，实现了源于课本而高于课本的目标；在完成课本例题分析的基础上，增加一道练习题，增进学生对乘法原理更深刻的认识.。

球面距离通用公式及应用地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，在求球面距离时，一般分三种情况：①位于同一纬度圈上的两点间的球面距离；②位于同一经度圈上的两点间的球面距离；③位于不同经线圈上且不同纬线圈上的两点间的球面距离.一般的教学参考书只单一的给出了前两种情况的求法，为此本文将介绍球面距离通用公式并举例说明其应用.一、球面距离的概念经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离，即球面上两点间的最短距离.二、球面距离公式的推导如图，如果球O 的半径为R ，球面上两点A 、B 的经度分别αA 、αB ，纬度分别为βA 、βB ，那么A 、B 两点间的球面距离为⌒AB ＝Rarccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB)]. 证明：作BE 、AF 垂直于赤道平面，垂足E 、F 分别在半径OD 及OC 上，则∠BOE ＝βB ，∠AOF ＝βA ，在Rt △BOE 中，BE ＝Rsin βB ，OE ＝Rcos βB ，在Rt △AOF 中，AF ＝Rsin βA ，OF ＝Rcos βA ，在Rt △EOF 中，∵∠EOF ＝αA －αB ，∴EF 2＝OE 2＋OF 2－2OE ·OFcos ∠EOF＝(Rcos βB )2＋(Rcos βA )2－2R 2cos βB cos βA cos(αA －αB )，在直角梯形ABEF 中，AB 2＝EF 2＋(BE －AF)2＝EF 2＋AF 2＋BE 2－2AF ·BE ＝2R 2－2R 2cos βB cos βA cos(αA －αB )－2R 2sin βA sin βB ，在等腰△AOB 中，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB＝cos βA cos βB cos(αA －αB )＋sin βA sin βB ， 又∵∠AOB ＝arccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB )]，因此，A 、B 两点间的球面距离为⌒AB ＝Rarccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB )].此式对A 、B 两点处于球面上任何位置都成立.公式中αA 、αB 、βA 、βB 都是有向角，东经经度为正，西经经度为负，北纬纬度为正，南纬纬度为负.特别地：(1)若A 、B 在同一经线上，则⌒AB ＝Rarccos[cos(βA －βB )]；(2)若A 、B 在同一纬线上，则⌒AB ＝Rarccos[sin 2βA ＋cos 2βA cos(αA －αB )].三、球面距离公式的应用例1设地球半径为R ，在北纬45︒圈上有A 、B 两地,它们的经度差为90︒，求A 、B 两地的球面距离. 解：∵αA －αB ＝90︒，βA ＝βB ＝45︒，⌒AB ＝Rarccos(sin 245︒＋cos 245︒cos90︒)＝Rarccos 12＝π3R. ∴A 、B 两地间的球面距离为πR 3. 例2 设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（ ）A.3RB.π6RC.5π6RD.2π3R解析：∵αA ＝αB ＝120︒，βA ＝45︒，βB ＝－75︒，∴⌒AB ＝Rarccos[cos(βA －βB )]＝Rarccos[cos(45︒＋75︒)]＝Rarccos(－12)＝2π3R ，故选D. 例3甲地位于北纬45°，东经140°，乙地位于南纬45°，西经130°.设地球半径为R ，则甲、乙两地球面的距离为（ ）A .R π21 B.R π41 C.R π31 D.R π32 解析：αA ＝140°，βA ＝45°，αB ＝－130°，βB ＝－45°∴⌒AB ＝Rarccos[sin45°sin(－45°)＋cos45°cos(－45°)cos(140°＋130°)]＝Rarccos[22×(－22)]＝Rarccos(－12)＝2π3R. 例4北京时间2020年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京－－纽约直飞首航成功完成，这是中国承运人第一次经极地经营北京－－纽约直飞航线，从北京至纽约原来的航线飞经上海(北纬33︒，东经122︒)，东京(北纬36︒，东经140︒)和旧金山(北纬37︒，西经120︒)等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少.解：本题应计算北京到上海，上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和；再计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，然后求它们的差.(1)计算原航线的距离∵sin40︒sin31︒＋cos40︒cos31︒cos6︒＝0.98，arccos(sin40︒sin30︒＋cos40︒cos31︒cos6︒)＝10︒，∴北京到上海的距离为π·6371×10180＝1113.69(km)， ∵sin31︒sin36︒＋cos31︒cos36︒cos18︒＝0.96，arccos(sin31︒sin36︒＋cos31︒cos36︒cos18︒)＝16︒，∴上海到东京的距离为π·6371×16180＝1781.91(km)， ∵sin36︒sin37︒＋cos36︒cos37︒cos263︒＝0.27，arccos(sin36︒sin37︒＋cos36︒cos37︒cos263︒)＝74︒，∴东京到旧金山的距离为π·6371×74180＝8241.34(km)， ∵sin37︒sin40︒＋cos37︒cos40︒cos49︒＝0.78，arccos(sin37︒sin40︒＋cos37︒cos40︒cos49︒)＝38︒，∴旧金山到纽约的距离为π·6371×38180＝4232.04(km). ∴原航线的距离为1113.69＋1781.91＋8241.34＋4232.04＝15368.98(km).(2)计算新航线的距离∵sin40︒sin40︒＋cos40︒cos40︒cos190︒＝0.17，arccos(sin40︒sin40︒＋cos40︒cos40︒cos190︒)＝100︒，∴新航线的距离为π·6371×100180＝11136.95(km). (3)新航线比原航线飞行距离缩短了4232.03(km).。

