2019届高三数学第一轮知识点课后强化训练题26

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的” （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013年高考北京卷（理））2．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π(2005江西理)3．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（2010全国2理7）4．（2002北京文10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43 D ．y ＝±x 435．若y=f （x ）是定义在R 上的函数，则y=f （x ）为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．f （x ）=0B ．对任意x ∈R ，f （x ）=0都成立C ．存在某x 0∈R ，使得f （x 0）+f （－x 0）=0D ．对任意的x ∈R ，f （x ）+f （－x ）=0都成立（1996上海文6）6．若函数()f x 是Ｒ上的增函数，对实数a ，b ，若a ＋b ＞０，则有------------ ----------( ) Ａ．()()()()f a f b f a f b +>-+- Ｂ．()()()()f a f b f a f b +<-+- Ｃ．()()()()f a f b f a f b ->--- Ｄ．()()()()f a f b f a f b -<---二、填空题7．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，， 则2z x y =+的最小值是 ；8．两位男生，两位女生排成一排，则两位女生恰好排在相邻位置的概率是 ．9．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程的一个根位于下列区间的 .（1.8，2.2）分析：本题考察二分法思想，设2()2xf x x =-，通过观察知(1.8)0,(2.2)0f f ><.10．设椭圆2212516x y +=上有一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1(),2OM OP OF =+则OM =11．中心在原点,长轴长为8,准线方程为8x =±的椭圆标准方程为 ▲ ．12．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=【解析】:因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-13．若{}3A x R x =∈<，{B x =B =14．在等比数列}{n a 中，若,364=+a a 则=++)2(7535a a a a _____________； 15．设非负等差数列{}n a 的公差0>d ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：1）若*,,m n p N ∈，且2m n p +=，求证①S m +S n ≥2S p ②112m n pS S S +≥ 2)若,10041503≤a 则∑=200711n nS >200716．在△ABC 中，已知60=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac bc b a +++ 的值等于 .17．在等差数列{}n a 中， 13524,m a a a a ++++=246118m a a a a -++++=，且m为奇数，则m = _____________18．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅= .19．设全集U R =，集合{}|2A x x =≥，{}1,0,1,2,3B =-，则()U A B =ð ．-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 820．记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+， 若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V (2005全国3文)2．（2010湖北文9）若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A.[1-1+B.[1,3]C.[-1,1+D.[1-3．已知函数f (x)=1-xe ,g(x)=.342-+-x x 若有f(a)=g(b)，则b 的取值范围为（ ） （A ）．]22,22[+- （B ）．)22,22(+- （C ）．[1，3]（D ）．(1,3) （2011湖南文8）4．[ ]． A ．1001 B ．1000C ．999D ．998二、填空题5．若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为____________6．向量OA =（1，2），OB = (2，-1），OC =（1+m ，3），若点A 、B 、C 三点共线，则实数m 应满足的条件为 ．7．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体中（n ＞13）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为_____． 〖解〗3713 8．函数cos sin y x x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 .9．计算：2(1)i i +=______10．程序如下：t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End While Print t以上程序输出的结果是 ．11．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .12．如果圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三点到直线ax ＋by ＝0的距离为22，那么直线ax ＋by ＝0斜率的取值范围为________．解析：由题知圆心的坐标为(2,2)且圆上至少有三点到直线ax ＋by ＝0的距离为22，则 有|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2⇒a 2＋b 2＋4ab ≤0⇒－2－3≤a b ≤－2＋3，即2－3≤－a b ≤2＋ 3.13．已知等差数列{}{}34,81n n n n n n n a b n T T n +=-S ，的前项和分别为S 和且则88ab = 14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为▲ ．15．在等比数列}{n a 中，若b a a a a a a =+>=+2019109),0(，则10099a a +=_______16．设集合2{3,log },{,}P a Q a b ==，若{0}P Q =，则PQ = ．17．设{}{}2,3A X X B X X ==＜＜＜＜︱-1︱1，则AB = .18．汽车轮胎的磨损与汽车行驶的距离成正比，已知某品牌的前轮轮胎可行驶的里程为m 千米，后轮轮胎可行驶n 千米，m n <．若在行驶一定的里程之后，将前后的两对轮胎互换，则可增加行驶的里程数，那么一套新的轮胎最多可以保证行驶的里程是 千米．19．等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为 20．已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是21．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242nn a a a +++∞→ = .22．命题：2,10x R x x ∃∈++≤的否定是 ▲ ．23．已知：如图，∠ACB ＝∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是_____________________________（只需填写一个你认为适合的条件）.24．函数y =的定义域为 .25．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若137920,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ ．26．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为 1227． 