与名师对话(高考理科二轮书)专题强化训练1 (8)

第一章集合、常用逻辑用语(必修1、选修2－1)第一节集合高考概览：1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4.在具体情境中，了解全集与空集的含义；5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；7.能使用V enn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[知识梳理]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合问题中的几个基本结论(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁U U＝∅，∁U∅＝U.[辨识巧记]1．两个易错点(1)在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A∪B＝B⇔A∩B ＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．(2)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．2．一个关注点Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤2018}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P[解析]∵22∉N，∴a∉P，故选D.[答案] D3．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B ＝()A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]∵A＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.[答案] C4．已知集合A＝{x|x2＋x>0}，B＝{y|y＝22x＋1，x∈R}，则(∁R A)∪B＝()A．[0,2) B．[－1,0]C．[－1,2) D．(－∞，2)[解析]A＝{x|x<－1或x>0}，∁R A＝[－1,0]，B＝(0,2)，于是(∁R A)∪B＝[－1,2)，故选C.[答案] C5．(2019·太原质检)已知集合A＝{a，(a＋1)2，a2＋a－1}，B＝{－2,1}，A ∩B ＝{1}，则实数a ＝________.[解析] 由A ∩B ＝{1}，得1∈A .若a ＝1，则集合A 中有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾．若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2.当a ＝0时，A ＝{0,1，－1}，符合题意；当a ＝－2时，集合A 中有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾．若a 2＋a －1＝1，则a ＝1或a ＝－2，由上述可知，a ＝1或－2都不满足题意．所以实数a 的值为0.[答案] 0考点一 集合的基本概念【例1】 (1)(2018·江西抚州临川一中期中)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 3＋16，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 6＋23，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅(2)(2019·河北衡水金卷模拟)已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x }，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0，＋∞)(3)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)因为x ＝k 3＋16＝16(2k ＋1)，x ＝k 6＋23＝16(k ＋4)，k ∈Z ，又k ∈Z 时，2k ＋1表示奇数，k ＋4表示整数，所以M N .故选B.(2)由于集合A ＝{x |y ＝x 2－2x }表示的是函数y ＝x 2－2x 的定义域，所以由x 2－2x ≥0可知集合A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示的是函数y ＝x 2＋1的值域，因此B ＝{y |y ≥1}．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．故选B.(3)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m＝1时，m ＋2＝3,2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝－32.故填－32.[答案] (1)B (2)B (3)－32集合中元素问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．[对点训练]1．(2019·山东潍坊模拟)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4[解析] ①当a ＝0时，1＝0显然不成立；②当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.综上可知a ＝4.故选A.[答案] A2．(2019·湖北部分重点中学第二次联考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x －2x ＋2≤0，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16[解析] 集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x －2x ＋2≤0＝{x ∈Z |－2<x ≤2}＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1,4}，故集合B的子集的个数为23＝8.故选B.[答案] B考点二集合的基本关系【例2】(1)已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，则下列结论正确的是()A．M⊆N B．M⊆∁R NC．∁R M⊆N D．∁R N⊆M(2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)[解析](1)集合N＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3或x<－1}，所以∁N＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M⊆∁R N，故选B.R(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.故选B.解法二：因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立，可排除A.故选B.[答案] (1)B (2)B集合关系问题的应用技巧(1)判断两集合的关系有两种方法，一是化简集合，通过表达式寻求；二是列举元素，从元素关系中寻找．(2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．[对点训练]1．(2018·河北唐山第一次模拟)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1，则( ) A ．M N B ．N M C ．M ＝ND ．M ∪N ＝R[解析] 集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .故选C.[答案] C2．(2018·河南南阳、信阳等六市一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [解析] 由题意知C ＝A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝0x 2＋y 2＝1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，－1＋52. ∴C 的子集的个数是21＝2.