2014-2015学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试卷和解析(a卷)

安徽省芜湖市四校联考2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题,共60。

0分）1.已知全集，集合0，1，,，则如图中阴影部分所表示的集合为( ）A. 0,B. C。

D。

0，【答案】D【解析】【分析】由题意知,所以，则阴影部分为0，【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0,1,,,即0，故选：D．【点睛】本题考查Venn图及集合的交集和补集运算，属基础题.2.已知，且，则A. B. C. D。

【答案】B【解析】【分析】把左右同时平方，可得，根据x的范围进一步判断x为钝角，可得的值，解方程组求得和,即可得到．【详解】，且，,，为钝角．，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出,是解题的关键，属于基础题．3。

函数的零点所在区间是A. B. C。

D.【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理进行判断即可．【详解】∵,，∴，∴函数在区间（2，3）上存在零点．故选C．【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．4。

2003年至2015年北京市电影放映场次单位：万次的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是A。

B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图象可知,13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加，且增速越来越快，进而判断.【详解】根据图象可知，13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加,且增速越来越快对于A．f（x)=ax2+bx+c，当a＞0，−＜0，可得满足条件的函数；对于B．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数;对于C．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．当a＞0时，为“上凸函数",不符合图象的特征；当a＜0时，为单调递减函数，也不符合图象的特征．故选：D【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型，考查了根据函数增长差异选择函数模型,综合考查了二次函数、指数函数、对数函数等函数的图象与性质，考查了推理能力。