已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a 指向①时，输出的结果为S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果为S ＝n ，则m ＋n 的值为28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6（2005湖北卷）2．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（2010全国卷2理数）（6）3．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,3,5}，则 )(B A C U 等于（ ）A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．φ (2004福建文)4．已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“1223P P P P =”是“12d d =”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件（2011江西理8）5．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π6．91)x展开式中的常数项是（ C ） (A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 847．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1 B 、[]1,7 C 、[]7,12 D 、[]0,1和[]7,12二、填空题8． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ．9．异面直线a , b 所成的角为︒60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为︒60，这样的直线L 有 条。

2019届高考数学（理）人教B 版一轮复习考点探究练习：第一章第一节集合 Word版含解析课时作业A 组——基础对点练1．(2019·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．答案：B2．(2019·成都市模拟)设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1}D ．{0} 解析：因为集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}＝{－1,0}，所以A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.答案：B3．设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x －1}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，3)B ．[2,3)C ．(－∞，2)D ．(－1,2)解析：A ＝{x |x ＜2}，因为y ＝2x －1＞－1，所以B ＝{y |y ＝2x －1}＝(－1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选D.答案：D4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝答案：D9．(2019·沈阳市模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x＜6}，则集合(∁U A)∩B＝()A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝R，A＝{x|x≥2}，∴∁U A＝{x|x＜2}．又B＝{x|0≤x＜6}，∴(∁U A)∩B ＝{x|0≤x＜2}．故选C.答案：C10．(2019·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4, 9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．(2019·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B )＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.答案：B13．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.答案：{－1,2}14．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，∴A∪∁U B＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}15．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．答案：816．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝__________.答案：{1,2,3,5}B组——能力提升练1．已知全集U＝{0,1,2,3}，∁U M＝{2}，则集合M＝()A．{1,3} B．{0,1,3}C．{0,3} D．{2}解析：M＝{0,1,3}．答案：B2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是() A．0 B．2C．0或2 D．0或1或2解析：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴m＝0或m＝2.答案：C3．(2019·南昌市模拟)已知集合A＝{x∈R|0＜x≤5}，B＝{x∈R|log2x＜2}，则(∁B)∩Z＝()AA．{4} B．{5}C．[4,5] D．{4,5}解析：∵集合A＝{x∈R|0＜x≤5}，B＝{x∈R|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，∴∁A B＝{x|4≤x≤5}，∴(∁A B)∩Z＝{4,5}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．(－1,1]D ．[－1,1] 解析：依题意， A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.答案：A5．(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D. 答案：D6．(2019·太原市模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2,1)B ．[－1,0]∪[1,2)C ．(－2，－1)∪[0,1]D ．[0,1]解析：因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2,1]，A ∩B ＝[－1,0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0,1]，故选C.答案：C7．(2019·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2019·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()解析：由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N M，故选B.答案：B9．已知集合A满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为()A．8 B．7C．4 D．3解析：由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2 B．－2C．0 D． 2解析：若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±6，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪ 6x ∈N 是有限集． 其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.答案：A12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，所以集合A 中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．答案：C13．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B ＝________.解析：依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}14．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.答案：－315．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．