故选C. [答案] C考点三 集合的基本运算集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识．常见的命题角度有： (1)求交集或并集； (2)交、并、补的混合运算； (3)利用集合运算求参数． 角度1：集合的交集、并集【例3－1】 (1)(2018·山西五校联考)已知集合P ＝{x ∈R ||x |<2}，Q ＝{x ∈R |－1≤x ≤3}，则P ∩Q ＝( )A ．[－1,2)B ．(－2,2)C ．(－2,3]D ．[－1,3](2)(2018·河北唐山模拟)若集合A ＝{x |－1<x <1，x ∈R }，B ＝{x |y＝x －2，x ∈R }，则A ∪B ＝( )A ．[0,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－1,1)∪[2，＋∞)D ．∅ [解析] (1)由题意得P ＝{x |－2<x <2}，所以P ∩Q ＝{x |－1≤x <2}，故选A.(2)由题意得B ＝{x |x ≥2}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <1或x ≥2}，故选C.[答案] (1)A (2)C角度2：集合的交、并、补混合运算【例3－2】(1)(2018·江西南昌二中第四次模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁U B)∩A＝() A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0,3)C．[0,3) D．(0,3)(2)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[思路引导](1)化简集合A与B→求集合B的补集→求(∁U B)∩A(2)求∁R Q→结合数轴求P∪(∁R Q)[解析](1)集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}．因为全集U＝R，所以∁U B＝{x|－1<x<3}，所以(∁U B)∩A＝(0,3)，故选D.(2)∵Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}．故选B.[答案](1)D(2)B角度3：利用集合运算求参数【例3－3】(1)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为() A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.[思路引导] (1)A ∩B ＝B →B ⊆A → 分B ＝Ø和B ≠Ø两种情况→得出m 的取值范围(2)化简集合A →根据A ∩B 确定m →化简集合B→根据A ∩B 确定n[解析] (1)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，得－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.故选D.(2)由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1，所以集合A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝(－1，n )，所以－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，代入可得3(1＋m )＝0，所以m ＝－1，解不等式(x ＋1)(x －2)<0得－1<x <2，所以B ＝{x |－1<x <2}，所以A ∩B ＝(－1,1)，即n ＝1，所以m ＝－1，n ＝1.[答案] (1)D (2)－1 1解集合运算问题的4个注意点(1)看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)注意Ø和区间端点值：当题目中出现A⊆B或A∩B＝A或A∪B＝B时，在解题过程中务必注意对集合A进行分类讨论，即分A＝∅和A≠∅两种情况进行讨论，并注意对端点值的检验．[对点训练]1．(2018·湖北鄂东南省级示范高中联考)设全集I是实数集R，M ＝{x|x≥3}，N＝{x|(x－3)(x－1)≤0}都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为()A．{x|1<x<3} B．{x|1≤x<3}C．{x|1<x≤3} D．{x|1≤x≤3}[解析]∵M＝{x|x≥3}，∴∁I M＝{x|x<3}，∵N＝{x|(x－3)(x－1)≤0}＝{x|1≤x≤3}，由图知阴影部分所表示的集合为N∩(∁I M)，∴N∩(∁I M)＝{x|1≤x<3}．故选B.[答案] B2．(2019·陕西师大附中月考)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值为________．[解析]易知A＝{－2，－1}．由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.[答案]1或2创新交汇系列①——集合中的创新问题素养解读：与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用．1．定义新概念、新公式【典例1】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k －1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．[切入点]“单一元”的理解．[关键点]若k∈A，则k－1∉A，k＋1∉A.[规范解答]符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．[答案] 62．定义新运算、新法则【典例2】设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数．命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立[切入点]card(A)的含义．[关键点]d(A，B)的理解及具体表述．[规范解答]命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A.[答案] A对于新定义问题，我们要透过现象看本质，考查的还是基础知识，所以新定义问题不一定是难题，要学会以不变应万变，解决此类问题分三步：(1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号．(2)细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近的知识点，明确它们的共同点和不同点．(3)对新定义中提取的知识点进行转换：如果是新定义的运算、法则，直接按照运算、法则计算即可；如果是新定义的性质，就要对新性质进行适当的转换，也可用特殊值排除．[感悟体验]1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1,0，12，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31[解析] ∵x ∈A ，且1x ∈A ，∴－1∈A,2∈A 且12∈A .∴集合M 的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，{12，2}，{－1，12，2}，共3个．故选B.[答案] B2．定义集合的差集运算为A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{y |y ＝|x －1|－|x ＋1|，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x ＋1－x －1，x ∈R }，则A －B ＝________.[解析] 依题意知，y ＝|x －1|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x <－1，－2x ，－1≤x ≤1，－2，x >1，可知－2≤y ≤2，所以A ＝[－2,2]．