安徽省安庆市部分示范高中联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2}，则集合A∩∁U B等于（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0}2．（5分）下列角中，终边与310°相同的角是（）A．﹣630°B．﹣50°C．50°D．630°3．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x| C．y=﹣x2+1 D．y=x6．（5分）已知向量=（1，cosθ）与=（2cosθ，1）平行，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0C．D．7．（5分）函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+18．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）9．（5分）f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）在x=1处的函数值为0，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数10．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点O满足=+，则•等于（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）计算sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=．12．（5分）已知f（x4）=log4x，则f（）=．13．（5分）在直角坐标系中，O是原点，A（），将点A绕O点逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为．14．（5分）已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2﹣4x，且当x∈[﹣3，﹣]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是．15．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1），若|2﹣|＜m恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题有6小题，共75分）16．（12分）设f（α）=（1+2sinα≠0），求f （）的值．17．（12分）已知函数f（x）=+a，a∈R（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数．18．（12分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=（1）求tanα的值；（2）求sin2α+sinαcosα+cos2α的值．19．（13分）函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（13分）已知向量=（﹣1，cosωx+sinωx），=（f（x），cosωx），其中ω≠0且⊥，又函数f （x）的图象任意两相邻对称轴间距为．（1）求ω的值；（2）探讨函数f（x）在（﹣π，π）上的单调性．21．（13分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．（1）求闭函数y=x2（x∈[0，+∞））符合条件②的区间[a，b]；（2）若y=k+（k＜0）是闭函数，求实数k的取值范围．安徽省安庆市部分示范高中联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2}，则集合A∩∁U B等于（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2}，∴A∩∁U B={﹣1，0，1，2}∩{﹣2，﹣1，0}={﹣1，0}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）下列角中，终边与310°相同的角是（）A．﹣630°B．﹣50°C．50°D．630°考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：直接写出与310°终边相同的角的集合，取k=﹣1得答案．解答：解：∵与310°终边相同的角的集合为{α|α=310°+k•360°，k∈Z}．取k=﹣1，得α=310°﹣360°=﹣50°．∴﹣50°的终边与310°的终边相同．故选：B．点评：本题考查了终边相同的角的集合，是基础的概念题．3．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：将选项中区间的两端点值分别代入f（x）中验证，若函数的两个值异号，由零点存在定理即可判断零点必在此区间．解答：解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故答案为B．点评：本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理，关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中，看函数的两个值是否异号，若异号，则函数在此开区间内至少有一个零点．4．（5分）已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值．解答：解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：A．点评：本题考查同角三角函数间的关系式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x| C．y=﹣x2+1 D．y=x考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：判断四个函数的奇偶性，排除选项，然后判断函数的单调性即可．解答：解：函数y=x3是奇函数，A不正确；函数y=|x|偶函数，并且在（0，+∞）上单调递增的函数，所以B正确．函数y=﹣x2+1是偶函数，但是在（0，+∞）上单调递减的函数，所以C不正确；函数y=x是奇函数，所以D不正确．故选：B．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本函数的单调性的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知向量=（1，cosθ）与=（2cosθ，1）平行，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0C．D．考点：平面向量数量积的运算；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：运用向量共线的坐标表示及二倍角的余弦公式，即可计算得到．解答：解：向量=（1，cosθ）与=（2cosθ，1）平行，则1=2cos2θ，即有cos2θ=2cos2θ﹣1=0，故选B．点评：本题考查平面向量的共线的坐标表示，考查二倍角的余弦公式的运用，属于基础题．7．（5分）函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由图观察可知周期T=2×（）=π，从而有周期公式可求ω的值，又A==，k=1，x=时，y=，可求Φ的值，从而可求得解析式．解答：解：由图观察可知：周期T=2×（）=π，∴=π，∴ω=2，又A==，k=1，∴y=sin（2x+φ）+1，∵x=时，y=，∴sin（2×+Φ）=1，Φ=+2kπ（k∈Z），又∵|Φ|＜，∴Φ=，∴y=sin（2x+）+1．故选：A．点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，f（1）=0，分类讨论，利用f（x）=，结合f（a）＞f（1），即可求出实数a的取值范围．解答：解：由题意，f（1）=0．a＞0时，lna＞0，∴a＞1；a＜0时，﹣ln（﹣a）＞0，∴﹣1＜a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：D．点评：本题考查分段函数的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）在x=1处的函数值为0，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数考点：余弦函数的奇偶性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：直接利用已知条件，推出函数的对称性，判断选项即可．解答：解：由题意可知：函数f（x）的图象过（1，0），∴函数f（x+1）的图象过点（0，0）且关于点（0，0）对称，∴函数f（x+1）是奇函数．故选：C．点评：本题考查余弦函数的对称性，基本知识的考查．10．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点O满足=+，则•等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．解答：解：•=（﹣）•（﹣）=（﹣﹣）•（﹣﹣）=（﹣）•（﹣）=﹣﹣=﹣﹣=﹣．故选B．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义及性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）计算sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：逆用两角差的正弦，可得sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=sin45°，于是可得答案．解答：解：sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=sin（59°﹣14°）=sin45°=．故答案为：．点评：本题考查两角差的正弦，逆用两角差的正弦，得到sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=sin45°是关键，属于基础题．12．（5分）已知f（x4）=log4x，则f（）=﹣．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由f（x4）=log4x，得f（）=f（（）4）=，根据对数的运算法则可求．解答：解：由f（x4）=log4x，得f（）=f（（）4）==﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查函数值的求解、对数的运算法则，属基础题．13．（5分）在直角坐标系中，O是原点，A（），将点A绕O点逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为（﹣，）．考点：三角函数线．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意，∠AOx=60°，∠BOx=150°，根据三角函数的定义，可得B点坐标．解答：解：由题意，∠AOx=60°，∠BOx=150°，根据三角函数的定义，可得B点坐标为（cos150°，sin150°），∴B（﹣，），故答案为：（﹣，）．点评：本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2﹣4x，且当x∈[﹣3，﹣]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：可根据偶函数的性质，再结合其图象分析函数的单调性，从而确定答案．解答：解：作出函数f（x）的图象，由图象可知，函数f（x）在[﹣3，﹣2]上单调递减，在（﹣2，﹣]单调递增，且f（﹣3）＞f（﹣），故f（x）在[﹣3，﹣]时的最大值为f（﹣3）=f（3）=﹣3=m，最小值为f（﹣2）=f（2）=﹣4=n，∴m﹣n=﹣3+4=1故答案为：1．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数值得问题，属于基础题15．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1），若|2﹣|＜m恒成立，则实数m的取值范围为（4，+∞）．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，化简|2﹣|的解析式为，再根据θ∈[0，π]，利用余弦函数的定义域和值域求得|2﹣||的最大值，可得m的范围．解答：解：由题意可得，|2﹣|=====．∵θ∈[0，π]，∴θ+∈[，]，∴cos（θ+）∈ [﹣1，]，∴|2﹣|的最大值为4．若|2|＜m恒成立，则m＞4，故答案为：（4，+∞）．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．三、解答题（本大题有6小题，共75分）16．（12分）设f（α）=（1+2sinα≠0），求f （）的值．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：把f（α）解析式利用诱导公式化简，约分后把α=代入计算即可求出值．解答：解：f（α）===，∵1+2sinα≠0，∴f（α）=，∴f（）==．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．17．（12分）已知函数f（x）=+a，a∈R（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数．考点：函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意得2x﹣1≠0，从而求函数的定义域；（2）由f（x）为奇函数可得f（﹣x）+f（x）=+a++a=0；从而解得．解答：解：（1）由题意，2x﹣1≠0，解得，x≠0；故函数的定义域为{x|x≠0}；（2）若使f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=+a++a=0；即2a=﹣（+）=﹣=1；则a=；故f（x）=+．经检验，f（x）=+时成立．点评：本题考查了函数的定义域的解法及函数的奇偶性的应用，属于基础题．18．（12分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=（1）求tanα的值；（2）求sin2α+sinαcosα+cos2α的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用两角和与差的正切函数公式化简tan[（α+β）﹣（β+）]，将已知等式代入计算求出tanα的值即可；（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵tan（α+β）=，tan（β+）=，∴tan[（α+β）﹣（β+）]===﹣，即tan（α﹣）==﹣，整理得：21tanα﹣21=﹣1﹣tanα，即22tanα=20，解得：tanα=；（2）原式=====．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．（13分）函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由函数的奇偶性可求得当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=（x+1）2﹣a﹣1；从而由二次函数的性质可求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间为（﹣∞，﹣1）；（2）易知函数f（x）在[﹣1，0）（0，1]上单调递增，从而可得；从而解得．解答：解：（1）当x∈（﹣∞，0）时，﹣x＞0；f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x2﹣2x+a）=x2+2x﹣a=（x+1）2﹣a﹣1；由二次函数的性质知，函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间为（﹣∞，﹣1）；（2）易知函数f（x）在[﹣1，0）（0，1]上单调递增，则若使函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，则；则a≥0．点评：本题考查了函数的性质与应用，属于基础题．20．（13分）已知向量=（﹣1，cosωx+sinωx），=（f（x），cosωx），其中ω≠0且⊥，又函数f （x）的图象任意两相邻对称轴间距为．（1）求ω的值；（2）探讨函数f（x）在（﹣π，π）上的单调性．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意知，f（x）=cosωx•（cosωx+sinωx）=sin（2ωx+）+，由其周期T==3π，即可求得ω的值；（2）x∈（﹣π，π）⇒﹣＜x+＜，利用﹣＜x+＜可求得函数f（x）单调递增区间，利用≤x+＜可求函数f（x）单调递减区间．解答：解：（1）由题意，得•=0，∴f（x）=cosωx•（cosωx+sinωx）=+=sin（2ωx+）+．根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，∴ω=；（2）由（1）知f（x）=sin（x+）+，∵x∈（﹣π，π），∴﹣＜x+＜，当﹣＜x+＜，即﹣π＜x＜时，函数f（x）单调递增；当≤x+＜，即≤x＜π时，函数f（x）单调递减．综上可知，函数f（x）在（﹣π，）上单调递增，在[，π）上单调递减．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，考查向量数量积的坐标运算，烤箱运算求解能力，属于中档题．21．（13分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．（1）求闭函数y=x2（x∈[0，+∞））符合条件②的区间[a，b]；（2）若y=k+（k＜0）是闭函数，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）根据闭函数的定义知，对于闭函数y=x2，解出中的x值即得区间[a，b]；（2）根据闭函数的定义，先通过求导判断该函数的单调性，而要满足条件②，只需方程x=k+有两个不同实数根，将该方程变成一元二次方程，根据判别式△及韦达定理即可得到k的取值范围．解答：解：（1）根据闭函数的定义，解，x∈[0，+∞），得：x=0，或1；∴该闭函数符合条件②的区间[a，b]=[0，1]；（2）y′=；∴函数y=k+在[0，+∞）上是增函数，符合条件①；由得，x2﹣（2k+1）x+k2=0；要满足条件②，该方程在[0，+∞）上需有两个不同的实数根；∴，解得k，又k＜0；∴实数k的取值范围为（，0）．点评：考查对闭函数定义的理解，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，一元二次方程有两个不同实根时的△的取值情况，以及韦达定理．。

