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新北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(2)》公开课课件

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《角平分线》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (3)

《角平分线》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (3)

2、如以以以下图 ,从点O出发有
三条射线 ,那么图中有 个
角 ,它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度 ?
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
线 ,DE⊥AB ,垂足为E . 〔〔21〕〕求：证CD：A=B4c=mA,C求A+CC的D长；
稳固练习：
1、到三角形三边距离相等的点是三 角形〔 〕的交点 .
A、三条角平分线 B、三条中线
C、三条高线
D、三边中垂线
2、△ABC中 ,AC = BC ,∠C = 90° ,
AD平分∠CAB ,DE⊥AB ,CD = 2 ,
大家说
：AC平分∠BAD ,CE⊥AB ,CF⊥AD ,BC =CD；求证：BE =DF
1.4.2 角平分线
• 学习目标：
• 1、通过尺规作图 ,发现并推证三角形三条 角平分线交于一点 ,且此点到三角形三边距 离相等 .
• 2、能够综合运用角平分线定理及逆定理 解决有关的计算与证明 .
练一练 ： 且如CE图=,BBFE.⊥求A证C：于点ED,C在F⊥∠BAABC于的F平, 分线上
A
D OE
B
C
1、如图1, D、E分别是AB、AC上的点.
是
∠ ABC与∠ DBC是不是同一个角?
是
∠BAC与∠ DAE是不是同一个角不是?
∠BAC与∠ ACB是不是同一个角?
2、如图2 ,图A 中共共有有10个多角少个角E ?D请分别表

北师大版数学八年级下册第2课时三角形三边的垂直平分线及作图课件(共18张)

北师大版数学八年级下册第2课时三角形三边的垂直平分线及作图课件(共18张)

∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴ AE＝DE.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
A
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. ∴∠CAE＝∠CDF.
GF
∴△DEG≌△AEC (ASA). B ∴EG＝EC.
别作三条线段的垂直平
分线，即点 P 为所求.
P
A
B
当堂小结 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且
这一点到三个顶点的距离相等.
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
l2 A
l3
l1
P
B
C
课堂练习
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段
AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，
求证：边 AC 的垂直平分线经过
点 P，且 PA = PB = PC.
B
A
P C
分析：
l 是 AB 的垂 直平分线
m 是 BC 的 垂直平分线
PA=PB PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的 垂直平分线上
A
l
n
试试看，你会写出证明过程吗？ B
P
m
C
证明：连接 PA，PB，PC.
A
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， l
能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形
都全等吗? 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
A 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.

北师大版八年级数学下册同步精品1.4.2 角平分线(2)(课件)

北师大版八年级数学下册同步精品1.4.2 角平分线(2)(课件)

C
过内心作三角形三边的垂线段都相等.
探究新知
拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的
角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？
A
A
A
B
C
B
C
B
C
猜想：三角形三个角的平分线相交于一点, 并且这一点到三条边的距离相等
怎么证明 结论呢？
探究新知
已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂 足分别是 D，E，F. 求证：∠ A 的平分线经过点 P，
∵
∠C=
90
°
，∴
∠B=
1 2
×90 °=45 ° .
∴ ∠BDE = 90 °- 45 °= 45 ° .
∴ BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = 2DE2 = 4 2 cm（勾股定理）. ∴ AC = BC = CD + BD =（4 + 4 2 ）cm.
探究新知
例：如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的 角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （2）求证：AB=AC+CD. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵ BE = DE = CD， ∴ AB = AE + BE = AC + CD.
直角和钝角的三 条角平分线也具 有同样的性质
探究新知
归纳总结
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
A
M D NP F

八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。

北师大版数学八年级下册数学课件：第一章4角平分线第二课时

北师大版数学八年级下册数学课件：第一章4角平分线第二课时
解：把公路和铁路看作两条直线， 画出它们所成角的平分线，在角的 平分线上从顶点截出表示实际长 400 m的线段，即可确定学校的位 置，如图1-4-23，图中的点P即为 所求． 表示实际长400 m的线段为 40 000÷12 500=3.2（cm）．
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-4-22，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.作 ∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图 痕迹，不要求写作法）.
=28x，
∴28x=84.
解得x=3. 故PD的长为3.
连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3.
1
1
1
∴S△ABC= 2 AB·OE+ 2 AC·OF+ 2 BC·OD
பைடு நூலகம்
=
12（AB+AC+BC）·3=
63 2
.
课堂讲练
模拟演练
3.如图1-4-26所示，在△ABC中，若点O是∠ABC,∠ACB的角
平分线的交点，且∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠OAB的
2
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°- ∠1 ABC- ∠1BAC
=90°+ 1 ∠ACB. 2
2
∵FO⊥OC2，∴∠FOC=90°.
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF= ∴∠BFO=90°+ 1∠ACB.
∠A12 CB，
2
∴∠AOB=∠BFO.
课后作业
8. 如图1-4-35，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7， BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E,F,D，求PD的长.

