与名师对话高三数学(文)一轮复习课件：名师专题讲座2

第 五 章
平面向量、复数
名师专题讲座(二)
三角函数、
平面向量的高考解答题型及求解策略
专题概述 高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数 图象和性质结合，解三角形与恒等变换、平面向量的综合，难度 属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运 算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的 余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换．要注意公式的多 样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解 决方法，灵活地实现问题的转化.
题型一 三角函数的图象与性质 题型概览：(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数 解析式中出现 α 及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换 的难易程度去化简， 往往要利用到二倍角公式、 升幂或降幂公式， 把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式． (2) 要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图 象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调 性、最值与周期．
(2017· 湖南五市十校 3 月联考)在△ABC 中， 内角 A、 B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，求 BC 边上的中线 AM 的最大值． [审题程序] 第一步：依据余弦定理角化边； 第二步：依据余弦定理求 cosB 及 AM； 第三步：由余弦定理和重要不等式求 AM 的最大值．
因为 y ＝ f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离 π π 2π 为 ，故该函数的周期 T＝4× ＝π.又 ω>0，所以 ＝π，因此 ω 4 4 2ω ＝1.
(2)由(1)知 为 y＝－sint.
π f(x)＝－sin2x－ .设 3
π t＝2x－ ，则函数 f(x)可转化 3
π sin2ωx－cos2ωx＝2sin2ωx－6 .
由函数 f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π ， 4 1 1 2π π 得 T＝ · ＝ ，即 ω＝1， 4 4 2ω 4 所以
π f(x)＝2sin2x－ . 6
π π π 令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 2 6 2 π π 解得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， 6 3 所以函数
π f(x)在区间0，2 上的值域．
[审题程序] 第一步：化简 f(x)为“一角一函数”形式； 第二步：求 ω 和单调递增区间； 第三步：求 f(x)在给定区间上的值域．
[ 规范解答 ]
(1)f(x) ＝ 2 3cosωxsinωx ＋ sin2ωx － cos2ωx ＝ 3
π 1 1 则容易出现－ ≤sin2x－ ≤ ，从而出现 f(x)∈[－1,1]的错误． 6 2 2
[答题模板]
解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练] 3 1． 设函数 f(x)＝ － 3sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)， 且 y＝f(x) 2 π 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值； (2)求
π 因此－1≤f(x)＝－sin2x－3 ≤
3 . 2 3 ，－1. 2
故
3π f(x)在区间π， 2 上的最大值和最小值分别为
题型二
解三角形应用
a 题型概览： (1)已知两角 A， B 与一边 a， 由 A＋B＋C＝π 及 sinA b c ＝ ＝ ，可先求出角 C 及 b，再求出 c. sinB sinC (2)已知两边 b，c 及其夹角 A，由 a2＝b2＋c2－2bccosA，先 求出 a，再求出角 B，C. (3)已知三边 a，b，c，由余弦定理可求出角 A，B，C.
3π f(x)在区间π， 2 上的最大值和最小值．
[解]
(1)f(x)＝
3 － 3sin2ωx－sinωxcosωx 2
1－cos2ωx 1 3 ＝ － 3· － sin2ωx 2 2 2
π 3 1 ＝ cos2ωx－ sin2ωx＝－sin2ωx－ . 3 2 2
π π f(x)的单调递增区间为－ ＋kπ， ＋kπ ，k∈Z. 6 3
π π π 5π (2)因为 0≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ， 2 6 6 6
π 1 所以－ ≤sin2x－6 ≤1，所以－1≤f(x)≤2， 2
所以函数 f(x)的值域为[－1,2]．
[解题反思]
此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题
综合考查了三角函数的诱导公式、由三角函数值求参数、三角函 数的周期、三角函数在指定区间上的最值等，考查考生的运算求 解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等．该题 的亮点有二：一是第(1)问，由 f(x)的图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离得出 f(x)的周期从而求出 ω， 求出 f(x)的单调递增 区间，经典而又不失新意；二是第(2)问考查函数 f(x)在给定区间 上的最值问题．需结合 y＝sinx 的图象及自变量的变化求解，否
3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时， ≤t＝2x－ ≤ ， 2 3 3 3
如图所示，作出函数 y＝sint
5π 8π ， 在 3 上的图象． 3
Hale Waihona Puke 图象可知，当 sint∈ －
5π 8π ， t∈ 3 时， 3
3 ，1， 2
3 故－1≤－sint≤ ， 2
a b (4)已知两边 a， b 及其中一边的对角 A， 由正弦定理 ＝ sinA sinB 可求出另一边 b 的对角 B，由 C＝π－(A＋B)，可求出角 C，再由 a c a b ＝ 可求出 c，而通过 ＝ 求角 B 时，可能有一解或 sinA sinC sinA sinB 两解或无解的情况．
(2018· 合 肥 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ (2 3 · cosωx ＋ sinωx)sinωx－sin
2π
＋ ωx 且函数 2 (ω>0)，
y＝f(x)图象的一个对称中
π 心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间； (2)求函数