易知y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上单调递减，则0<x ＋1－x －1≤2，即0<y ≤2，所以B ＝(0，2]．于是A －B ＝[－2,0]∪(2，2]．[答案][－2,0]∪(2，2]课后跟踪训练(一)基础巩固练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝() A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]解法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.解法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.[答案] B2．(2018·湖北部分重点中学模拟)若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N ＝{(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}，则有()A．M∪N＝M B．M∪N＝NC．M∩N＝M D．M∩N＝∅[解析]N＝{(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}＝{(0,0)}，且点(0,0)满足直线x＋y＝0，所以M∪N＝M，故选A.[答案] A3．(2019·百校联盟联考)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集个数为()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3,4}，所以集合A∩B的子集个数为4.故选D.[答案] D4．(2019·陕西延安高考模拟)若全集U＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{－2,2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1,0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,1}D ．{0}[解析] B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )．A ∪B ＝{－2，－1,1,2}，全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U (A ∪B )＝{0}．故选D.[答案] D5．(2019·山东济南期末)已知集合A ＝{x |ax －6＝0}，B ＝{x ∈N |1≤log 2x <2}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是( )A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3}[解析] B ＝{x ∈N |1≤log 2x <2}＝{2,3}．因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，当a ＝0时，集合A 为空集，符合题意，当a ≠0时，A ＝{x |ax－6＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6a ，由题意得6a ＝2或6a ＝3，解得a ＝3或a ＝2，所以实数a 的所有值构成的集合是{0,2,3}，故选D.[答案] D二、填空题6．(2019·江苏扬州质检)已知集合M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x x －1≤0，则M ∩N ＝________. [解析] 由N 中不等式变形得x (x －1)≤0，且x －1≠0，解得0≤x <1，即N ＝{x |0≤x <1}，又因为M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <1}．[答案] {x |0≤x <1}7．(2019·山西大学附中模拟)已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________.[解析] 由题意知，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2.当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9∉U ，所以a ＝－4不满足题意，舍去；当a ＝2时，|2a －1|＝3,3∈U ，满足题意．故实数a 的值为2.[答案] 28．(2019·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．[解析] 由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.[答案] 1或－18三、解答题9．(2019·河北邯郸模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －5x ＋1≤0，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．[解] 由x －5x ＋1≤0， 解得－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.10．(2019·郑州一中月考)已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0<x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.[解] 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0<x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3>1， 即－2<a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．(2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1.即a ≥1或a ≤－4.故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1)．能力提升练11．(2019·长沙调考)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁(A ∪B )(A ∩B )等于( )A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 [解析] 因为集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12，B ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤1}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12，所以∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选C. [答案] C12．(2019·海淀一模)设集合P ＝{m |－1<m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．P QC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ [解析] Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①当m ＝0时，－4<0恒成立；②当m <0时，需Δ＝(4m )2－4×m ×(－4)<0，解得－1<m <0.综合①②知－1<m ≤0.故选C.[答案] C13．(2019·福建福州质检)已知集合A ＝{1,3,4,7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．[解析] 由已知得，B ＝{3,7,9,15}，所以A ∪B ＝{1,3,4,7,9,15}，所以集合A ∪B 中元素的个数为6.[答案] 614．