解析：由题意知，方程(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R，有一个根，∴当a＝1时满足题意，当a≠1时，Δ＝0，即9＋8(a－1)＝0，解得a＝－18.答案：1或－1 8。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2012陕西文）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是（ ）A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,532．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 (A)1412C124C 84C (B)1214C 412A 48A(C)33484121214A C C C (D) 1214C 412A 48C 33A (2005北京理) 3．设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为（ ） A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，（2008天津文10）4．数列{}n a 中，{}10,n n n a a a +>且是公比为()0q q >的等比数列，满足11223n n n n n n a a a a a a ++++++>()*n N ∈，则公比q 的取值范围是 （ ）A．102q +<<B．102q -<<C．102q -+<<D．0q <<5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为6．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =________二、填空题7．函数y x =的值域为 ▲ ．8．函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则a 的取值范围是_______________ 9．等差数列{a n }中，若a 3、a 10是方程x 2－3x －5＝0的两个根，则a 5＋a 8＝________．10．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，那么=+++++]243[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 33333 ▲ ．11．甲、乙两人从{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各取一个数a 、b ，则“恰有3a b +≤”的概率等于 ．12．函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为 ▲ . 关键字：求导；求最值13．已知2,22a b ==，且a 与b 的夹角为4π，则a b ⋅=_________.14．某组4名学生，其中男、女生各一半，把全组学生分成人数相等的两个小组，则分得每小组里男、女人数相同的概率是_____________15．若直线2+=kx y 与曲线3y x mx n =++相切于点)4,1(，则n = ▲ ．16．设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1(0)2f =，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a = ▲ ．17．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()f x =的定义域为N ，则M∩N= 。

基础达标检测 一、选择题1．到点F(0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x2 B ．y ＝－16x2 C ．x2＝16y D ．x2＝－16y[答案] C[解析] ∵动点M 到点F(0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F(0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F(0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y ，故选C.2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( )A.x216＋y2＝1 B ．x2＋y2＝4 C ．y2－x2＝8 D ．x2＋y2＝8 [答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y)，即PM →·PN →＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y)＝－4＋x2＋y2＝0，即得点P 的轨迹为x2＋y2＝4.3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[答案] A[解析] 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45 [答案] D[解析] 设点A(x1，yy)、B(x2，y2)．由题意得点F(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4xy ＝2x －4消去y 得x2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，因此点A(1，－2)、B(4,4)，FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)， cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝0×3＋－2×5＝－45，选D.5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 [答案] A[解析] ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA|＝|PQ|，又∵|PA|＋|OP|＝r ，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆．6．已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1 [答案] B[解析] ∵kAB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c ＝3，c2＝9. 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)， 则x2a2－－b2＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x －9a2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6a2a2－b2＝2×(－12)．∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2. 又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5. ∴双曲线E 的方程为x24－y25＝1. 二、填空题7．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________. [答案] 55[解析] 本题考查了椭圆的定义与离心率的求法． 由已知|F1F2|＝2c ，|AF1|＝a －c ，|BF1|＝a ＋c ， 因为|F1F2|2＝|AF1||BF1|，所以(2c)2＝(a －c)(a ＋c)， ∴5c2＝a2，∴e ＝55.8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________． [答案] x2＋y24＝1[解析] 由题意设A(xA,0)，B(0，yB)，AC →＝(x －xA ，y)，CB →＝(－x ，yB －y)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －xA ＝－2x ，y ＝－⇒⎩⎨⎧xA ＝3x ，yB ＝32y.由x2A ＋y2B ＝9⇒9x2＋94y2＝9⇒x2＋y24＝1.9．(2018·东北三校联考)已知双曲线方程是x2－y22＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________． [答案] 4x －y －7＝0[解析] 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x21－y212＝1，x22－y222＝1，得k ＝y2－y1x2－x1＝＋y2＋y1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x ＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件． 