2014-2015学年安徽省芜湖市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3.00分）设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A．A⊆B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5}D．A∩∁U B={1}2．（3.00分）函数y=2sin（+x）的最小正周期为（）A．πB．8 C．16 D．3．（3.00分）三个数P=（）0，Q=（0.3）2，R=20.3的大小顺序为．A．Q＜R＜P B．Q＜P＜R C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q4．（3.00分）设α是第二象限的角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=，则tanα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．6．（3.00分）把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=2，φ= C．ω=2，φ=0D．ω=2，φ=7．（3.00分）已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣18．（3.00分）函数f（x）=2x﹣sinx的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（3.00分）+sin10°tan70°﹣2cos40°=（）A．0 B．1 C．2 D．10．（3.00分）如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象：在这些图象中（）A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）11．（3.00分）已知θ是第二象限的角，且sin＜cos，那么sin+cos的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，）C．（﹣1，1）D．（﹣，﹣1）12．（3.00分）如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（2，1），Q（2，2），C（2，）中，“好点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13．（4.00分）sin585°的值为．14．（4.00分）函数的值域为．15．（4.00分）函数y=3cosx（0≤x≤π）的图象与直线y=﹣3及y轴围成的图形的面积为．16．（4.00分）设函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|≤）的对称轴完全相同，则φ的值为．17．（4.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R有f（+x）=﹣f （﹣x），若f（1）=2，则f（2）+f（3）=．三、解答题（共5小题，满分44分）18．（7.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．19．（8.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2m （﹣1≤x≤m）的值域为B．（1）当m=1时，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．20．（9.00分）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f （3﹣2x）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．21．（10.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）试确定f（x）的解析式；（2）若f（）=，求的值．22．（10.00分）已知函数f（x）=x2+2x•tanθ﹣1，．（1）当时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数．2014-2015学年安徽省芜湖市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3.00分）设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A．A⊆B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5}D．A∩∁U B={1}【解答】解：∵∁U B={1，5}，A={1，2，3}，∴A∩∁U B={1}故选：D．2．（3.00分）函数y=2sin（+x）的最小正周期为（）A．πB．8 C．16 D．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：y=2sin（+x）的最小正周期T==16．故选：C．3．（3.00分）三个数P=（）0，Q=（0.3）2，R=20.3的大小顺序为．A．Q＜R＜P B．Q＜P＜R C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【解答】解：∵P=（）0=1，Q=（0.3）2＜1，R=20.3＞1，∴Q＜P＜R，故选：B．4．（3.00分）设α是第二象限的角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=，则tanα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：由题意可得x＜0，cosα==，求得x=﹣3，则tanα===﹣，故选：A．5．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．6．（3.00分）把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=2，φ= C．ω=2，φ=0D．ω=2，φ=【解答】解：把函数y=sin（x+）的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sinx，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin2x，∵解析式为y=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π），∴ω=2，φ=0，故选：C．7．（3.00分）已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣1【解答】解：∵log38﹣2log36=3log32﹣2（1+log32）=log32﹣2=a﹣2故选：B．8．（3.00分）函数f（x）=2x﹣sinx的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=2x的图象，由图得交点1个，故函数f（x）=sinx﹣2x的零点的个数是1，故选：A．9．（3.00分）+sin10°tan70°﹣2cos40°=（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：原式=+﹣2cos40°=﹣2cos40°===2．故选：C．10．（3.00分）如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象：在这些图象中（）A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【解答】解：∵建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议（1），∵建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（2）．故选：B．11．（3.00分）已知θ是第二象限的角，且sin＜cos，那么sin+cos的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，）C．（﹣1，1）D．（﹣，﹣1）【解答】解：∵θ是第二象限的角，∴2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z），∴kπ+＜＜kπ+，k=2n，2nπ+＜＜2nπ+，不满足sin＜cos，∴k=2n+1，2nπ+π＜＜2nπ+π，sin＜0，cos＜0∵（sin+cos）2=1+sinθ，∴1＜1+sinθ＜2，∴﹣＜sin+cos＜﹣1，故选：D．12．（3.00分）如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（2，1），Q（2，2），C（2，）中，“好点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设对数函数为f（x）=log a x，指数函数为g（x）=b x，①∵f（1）=log a1=0，∴M（1，1）不在对数函数图象上，故M（1，1）不是“好点”．②∵f（2）=log a2=1，∴a=2，即N（2，1）在对数函数图象上，∵g（2）=b2=1，解得b=1，不成立，即N（2，1）不在指数函数图象上，故N（2，1）不是“好点”．③∵f（2）=log a2=2，∴a=，即Q（2，2）在对数函数图象上，∵g（2）=b2=2，解得b=，即Q（2，2）在指数函数图象上，故Q（2，2）是“好点”．④f（2）=log a2=，∴a=4，即C（2，）在对数函数图象上，∵g（2）=b2=，解得b=即C（2，）在指数函数图象上，故C（2，）是“好点”．故Q，C是“好点”，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13．（4.00分）sin585°的值为﹣．【解答】解：sin585°=sin（720°﹣135°）=﹣sin135°=﹣．故答案为：﹣14．（4.00分）函数的值域为[，+∞）．【解答】解：因为x2+x+1=≥，所以，所以函数的值域为[，+∞）．故答案为[，+∞）．15．（4.00分）函数y=3cosx（0≤x≤π）的图象与直线y=﹣3及y轴围成的图形的面积为3π．【解答】解：函数y=3cosx（0≤x≤π）的图象与直线y=﹣3及y轴围成的图形如图：面积为=（3sinx+3x）|=3π；故答案为：3π．16．（4.00分）设函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|≤）的对称轴完全相同，则φ的值为﹣．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）的对称轴完全相同，可得ω=2，f（x）=2sin（2x+）．且当x=时，f（x）取得最大值为2，故函数g（x）=cos（+φ）也取得最大值为1，再结合|φ|≤，可得φ=﹣，故答案为：﹣17．（4.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R有f（+x）=﹣f （﹣x），若f（1）=2，则f（2）+f（3）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）满足对任意x∈R有f（+x）=﹣f（﹣x），∴函数f（x）的图象关于（，0）点对称，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数f（x）的最小正周期为3，∴f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（3）=f（0）=0，故f（2）+f（3）=﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（共5小题，满分44分）18．（7.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．【解答】（1）解：函数的定义域为R∵==﹣f（x）∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则=∵x1＜x2，a＞1，∴∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．19．（8.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2m （﹣1≤x≤m）的值域为B．（1）当m=1时，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．【解答】解：由函数f（x）=，得到，解得：＜x≤1，即A=（，1]；由g（x）=2m（﹣1≤x≤m），得到≤g（x）≤2m，即B=[，2m]，（1）当m=1时，B=[，2]，此时A∩B=（，1]；（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵A=（，1]，∴2m≥1=20，解得：m≥0，∵m＞﹣1，∴m≥0，则m的范围为[0，+∞）．20．（9.00分）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f （3﹣2x）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．【解答】解：（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f （3﹣2x）．∴，∴＜x＜，函数g（x）的定义域（，）．（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），∴，∴＜x≤2，故不等式g（x）≤0的解集是（，2]．21．（10.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）试确定f（x）的解析式；（2）若f（）=，求的值．【解答】解：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又ω＞0，∴T==2，∴ω=π；由图可知，f（x）=Asin（ωx+φ）经过（，2），∴ω+φ=，即+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（πx+）；（2）∵f（）=，∴2sin（+）=，∴sin（+）=cos[﹣（+）]=cos（﹣）=，∴cos（﹣α）=2﹣1=2×﹣1=﹣．22．（10.00分）已知函数f（x）=x2+2x•tanθ﹣1，．（1）当时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数．【解答】解：（1）当时，，，∴时，f（x）的最小值为．x=﹣1时，f（x）的最大值为．（2）函数f（x）=（x+tanθ）2﹣1﹣tan2θ图象的对称轴为x=﹣tanθ．∵y=f（x）在区间上是单调函数．∴﹣tanθ≤﹣1或﹣tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤﹣，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．因此θ的取值范围是．。