(2019·长沙一中月考)设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，(1)若B ⊆A ，求a 的值；(2)若A ⊆B ，求a 的值．[解] (1)A ＝{0，－4}，①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)<0，解得a <－1； ②当B 为单元素集时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意；③当B ＝A 时，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. 综上可知：a ≤－1或a ＝1.(2)若A ⊆B ，必有A ＝B ，由(1)知a ＝1.拓展延伸练15．(2019·东北三校联考)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B.[答案] B16．设A 、B 是两个非空数集，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2][解析] 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.[答案] A第二节命题及其关系、充分条件与必要条件高考概览：1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．[知识梳理]1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，q⇒/_p，则p是q的充分不必要条件．(2)若p⇒/_q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．(3)若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p⇒/_q，q⇒/_p，则p是q的既不充分也不必要条件．[辨识巧记]1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)语句“2018≥2017”是真命题．()(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．()(3)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(4)p是q的充分不必要条件等价于綈q是綈p的充分不必要条件．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(选修2－1P 8A 组T 2改编)有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[解析] ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.故选C.[答案] C3．(选修2－1P 10练习T 3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由(x －1)(x ＋2)＝0，得x ＝1或x ＝－2，所以(x －1)(x ＋2)＝0是“x ＝1”的必要不充分条件．故选B.[答案] B4．(2019·贵州省贵阳市高三检测考试)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，故选A.[答案] A5．(2019·重庆万州模拟)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8＝{x |－1<x <3}． ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A .∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.∴m 的取值范围为(2，＋∞)．[答案] (2，＋∞)考点一 命题的相互关系及真假性【例1】 (1)下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题(2)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[思路引导] (1)根据选项写出命题→判断真假→得结论 (2)根据原命题写出逆命题→判断原命题和逆命题的真假→根据四种命题之间的真假关系得出真命题的个数[解析] (1)对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．故选B.(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．故选C.[答案](1)B(2)C命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[对点训练]1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是() A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0[解析]将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故选D.[答案] D2．(2018·湖南衡阳模拟)给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．[解析]①∵k>0时，Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题．②逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题．③否命题：若xy≠0，则x，y都不为0，是真命题．[答案]①③考点二充分、必要条件的判断充分条件、必要条件是每年高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题．常见的命题角度有：(1)定义法判断充分、必要条件；(2)集合法判断充分、必要条件；(3)等价转化法判断充分、必要条件．角度1：定义法判断充分、必要条件【例2－1】(2019·安徽江南十校联考)已知a>0，b>0，且a≠1，则“log a b>0”是“(a－1)(b－1)>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[思路引导]化简不等式→判断关系→确定结果[解析]若log a b>0，则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1.∴(a－1)(b－1)>0.若(a－1)(b－1)>0，则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1.∴log a b>0.因此“log a b>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充要条件．故选C.[答案] C角度2：集合法判断充分、必要条件【例2－2】 设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [思路引导] 画出不等式(组)表示的区域→通过区域的包含判断充分性、必要性→得结论[解析] 画出可行域(如图所示)，可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内，即pD ⇒/q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．故选A.[答案] A角度3：等价转化法判断充分、必要条件【例2－3】 已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[思路引导]写出綈p、綈q→判断綈q与綈p的关系→p与q的关系[解析]因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈pD⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.[答案] A充要条件的判断方法[对点训练]1．(2019·北京西城模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b －c)＝0”是“b＝c”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要而不充分条件．