三、解答题 10.(2018·青岛一中期中)如图，两条过原点O 的直线l1，l2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ 的长度为2. (1)求动点M(x1，x2)的轨迹C 的方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围． [解析] (1)由已知得直线l1⊥l2，＝33x ，＝－3x ，∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动， ∴y1＝33x1，y2＝－3x2，由|PQ|＝2，得(x21＋y21)＋(x22＋y22)＝4， 即43x21＋4x22＝4⇒x213＋x22＝1，∴动点M(x1，x2)的轨迹C 的方程为x23＋y2＝1. (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入x23＋y2＝1，化简得(1＋3k2)x2＋12kx ＋9＝0， 设A(x3，y3)、B(x4，y4)，∴Δ＝(12k)2－36×(1＋3k2)>0⇒k2>1， 且x3＋x4＝－12k 1＋3k2，x3x4＝91＋3k2，∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →>0，即x3x4＋y3y4>0⇒x3x4＋(kx3＋2)(kx4＋2)>0， ∴(1＋k2)x3x4＋2k(x3＋x4)＋4>0.将x3＋x4＝－12k 1＋3k2，x3x4＝91＋3k2代入上式，化简得13－3k21＋3k2>0⇒k2<133.由k2>1且k2<133，得k ∈(－393，－1)∪(1，393). 能力强化训练 一、选择题1．平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 [答案] A[解析] 设C(x ，y)，则OC →＝(x ，y)，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝3x ＋y 10，y2＝3y －x 10.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．△ABC 的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x29－y216＝1 B .x216－y29＝1C.x29－y216＝1(x>3)D.x216－y29＝1(x>4) [答案] C[解析] 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2， |CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)． 二、填空题3．设P 为双曲线x24－y2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________． [答案] x2－4y2＝1[解析] 设M(x ，y)，P(x1，y1)，则0＋x12＝x ，0＋y12＝y ，∴x1＝2x ，y1＝2y ， 又P(x1，y1)在双曲线上， ∴4－(2y)2＝1，∴x2－4y2＝1.4．(2018·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． [答案] a≥1[解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(a ，a)，B(－a ，a)，C(x0，x20)，则CB →＝(－a －x0，a －x20)，CA →＝(a －x0，a －x20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →·CB →＝(a －x0，a －x20)·(－a －x0，a －x20)＝0. ∴x20－a ＋(a －x20)2＝0，则x20－a≠0.∴(a －x20)(a －x20－1)＝0，∴a －x20－1＝0. ∴x20＝a －1，又x20≥0. ∴a≥1. 三、解答题5．(2018·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解析] (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设与直线y ＝x 平行且距离为22的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得c ＝±1. ∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)． 即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3. ∴圆P 的方程为x2＋(y ＋1)2＝3或x2＋(y －1)2＝3.6．(2018·临川调研)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F1，F2在y 轴上，它的一个顶点为A(2，0)，且中心O 到直线AF1的距离为焦距的14，过点M(2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N 的轨迹方程．[解析] (1)设椭圆的标准方程是y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由于椭圆的一个顶点是A(2，0)，故b2＝2.根据题意得，∠AF1O ＝π6，sin ∠AF1O ＝b a ，即a ＝2b ，a2＝8，所以椭圆的标准方程是y28＋x22＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x ，y)，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：(k2＋4)x2－4k2x ＋4k2－8＝0.由Δ＝16k2－4(k2＋4)(4k2－8)>0，得－2<k<2.根据根与系数的关系得x1＋x2＝4k24＋k2，x1x2＝4k2－84＋k2. 又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，即(2－x1)(x2－x)＝(x －x1)(2－x2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是B(A)24 (B)4 (C) 22 (D)2(2006浙江理)【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。

3．(2005全国2文)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）（A ）２ （B ）３（C ）４ （D ）５4．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6（2012北京理）5．直线032=+-y x l ：关于x y -=，对称的直线方程是（ ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 6．不等式14-x ≤x －1的解集是----------------------------------------------------------( )(A ）(－∞,－]1∪[)∞+ 3, (B) [)1,1-∪[)∞+ 3,(C) [－1,3] (D) ( －∞,－3) ∪[)∞+ 1,7．1 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（ ）AB ．1 CD二、填空题8．若b a b a b a -=+==2,1,2，则a 与b的夹角的余弦值为9．已知()x f 是定义在()+∞,0的等调递增函数，()()(),y f x f xy f +=且()12=f ，则不等式()()23≤-+x f x f 的解集为10．某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为___________箱．11．四棱锥P-ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是D ，其三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的表面积为(22aB12．若函数)(x f 满足4)()1(+=+n f n f ，且2)1(=f ，则)100(f =______13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= ▲ ；14．已知直线12:(1)20,:280l x m y m l mx y +++-=++=，若1l 与2l 相交，则m 的取值范围是_____15．设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.16．