2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷1 (含答案解析)

2020年湖南省怀化市高考数学仿真试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−1<x<6}，B={x|x>0}，则A∩B=()A. (−1,+∞)B. (−1,0)C. (0,6)D. (−1,6)2.函数f(x)=2sin(12x+π4)的最小正周期是()A. 4πB. 2πC. πD. π43.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是()A. 116B. 18C. 38D. 3164.已知平面α⊥平面β，α∩β=ι，a⊂α，b⊂β，则“a⊥ι”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知复数z=(1+i√2)2(其中i为虚数单位)，则z.=()A. 1B. −iC. −1D. i6.已知a=log213，b=5−3，c=212，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b7.已知底面边为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A. B. 4π C. 2π D.8.函数f(x)=sin3x3x−3−x的图象大致为()A. B.C. D.9.如图，过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作x轴的垂线交C于A，B两点(A在B的上方)，A，B到C的一条渐近线的距离分别为d1，d2，且d2=4d1，则C的离心率为()A. √2B. 54C. √3D. 4310.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为()A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k的直线与抛物线C相交于A、B两点，若∠AFB=60∘，则k=()A. ±12B. ±√24C. ±√22D. ±√3212.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a<e；②x1+x2<2；③x1⋅x2>1；④有极小值点x0，且x1+x2<2x0.则正确判断的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x−2≥0y+2≥0x+2y−6≤0，则z=x+y的最小值是________．14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=−14，a=6，△ABC的面积为3√15，则sin A的值等于______．15.程序框图如图，若输入S=1，k=1，则输出的S为______ ．16.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=6，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=2，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在①S n=2b n−1，②−4b n=b n−1(n≥2)，③b n=b n−1+2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．已知数列{a n}为等比数列，a1=23，a3=a1a2，数列{b n}的首项b1=1，其前n项和为S n，______，是否存在k，使得对任意n∈N∗，a n b n≤a k b k恒成立？18.如图，在等腰梯形CDFE中，A，B分别为底边DF，CE的中点，AD=2AB=2BC=2.沿AE将△AEF折起，使二面角F−AE−C为直二面角，连接CF、DF．(Ⅰ)证明：平面ACF⊥平面AEF；(Ⅱ)求点D到平面ACF的距离．19.(12分)按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表(单位：mm)：d[18,20)[20,22)[22,24)[24,26)[26,28)等级三级品二级品一级品特级品特级品频数1m29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个．(1)估计这批水果中特级品的比例；(2)已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F 2．(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．21.已知函数f(x)=(a−1)lnx−ax−x(a∈R)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程(2)当a<3时，若函数f(x)在[1,3]上的最大值为−2，求实数a的值．)=2，若直线l 22.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|．(1)解不等式f(x)≤x+2；(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A∩B=(0,6)．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查三角函数的周期和周期的求解方法，属基础题．利用函数性质可得函数周期．由三角函数的周期公式可知，函数f(x)=2sin(12x+π4)的最小正周期是2π12=4π．选A．3.答案：B解析：【试题解析】解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为2√2，则等腰直角三角形的边长为2√24=√22，对应每个小等腰三角形的面积S=12×√22×√22=14．则阴影部分的面积为2×14=12，又正方形的面积为4，∴该点取自图中阴影部分的概率是124=18．故选：B．根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论．本题主要考查几何概型的应用，根据图形，求出对应区域的面积是解决本题的关键，是基础题．4.答案：A解析：解：由面面垂直的性质得当a⊥l，则a⊥β，则a⊥b成立，即充分性成立，反之当b⊥l时，满足a⊥b，但此时a⊥l不一定成立，即必要性不成立，即“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：z=(√2)2=2i2=i，则z.=−i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：log213<log21=0，0<5−3<50=1，212=√2>1；∴a<b<c．故选：A．容易得出log213<0,0<5−3<1,212>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．7.答案：D解析：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．。

湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}35|A x x =<<，{}2|340B x x x =--<，则AB =（ ）.A.∅B.{}|25x x <<C.5{|}4x x <<-D.{|34}x x <<2.已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（ ）. A.22i z = B.iiz +是纯虚数 C.2z = D.()i i z +是实数3.已知cosα=14，则sin(π2−2α)=（ ）A. 18B. −18C. 78D. −784.除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）.A.56B.34C.12D.166.设等比数列{}n a 的公比2q，前6项和为9，则1a =（ ）.A.221B.17C.421D.5217.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策； ③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为（ ） A.0B.1C.2D.38.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则（ ）. A.()0.5()(ln22)0f f f <-<B.()0.5()(n )02l 2f f f -<<C.()0.5()(2ln20)f f f -<<D.()0.520)()ln2(f f f -<<9.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A. 乙做对了B. 甲说对了C. 乙说对了D. 甲做对了10.记不等式组4027030x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域为D ，不等式221x y +≤表示的平面区域为E ，在区域D 内任取一点P ，则点P 在区域E 外的概率为（ ） A.48π B.148π-C.96πD.196π-11.函数()cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若方程()f x a =在0(0,)x 上有两个不同的实数解1x ，2x ，则1122()()x f x x f x +的取值范围是（ ）.A.{}0B.⎛- ⎝⎭C.3,24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D.4,34⎛- ⎝⎭12.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）D.52第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）函数e （e 是自然对数的底数）在x e =处的切线方程为________.14.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2a =，c =，cos 2A =，且b c <，则b =________．15.已知单位向量12,e e 的夹角为3π，若向量122e e +与向量122e ke +的夹角为2π，则实数k =________.16.