故选B.[答案] B2．(2019·福建三明一中月考)命题p ：|x ＋2|>2，命题q ：13－x >1，则綈q 是綈p 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为命题p ：|x ＋2|>2，即p ：x >0或x <－4，所以綈p 可表示为集合A ＝{x |－4≤x ≤0}；命题q ：13－x >1，即q ：2<x <3，所以綈q 可表示为集合B ＝{x |x ≤2或x ≥3}，因为A B ，所以綈p 是綈q 成立的充分不必要条件，即綈q 是綈p 成立的必要不充分条件．故选B.[答案] B3．(2019·广西南宁调研)设x ，y 是两个实数，“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1[解析] “x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是“x ＋y >2”，理由：若x ，y 都不大于1，则x ＋y >2不成立．但是x ，y 中至少有一个数大于1，不一定有x ＋y >2，如x ＝4，y ＝－8，则x ＋y ＝－4.故选B.[答案] B考点三 充分、必要条件的应用【例3】 (1)(2019·湖南高三质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1D ．a ≤0或a >1(2)已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[思路引导] (1)写出f (x )有且只有一个零点的充要条件M → 以选项为条件判断选项与M 的关系→得出结论(2)化简集合P →由题得S ⊆P →列不等式组→ 得m 的取值范围[解析] (1)∵函数f (x )过点(1,0)，∴函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．数形结合可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，知A 正确．故选A.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] (1)A (2)[0,3][拓展探究] (1)本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．(2)本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] (1)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． (2)由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且SD ⇒/P . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围应注意的2点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[对点训练]1．(2019·武汉一模)若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1][解析] x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.[答案] D2．已知集合A ＝{}x |2a ≤x ≤a ＋3，B ＝{x ||x －4|≤2}．若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意，得B ＝{x |2≤x ≤6}．∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≤6，2a ≥2且a ＋3＝6与2a ＝2不同时成立．解得1≤a ≤3.[答案] [1,3]解题方法系列①——充分、必要条件素养解读：作为常用逻辑用语中的重点，充要条件也是历年高考命题的重点，多为选择题或填空题，试题难度不大，但考查的知识点涉及函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计等诸多内容，涵盖高中所有知识点，是其他题目不能考查到的知识点的重要补充．【典例】 设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[切入点] 化简命题的条件、结论，用定义法或集合法判断．[关键点] 解三角不等式．[规范解答] 解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得－π12<θ－π12<π12，解得0<θ<π6.所以sin θ<12，所以sin θ<12得θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z .又⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”⇒“sin θ<12”，但“sin θ<12”D ⇒/ “⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故选A. 解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒0<sin θ<12.“sin θ<12”D ⇒/ “0<sin θ<12”，所以“sin θ<12”D ⇒/ “⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故选A.[答案] A本题把三角不等式与充分必要条件相交汇，命题的角度比较新颖独特，解题突破口是熟记特殊角的三角函数值，借助三角函数的单调性与图象的特征，即可求出角的取值范围，再利用“以小推大”的技巧，判断其充分性与必要性．若能巧用特值法来判断，则可提升求解速度．[拓展探究1] 把三角函数的背景变为等差数列的背景，将条件中“解三角不等式”变为“数列的前n 项和之间的大小比较“，即可得到2017年浙江卷：已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]因为S 4＋S 6>2S 5⇔4a 1＋4×32d ＋⎝⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d >2⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ⇔6d ＋15d >20d ⇔d >0，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件，故选C.[答案] C本题把等差数列与充分必要条件相交汇，是“新口味”的好题，解题关键是活用公式，即活用等差数列的前n 项和公式，把已知不等式进行等价转化，即可寻找其充要条件，从而作出正确判断．[拓展探究2] 把等差数列的背景变为平面向量的背景，将条件中“数列的前n项和之间的大小比较”变为“平面向量的共线与数量积的符号”，即可得到2017年北京卷：设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若∃λ<0，使m＝λn，则两向量m，n反向，夹角是180°，那么m·n＝|m||n|cos180°＝－|m||n|<0，所以“m＝λn”⇒“m·n<0”．反过来，若m·n<0，那么两向量m，n的夹角范围为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m＝λn，所以“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件，故选A.[答案] A本题把平面向量与充分必要条件相交汇，这样命题使得传统的充分必要条件题显得鲜活了．破解此类问题的关键是过好双关：一是公式关，即活用平面向量数量积的公式，判断两非零向量数量积的符号；二是图象关，借用向量的图象特征可快速举出反例，从而判断出其充分必要条件．由以上“一例二拓”可以发现，“交汇型”充分必要条件的问题通常是选取合适的数学背景，把新交汇考点巧妙地融入试题中，虽然它的构思巧妙、题意新颖，但是，它考查的还是基本知识和基本技能．解这类题的关键在于用慧眼去找寻“交汇点”，用心灵去感受题意以及科学合理地运算推理．[感悟体验]1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()。