已知集合}{12A x x =-<<，集合}{31B x x =-<≤，则B A = ★ .17．2．9个学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中A B 、两人必须相邻，则共有______种不同排法18．如图，已知圆O 的弦AB 交半径OC 于点D ．若3=AD ，2=BD ，且D 为OC 的中点，则=CD ．19．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ．20．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则()()3πsin 5πsin 2θθ-⋅-= ▲ .21．函数2()21f x kx kx =++在区间[3,2]-上的最大值为4，则实数k 的值为_ ▲____. 22．下列计算正确的．．．是 ▲ .（把你认为正确的序号全部写上） ①1221[(2)]2--=- ②822log (log 16)3=③3sin 6002= ④0AB BD AC CD +--=23．已知点()()4,2,6,4-B A ，则直线A B 的方程为24．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___.25．已知函数22sin π,10,()e ,0,x x x f x x -⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤≤则满足0()1f x =的实数0x = ．26． 函数)54ln(2-+=x x y 的单调递增区间是 ▲ ．27． 已知3log (1),()(2) (1),x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则(3)f -= 1 28． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n －1，则a 1＋a 3＝__________.7 29．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ．30．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．31． 某校举行2011年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右上茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均值为 ▲ .32．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,． 其中正确命题的序号是___▲___. 33．在二项式8(ax 的展开式中，若含2x 项的系数为70，则实数a =_____________.三、解答题34．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－4，求A 4m .35．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直线延长线上的一点，OA=2,B 为半圆上的任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

第一节 集 合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常用数集的记法2．A B 或B A∅B且B≠∅提醒：(1)若集合A含有n个元素，则其子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n －2个．(2)在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．(3)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(2)任何集合都至少有两个子集．()(3)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()(4)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材习题改编)若集合A＝{x∈N＋|x≤8}，a＝22，则下面结论中正确的是() A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：选D因为22不是正整数，所以a∉A.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的个数为2.故选B.4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2, 4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8}B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C∁A B＝{0,2,6,10}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．集合及集合间的关系[明技法](1)与集合中的元素有关问题的求解策略一看元素，二看限制条件，三列式求参数的值或确定集合中元素的个数．注意检验集合是否满足元素的互异性．(2)判断两集合的关系常有两种方法①化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．②用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．[提能力]【典例】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5 D．6(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________.解析：(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．(2)∵B ⊆A ，∴若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.① 若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.②由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(1)B (2)(－∞，3][母题变式] 在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅. [刷好题]1．(金榜原创)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选D 因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，所以结合数轴可得B ⊆A .2．(2018·莱州模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C ．集合的运算 [析考情]集合的基本运算是历年高考的热点．高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合．考查题型以选择题为主，属容易题，分值5分．[提能力]命题点1：求交集或并集【典例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．(2)(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，故选A．命题点2：交、并、补的综合运算【典例2】(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝() A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x ∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．(2)(2018·柳州模拟)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁A)∩B＝__________.U解析：由题意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁U A＝{4,6,7,9,10}，∴(∁U A)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}命题点3：集合的新定义问题【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝__________.x|x≥0，A∩B＝{x|0<x<2}，故由新定义结合数轴得A⊗B＝{0}解析：由已知，A∪B＝{}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[悟技法]解决集合运算问题的四个关注点(1)看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．