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，120ABC ︒∠=，P A =4.若三棱锥P -ABC 的外接球的半径为PC 与平面ABC 所成角的正切值为____________ .三、解答题（题型注释）17.设等差数列n a 的前n 项和是n S ，且411a =，5348S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1)s (co n n b a n π=+，记数列{}n b 的前n 项和是n T ，求2020T .18.如图，在四棱锥E ABCD -中，AD CD ⊥，2DA DC DE ===，EA EC ==，M 是EA 的中点.（1）证明：AE ⊥平面MCD ；（2）若//CD AB ，三棱锥M BCE -的体积为13，求底棱AB 的长. 19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点是1(1,0)F -，2(1,0)F ，且离心率12e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,)t 作椭圆C 的一条切线l 交圆O ：224x y +=于M ，N 两点，求OMN面积的最大值.20.疫苗，能够使人体获得对病毒的免疫力，是保护健康人群最有效的手段.新冠肺炎疫情发生以来，军事医学科学院陈薇院士领衔的团队开展应急科研攻关，研制的重组新型冠状病毒疫苗（腺病毒载体），于4月12日开始招募志愿者，进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.科研人员要定期从接种疫苗的志愿者身上采集血液样本，检测人体中抗体含量水平（单位：/miu mL ，即：百万国际单位/毫升）.（1）IgM 作为人体中首先快速产生的抗体，是人体抗感染免疫的“先头部队”.经采样分折，志愿者身体中IgM 的含量水平()/y miu mL 与接种天数x （接种后每满24小时为1天，*x N ∈），近似的满足函数关系：100.1,110,10xx x y e x -≤≤⎧=⎨>⎩.志愿者身体内的IgM 含量水平达到峰值后，估计从第几天开始，IgM 的含量水平y 低于0.2/miu mL ？（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（2）IgG 虽然是接种后产生比较慢的抗体，却是血清和体液中含量最高的抗体，也是亲和力强、人体内分布广泛、具有免疫效应的抗感染“主力军”科研人员每间隔3天检测一次（检测次数依次记为i t ，1,2,3,4,5,6,7i =）某志愿者人体中IgG 的含量水平，记为()/i z miu mL （1,2,3,4,5,6,7i =），得到相关数据如表：画出散点图如图所示，研究人员准备用函数pt z ke =进行拟合，先用相关系数r 判断它们线性相关性的强弱（r 越大表示线性相关越强，通常0.75r >时，认为两个变量有很强的线性相关性），可能要用到的有关数据如下：（其中ln u z =）①请计算线性相关系数r ，并判断是否可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系？②研究人员向专家汇报时，专家指出第4组数据()4,4.85属于异常数据，可能是在采样或样本培养过程中出现失误，应该剔除.请根据余下的6组数据，用函数pt z ke =求出回归方程，并估计4t =时，该志愿者人体中IgG 的含量水平.（所有结果都保留两位小数）相关系数公式：()()nii ttu u r --=∑计公式分别为：1221ˆni i i nii t untubtnt ==-=-∑∑，ˆˆa u bt=-. 21.已知函数()sin f x kx x =+，其中k ∈R . （1）若函数()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求k 的取值范围； （2）若1k =时，不等式c (s )o ax f x x ≥在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy 中，C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）直线l 上的点M 到极点O ，求点M 的极坐标([0,2))πθ∈； （2）设直线l 与C 相交于A ，B 两点，求三角形OAB 的面积.23.若0a >，0b >，且223a b ab ++=. （1）求ab 的最小值；（2）记（1）中ab 的最小值为k ，若0R x ∃∈，使不等式2x m x k +--≤成立，求实数m 的取值范围.参考答案1.D【解析】1.先解不等式2340x x --<得B 集合，再进行交集运算即可. 解： {}{}2||14340B x x x x x =-<-<=-<所以{}{}{}|14||3534x x x x AB x x <=-<<<<<=.故选：D. 2.B【解析】2.1i z =-，分别求出2z ，iiz +，z ，()i i z +，即可选出答案. 由题意，1i z =-，则()2221i 1i 2i 2i z =-=+-=-，即A 错误；i 1i i 1i i i i z +-+===-，即iiz +是纯虚数，B 正确；z ==C 错误；()()i i i 1i i i z +=-+=，即()i i z +不是实数，即D 错误.故选：B. 3.D【解析】3.由题由诱导公式结合二倍角公式即可得解. 由题得sin(π2−2α)=cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78.故选：D 4.B【解析】4.根据题意可直接得到答案.由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件 故选：B5.A【解析】5.根据几何体的三视图可得，该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，然后算出答案即可.根据几何体的三视图可得，该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，其直观图为：所以其体积为：11511111326⨯⨯-⨯⨯⨯= 故选：A 6.B【解析】6.根据题意，列出基本量的方程，即可求得结果. 解：由题意知：()()61161112639112n a q a S a q--====--，解得：117a =. 故选：B. 7.D【解析】7.根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),的频率，可判断①；求出[200500),的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++⨯=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+⨯=，①正确；[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++⨯=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45，故中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，③正确.故选:D. 8.C【解析】8.根据函数的奇偶性可知ln 2l (n ))2(-=f f ，然后比较ln 2，0，0.52大小关系，利用函数的单调性可得结果.由题可知：函数()f x 是定义在R 上的偶函数 所以ln 2l (n ))2(-=f f ，又1ln ln 20=>>e ，0.50221>=，所以0.52ln 20>>又函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()0.5()(2ln20)f f f -<<故选：C 9.B【解析】9.分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 10.B【解析】10.先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D 的面积和圆外的部分面积，从而求出满足条件的概率P 的值．解：画出区域D 和圆，如图示：；3(7,3)40y B x y =-⎧⇒--⎨-+=⎩；3(5,3)270y C x y =-⎧⇒-⎨+-=⎩； 40(1,5)270x y A x y -+=⎧⇒⎨+-=⎩；区域D 的面积是：1[5(7)][5(3)]482⨯--⨯--=，圆的部分面积是：21ππ⨯=，∴点P 落在圆外的概率是：4814848ππ-=-， 故选：B ．11.C【解析】11.根据图象可知ϕ，并可知a 的范围，然后根据函数的对称性可得1253x x +=，最后计算()()1122x f x x f x +，简单判断可得结果.由题可知：cos 2ϕ=又02πϕ<<，∴4πϕ=，因为024cos ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ，所以002π3442，πππ+=-=x x ，由对称性可得：120032+=+=x x x ，又1-<<a ()()12 f x f x a ==,所以()()()11221233,242⎛⎫+=+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭x f x x f x a x x a . 故选：C 12.C【解析】12.设13AF x =，由已知及双曲线定义得x a =，并且用a 表示出11,,AF AB BF ，由勾股定理逆定理得直角三角形，再由勾股定理得,a c 的关系，可求得离心率． 设13AF x =，∵1:3:4AFAB =，∴4AB x =，又2F 是AB 的四等分点，∴2AF x =，23BF x =，（∵21AF AF <），又12122AF AF a BF BF -==-，∴x a =，213BF AF a ==，15BF a =， ∴22211AF AB BF +=，即122F AF π∠=，∴2221212AF AF F F +=，即22294a a c +=，∴c e a =． 故选：C ．13.20x y -=；【解析】13.计算()f x '，然后计算(),()'f e f e ，最后根据点斜式求得直线方程. 由题可知：()ln f x x x e =+，则()ln 1'=+f x x 所以()2'=f e ，()2f e e =所以所求切线方程为()22-=-y e x e ，即20x y -= 故答案为：20x y -= 14.2【解析】14.