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球面距离问题的求解玉邴图在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。
一、几个相关概念纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。
经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。
两地的位置关系：地球上两点A、B的位置关系有以下三种：（1）A、B两地经度相同，纬度不同；（2）A、B两地纬度相同，经度不同；（3）A、B两地纬度不同，经度也不同。
球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A、B两点的球面距离为弧AB=（其中是A、B两点的球心角，单位为弧度制，R为球的半径）。
所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。
二、有关定理及其推论为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经记为，南纬记为。
于是我们有如下的球心角的余弦定理。
定理1 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的中心为O，球心角∠AOB=（），则。
证明：设地球半径为，A、B两地所在的纬度圈分别为圆和圆，由球的截面性质知⊥圆，⊥圆，且两圆所在的平面平行，故知，O、三点共线，由有向角的概念知。
（1）设NOS为地轴，在半圆面NSA内，作所在的平面，垂足为，则，，在三角形中，由余弦定理得（2）当∠时，因为有，故（2）也成立，在直角三角形中，由勾股定理得（3）将（1）、（2）代入（3）得（4）在三角形AOB中，由余弦定理得（5）将（4）代入（5）代简得。
有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。
定理2 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的半径为R，则A、B两地的球面距离为劣弧AB=。
《球面距离》的教学设计说明课题：球面距离教材:上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）教师：上海市市西中学刘岚一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。
球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。
区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧的长度。
学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程中, 可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角) 的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。
二．教学目标和重点、难点分析“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。
结合课程标准，我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1. 知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2. 体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3. 会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。
教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。
立体几何中的求距离问题集美中学数学组刘海江、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗?1两点间的距离：连接两点的线段的长。
求法：(1)纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得(2)用公式，A(x i,y i,z i), B(X2,y2,Z2)，贝V |AB|= ____________________________(3)利用向量的模，|AB|=| AB |= . AB =•••(4)两点间的球面距离：A，B为半径是R的球0上的两点，若v OA,OB >"则A，B两点间的球面距离为____________________________ 。
2、点到直线的距离：从点向直线作(相交)垂线，该点与垂足间的线段长。
求法：(1)解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。
(2)等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。
(3 )利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。
(4)利用公式：A (X o, y o),到直线I : Ax By 0的距离为____________________基本思想是将点线距转化为点点距。
3、点到平面的距离与直线到平面的距离(重点)(1)从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和_________________ 的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
求法：①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；③利用向量、点A，平面〉，满足A ，0三：J n _〉，| OA.nl则点A到平面:的距离d ( n是平面〉的法向量)|n|(2) 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_____________ 到这个平面的_________ ，叫做这条直线和这个平面的距离。
(一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等)求法：转化为点到平面的距离来求；(具体方法参照点到平面的距离的求法)4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也______________ 另一个平面，这条直线叫做两个平面的____________ ，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的______ ,它的长度叫做两个平行平面的______________ 。
第39讲 球与球面距离[基础篇]一、球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．补充：（1）球的表面积：24S r π=（r 是球的半径）（2）球的体积：343V r π=球（r 是球的半径） 二、球面距离：（1）概念：球面上联结两点最短路径的长度就是球面上两点的球面距离；【补充】① 球心到球面上任意点的距离都相等；② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.【补充】求体积的常见方法有：①直接法（公式法）；②割补法；③转化法（等体积法）；割补思想和转化思想是解决体积问题的常用技巧. 其中，等体积法还经常用来求点到平面的距离或几何体的高.【补充】在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；所以，求两点之间的球面距离，首先要找到经过这两点的大圆，然后求大圆的劣弧长，而这往往需要求出两点之间的线段距离.三、球面距离：1、球的截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面.过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。
2、经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
[技能篇]题型一：球的概念：例题1-1（1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________（2）已知球的表面积为144π2cm ，那么它的体积为___________（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________例题1-2（1）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（2）已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。