安徽省合肥168中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1D．23．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．5．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7D．6．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x9．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④10．（5分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4）D．（3，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=．12．（5分）函数f（x）=的定义域为．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．（1）若，求x，y的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．18．（12分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．20．（13分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．安徽省合肥168中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos（﹣1560°）=cos（1560°）=cos（360°×4+120°）=cos120°=cos（180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣．故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1D．2考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件代入计算即可．解答：解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．点评：本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x考点：进行简单的演绎推理．专题：计算题．分析：分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求．解答：解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；故选C点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结论．解答：解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故答案为：C．点评：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7D．考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．解答：解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数乘和加法运算求出的坐标，然后根据运用数量积等于0求解λ的值．解答：解：因为向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），所以，所以，因为，所以11+3λ=0，所以．故选D．点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了计算能力，是基础题．7．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）的图象确定a，b的取值范围，结合指数函数的图象进行判断即可．解答：解：由f（x）的图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：A点评：本题主要考查指数函数的图象的识别和判断，根据一元二次函数的图象确定a，b的取值范围是解决本题的关键．8．（5分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；计算题．分析：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的表达式，然后平移求出函数解析式．解答：解：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin，再向右平移个单位，得到y=sin=sinx故选A点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．9．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④考点：空集的定义、性质及运算．专题：压轴题；新定义．分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选A点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．10．（5分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4）D．（3，5）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围．解答：解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，故选：A．点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意求出集合N，然后直接利用并集运算得答案．解答：解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的计算题．12．（5分）函数f（x）=的定义域为（﹣2，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．解答：解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]点评：考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围．会求不等式的解集．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，先求出，再计算即可．解答：解：∵向量夹角为45°，且，∴=4﹣4•+=4×12﹣4×1×cos45°+=2，∴=；故答案为：．点评：本题考查了求平面向量的模长运算问题，是基础题．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．解答：解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1）．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设滚动后的圆的圆心为C并设∠BCP=θ，求出⊙C的方程和参数方程，由题意求出角θ，再由三角函数的诱导公式，化简可得P为（2﹣sin2，1﹣cos2），即可求出的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ∵⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）∴∠ACP=1，可得θ=+1，可得cosθ=cos（﹣1）=﹣sin1，sinθ=sin（﹣1）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1﹣sin2，1﹣cos2），所以的坐标是（1﹣sin1，1﹣cos1），故答案为：（1﹣sin1，1﹣cos1）．点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量共线定理、倍角公式即可得出；（2）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=（﹣）•=﹣=﹣，再利用正弦函数的单调性即可得出．解答：解：（1），∴；∴．（2）f（x）=（﹣）•=﹣==﹣2==﹣，令．所以f（x）的单调递增区间是．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．（1）若，求x，y的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1），据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值（2）利用向量的运算法则将用表示，利用向量数量积的运算律将用的模及它们的数量积表示求出值．解答：解：（1）∵，∴，即，∴，即，（2）∵，∴，即∴∴，==点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则；向量的数量积及其运算律；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，从而将未知向量的数量积，用已知向量的数量积表示．18．（12分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数周期性的性质即可求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）利用函数的周期性和奇偶性的性质将变量进行转化即可求的值．解答：解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．点评：本题主要考查函数值的计算以及函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的性质，是解决本题的关键．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．考点：二次函数的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=0可得b=1，由f（x）在区间（2，3）上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得，解得实数a的取值范围；（2）根据二次函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a，分类讨论[0，3]与对称轴位置关系，进而结合f（x）在[0，3]上的最大值是2，可求实数a的值解答：解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，由f（1）=0，得﹣1+2a﹣2a+b=0，解得：b=1．…（2分）又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；所以，．…（6分）（2）∵f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a．①当a≤0时，f max=f（0）=﹣2a+1=2，则；②当0＜a＜3时，，则，或（舍去）；③当a≥3时，f max=f（3）=4a﹣8=2，则（舍去）；综上：或．…（12分）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．20．（13分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的对称轴即可求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）根据f（α）=，，利用两角和差的余弦公式即可求cos2α的值．解答：解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是．故，k∈Z又0＜φ＜π，故．…（3分）所以，．即f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…（7分）（2）由已知得，，所以，=…（13分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数值的计算，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．解答：解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．。

芜湖一中2014—2015学年第一学期期末考试高二数学（文科）试卷一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上） 1．下列命题中正确的命题的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．与同一平面成等角的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一直线的两条直线平行2．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =,则实数x 的值是A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-3．过点(4,1)P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是A ．43130x y +-=B ．43190x y --=C ．34160x y --=D ．3480x y +-=4．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是43π,则正方体的表面积是 A ．8B ．6C ．4D ．35．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则1AC 与平面11BB C C 所成的角的正弦值为A ．22 B ．515 C ．46 D ．366．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．54B ．60C ．66D ．728．如图:直三棱柱'''ABC A B C -的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱'AA 和'CC 上，'AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积为 A ．5V B ．4V C ．3V D ．2V9．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45π B ．34π C．(6π- D ．54π 10．已知点,,P A B 共面，且2,2,AB PA PB ==若记P 到AB 中点O 的距离的最大值为1d ，最小值为2d ，则12d d -的值是A ．73B ．103C ．3D ．83二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．（11题图） （13题图）12．已知直线220x y k -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是___________．QPC'B'A'C BA13．如图，已知可行域为ABC ∆及其内部，若目标函数z kx y =+当且仅当在点B 处取得最大值，则k 的取值范围是 ．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变；③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线． 其中正确的命题是 ．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）16．（本题8分）求经过直线1:3450L x y +-=与直线2:2380L x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程．（1）与直线250x y ++=平行； （2）与圆22(2)4x y -+=相切．17．（本题8分）已知方程04222=+--+m y x y x .（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）求m的值．18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（本题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC CA ==，AB BC =，D 是1BC 上一点，CD ⊥ 平面1ABC ．（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求异面直线1AC 与BC 所成的角．20．（本题9分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥面ABCD ，//AB DC ，90DAB ∠=，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（1）求证：MC ∥平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值；DA1CBC1A1B（3）求二面角A PB C --的平面角的正切值．21．（本题9分）如图所示，已知直线l ：y ＝x ，圆C 1的圆心为点(3，0)，且经过点A (4，1)． (1)求圆C 1的方程；(2)若圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，点B 、D 分别为圆C 1、C 2上任意一点，求|BD |的最小值； (3)已知直线l 上一点M 在第一象限，点P 、Q 同时从原点出发，点P 以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，点Q 以每秒22个单位的速度沿射线OM 方向运动，设运动时间为t 秒．问：当t 为何值时，直线PQ 与圆C 1相切？ 芜湖一中2014-2015第一学期高二（文科）数学期末考试答案 一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每题4分，共20分）11． 3：1：2 12． 110k k -≤≤≠且 13． 122k -<< 14． ①③④ 15． 5 三、解答题（共50分） 16．（8分）解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点（-1，2）--------2分（1）直线方程为02=+y x --------4分 （2）直线方程为2=y -----6分和122(1)5y x -=-+------8分 17．（8分）解：（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m =20-4m >0，得m <5．--------3分 （2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0。