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-即可求出. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得:224126680b b b b =+-⇒-+=解得：4b =（舍），2b =故2b = 15.85-；【解析】15.先计算12⋅e e ，然后根据()()1212220+⋅+=e e e ke ，简单计算可得结果. 由题可知：12121cos32π⋅=⋅=e e e e 因为向量122e e +与向量122e ke +的夹角为2π 所以()()1212220+⋅+=e e e ke 则()2211222420++⋅+=e k e e k e所以4822025+++=⇒=-k k k 故答案为：85-【解析】16.如图，设O 1为△ABC 的外P 心，O 为三棱锥P -ABC 的外接球的球心.由P A ⊥平面ABC ，OO 1⊥平面ABC ，知P A ∥OO 1.取P A 的中点D ，由OP OA ==，知D 为P A 的中点，且四边形DAO 1O 为矩形. 又P A =4，所以O 1O =AD =2，△ABC 的外接圆的半径r =O 1A =2.在△ABC 中，由2sin =∠ACr ABC，得22sin120AC ︒=⨯⨯=所以tan3PAPCAAC∠===.因此PC与平面ABC.．17.（1）31na n=-；（2）20203030=T.【解析】17.（1）假设公差为d，然后根据通项公式以及前n项和公式计算，可得1,a d，最后可得结果.（2）利用（1）的结论可得3cosπ=nb n n，然后采用并项求和的方法可得结果.（1）设等差数列{}n a的公差为d所以()14531131111544854282a dadS a a a d+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⨯=++=++⎩⎪⎩解得123ad=⎧⎨=⎩，所以31na n=-，（2）由（1）可知31na n=-，所以3cosπ=nb n n所以当n为奇数，则3=-nb n；当n为偶数，则3nb n=所以2020122020...=+++T b b b所以()()()202031234 (20192020)=-++-+++-+⎡⎤⎣⎦T所以20203030=T18.（1）证明见详解；（2）1【解析】18.（1）利用几何关系得AC=，故AEC为等边三角形，得AE MC⊥，又ADE为等腰三角形得AE DM⊥，再用线面垂直判定定理求解即可；（2）先证明MD⊥平面ABE，再根据//CD AB得C点到平面ABE的距离等于D点到平面ABE的距离，再根据等体积转化求解即可.解：（1）∵AD CD⊥，2DA DC==，∴ AC=又∵EA EC ==，∴ AEC 为等边三角形， 又∵2DA DE ==，M 是EA 的中点 ∴ AE DM ⊥，AE MC ⊥，DM =又∵ DMMC M =，,DM MC ⊂平面MDC∴ AE ⊥平面MCD ；（2）∵ AE ⊥平面MCD ，∴ AE CD ⊥，又∵ AD CD ⊥，AD AE A ⋂=，,AD AE ⊂平面ADE ∴ CD ⊥平面ADE ，又∵ DM ⊂平面ADE ， ∴ CD ⊥DM ，∵ //CD AB ， ∴ AB DM ⊥， 又∵ AE DM ⊥，AB AE A =，,AB AE ⊂平面ABE ，∴ DM ⊥平面ABE ∵ //CD AB∴C 点到平面ABE 的距离等于D 点到平面ABE 的距离 ∴ M BCE C BME D BME V V V ---==， 又∵ 11113332D BME BME BME ABE V S DM S DM S DM -=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯11113223AB =⨯⨯⨯=，解得：1AB =. 19.（1）22143x y +=；（2.【解析】19.（1）本小题根据题意先求a ，b ，c ，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设切线方程，再根据点到直线的距离公式与弦长公式表示出三角形的面积，最后求最值即可. 解：（1）由题可知，12c e a ==，1c =，∴ 2a =， 又∵ 222a b c =+，∴ 23b =.∴ 椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由已知可知，切线l 的斜率存在，否则不能形成OMN .设切线l 的方程为y kx t =+，联立22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222(34)84120k x ktx t +++-=，则222(8)4(34)(412)0kt k t ∆=-+-=，化简得：2234t k =+，则2234t k -=.点O 到直线l的距离d =MN ==即MN =故OMN ∆的面积为1122S MN d =⋅==∵2223034t k t -=≥⇒≥，函数221y t t =+在[)3,+∞上单调递增，∴221103t t +≥，则S ≤=OMN20.（1）12；（2）①0.96r ≈，可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系；②0.82 2.84-=t z e ，估计当4t =时，该志愿者人体中IgG 的含量水平为1.55/miu mL .【解析】20.（1）计算100.2-<x e ，简单判断可得结果.（2）①计算4t =，()27128=-=∑i i t t ，然后计算()()nii ttu u r --=∑，根据结果与0.75判断即可. ②计算剔除数据之后t ，u ，621=∑ii t，61=∑i ii t u然后根据公式可得ˆb，ˆa，最后简单计算可得结果. （1）当110x ≤≤时， 0.1y x =单调递增， 当10x >时，10-=xy e单调递减，且10x =时，y 达到最大由100.2-<x e ，所以110ln 0.2lnln 5 1.615-<==-≈-x 所以11.61>x ，则估计从第12天开始，IgM 的含量水平y 低于0.2/miu mL （2）①由题可知：4t =，()27128=-=∑i i t t所以()()0.96--==≈∑niit t u u r因为0.75r >，所以可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系 ②剔除第四组数据()4,4.85后，4t =，()4170.60ln 0.446=⨯-≈u z 622222221123567124==+++++=∑ii t64139.874ln 33.55==-=∑iii t uz122133.55640.44ˆ0.82124616==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ni i i ni i t u ntubtnt ，ˆˆ 2.84=-=-a u bt所以ln 0.82 2.84==-u z t ，所以0.82 2.84-=t z e 当4t =时，0.44 1.55=≈z e估计当4t =时，该志愿者人体中IgG 的含量水平为1.55/miumL 21.（1）k ≥2）2a ≤.【解析】21. （1）由()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，求出cos x -的最大值，令max (cos )k x ≥-即可； （2）令()sin cosg x x x ax x =+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x ≥恒成立，讨论a 的范围，并通过求导判断()g x 的单调性，进而可求出答案. （1）由题意，()cos f x k x '=+， 因为()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，即cos k x ≥-， 因为函数cos y x =-在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以5cos cos6x π-<-=，所以2k ≥. （2）1k =时，()sin f x x x =+，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x ≥恒成立， 当0a ≤时，显然sin 0,cos 0x x ax x +≥-≥，即()0g x ≥，符合题意； 当0a >时，()1(1)cos sin g x a x ax x '=+-+， 若01a <≤，则10a -≥，显然()0g x '>，即()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，符合题意；若1a >，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，则()(21)sin cos h x a x ax x '=-+， 因为210,0a a ->>，所以()0h x '≥，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2(0)()122a g g x g a ππ'''⎛⎫-=≤≤=+ ⎪⎝⎭，若12a <≤，则()20g x a '≥-≥，即()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；若2a >，则20a -<，则存在00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()00g x '=，则()00,x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 在()00,x 上单调递减，从而()(0)0g x g <=，不能使得()0g x ≥恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是2a ≤.22.（1）π4⎫⎪⎭；（2【解析】22.（1）设点M 的极坐标为(),ρθ，则ρ=l 的极坐标方程中，可求出θ，即可求出点M 的极坐标； （2）先求出C 及直线l 的直角坐标方程，进而求出点C 到直线l 的距离d ，及弦长AB ，即可求出三角形OAB 的面积12S AB d =⋅.