高中数学球面距离的计算

《球面上的距离》的教学设计课题：球面上的距离教材：高中数学人教A版2003课标版选修3-3球面上的几何第二讲一、球面上的距离教师：齐齐哈尔市民族中学王欣一、教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。

本节课是在运用欧式几何的研究方法，研究了球的一些性质后，进一步从球面上的距离和角出发，开始进入球面几何的学习。

而且学生对球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。

它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有实质的教学意义。

另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。

通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用。

二．教学目标和重点、难点分析学生已经知道球面距离和经度、纬度等概念，这一节将进一步认识数学和实际的联系。

我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1.理解球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。

2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。

3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。

教学重点：理解球面上的距离的概念，会计算球面上两点间的距离。

教学难点：球面上两点之间最短路径是这两点的一段大圆弧—劣弧，以及地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。

三．教学问题诊断学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。

本节课的教学难点是对球面上两点间距离的认识，地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。

对教学难点的突破我采取了三个策略：1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。

从高考山东卷的一道题目谈球面距离的求解云南省广南一中 663300 玉宏图青岛财经职业学校 266000 相恒山2005年全国高考山东卷理科第(8)、文科第(9)题是:设地球的半径为R ,若A 地位于北纬45b 东经120b ,B 地位于南纬75b 东经120b ,则A ,B 两点的球面距离是( )(A )3PR (B)P 6R (C)5P 6R (D )2P 3R此题设计新颖独特,难易适中,对于球面距离来说,很具有代表性,值得我们深入研究,本文拟对其作推广,并说明其应用,与读者共享。