2014-2015学年安徽省宿州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5.00分）若集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．R B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5.00分）sin（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．C．﹣ D．3．（5.00分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）4．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．5．（5.00分）若向量=（2，3），=（cosθ，sinθ）且∥，则tanθ=（）A．B．﹣ C．D．﹣6．（5.00分）若a=（）2，b=log2，c=2，则a、b、c的大小关系为．A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b7．（5.00分）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）•（﹣）=0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形8．（5.00分）为了得到函数y=sin（3x+）的图象，可以由函数y=sinx的图象（）A．先向右平移个单位，再将其横坐标伸长为原来的3倍B．先向左平移个单位，再将其横坐标伸长为原来的3倍C．先将其横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位D．先将其横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位9．（5.00分）对于函数f（x）与g（x），如果其图象可以通过平移重合，则称f （x）与g（x）互为“移合函数”．已知函数f（x）=sinx，下列函数中，与f（x）互为“移合函数”的序号为（）①g（x）=sinxcos+cosxsin；②g（x）=cos2+sin cos+1；③g（x）=cos2x﹣sin2x；④g（x）=2cos（x+）A．①②B．①③C．②④D．③④10．（5.00分）函数f（x）=Mcos（ω+φ）（M＞0，ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则g（x）=Msin（ωx+φ）在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最小值﹣M D．可以取得最大值M二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5.00分）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．12．（5.00分）若扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则此扇形的圆心角弧度数为．13．（5.00分）若cos（α﹣β）=﹣，cos（α+β）=，＜α﹣β＜π，＜α+β＜2π，则cos2α=．14．（5.00分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则f（x）的解析式为．15．（5.00分）以下有五个命题：①若∥，∥，则与可能不平行；②α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；③直线x=是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点；⑤对于y=3sin（2x+），若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2是π的整数倍．其中正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12.00分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣6）≤0}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}．（1）求C R（A∩B）（2）若C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A⊆C，求a的取值范围．17．（12.00分）已知||=4，||=8，与的夹角是60°（1）计算|+|；（2）当k为何值时，（+2）⊥（k﹣）．18．（12.00分）求下联各式的值．（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（tan5°﹣）•．19．（12.00分）如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别于单位圆交于A，B两点，（1）如果A、B两点的纵坐标分别为、，求cos（β﹣α）的值．（2）已知点C（﹣1，），记函数f（α）=•，求f（α）的值域．20．（13.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取得最大值4，在同一周期中，在x=时取得最小值﹣4．（1）求函数f（x）在[0，]上的单调增区间；（2）若f（α+）=2，α∈（0，π），求α的值．21．（14.00分）设=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），记f（x）=•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间[﹣，]的简图；（3）若对任意x∈[﹣，]时，不等式f（x）﹣m≥f（0）恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年安徽省宿州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5.00分）若集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．R B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故选：D．2．（5.00分）sin（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：sin（﹣1560°）=﹣sin（1560°）=﹣sin（360°×4+120°）=﹣sin（120°）=﹣sin60°=﹣．故选：A．3．（5.00分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=2x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f（﹣1）=2﹣1+3×（﹣1）=﹣2.5＜0，f（0）=20+0=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0．∴f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间为（﹣1，0），故选：A．4．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=．故选：B．5．（5.00分）若向量=（2，3），=（cosθ，sinθ）且∥，则tanθ=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵向量=（2，3），=（cosθ，sinθ），且∥，∴2sinθ﹣3cosθ=0，即2sinθ=3cosθ∴cosθ≠0∴tanθ==．故选：C．6．（5.00分）若a=（）2，b=log2，c=2，则a、b、c的大小关系为．A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵0＜a=（）2＜1，b=log2＜0，c=2＞1，∴c＞a＞b．故选：B．7．（5.00分）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）•（﹣）=0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵（+﹣2）•（﹣）=0，∴（+）•（﹣）=0，∴AB2﹣AC2=0，即||=||．△ABC的形状是等腰三角形，故选：B．8．（5.00分）为了得到函数y=sin（3x+）的图象，可以由函数y=sinx的图象（）A．先向右平移个单位，再将其横坐标伸长为原来的3倍B．先向左平移个单位，再将其横坐标伸长为原来的3倍C．先将其横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位D．先将其横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位【解答】解：把函数y=sinx的图象先将其横坐标缩短为原来的倍，可得函数y=sin （3x）的图象，再把所得图象再向左平移个单位，可得函数y=sin[3（x+）]=sin（3x+）的图象，故选：D．9．（5.00分）对于函数f（x）与g（x），如果其图象可以通过平移重合，则称f （x）与g（x）互为“移合函数”．已知函数f（x）=sinx，下列函数中，与f（x）互为“移合函数”的序号为（）①g（x）=sinxcos+cosxsin；②g（x）=cos2+sin cos+1；③g（x）=cos2x﹣sin2x；④g（x）=2cos（x+）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：由于①g（x）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位，可得f（x）=sinx的图象，故①满足条件．