（1）设点M 的极坐标为(),ρθ，则ρ=代入直线l 的极坐标方程中，可得πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为[0,2π)θ∈，所以π4θ=，故点M 的极坐标为π4⎫⎪⎭. （2）C 的直角坐标方程为()()22124x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，C 的半径为2r，圆心为()1,2C ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则2d ==，则22AB ===，即AB =所以三角形OAB 的面积1122S AB d =⋅==.23.（1）2；（2）04m ≤≤【解析】23.（1）由基本不等式，可知322ab a b -=+≥t =，可得23222t t -≥，可求出ab 的取值范围，进而可求出答案；（2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立，求出2x m x -+-的最小值，令()min 22x m x -+-≤，即可求出实数m 的取值范围.（1）因为0a >，0b >，所以322ab a b -=+≥2a b =时等号成立，t =，则0t >且22t ab =，所以23222t t-≥，整理得()()3220t t +-≥，解得2t ≥或23t ≤-，因为0t >，所以2t ≥2≥，解得2ab ≥. 所以ab 的最小值为2.（2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立， 因为()222x m x x m x m -----+≥=-，所以22m -≤，解得04m ≤≤. 所以实数m 的取值范围是04m ≤≤.。

湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2.已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（ ） A. {}13A B x x ⋂=<< B. A B φ⋂= C. {|3}AB x x =<D. {}1A B x x ⋃=>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可.【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3.执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C. 他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D. 他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼图逐个选项计算分析即可.【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（ ） A. 8 B. 32C. 64D. 128【答案】C 【解析】 【分析】 由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a aa a a a ====,故32441123842164a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.715C.815D.45【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-.故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==.故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（ ）A. 56π-B.56π C. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）A. 14B. 14πC.21414ππ++ D.2116116ππ++【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可. 【详解】由题,作''AP B D ⊥于P .根据题意可知'B P 宽为带宽四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4AP π=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 4πD.823π【答案】A【解析】【分析】2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22故外接球表面积2224482S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.如图，已知双曲线22221(0)x yb aa b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AF F△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或13 D. 12或13【答案】C 【解析】 【分析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可.【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111nn n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<. 综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤.故11n =或13n =. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题, 1'y x =,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒. 故答案为：10x y --=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14.已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=_________． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】由题,作OC AB ⊥于C.则()cos ACOA AB OA AB OAB OA AB AOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅2AB AC =-⋅=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15.已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|=________．【答案】163【解析】 【分析】根据3AF FB =可求得直线AB 的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图. 设FB m =,由3AF FB =,可得：3AF m =,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为()31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16.已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________． （2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________． 【答案】 (1). [1,3] (2). (1,21]-- 【解析】 【分析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况. 由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]-【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分． 17.在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=，求CD ．【答案】（1）CD 23=（26 【解析】 【分析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.【详解】解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠5cos5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=,∴21cos 25sin 5BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin 10DCA DCA -∠∠==,∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18.在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥． 又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EFAE E =,所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =,2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =．如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,(0,2,0)D ,(2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22,22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =,(2,0,2)BA =,(2,2,0)BD =,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩,整理得0x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--．因为2(AF =,所以2sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值.【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k--=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k -++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20.某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()np n<-（3）①()()2221kE k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】 【分析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可.【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211kP p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21.已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0． 因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】【分析】 (1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。