[刷好题]1．(2018·兰州一模)已知集合M＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝()A．[－2，－1]B．[－1,2]C．[－1,1]D．[1,2]解析：选A由(x－3)(x＋1)≥0，解得：x≤－1或x≥3，∴M＝{x|x≤－1或x≥3}，∵N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2018·晋中一模)设U＝R，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁U B)＝() A．{1,2} B．{－1,0,1}C．{－2，－1,0} D．{－2，－1,0,1}解析：选C因为全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以∁U B＝{x|x＜1}＝(－∞，1)，且集合A＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩(∁U B)＝{－2，－1,0}，故选C．3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|y ＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝__________.解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}．所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)课时作业提升(一)集合A组夯实基础1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3)B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A．2．(2018·南平一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|y＝3－x}，则A∩B＝()A．{1,2} B．{1,2,3}C．{4,5} D．{3,4,5}解析：选B由3－x≥0得x≤3，则B＝{x|y＝3－x}＝{x|x≤3}，又集合A＝{1,2,3,4}，则A∩B＝{1,2,3}．3．(2018·宁德一模)已知全集U ＝{－2,0,1,2}，集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则∁U A ＝( ) A ．{－2,1} B ．{－2,0,2} C ．{0,2}D ．{0,1}解析：选A 根据题意，A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，又由全集U ＝{－2,0,1,2}，则∁U A ＝{－2,1}．4．若集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}，B ＝{x |－2＜x ≤3}，且M ＝A ∩B ，则有( ) A ．(∁R B )⊆A B ．M ⊆A C ．2∈MD ．1∈M解析：选B 集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}＝{x |－4＜x ＜1}，集合B ＝{x |－2＜x ≤3}，则M ＝A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，即有M ⊆A .5．已知集合A ＝{x ||x －2|≤1}，且A ∩B ＝∅，则集合B 可能是( ) A ．{2,5} B ．{x |x 2≤1} C ．(1,2)D ．(－∞，－1)解析：选D ∵集合A ＝{x ||x －2|≤1}＝[1,3]，由A ∩B ＝∅，则B ⊆(－∞，1)∪(3，＋∞)． 6．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，故选A ．7．集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆∁R B B ．B ⊆∁R A C ．∁R A ⊆∁R BD ．A ∪B ＝R解析：选C 依题意得B ＝{y |0≤y ≤2}，因此B ⊆A ，∁R A ⊆∁R B ，选C ．8．(2018·河南一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C ∵集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}， ∴C ＝A ∩B ＝⎩⎨⎧(x ，y )|⎩⎨⎧ y －x ＝0x 2＋y 2＝1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－1＋52， ∴C 的子集的个数是21＝2.9．(2018·邵阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}，B ＝{x |－3＜x ＜4}，则A ∩B ＝__________.解析：集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}＝{x |x 2＋4x －12＞0}＝{x |x ＜－6或x ＞2}，B ＝{x |－3＜x＜4}，则A∩B＝{x|2＜x＜4}＝(2,4)．答案：(2,4)10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝__________.解析：经验证，点(0,1)，(－1,2)在直线x＋y－1＝0上．故A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．答案：{(0,1)，(－1,2)}B组能力提升1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3}，B＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{2,6} D．{1,6}解析：选D图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{2,3,4,5}，U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{1,6}．2．(2017·西安一模)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是()A．M＝N B．M∩N＝NC．M∪N＝N D．M∩N＝∅解析：选B因为集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1,0}，则集合M∩N＝N.故选B.3．(2018·清远一模)设集合A＝{x|y＝x－1}，集合B＝{x|2x－x2＞0}，则(∁R A)∩B等于()A．(0,2) B．[1,2)C．(0,1) D．∅解析：选C集合A＝{x|y＝x－1}＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，集合B＝{x|2x－x2＞0}＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2}，则∁R A＝{x|x＜1}，∴(∁R A)∩B＝{x|0＜x＜1}＝(0,1)．故选C．4．设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{－1,1}，则下列结论中正确的是() A．A∩B＝{－1} B．(∁R A)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁R A)∩B＝{－1}解析：选D由题意知，集合A＝{x|x>0}，则∁R A＝{x|x≤0}．又B＝{－1,1}，所以A∩B ＝{1}，(∁R A)∪B＝(－∞，0]∪{1}，A∪B＝{－1}∪(0，＋∞)，(∁R A)∩B＝{－1}．5．(2018·湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{x|x＝2y，y∈R}，则集合∁U (M ∪N )等于( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ∵M ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＝2y ，y ∈R }＝{x |x ＞0}，∴M ∪N ＝{x |x ＞－1}．又∵U ＝R ，∴∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]．6．(2018·淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C ∵log 2(x －1)＜1，∴x －1＞0且x －1＜2，即1＜x ＜3，则N ＝{x |1＜x ＜3}，∵U ＝R ，∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又∵M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，得a ＝－12.