与名师对话高三总复习2022政治答案1、6. 对市场主体的行为进行监督和管理、做好服务，属于我国政府的（）。

* [单选题] *A、政治职能B、经济职能(正确答案)C、文化职能D、公共服务职能2、科学家尼葛庞蒂说:“预测未来的最好办法就是把它创造出来。

"从认识和实践的关系看，这句话对我们的启示是（）。

[单选题] *A.认识总是滞后于实践B.实践和认识互为先导C.实践高于(理性的)认识，因为它不仅具有普遍性的品格，而且具有直接现实性的品格(正确答案)D.实践与认识是合一的3、改革开放以来，我国取得了一切成绩和进步的根本原因，归结起来就是开辟了中国特色社会主义道路，形成了中国特色社会主义理论体系，确立了中国特色社会主义制度发展了中国特色社会主义文化，中国特色社会主义理论体系（）①包括毛泽东思想，邓小平理论，三个代表重要思想，科学发展观和习近平新时代中国特色社会主义思想等重大战略思想在内的科学理论体系②是一个不断发展的封闭的理论体③是对马列主义，毛泽东思想的坚持和发展④是全国各族人民团结奋斗的共同理想基础[单选题] *A.②③B.①③C.②④D.③④(正确答案)4、习近平在第二届“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上发表主旨演讲，提出共建“一带一路”倡议，目的是聚焦互联互通，深化务实合作，携手应对人们人类面临的各种风险挑战，实现互利共赢，共同发展。

这是( ) [单选题] *A.顺应经济全球化历史潮流和时代要求的体现(正确答案)B.坚持独立自主，自力更生，更好地发展我国经济C.提前当今世界竞争成为时代主流的发展趋势D.我国坚持主导世界经济发展趋势，深化合作5、2017年，党的十九大提出形成全面开放新格局。

我国对外开放进入新的发展阶段必须坚持的战略是（）[单选题] *A.独立自主,自力更生B.互利共赢开放战略(正确答案)C.维护国家经济安全D.努力实现多元平衡6、揭示人类社会发展一般规律，揭示人民群众的历史主体作用，揭示阶级斗争是在阶级社会中巨大作用的是（? ?）[单选题] *A.唯物史观(正确答案)B.辩证法C.德国古典哲学D.空想社会主义7、4. 过去，我国以“引进来”为主，随着对外开放的扩大，“（）”日益成为对外开放的重要渠道。

专题08力学中三大观点的综合应用（考试时间：75分钟试卷满分：100分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分）1．（2024·浙江金华·校联考模拟预测）如图所示，浙江运动员李玲在参加杭州亚运会女子撑杆跳高比赛时，以4.63m 的成绩夺得金牌，并再度刷新亚运会赛事纪录。

其完整的撑杆跳高过程可简化为三个阶段——持杆助跑、撑杆起跳上升、越杆下落着地。

下落时，人杆分离，最后落在软垫上速度减为零。

不计空气阻力，则（）A ．研究其越杆过程的技术动作可将李玲视作质点B ．李玲在最高点时加速度一定为零C ．李玲在整个跳高过程中机械能守恒D ．李玲落在软垫上的运动过程中，软垫对她的冲量大小等于她对软垫的冲量大小2．（2024·四川成都·成都七中校考一模）如图，圆形水平餐桌面上有一个半径为r ，可绕中心轴转动的同心圆盘，在圆盘的边缘放置一个质量为m 的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数以及与桌面的摩擦因数均为µ。

现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，物块从圆盘上滑落后，最终恰好停在桌面边缘。

若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g ，圆盘厚度及圆盘与餐桌间的间隙不计，物块可视为质点。

则（）A ．小物块从圆盘上滑落后，小物块在餐桌上做曲线运动B ．物块随圆盘运动的过程中，圆盘对小物块做功为mgrμC ．餐桌面的半径为32rD ．物块在餐桌面上滑行的过程中，所受摩擦力的冲量大小为3．（2024·广西贵港·统考模拟预测）2022年北京冬奥会跳台滑雪项目在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。

现有某运动员从跳台a 处沿水平方向飞出，在斜坡b 处着陆，如图所示。

已知1.5s 时运动员离斜坡面最远，测得ab 间的水平距离为60m ，不计空气阻力，重力加速度210m /s g ，下列说法正确的是（）A ．运动员在a 处的速度大小为10m/sB ．从a 处运动到b 处的时间为4sC ．从a 处运动到b 处过程中动量变化率不断变化D ．运动员离坡面的最大距离为9m4．（2024·吉林·统考一模）如图所示，内壁间距为L 的箱子静止于水平面上，可视为质点的物块放在箱内最右端，它们的质量均为m ，箱子的内壁光滑，与地面间的动摩擦因数为μ。