2020年湖南省怀化市高考数学模拟试卷（文科）（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知集合A={（x，y）|y=|x|}，N={（x，y）|y=1}，若A⊆（M∩N），则集合A的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 83.已知数列{a n}满足a n+12＝a n a n+2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4a3，则a4a5a6＝（）A. ±8B. ﹣8C. 8D. 164.已知圆锥曲线的离心率为，则cosθ=（）A. B. C. D.5.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是（）A. 月收入的极差为60B. 7月份的利润最大C. 这12个月利润的中位数与众数均为30D. 这一年的总利润超过400万元6.已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题p：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. p∨（￢q）D. （￢p）∧q7.《九章算术》勾股章有一问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？其意思是：现有正方形水池边长为1丈（一丈等于十尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度是多少？现从静止的芦苇上任取一点，则该点取自水面以下的概率为（）A. B. C. D.8.设实数a，b满足log b2＜log a2＜0，则a a，a b，b a的大小关系是（）A. b a＞a b＞a aB. b a＞a a＞a bC. a a＞b a＞a bD. a a＞a b＞b a9.某四棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则当x∈[0，π]时，不等式g（x）＜1的解集为（）A. B. C. D.11.在正方体中,过AB作一垂直于BA的平面交平面于直线l,动点M在l上,则直线BM与所成角的余弦值的最大值是( )A. B. C. D. 112.对于函数：y=f（x）与y=g（x），若存在x0，使f（x0）=g（-x0），则称M（x0，f（x0）），N（-x o，g（-x o））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点“.已知函数f（x）=m（x+1），（x∈R），g（x）是定义在R上的函数，且满足g（x）+g（2-x）=0，当x＞1时，g（x）=x2-4x+5，若函数f（x）与g（x）的图象恰好存在五对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A. （，0）B. （，-1）C. （-∞，）D. （0，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为l20°，|-2|=2||=2，则||=______．14.已知的展开式的系数和为16，则展开式中的常数项为______．15.已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，直线l：y=3x-2截C所得弦AB的中点的横坐标为，则C的短轴长为______．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中B为钝角，，点P在线段AC上，且2AP=PC，BP=2，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}满足a1＝1，（n≥2，且n∈N*），设b n＝log2a n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；（3）求{b n}的通项公式，并求其前n项和S n．18.在五边形ABCDE中，CD∥BE，AB=AE=，BA⊥AE，BC⊥CD，BE=2BC=2CD，现将AABE沿着BE折起，使得点A到达点P的位置，且使平面PBE⊥平面BCDE，记线段PE的中点为M．（1）求证：MD∥平面PBC；（2）求三棱锥M-PCD的体积．19.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更近一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某镇团委对春节期间该镇燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：x1115172022y45678（）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明；（若＞，则可认为y与x有较强的线性相关关系，r精确到0.01）（2）试用最小二乘法求出y关于工的线性回归方程（系数用分数表示），并预测：当x=25时，y的值；（精确到个位）（3）若在春节所在的那个月内，雾霾的天数y落在区间（y-2x，y+2s）的右侧（其中s为标准差），则认为雾霾将对该镇人们的生产、生活造成较大的影响，镇政府将根据该结果出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，否则将暂不采取相应措施．现巳知2019年2月该镇雾霾天数为9，问：该镇是否需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，试说明理由．附：参考数据：x i y i=537，x=1519，≈27.2，s=≈1.4．参考公式：回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=y-x，相关系数r=．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于两点，且线段的中点的横坐标为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过抛物线C上非顶点的任一点M作抛物线的切线l'与直线y=-1交于点N，问：在y轴上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0）．（1）试讨论f（x）的单调性与极值；（2）当f（x）＞0时，设函数g（x）=x2-3x+3+x lnx，若∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，+∞），使不等式g（x1）+f（x2）≥4成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（）．（1）求直线l的普通方程与圆C在直角坐标系下的标准方程；（2）设圆C与直线l交于两点，若P点的直角坐标为（1，0），求PA2+PB2的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|-2|x-3|．（1）解不等式f（x）＜6；（2）已知a，b，c都是正数，记f（x）的最大值为t，若a+b+2c=t，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵=．∴复数z的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：∵集合A={（x，y）|y=|x|}，N={（x，y）|y=1}，∴M∩N=={（-1，1），（1，1）}，∵A⊆（M∩N），∴集合A的个数为22=4．故选：C．推导出M∩N=={（-1，1），（1，1）}，再由A⊆（M∩N），能求出集合A的个数．本题考查满足条件的集合A的求法，考查交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：解：∵数列{a n}满足a n+12=a n a n+2（n∈N*），∴{a n}是等比数列，∴a3，a5，a7同号，∵a3=1，a7=4a3，∴=2，∴a4a5a6==8．故选：C．由数列{a n}满足a n+12=a n a n+2（n∈N*），得到{a n}是等比数列，推导出=2，a4a5a6=，由此能求出结果．本题考查等比数列的三项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：解：圆锥曲线的离心率为＞1，所以曲线是双曲线，可得：，解得cosθ=．故选：A．判断曲线是双曲线，利用离心率列出方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：D解析：解：由图可知月收入的极差为90-30=60，故A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30.7月份的利润最高，故B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故C正确，D错误．故选：D．根据所给的折线图逐项分析即可．