②g（x）=cos2+sin cos+1=+sinx+1=sin（x+）+，故把g（x）的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，可得f（x）=sinx 的图象，故②满足条件．③g（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，故不能通过平移g（x）的图象得到f（x）=sinx的图象，故③不满足条件．④g（x）=2cos（x+）=2sin（x+），故不能通过平移g（x）的图象得到f（x）=sinx的图象，故④不满足条件．故选：A．10．（5.00分）函数f（x）=Mcos（ω+φ）（M＞0，ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则g（x）=Msin（ωx+φ）在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最小值﹣M D．可以取得最大值M【解答】解：∵f（x）=Mcos（ω+φ）（M＞0，ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，∴a，b是函数的两条相邻的对称轴，作出f（x）=Mcos（ω+φ）（M＞0，ω＞0）和g（x）=Msin（ωx+φ）在区间[a，b]的对应图象如图：由图象可知，g（x）=Msin（ωx+φ）在[a，b]上不单调，可以取得最小值﹣M，不能取最大值M，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5.00分）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ==∵tanθ=2∴=∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=故答案为：12．（5.00分）若扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则此扇形的圆心角弧度数为2．【解答】解：设此扇形的圆心角弧度数为α，半径为r，则2r+rα=4，=1，解得α=2，r=1．∴此扇形的圆心角弧度数为2．故答案为：2．13．（5.00分）若cos（α﹣β）=﹣，cos（α+β）=，＜α﹣β＜π，＜α+β＜2π，则cos2α=．【解答】解：因为cos（α﹣β）=﹣，＜α﹣β＜π，所以sin（α﹣β）==，因为cos（α+β）=，＜α+β＜2π，所以sin（α+β）=﹣=，则cos2α=co s[（α﹣β）+（α+β）]=cos（α﹣β）cos（α+β）﹣sin（α﹣β）sin（α+β）=﹣×﹣×（﹣）=，故答案为：．14．（5.00分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则f（x）的解析式为．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，设x＜0，则﹣x＞0，因为当，时，f（x）=sin2x+cosx，所以f（﹣x）=sin（﹣2x）+cos（﹣x）=﹣sin2x+cosx，因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=sin2x﹣cosx，综上得，，故答案为：．15．（5.00分）以下有五个命题：①若∥，∥，则与可能不平行；②α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；③直线x=是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点；⑤对于y=3sin（2x+），若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2是π的整数倍．其中正确命题的序号是①③④．【解答】解：对于①，若∥，∥，当=时，则与可能不平行，则①正确；对于②，α，β都是第一象限角，且α＞β，比如α=390°，β=30°，即有sinα=sinβ，则②错误；对于③，当x=，函数y=sinx+cosx=sin+cos=取得最大值，则③正确；对于④，令h（x）=sinx﹣x，h′（x）=cosx﹣1≤0，h（x）递减，由h（x）=h（0）=0，则x=0，则④正确；对于⑤，对于y=3sin（2x+），若f（x1）=f（x2）=0，则2x1+=k1π，2x2+=k2π，则x2﹣x1=（k2﹣k1）•，k2﹣k1为整数，则⑤错误．其中正确的为①③④．故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12.00分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣6）≤0}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}．（1）求C R（A∩B）（2）若C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A⊆C，求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|（x﹣2）（x﹣6）≤0}={x|2≤x≤6}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}．则A∩B={x|3≤x≤6}，则C R（A∩B）={x|x＞6或x＜3}（2）若C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A⊆C，则，即，解得2≤a≤6，则a的取值范围[2，6]．17．（12.00分）已知||=4，||=8，与的夹角是60°（1）计算|+|；（2）当k为何值时，（+2）⊥（k﹣）．【解答】解：（1）由||=4，||=8，与的夹角是60°，则=4×8×cos60°=16，|+|====4；（2）由（+2）⊥（k﹣），则（+2）•（k﹣）=0，即k﹣2+（2k﹣1）=0，即有16k﹣128+16（2k﹣1）=0，解得k=3．即有当k为3时，（+2）⊥（k﹣）．18．（12.00分）求下联各式的值．（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（tan5°﹣）•．【解答】解：（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0=log3+lg（25×4）+2+1==．（2）（tan5°﹣）•=（）．==．19．（12.00分）如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别于单位圆交于A，B两点，（1）如果A、B两点的纵坐标分别为、，求cos（β﹣α）的值．（2）已知点C（﹣1，），记函数f（α）=•，求f（α）的值域．【解答】解：（1）如果A、B两点的纵坐标分别为、，则有sinα=，sinβ=，结合α为锐角、β为钝角，可得cosα==，cosβ=﹣=﹣，∴cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=﹣+=．（2）已知点C（﹣1，），函数f（α）=•=（cosα，sinα）•（﹣1，）=sinα﹣cosα=2sin（α﹣）．由α为锐角，可得α﹣∈（﹣，），sin（α﹣）∈（﹣，），∴2sin （α﹣）∈（﹣1，），即f（α）的值域为（﹣1，）．20．（13.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取得最大值4，在同一周期中，在x=时取得最小值﹣4．（1）求函数f（x）在[0，]上的单调增区间；（2）若f（α+）=2，α∈（0，π），求α的值．【解答】解：（1）由题设知，A=4，周期=﹣=，T=π，又ω＞0，∴ω==3，∴f（x）=4sin（3x+φ），又x=时，y取得最大值4，∴3×+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），∵0＜φ＜π，∴φ=．∴f（x）=4sin（3x+）．∵由2kπ﹣≤3x+≤2kπ+（k∈Z），得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）在[0，]上的单调增区间是：[0，]∪[，]．（2）∵f（α+）=2，α∈（0，π），2α∈（0，2π），∴4sin[3（α+）+]=4sin（2α）=4cos2α=2，∴cos2，∴2α=或者，从而解得：α=或．21．（14.00分）设=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），记f（x）=•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间[﹣，]的简图；（3）若对任意x∈[﹣，]时，不等式f（x）﹣m≥f（0）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），则f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+则函数f（x）的最小正周期T==π；（2）先列表，再描点连线，可得简图．x﹣2x+0π2πsin（2x+）010﹣10y﹣（3）令g（x）=f（x）﹣m=sin（2x+）+﹣m，∵x∈[﹣，]，∴2x +∈[﹣，]∴sin （2x +）∈[﹣，1]，∴g （x ）∈[﹣m ，﹣m ]， 当2x +=﹣即x=﹣时，g （x ）取得最小值﹣m ，又f （0）==1， 对任意x ∈[﹣，]时，不等式f （x ）﹣m ≥f （0）恒成立，则1≤﹣m ，即有m ≤﹣1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。