球面距离的计算及其计算公式在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点，O 为圆心,⊙O 为过A 、B 的大圆,⊙O '为过A 、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ,球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=,AB 小圆弧长r l α'=2ra R r R l L '='=ααα22 （1） 但αα'==sin 2sin 2r R AB ,即ααsin sin '=r R （2）将（2）代入(1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L （3）∵ r R >，由(2）式知αα>'。

由于20παα<'<<，故只需证明函数()x x x f sin =在⎪⎭⎫⎝⎛2.0π内为单调递减即可。

∴ ()()0tan cos sin cos 22<-=-='xx x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减, 由（3）式不难得到1<lL，即l L <。

故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为R ,球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB 。

其中1α,2α为点 的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ⋅+-=（弧度） A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ⋅+-==R R L 证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈,而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直,作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、AB . 则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中，由余弦定理,得：()212222222cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O()()()21212221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R()()]cos cos cos 2cos cos [112122122ααββββ-⋅⋅-+=R故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB又()θθθcos 122sin 42sin 222222-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=R R R AB ,比较上述两式,化简整理得：()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=，从而可证得关于θ与L 的两个式子。

球面距离公式西盟一中武功晓邮编：665700内容摘要：揭示球面上两点距离计算的简便的统一公式关键词：球面距离统一公式球面距离一直是困扰高中数学老师和地理老师进行教学的一个难点，概念多、公式多、计算复杂，难得记忆，本人试图用一个统一的公式加以解决。

为了说明公式的优越，现从以下几个方面加以总结。

一、地理知识1、概念纬线：在地球仪上，顺着东西方向环绕地球一周的圆圈。

经线：在地球仪上，连接南北两极并与纬线垂直相交的线。

2、经度和纬度的比较3、方格状经纬网图1）横线代表纬线，纵线代表经线。

2）纬度数由南向北增大的为北纬，由北向南增大的为南纬；经度数由西向东增大的为东经，由东向西增大的为西经。

4、球面距离，在地球表面上，两地间的最短距离是通过两点的球面大圆的劣弧段。

二、地理学科中球面距离的计算 利用经纬网求地球上的两点距离。

1）同一经线上的两点，其经度差为θ，距离为180πR 〃θ＝111千米〓θ（θ单位为0°）.2）同一纬线上的两点（纬度为4），其经度差为β，则其距离为180πR 〓cos φ〓β（φ与β的单位为0°）。

＝111千米〓cos φ〓β60° 40° 20° 0° 20° 40° 60°3）两点经度和纬度均不同，计算两点间距离时要进行估算，若两点经度和纬度均相差较大，则要分别算出两点在经线、纬线方向上的距离。

再用勾股定理计算，若两点经度和纬度有一项相差较小，则先假设两点的经度相同或纬度相同，然后再根据实际情况扩大或缩小，另外也可以先算出比例尺，进而算出两点间的距离。

例1．地球上北纬30°圈上有A 、B 两点，又A 在两经10°，B 在东经110°，球A 、B 两点的球面距离（设地球半径R ＝6371km ）略解：由已知α＝30°，β＝120°AB ＝111〓cos30°〓120≈11535.46（km ）例2．若A 地在东经36°，北纬34°，B 地在东经48°，北纬29°，球A 、B 两地的球面距离。

地球上两点间距离的计算公式最常用的计算公式是根据球面三角形理论，即将地球看作一个球形，而不是一个平面。

这可以用来计算两个地理位置之间的直线距离、驾驶距离或航线距离等。

其中，最经典的公式是哈维尔斯因公式（Haversine formula）。

该公式基于球面三角学，使用了地球半径和两点间的经纬度差异，计算出两点之间的球面距离。

该公式适用于较小的距离，误差通常在0.5%以内。

该公式的计算过程如下：1.首先，将两个地点的经纬度转换为弧度。

地球上的经度范围从-180度到180度，纬度范围从-90度到90度。

转换为弧度的公式是：经度（弧度）=经度（度数）*π/180，纬度（弧度）=纬度（度数）*π/180。

2.使用三角函数计算两点之间的差异，即：Δλ=λ2-λ1和Δφ=φ2-φ1，其中λ表示经度，φ表示纬度。

3. 使用球面三角学计算。

球面三角学是一种关于球体上的三角形的几何学方法。

根据球面的半径r，可以计算出一个球面上的球面角（haversine值）h，公式为：h = sin^2(Δφ/2) + cos(φ1) *cos(φ2) * sin^2(Δλ/2)。

4. 计算球面距离。

球面距离d可以通过以下公式计算：d = 2 * r * arcsin(sqrt(h))，其中r是地球的平均半径。

需要注意的是，这些公式计算的是两点之间的球面距离，而不是实际的行驶距离。

实际的行驶距离可能受到多种因素的影响，如地形、交通状况等。

另一个常用的计算公式是Vincenty公式，它是基于椭球体几何学的精确计算公式。

Vincenty公式考虑了地球的离心率，因此更加精确。

然而，由于其计算复杂度较高，一般不适用于实时计算，而主要用于精确测量和研究。

综上所述，地球上两点间距离的计算公式主要有哈维尔斯因公式和Vincenty公式。

哈维尔斯因公式适用于较小的距离，计算简单且误差较小；而Vincenty公式更为精确，适用于测量和研究工作。

根据实际需求，可以选择合适的公式来计算两点间的距离。