本题考查了统计图的识别和应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“∀x∈R，＜0或x+1=0”；则命题p是假命题，命题p：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，为真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：D．根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AE=x尺，则水深AC=（x-1）尺，由池宽B′E=10尺，得CE=5尺，在RT△ACE中，由勾股定理，得52+（x-1）2=x2，解得x=13．即水深12尺，芦苇长13尺，∴所求的概率为P=．故选：B．由题意画出图形，设芦苇长AB=AE=x尺，则水深AC=（x-1）尺，求解三角形求得x值，再由测度比是长度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．先判断0＜a＜b＜1，再利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵实数a，b满足log b2＜log a2＜0，∴0＜a＜b＜1，∴y=a x在R上是单调递减函数，故a a＞a b，∵y=x a在（0，+∞）上单调递增，∴b a＞a a，则a a，a b，b a的大小关系为b a＞a a＞.故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，属于中档题．由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，可将三视图还原成为四棱锥P—ABCD，其中PD=1，底面ABCD是边长为1的正方形，且PD⊥底面ABCD，显然该四棱锥可补形成棱长为1的正方体，故其外接球半径，所以所求外接球的表面积．故选：B．10.答案：C解析：【解答】解：由图象可知A=2，周期T=，∴T=π，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），图象过点（）带入可得2sin（2×+φ）=2，∵-π＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x-），f（x）的图象向左平移个单位，y=2sin[2（）-]=2sin（2x-），∴函数g（x）=2sin（2x-），不等式g（x）＜1，即sin（2x-），当x∈[0，π]时，则2x-∈[，]，结合正弦函数图象可得：≤2x-或＜2x-，解得0或＜x≤π，故选：C．【分析】由图象可知A，根据周期求出ω，将（）代入求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于一般题．11.答案：A解析：解：设该正方体的棱长为1，如图，易知与B1C垂直且过AB的平面即为平面ABC1D1，故直线l即为直线AD1，又CD1∥A1B，则直线CD1与直线BM所成角即为∠A1BM（或其补角），连接A1M，显然当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，当点M为AD1的中点时，A1M最小，其值为，此时sin A1BM===，即cos∠A1BM=，故选：A．先作出异面直线直线BM与CD1所成角，再结合图象得当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，运算即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查对新定义函数的图象和性质理解和应用，导数定义的运用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于较难题．利用函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”的定义，函数的对称性和函数的导数解得函数切线方程的切点，由对称和数形结合可得m的范围.【解答】解：设y=h（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，则h（x）=f（-x）=m（1-x）=-m（x-1），由g（x）+g（2-x）=0，知g（x）的图象关于点（1，0）对称，且g（1）=0．当x＞1时，g（x）=x2-4x+5，若函数f(x)与g（x）的图象恰好存在五对“隐对称点”，由题意知函数h（x）与g（x）的图象恰有5个交点，h(x)和g（x）的图象如下图所示：设直线y=-m（x-1）与曲线y=g（x）（x＞1）的切点为（x0，y0），则-m=g′（x0）=2x0-4，∴切线方程为y-y0=（2x0-4）（x-x0），即y-x02+4x0-5=（2x0-4）（x-x0），因为点（1，0）在切线上，∴-x02+4x0-5=（2x0-4）（1-x0），解得x0=1+，或x0=1-（舍去），此时-m=2（1+）-4=2-2，因为f（-x），g（x）的图象均关于点（1，0）对称，且f（-1）=0，结合图象可知，实数-m＞2-2，即m＜2-2，故选C．13.答案：解析：解：向量，的夹角为l20°，|-2|=2||=2，∴=4，||=1．∴-4+4=4，即1-4•1•||•cos120°+4=4，求得||=，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求得||．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.答案：-12解析：解：已知的展开式的系数和为2n=16，∴n=4，则展开式中的通项公式为T r+1=•34-r•（-1）r•x3-r，令r=3，可得常数项为-12，故答案为：-12．由题意利用二项式系数的性质求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：10解析：解：椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，所以c=5，椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，可得中点的纵坐标：=，所以中点M（，-）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，相减可得：，又y1+y2=-1，x1+x2=1，==3，又a2-b2=50，联立解得a2=75，b2=25．∴则C的短轴长为：10．故答案为：10．椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，可得中点M（，-）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用平方差法及其a2-b2=50，联立解得a2，b2．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16.答案：解析：解：由b-a sin A=b cos2A，可得：sin B-sin2A=sin B（1-2sin2A），可得：sin2A=2sin B sin2A，可得：sin B=，由B为钝角，可得B=，由2AP=PC，可得2=，∴2-2=-，即3=2+，两边平方可得92=42+2+4，即36=42+2+4||||cos∠ABC=42+2-2||||≥2-2||||=2||||，∴||||≤18，当且仅当2||=||时取等号，∴S△ABC=BA•BC•sin∠ABC≤=．故答案为：．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B，由B为钝角，可得B=，由题意2=，可得3=2+，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求||||≤18，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：（1）因为a1=1，2a n2-a n-1a n-6a n-12=0，a n＞0，可得（2a n+3a n-1）（a n-2a n-1）=0，则a n=2a n-1，所以数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，又a n>0,可得a n=2n-1；所以b n=log2a n=n-1，所以b1=0，b2=1，b3=2；（2）数列{b n}为等差数列，理由：b n+1-b n=n-（n-1）=1，则数列{b n}为首项为0，公差为1的等差数列；（3）b n=log2a n=log22n-1=n-1，前n项和为S n=n（0+n-1）=．解析：本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．（1）运用因式分解和等比数列的定义，可得a n，由对数的运算性质可得所求值；（2）运用等差数列的定义，即可得到结论；（3）由对数的运算性质可得b n，再由等差数列的求和公式，可得所求和．18.答案：解：（1）证明：如图，取PB中点N，连接MN，CN，则MN为△PBE的中位线，∴MN∥BE，且MN=，又CD∥BE，BE=2CD，∴MN∥CD，且MN=CD，∴四边形CDMN为平行四边形，∴MD∥CN，∵MD⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴MD∥平面PBC；（2）∵M为PE的中点，∴点P、E到平面MCD的距离相等，∴V M-PCD=V P-MCD=V E-MCD=V M-CDE，取BE的中点O，连接PO，则由PB=PE，得OP⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，∴OP⊥平面BCDE，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB=AE=，AB⊥AE，得BE=2，∴OP=，∴点M到平面CDE的距离d=，又，∴=，故三棱锥M-PCD的体积为．解析：（1）取PB中点N，去证MN，CD平行且相等，得到CDMN为平行四边形，进而得到MD，NC平行，得证；（2）把求M-PCD的体积转化为求M-ECD的体积，先取BE中点O，证得PO⊥平面BCDE，以下的求解不难．此题考查了线面平行的证明，转化法求三棱锥的体积，难道适中．19.