2014-2015学年安徽省安庆市部分示范高中联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2}，则集合A∩∁U B等于（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0}2．（5.00分）下列角中，终边与310°相同的角是（）A．﹣630°B．﹣50°C．50°D．630°3．（5.00分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）4．（5.00分）已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．5．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|C．y=﹣x2+1 D．y=x6．（5.00分）已知向量=（1，cosθ）与=（2cosθ，1）平行，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0 C．D．7．（5.00分）函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+18．（5.00分）已知函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）9．（5.00分）f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）在x=1处的函数值为0，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数10．（5.00分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点O满足=+，则•等于（）A．﹣B．﹣ C．D．二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）11．（5.00分）计算sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=．12．（5.00分）已知f（x4）=log4x，则f（）=．13．（5.00分）在直角坐标系中，O是原点，A（），将点A绕O点逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为．14．（5.00分）已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2﹣4x，且当x∈[﹣3，﹣]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是．15．（5.00分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1），若|2﹣|＜m恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题有6小题，共75分）16．（12.00分）设f（α）=（1+2sinα≠0），求f（）的值．17．（12.00分）已知函数f（x）=+a，a∈R（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数．18．（12.00分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=（1）求tanα的值；（2）求sin2α+sinαcosα+cos2α的值．19．（13.00分）函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x+a（a ∈R）．（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（13.00分）已知向量=（﹣1，cosωx+sinωx），=（f（x），cosωx），其中ω≠0且⊥，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为．（1）求ω的值；（2）探讨函数f（x）在（﹣π，π）上的单调性．21．（13.00分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．（1）求闭函数y=x2（x∈[0，+∞））符合条件②的区间[a，b]；（2）若y=k+（k＜0）是闭函数，求实数k的取值范围．2014-2015学年安徽省安庆市部分示范高中联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2}，则集合A∩∁U B等于（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0}【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2}，∴A∩∁U B={﹣1，0，1，2}∩{﹣2，﹣1，0}={﹣1，0}，故选：D．2．（5.00分）下列角中，终边与310°相同的角是（）A．﹣630°B．﹣50°C．50°D．630°【解答】解：∵与310°终边相同的角的集合为{α|α=310°+k•360°，k∈Z}．取k=﹣1，得α=310°﹣360°=﹣50°．∴﹣50°的终边与310°的终边相同．故选：B．3．（5.00分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故选：B．4．（5.00分）已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：A．5．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|C．y=﹣x2+1 D．y=x【解答】解：函数y=x3是奇函数，A不正确；函数y=|x|偶函数，并且在（0，+∞）上单调递增的函数，所以B正确．函数y=﹣x2+1是偶函数，但是在（0，+∞）上单调递减的函数，所以C不正确；函数y=x是奇函数，所以D不正确．故选：B．6．（5.00分）已知向量=（1，cosθ）与=（2cosθ，1）平行，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0 C．D．【解答】解：向量=（1，cosθ）与=（2cosθ，1）平行，则1=2cos2θ，即有cos2θ=2cos2θ﹣1=0，故选：B．7．（5.00分）函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+1【解答】解：由图观察可知：周期T=2×（）=π，∴=π，∴ω=2，又A==，k=1，∴y=sin（2x+φ）+1，∵x=时，y=，∴sin（2×+Φ）=1，Φ=+2kπ（k∈Z），又∵|Φ|＜，∴Φ=，∴y=sin（2x+）+1．故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：由题意，f（1）=0．a＞0时，lna＞0，∴a＞1；a＜0时，﹣ln（﹣a）＞0，∴﹣1＜a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：D．9．（5.00分）f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）在x=1处的函数值为0，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象过（1，0），∴函数f（x+1）的图象过点（0，0）且关于点（0，0）对称，∴函数f（x+1）是奇函数．故选：C．10．（5.00分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点O满足=+，则•等于（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：•=（﹣）•（﹣）=（﹣﹣）•（﹣﹣）=（﹣）•（﹣）=﹣﹣=﹣﹣=﹣．故选：B．二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）11．（5.00分）计算sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=．【解答】解：sin59°cos14°﹣sin14°cos59°=sin（59°﹣14°）=sin45°=．故答案为：．12．（5.00分）已知f（x4）=log4x，则f（）=﹣．【解答】解：由f（x4）=log4x，得f（）=f（（）4）==﹣，故答案为：﹣．13．（5.00分）在直角坐标系中，O是原点，A（），将点A绕O点逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为（﹣，）．【解答】解：由题意，∠AOx=60°，∠BOx=150°，根据三角函数的定义，可得B点坐标为（cos150°，sin150°），∴B（﹣，），故答案为：（﹣，）．14．（5.00分）已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2﹣4x，且当x∈[﹣3，﹣]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是1．【解答】解：作出函数f（x）的图象，由图象可知，函数f（x）在[﹣3，﹣2]上单调递减，在（﹣2，﹣]单调递增，且f（﹣3）＞f（﹣），故f（x）在[﹣3，﹣]时的最大值为f（﹣3）=f（3）=﹣3=m，最小值为f（﹣2）=f（2）=﹣4=n，∴m﹣n=﹣3+4=1故答案为：1．15．（5.00分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1），若|2﹣|＜m恒成立，则实数m的取值范围为（4，+∞）．【解答】解：由题意可得，|2﹣|=====．∵θ∈[0，π]，∴θ+∈[，]，∴cos（θ+）∈[﹣1，]，∴|2﹣|的最大值为4．若|2|＜m恒成立，则m＞4，故答案为：（4，+∞）．三、解答题（本大题有6小题，共75分）16．（12.00分）设f（α）=（1+2sinα≠0），求f（）的值．【解答】解：f（α）===，∵1+2sinα≠0，∴f（α）=，∴f（）==．17．（12.00分）已知函数f（x）=+a，a∈R（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数．【解答】解：（1）由题意，2x﹣1≠0，解得，x≠0；故函数的定义域为{x|x≠0}；（2）若使f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=+a++a=0；即2a=﹣（+）=﹣=1；则a=；故f（x）=+．经检验，f（x）=+时成立．18．（12.00分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=（1）求tanα的值；（2）求sin2α+sinαcosα+cos2α的值．【解答】解：（1）∵tan（α+β）=，tan（β+）=，∴tan[（α+β）﹣（β+）]===﹣，即tan （α﹣）==﹣，整理得：21tanα﹣21=﹣1﹣tanα，即22tanα=20，解得：tanα=；（2）原式=====．19．（13.00分）函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x+a（a ∈R）．（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x∈（﹣∞，0）时，﹣x＞0；f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x2﹣2x+a）=x2+2x﹣a=（x+1）2﹣a﹣1；由二次函数的性质知，函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调减区间为（﹣∞，﹣1）；（2）易知函数f（x）在[﹣1，0）（0，1]上单调递增，则若使函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，则；则a≥0．20．（13.00分）已知向量=（﹣1，cosωx+sinωx），=（f（x），cosωx），其中ω≠0且⊥，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为．（1）求ω的值；（2）探讨函数f（x）在（﹣π，π）上的单调性．【解答】解：（1）由题意，得•=0，∴f（x）=cosωx•（cosωx+sinωx）=+=sin（2ωx+）+．根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，∴ω=；（2）由（1）知f（x）=sin（x+）+，∵x∈（﹣π，π），∴﹣＜x+＜，当﹣＜x+＜，即﹣π＜x＜时，函数f（x）单调递增；当≤x+＜，即≤x＜π时，函数f（x）单调递减．综上可知，函数f（x）在（﹣π，）上单调递增，在[，π）上单调递减．21．（13.00分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．（1）求闭函数y=x2（x∈[0，+∞））符合条件②的区间[a，b]；（2）若y=k+（k＜0）是闭函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）根据闭函数的定义，解，x∈[0，+∞），得：x=0，或1；∴该闭函数符合条件②的区间[a，b]=[0，1]；（2）y′=；∴函数y=k+在[0，+∞）上是增函数，符合条件①；由得，x2﹣（2k+1）x+k2=0；要满足条件②，该方程在[0，+∞）上需有两个不同的实数根；∴，解得k，又k＜0；∴实数k的取值范围为（，0）．。