故选C ．7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B 化简得A ＝{x |0＜x ＜3}，∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个元素，∴a ∈A ，得0＜a ＜3且a ≠1，故选B. 8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} 解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．(2018·潍坊检测)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}， B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝__________.解析：A ＝{－1,2}，若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12. 答案：0,1，－1210．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A ＝__________.(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}。

基础达标检测一、选择题1．(文)对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是() A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，[答案] D[解析]本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；故选D.(理)平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析]本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案] D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．2．(2018·新课标Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[答案] D[解析]解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β相交．设交线为a，则a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，则l⊥γ，∴l∥a.解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，这与m、n异面矛盾，故α与β相交，设α∩β＝a，则a⊥m，a⊥n，在m上取点O，过O 作n′∥n，设m与n′确定的平面为γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l ⊥n，∴l⊥n′，又l⊥m，∴l⊥γ，∴a∥l.3．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PACA．①②B．①③C．②③D．②④[答案] A[解析]易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.4．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案] B[解析]本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直[答案] C[解析]在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.6．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案] D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.二、填空题7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．[答案]AB，BC，AC AB[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)[答案]②④[解析]若m⊥α，α∥β，则m⊥β.9．(文)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．[答案]①④[解析]②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.(理)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[答案]27[解析]如图，∵PC⊥平面ABC，面ABC，∴PC⊥MC.故PM＝PC2＋MC2＝MC2＋16.又∵MC 的最小值为4×438＝23，∴PM 的最小值为27.三、解答题10．(2018·江西高考)如图，直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB1C1C ；(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离．[解析] (1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE ＝ 3.在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE ⊥BC.由BB1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB1，所以BE ⊥平面BB1C1C.(2)连接B1E ，则三棱锥E －A1B1C1的体积V ＝13AA1·S △A1B1C1＝2.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D21＋D1C21＝3 2.同理，EC1＝EC2＋CC21＝3 2.A1E＝A1A2＋AD2＋DE2＝23，故S△A1C1E＝3 5.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝13·d·S△A1C1E＝5d，从而5d＝2，d＝10 5.能力强化训练一、选择题1．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB 的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC[答案] C[解析]∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC. 2．(2018·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，，，则m⊥nB．若α∥β，，，则m∥nC．若m⊥n，，，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β[答案] D[解析]本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系．m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又n∥β，由面面垂直的判定定理知：α⊥β二、填空题3．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案]①④[解析]本题考查四面体的性质，取BC的中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，②③易排除，故答案为①④.4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析]由定理知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G 分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC.[解析](1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF平面SBD，EG平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵平面EFG，∴PE⊥AC.6．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[解析](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，平面PAD，(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.。