答案：解：（1）由题意，计算=×（11+15+17+20+22）=17，=×（4+5+6+7+8）=6，所以相关系数r==≈0.99＞0.75，所以可以认为y与x有较强的线性关系；（2）由（1）知，计算===，=-=6-×17=-，所以y关于x的线性回归方程为=x-；当x=25时，=×25-≈9（天）；（3）由题意知s=≈1.4，所以（-2s，+2s）=（3.2，8.8）；且9＞8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．解析：（1）由题意计算、，求出相关系数r，即可得出y与x有较强的线性关系；（2）计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算x=25时的值；（3）由题意知s的值，再求出（-2s，+2s），即可得出结论．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的计算问题，是中档题．20.答案：解：（1）设A，B两点坐标为（x A，y A），（x B，y B），AB的中点横坐标为x0=2，即x A2=2py A，x A2=2py A，两式相减得（x A+x B）（x A-x B）=2p（y A-y B），所以k AB====1，所以p=2，即抛物线的方程为x2=4y．（2）设M（x0，y0），则x02=2py0，由y=，求导y′=，所以直线l′的方程为y-y0=（x-x0），令y=-1，得x=，则N（，-1），假设存在点P，使得，即，设P（0，t），因此，即，所以t=1，即存在定点P（0，1），使得．解析：（1）利用点差法即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）利用导数求得M的切线方程斜率及切线方程，求得N点坐标，根据向量的坐标运算，求得P 点坐标．本题考查抛物线方程的求法，点差法的应用，考查直线的点斜式方程，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0），x∈（0，+∞）．f′（x）=-a（ln x+2）．①当a＜0时，可得：x∈（0，），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（，+∞），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递增．∴x=时，函数f（x）取得极小值，f（）=1+．②当a＞0时，可得：x∈（0，），f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈（，+∞），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=时，函数f（x）取得极大值，f（）=1+．（2）由题意可知：g（x）min-4≥[-f（x）]max=-f（x）min．由（1）可知：a＞0时，-f（x）min=-f（）=-1-．由g（x）=x2-3x+3+x lnx，x∈（0，+∞）．g′（x）=2x-2+ln x．则g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．又g′（1）=0，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=1．∴-3≥-1-，解得a≥2e2．∴实数a的取值范围是[2e2，+∞）．解析：（1）函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0），x∈（0，+∞）．f′（x）=-a（ln x+2）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意可知：g（x）min-4≥[-f（x）]max=-f（x）min．由（1）可知：a＞0时，-f（x）min=-f（）．由g（x）=x2-3x+3+x lnx，x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性即可得出极小值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-1=0．由ρ=2cos（），得ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，∴x2+y2-2x+2y=0，即圆C在直角坐标系下的标准方程为（x-1）2+（y+1）2=2；（2）点P（1，0）在直线l上且在圆C内，将直线l的参数方程代入x2+y2-2x+2y=0，得．设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-1．∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=，|PA||PB|=|t1t2|=1．∴PA2+PB2=（|PA|+|PB|）2-2|PA||PB|=6-2=4．解析：（1）直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，把ρ=2cos（）右边展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入x2+y2-2x+2y=0，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|2x+1|-2|x-3|=．∵f（x）＜6，∴或，∴，∴不等式的解集为；（2）由（1）知，当x≥3时，f（x）的最大值为t=7，∴a+b+2c=t=7．∴==≥=，当且仅当a=b时取等号，∴．解析：（1）将f（x）写为分段函数的形式，根据f（x）＜6，然后分别解不等式即可；（2）由（1）可得a+b+2c=t=7，然后根据=利用基本不等式求出最小值即可得证．本题考查了解绝对值不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

湖南省怀化市高三数学第二次模拟考试统一检测试题 文第一部分（选择题）一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共计45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.） 1．设i 是虚数单位，复数i-21的实部为 A ．51B. 51-C.52D. 52-2．若R a ∈，则"2"=a 是"2"=a 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．函数)1(log 9)(22-+-=x x x f 的定义域为A. (]3,1B. []3,1C. [)+∞,3D. []3,3- 4．将函数x x f 2sin 2)(=的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为A. 1)42sin(2)(-+=πx x g B. 12cos 2)(-=x x g C. 1)42sin(2)(--=πx x gD. 12cos 2)(+=x x g5.已知集合}1,,),{(},1,,),{(22=+∈==+∈=y x R y x y x B y x R y x y x A 且且， 则B A I 的元素个数为 A. 4B. 3C. 2D. 16．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A. 57.2 ; 3.6 B. 57.2; 56.4 C. 62.8; 63.6D. 62.8; 3.67．已知数列}{n a 中，1273==a a ，，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a 21为等差数列，则11a 等于A.21 B. 32C. 1D. 2 8．如图，一个空间几何体的正视图，侧视图的面积都是23，且是一个内角为3π的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为A. 32B. 34C. 4D. 89．已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且)()4(x f x f =-，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2+=，则)2011(f 的值为A. 8B. 3C. 2011D. 2012第二部分（非选择题）二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在9、10二题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）10．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线⎩⎨⎧-=+=3sin cos 4:1θθy x C 和 010sin 3cos 4:2=+-θρθρC 的图象上，则AB 的最小值为 . 11．用0.618法确定试点，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的 . （二）必做题（11～16题）12．已知向量→→b a ,满足1=→a ，→b =2，→→b a 与的夹角为3π，则=+→→b a .13．已知双曲线C ：1422=-my x )0(>m 的离心率为2，则该双曲线渐近线的斜率是 .14．某算法的程序框图如图所示，若输出的结果为1，则输入的实数x 的值是 .15．在可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥203y x x x y 内任取一点P （x ，y ），则点P 满足122≤+y x 的概率是 .16．如右图，对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的分裂，仿此，25的分裂中最大的数是 ， 若3m 的分裂中最小的数是211，则m 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤） 17.（本小题12分）在锐角三角形中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 的对边，向量)2cos 2,sin 2(B B m -=→，)1,sin 1(-+=→B n ，且→m ⊥→n .（1） 求角B 的大小； （2） 若3=b ，且三角形的面积为233，求c a +的值.18.（本小题12分）一次数学考试后，对高三文理科学生进行抽样调查, 调查其对本次考试的结果满意或不满意，现随机抽取100名学生的数据如下表所示：满意 不满意 总计 文科 22 18 40 理科 48 12 60 总计7030100（1） 根据数据，有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关；（2） 用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取5名，理科生应抽取几人； （3） 在（2）抽取的5名学生中任取2名，求文理科各有一名的概率.（ ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 其中d c b a n +++= ）)(2k K P ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k2.7063.8415.0246.635 10.82819.（本小题12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，∠PAD=2π，且PA=AD ，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点。