2014-2015学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆锥C．一个圆柱、两个圆锥D．两个圆台、一个圆柱2．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n3．（3分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1B．﹣1C．5D．﹣54．（3分）用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2y﹣2=0相切，则实数m=（）A．或﹣B．﹣或3C．﹣3或D．﹣3或3 6．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．8C．10D．67．（3分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1B．（x﹣2）2+（y+1）2=4C．（x+4）2+（y﹣2）2=1D．（x+2）2+（y﹣1）2=18．（3分）正三棱柱有一个半径为cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A．9cm3B．54cm3C．27cm3D．18cm3 9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在斜率为k的直线上，若|AB|=a，则|y2﹣y1|等于（）A．|ak|B．a C．D．10．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（3分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1B．5﹣4C．6﹣2D．12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是．14．（4分）如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是．15．（4分）已知5x+12y=60，则的最小值为．16．（4分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于．17．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18．（7分）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．19．（8分）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点．证明：FE、HG、DC三线共点．20．（9分）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．21．（10分）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．22．（10分）已知实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣4）2=1，求的取值范围．2014-2015学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆锥C．一个圆柱、两个圆锥D．两个圆台、一个圆柱【解答】解：等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰当较长的边是下底时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆柱、两个圆锥当较长的边是腰时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆锥，一个圆台再挖掉一个圆锥故选：C．2．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．3．（3分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5【解答】解：∵过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，∴tan135°==﹣1，解得y=﹣5．故选：D．4．（3分）用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：用一个平行于水平面的平面去截球，截得的几何体是球缺，根据俯视图的定义，几何体的俯视图是两个同心圆，且内圆是截面的射影，∴内圆应是虚线，故选：B．5．（3分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2y﹣2=0相切，则实数m=（）A．或﹣B．﹣或3C．﹣3或D．﹣3或3【解答】解：圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=3，圆心坐标为（0，1），半径为，若直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=，即|m﹣|=2，解得m=﹣或3，故选：B．6．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．8C．10D．6【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，△PAC都是直角三角形；②∵∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．④由三垂线定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．综上可知：直角三角形的个数是8个．故选：B．7．（3分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1B．（x﹣2）2+（y+1）2=4C．（x+4）2+（y﹣2）2=1D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选：A．8．（3分）正三棱柱有一个半径为cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A．9cm3B．54cm3C．27cm3D．18cm3【解答】解：∵正三棱柱有一个半径为cm的内切球，∴由题意知正三棱柱的高为2cm，底面正三角形的内切圆的半径为cm，底面正三角形的边长为6cm，∴正三棱柱的底面面积为9cm2，故此正三棱柱的体积V=9=54（cm3）．故选：B．9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在斜率为k的直线上，若|AB|=a，则|y2﹣y1|等于（）A．|ak|B．a C．D．【解答】解：k≠0时，由弦长公式可得：|AB|=|y2﹣y1|，∴|y2﹣y1|=．当k=0时，上式也成立．∴|y2﹣y1|=．故选：D．10．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如下图所示：∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，∴MN∥AD1，∵∠CMN=90°，∴CM⊥MN，∴CM⊥AD1，由长方体的几何特征，我们可得CD⊥AD1，∴AD1⊥平面CDM故AD1⊥DM即异面直线AD1与DM所成的角为90°故选：D．11．（3分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1B．5﹣4C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是6或﹣2．【解答】解：因为点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，所以|AB|==2，解得x=6或x=﹣2，则实数x的值是6或﹣2．故答案为：6或﹣2．14．（4分）如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是5．【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=2，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．故其面积S=（2+3）×2=5．故答案为：5．15．（4分）已知5x+12y=60，则的最小值为．【解答】解：表示直线l：5x+12y=60的点Q与点P（4，0）的距离，因此当且仅当PQ⊥l时取得最小值d==．故答案为：．16．（4分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，2），C1（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），∴=（1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，1，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，取=（﹣2，2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故答案为：．法二：几何法：如图：取BD的中点O，连接C1O，作CO′⊥C1O．可证CO′⊥平面BDC1．设AB=2，则AA1=4，易求CO′=．CD与平面BDC1所成角为：sin∠CDO′===．17．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18．（7分）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．【解答】解：（1）x=1显然符合条件；（2）当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，得到直线AB与所求的直线平行，k AB=4，所以所求的直线斜率为4，∴y﹣2=4（x﹣1），化简得：4x﹣y﹣2=0，所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2=0，或x=119．（8分）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点．证明：FE、HG、DC三线共点．【解答】解：如图所示，设EF与DC共点于S'，DC与HG共点于S''，RT△CFS'≌RT△BFE，得到CS'=BE=AB，RT△CGS''≌RT△C1GH，得到CS''=C1H=C1D1，则，CS'=CS''（即S'与S''是同一个点），∴EF、GH、DC三线共点．20．（9分）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．【解答】解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1；又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，由此有或解方程组得或，于是r2=2b2=2，所求圆的方程是：（x+1）2+（y+1）2=2，或（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．21．（10分）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．【解答】解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC∴PE2=PC2﹣CE2=3（3 分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）可得PA2=PE2﹣AE2=2，即（5 分）因此，正视图的面积为（6 分）（2）由（1）可知，四棱锥P﹣ABCD的高为PA，，（7 分）底面积为（8分）∴四棱锥P﹣ABCD的体积为（10 分）（3）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）∵在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=2，在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2（12 分）∴BC2=4=AB2+AC2，可得△BAC是直角三角形（13 分）∴AC⊥AB．由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）22．（10分）已知实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣4）2=1，求的取值范围．【解答】解：当x=0时，=0；当x≠0时，=，∵动点落在（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，∴可令x=1+cosθ，y=4+sinθ，令=t，则t==，即t表示经过圆x2+y2=1与定点（﹣1，﹣3）的直线l的斜率，设直线l的方程为：tx﹣y+t﹣3=0，由1=，解得t=，∴t=∈[，+∞），∴+≥，当且仅当y=±x﹣1时等号成立，∴0＜≤，综上所述，0≤≤．。