北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第3节《线段的垂直平分线(2)》参考课件

北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第3节《线段的垂直平分线(2)》参考课件

结论:三角形三条边的垂直平分线相交 于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
如何证三条直线交于一点？
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直 线相交只有一个交点。要想证明三条直线 相交于一点只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 刚学到的逆定理.
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交
于点P,连接AP,BP,CP.
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB .
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
B
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
P C
∴AB,B线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
点的距离相等).
aA
c
b
P
B
C
老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据.
三 挑战自我
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗?

初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2

解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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八年级数学下册第一章角平分线第2课时三角形的角平分线作业pptx课件新版北师大版

两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F.
（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
1
2
3
4
5
6
7
8
证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
1
2
3
4
5
6
7
8
7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
1
2
3
4
5
6
7
8
点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝

h，



S2＝ h，S3＝ h，


∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
1
2
3

北师大数学八年级下册第一章-线段的垂直平分线与角平分线经典讲义

第02讲_线段的垂直平分线与角平分线知识图谱线段的垂直平分线知识精讲垂直平分线（中垂线）定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴性质（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等l为中垂线AC=BC，AD=BD判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上A BlOA BlOCD尺规作图作法：如图（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；（2）作直线CD ，CD 为所求直线三点剖析重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。

垂直平分线的概念和性质例题1、 如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】 13【解析】 △DE 是AB 的垂直平分线， △EA=EB ，则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例题2、 如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为___．【答案】 6【解析】 ∵DE 是BC 边上的垂直平分线， ∴BE=CE ．∵△EDC 的周长为24， ∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，∴（AB+AC+BC ）﹣（AE+ED+DC+AC ）=（AB+AC+BC ）﹣（AE+DC+AC ）﹣DE=12， ∴BE+BD ﹣DE=12，② ∵BE=CE ，BD=DC ， ∴①﹣②得，DE=6例题3、 已知△ABC ，∠BAC=110°，DE ，FG 分别是AB ，AC 的垂直平分线且DE 交BC 于M 点，FG 交BC 于N 点，求∠MAN 的度数。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明第10课 角平分线的性质和判定课件


∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°在
Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴DE
＝ AD＝ ×10＝5
1
1
2
2
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90° 又∵BE＝CF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ∴DE＝DF 又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝ 又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( )
∵D是BC中点，∴BD＝CD 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA
如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝________cm. 知识点1：角平分线的性质 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
Hale Waihona Puke 三、过关检测 第1关8.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°， 则∠BAD＝___4_0____°，∠ADC＝_5_0__°.
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( B ) A．10 B．15 C．20 D．30
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自学检测
1:如图所示， △ABC中，AM是它的 角平分线，且BM=CM，MD⊥AB于 D，ME⊥AC于E. A 求证：BD=CE.
D B M
E C
达标检测
1、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若 ∠POB=30°，则∠AOB= 60°
A
P
O
B
2、如图，在△ABC中，D是 BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F， 且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分 线。
B A C D
= DC
角的平分线上的点到角的 ) 两边的距离相等.
3.判断题（ × ） ∵ 如图，BD=CD ∴AD平分∠BAC
B A C D
4.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相 等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它 的位置(比例尺 1:20 000).
自学指导2
自学内容：课本P29例1。 自学时间：5分钟 自学要求： 理解例1求证过程，并思考其它的证明方法。
A
E B D
F C
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A E B N
1.4 角平分线
学习目标：
1.经历角的平分线性质的证明过程，掌握 角的平分线的性质定理及其逆定理 2.能运用角的平分线性质定理及其逆定理 解决有关问题.
自学指导1
自学内容：课本P28—29例1以上内容。 自学时间：8分钟 自学要求： 1.会叙述角平分线性质定理并会证明； 2.会叙述角平分线判断定理并会证明； 3.与同学讨论判断定理中为什么要加上“在 一个角的内部”这个条件。
自学检测
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
A
1 2 E
角平分线上的点到角的两边的距离相等 (___________________________________________)
2、判断题（ ∴ BD (
×
） ，
CDB∵ 如，AD平分∠BAC（已知）