湖南省怀化市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知i为虚数单位，则i2015=（）A . 1B . -2C . iD . -i2. （2分）(2018·宣城模拟) 定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，则有（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·江西模拟) 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A . 21B . 22C . 23D . 244. （2分）(2013·山东理) 给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧面积为（）A . 18B .C .D .6. （2分）将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高二上·上海期中) 已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足，则直线与圆的位置关系为（）.A . 相切B . 相离C . 相交D . 不能确定8. （2分） (2015高三上·来宾期末) 某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A . 91 5.5B . 91 5C . 92 5.5D . 92 59. （2分）圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是（）A . 2B . 3C . 4D .10. （2分）(2020·湖州模拟) 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·福建期末) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y= （x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若 =m ，则m的值为（）A .B .C . 2D . 312. （2分） (2019高二下·拉萨月考) 设0＜m≤2，已知函数，对于任意，都有，则实数m的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·浙江) 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=________．14. （1分） (2020高二下·北京期中) 二项式的展开式中，常数项为________．15. （1分）(2014·江苏理) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ，• =2，则• 的值是________．16. （1分）(2020·如东模拟) 如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，________三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn ．18. （10分）(2019·南通模拟) “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量表示X，Y两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望．19. （10分） (2016高一下·厦门期中) 如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．20. （15分）(2017·南京模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： =1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A 在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若 = ，求直线l的斜率k．21. （10分）已知函数f（x）=ax+ （a∈R），g（x）=lnx．（1）当a=2时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；（2）当a＞0，对任意x≥1，不等式f（x）﹣g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．23. （10分） (2016高二上·弋阳期中) 解答（1）已知x＜0，求函数的最大值（2）设x＞﹣1，求函数的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

2020年湖南省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省怀化市高三数学第二次模拟考试统一检测试题理本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟.第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地，请把正确答案地代号填在答题卡上.）1. 在复平面内，复数2)1(i 对应地点位于A. 一、三象限地角平分线上B. 二、四象限地角平分线上C. 实轴上D. 虚轴上2.已知集合{}(1)(2)0M x R x x =∈-->和{}20N x R xx =∈+<则:P x M ∈是:q x N ∈地A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 一个简单几何体地主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长、宽不相等地矩形；②正方形；③圆；④三角形. 其中正确地是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 地值为A.3B. 3C. 3-D.33- 5 . 右表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录地产量x （吨）与相应地生产能耗y （吨）地几组对应数据；根据表格提供地数据，求出y 关于x 地线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+，那么表中t 地值为A.3B. 3.15C.3.5 D.4.56 . 由曲线32,x y x y ==围成地封闭图形地面积为 A. 31 B. 41 C. 121 D.1277 . 程序框图如图所示，已知曲线E 地方程为),(22R b a ab y b x a ∈=+，若该程序输出地结果为s ，则A.当1=s 时，E 是椭圆B.当1-=s 时，E 是双曲线C.当0=s 时，E 是抛物线D.当0=s 时，E 是一个点8 . 函数()f x 地定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[,]a b 内是单调函数；②()f x 在[,]a b 上地值域为[2,2]a b ，则称区间[,]a b 为()y f x =地“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”地有 ①)0()(2≥=x x x f ； ②()()xf x e x =∈R ； ③)0(14)(2≥+=x x x x f ； ④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f x aA. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ①③第二部分（非选择题）二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上地相应横线上.（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.已知1=++c b a ，222c b a m ++=，则m 地最小值为 .10．曲线C 1地参数方程为288x t y t ⎧=⎨=⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同地长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 2地极坐标方程为)0(>=rrρ，若斜率为1地直线经过C1地焦点，且与C2相切，则r= .11．用0.618法进行优选时，若某次存优范围[]2,b上地一个好点是2.382，则b= .（二）必做题（12～16题）12．已知向量a和b地夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.13．从某小学随机抽取100名同学，将他们地身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内地学生中，用分层抽样地方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150] 内地学生中选取地人数应为__________人．14．在ABC ∆中，,120,ο=∠=ABC AB BC 则以B A ,为焦点且过点C 地双曲线地离心率为 .15. 已知实数,x y 满足153x y +≤，则2z x y =+地最小值是 。