1 相关概念球面距离:过某两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.纬度:经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角.经度:经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数.两地的位置关系:地球上两点A ,B 的位置关系以下三种:(1)A ,B 两地经度相同,纬度不同;(2)A ,B 两地纬度相同,经度不同;(3)A ,B 两地纬度不同,经度也不同.2 结论推广为了方便叙述,本文采用有向角的概念,规定东经为正,西经为负,北纬为正,南纬为负,例如西经120b 记为-120b ,南纬30b 记为-30b .于是我们有如下的球心角定理:定理 设A ,B 是地球表面上的任意两地,A 地的经度为H 1,纬度为U 1,B 地的经度为H 2,纬度为U 2,地球的中心为O ,球心角N A OB =A (A I (0,P ]),则cos A =sin U 1sin U 2+cos U 1cos U 2cos (H 1-H 2).证明略.推论1 若A ,B 两地位于同一经度时,则cos A =cos (U 1-U 2).证明 因为H 1=H 2,由定理得.推论2 若A ,B 两地位于同一纬度U 时,则c os A =sin 2U +c os 2U cos (H 1-H 2).证明 因为U 1=U 2=U ,由定理得cos A =sin U sin U +c os U c os U c os (H 1-H 2)=sin 2U +c os 2U cos (H 1-H 2).3 应用举例有了球心角定理及其推论,我们可方便地解决球面距离的有关问题.例1 本文开头提出的问题.解 因为U 1=45b ,U 2=-75b ,且经度相同,由题意和推论1得:cos A =cos [45b -(-75b )]=c os120b .因为A I (0,P ],所以A =120b =23P ,故劣弧BA =A #R =23P R.所以A ,B 两点的球面距离是23P R ,故选(D ).例2 (2004年希望杯培训题)设A ,B 两地分别位于东经60b 、南纬45b 和西经120b 、北纬30b ,O 是地球中心,试求N A OB 的大小(小于平角的一个).因为H 1=60b ,U 1=-45b ,H 2=-120b ,U 2=30b .由定理得cos N A OB =c os A =6-24,故知N A OB=75b.例3(2002年希望杯竞赛题)地球上有两点A,B分别位于东西两半球,且都在北纬45b,它们的球面距离是P3R(R是地球半径),A点位于东经20b,求B点的位置.解由题意和球面距离定义得P3R=A#R]A=P 3 .又由题意和推论2得:c os P3=sin2P4+cos2P4cos(20b-U2),解得cos(20b-U2)=0]20b-U2= 90b]U2=-70b.B点的位置是西经70b,北纬45b.例4众所周知,第28届奥运会已于2004年在希腊首都雅典举行,它位于东经24b北纬38b.而第29届奥运会将于2008年在我国首都北京举行,它位于东经116b北纬40b,你能计算北京和雅典的球面距离吗?解设雅典的经度为H1,纬度为U1,北京的经度为H2,纬度为U2,已知H1=24b,H2= 116b,U1=38b,U2=40b,将它们代入定理查表计算得c os A=-0.2079,A=102b U1.78弧度.又知地球的半径=6370千米,所以北京和雅典的球面距离为劣弧A B=A# R=1.78@6370=11340(千米).例5(从中国经营北京)纽约直飞航班问题)北京时间2002年9月27日14点,国航CA981航班从首都国际机场准时起飞,当地时间9月27日15点30分,该航班正点平稳落在纽约肯尼迪机场;北京时间10月1日19点14分,CA982航班在经过13个小时的飞行后,准点降落在北京首都国际机场,至此国航北京)))纽约直飞首航成功完成,这是中国承运人第一次经极地经营北京)))纽约直飞航线.而从北京(东经116b,北纬40b)至纽约(西经74b,北纬40b)原来的航线是:北京(东经116b,北纬40b))))上海(北纬31b,东经122b))))东京(北纬36b,东经140b))))旧金山(北纬37b,西经123b))))纽约(西经74b,北纬40b).如果飞机飞行高度为10千米,并假设地球是半径为6371千米的球体,你能计算新航线的空中航程比原航线的空中航程缩短了多少吗?解在地球上,两地间飞行的最短距离是这两地所在大圆(其半径为地球的半径与飞行高度之和)的两地间的劣弧长.本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长;北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度之和.然后求它们的差.(1)计算原航线的距离将北京和上海的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.98,A=10b=0.17453弧度,故北京和上海的距离为A#(6371+10)=1113.69(千米).将上海和东京的经度、纬度代入定理查表计算得c os A=0.96,所以A=16b=0.28弧度,故上海和东京的距离为A#(6371+10)=1781.91(千米).将东京和旧金山的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.27,A=74b=1.29弧度,故东京和旧金山的距离为A(6371+10)=8241. 34(千米).将旧金山和纽约的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.78,所以A=38b=0.66弧度,故旧金山和纽约的距离为A(6371+10)= 4232.04(千米).原航线的距离为1113.69+1781.91+ 8241.34+4232.04=15368.98(千米).(2)计算新航线的距离将北京和纽约的经度、纬度代入定理查表计算得c os A=0.17,所以A=100b=1.74弧度,故北京和纽约的距离为A(6371+10)=11136.95(千米).(3)因为15368.98-11136.95= 4232.03(千米).所以新航线比原航线飞行距离大约缩短了4232千米.。

高中数学奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n na q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a ba b a b +±等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --== (2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s da n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a qa q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和(1)2222(1)(21)123 (6)n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++=三、三角公式 1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=-3、半角公式，升降幂公式22221cos sin sincos tan222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差，和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2sincos2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--（2）正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)（3）余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab+-=（4）11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R∆=====其中2a b cp ++=为半周长 四、重要不等式12(,0)112a b a b a b+≥≥>+ 23(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++3．222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球 1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅2222222cos 22cos R R ABR AB r r r θβ+-==+-（β是径度差）3、24S R π= 球内接长方体 222224l R a b c ==++侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体4、体积 343V R π=3S V R RS V '''==球球球球多面体内切球半径 ： 3Vr S =全六、二项式定理（1）011()n n n n nnn n a b C a C a b C b -+=+++（2）22(1)11n nx nx nx c x +≈+≈++ 七、导数 1．()()()00000x x f x x f x yf x limlim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆()()00f x x f x x x ⇔==在处可导，注意：在处不可导 二、运算法则：()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x VV ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭三、导数公式（1）0C '= （2）()1n n x nx -'= （3）()x x e e '= （4）()x x a a ln a '= （5）1(ln x )x '=（6）11(log )log ln a a x e x x a'== （7）(sin )cos x x '= （8）(cos )sin x x '=-。