第8讲塑力3

第3章屈服条件(Yield condition)物体受力以后产生变形．随着力的增加，当达到一定程度时，弹性变形开始变成非弹性变形，即开始产生永久变形．由弹性过渡到非弹性的条件是什么?也就是说将物体从自然状态开始加载，当应力达到什么程度时开始产生塑性变形，以及应力如何变化才能使塑性变形继续发展．前者是初始屈服问题，后者是后继屈服问题．本章着重介绍常用的判断延性金属开始塑性屈服的几个条件，即Tresca条件和Mises条件．然后，再讨论变形硬化问题，即后继屈服问题．3.1 初始屈服条件和初始屈服曲面3.1.1 屈服函数•物体受到荷载作用后，最初产生弹性变形，随着荷载的逐渐增加至一定程度，有可能使物体内应力较大的部位开始出现塑性变形，这种由弹性状态进入塑性状态属于初始屈服．•研究物体内一点开始出现塑性变形时的应力状态所应满足的条件，称为初始屈服条件•简单应力状态，如对物体进行简单拉伸，当拉应力达到材料屈服极限时开始屈服，可写成：S σ=σS τ=τ0),,,(f xy x =⋅⋅⋅τσ0)(f ij =σ0S=τ−τ0S =σ−σ在一般情况下，应力状态是由六个独立的应力分量确定的，六个分量与坐标轴的选择有关．不能简单地取某一个应力分量作为判断是否开始屈服的标准．但是，屈服条件应该与六个应力分量有关，还与材料的性质有关. 屈服条件可写成函数关系称为初始屈服函数对于纯剪状态，是当剪应力达到材料剪切屈服极限时开始屈服，纯剪屈服条件为：•若材料属于均质各向同性，即对任一点的任何方向其力学性质都相同，则f 与应力的方向无关，可用与坐标轴选择无关的应力不变量来表示．如用三个主应力来表示为：0),,(f 321=σσσ123f (I ,J ,J )0=1I 0=23f (J ,J )0=金属实验表明: 各向均匀应力状态只产生弹性的体积变化，对材料的屈服几乎没有影响．可认为这种屈服条件与平均应力无关, 又可以用应力偏张量的不变量来表示(注意)或用应力张量的三个不变量表示：3.1.2 屈服曲面物体单向拉压时应力空间是一维的，初始屈服条件是两个离散的点，即拉(压)初始屈服点初始屈服曲面(Initial yield surface)在复杂应力状态下，初始屈服函数在应力空间中表示一个曲面，称为初始屈服曲面它是初始弹性阶段的界限，当应力点位于此曲面之内，即f<0时，材料处于弹性状态；当应力点位于这曲面之上，即f=0时，材料开始屈服，进入塑性状态。

这个曲面就是由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成的，相当于简单拉伸曲线上的初始屈服点屈服曲线(Yield locus )•设主应力空间中一点P已达到屈服，其应力矢量为0P．将0P分解为两个矢量，一个为在π平面上的0S，一个是垂直于π平面的SP，SP代表静水应力部分，它不影响屈服．点P的屈服只决定于应力偏张量OS.如果过点P引与L直线相平行的直线,则其上点P 1,P 2…在π平面的投影均为S.屈服曲面平行于L线的柱面，与π平面的交线为屈服曲线•设三个主应力轴在平面上的投影为，屈服曲线是一条封闭曲线，具有如下性质:(1)屈服曲线是一条将原点包围在内部的封闭曲线.因为材料只有应力达到一定数值时才会屈服，所以曲服曲线不会通过原点)O ，而且是封闭的。

如果屈服曲线不封闭，在不封闭处材料将出现永不屈服的状态，屈服曲线必须封闭π123,,σσσ′′′(2)材料的初始屈服只有一次，所以由O 向外作的直线与屈服曲线只能相交一次曲服曲线是外凸的(证明以后)右图所示的情况是不可能的•(3)既然材料是均匀各向同性的，如果应力空间中的点( )在屈服曲面上，则点( )也必在屈服曲面上，它们在平面上的投影对称于轴，即直线BB ’，因此屈服曲线对称于BB ’；同样理由，直线AA ’和CC ’也为屈服曲线的对称轴．321σσσ,,231σσσ,,π1σ′(4)拉伸与压缩屈服极限相等，则当应力的符号改变时，屈服条件仍不变，那么屈服曲线必对称于原点．它既对称于BB ’，又对称于原点，则它就必对称于过原点垂直于BB ’的直线；同样理由蛇也对称于AA ’和CC ’的垂线屈服曲线•屈服曲线是一条包含原点在其内部的封闭外凸曲线，且具有六条对称轴，它由12条相同的弧段所组成．当用试验方法确定它时，只需要确定中心角30°。

范围内的弧线形状即可．3.2 几种常用的屈服条件•材料的屈服曲线可以通过试验测定．但是，即使在30°范围内，要完全依靠试验得出屈服曲线，也是相当困难的•实际上，往往是根据有限的试验结果，对材料进入塑性状态的原因作出假设，建立屈服条件，然后，再用实验加以验证．•下面介绍几种工程中常用的屈服条件3.2.1Tresca屈服条件•1864年，法国工程师Tresca根据Coulomb对土力学的研究和他在金属挤压试验中得到的结果，提出如下假设：当最大剪应力达到一定的数值时，材料就开始屈服．称为Tresca条件，可写为：max kτ=k为实验常数Tresca(1864) yield criterion: Yielding of a material begins when the maximum shearing stress at a point reaches a critical value, which can be determined from a simple tension test for ductile materials or a simple compression test for brittle materials.主应力表示•是三个主剪应力绝对值的最大者，如规定时可写成一般情况下，主应力次序是未知的，Tresca屈服条件应表示为max τ123σσσ≥≥132kσσ−=1232313122 ()2 ()2 ()k k k σσσσσσσσσ−=±⎫⎪−=±⎬⎪−=±⎭为中间应力为中间应力为中间应力•主应力空间中，是一对与空间对角线和轴平行的平面•对应的屈服曲面是由三对互相平行且垂直于面的平面组成的正六边形柱面，如图•屈服曲线是正六边形. 只要一个等式成立(对应于边)或两个等式同时成立(对应于顶点)，材料屈服•不存在三个等式同时成立的情况1232313122 ()2 ()2 ()k k k σσσσσσσσσ−=±⎫⎪−=±⎬⎪−=±⎭为中间应力为中间应力为中间应力122k σσ−=±3σπ•在平面应力状态，总有一个主应力为零，设30σ=1232313122 ()2 ()2 ()k k k σσσσσσσσσ−=±⎫⎪−=±⎬⎪−=±⎭为中间应力为中间应力为中间应力12212 2 2k k k σσσσ−=±⎫⎪=±⎬⎪=±⎭在( ，)平面上，给出的屈服图线呈斜六边形，如图所示．它相当于六边形柱面被的平面斜截所得的图线．1σ2σ平面应力下Tresca 屈服条件Tresca 屈服条件的特点•它是主应力的线性函数，对于主应力方向已知且不改变的问题，应用它将十分方便，因而广泛采用．但是它忽略了中间主应力的影响，且屈服曲线上有角点，给数学处理上带来了困难．1232313122 ()2 ()2 ()为中间应力为中间应力为中间应力−=±⎫⎪−=±⎬⎪−=±⎭k k k σσσσσσσσσ3.2.2Mises屈服条件1913年Mises指出，Tresca屈服曲线的六个角点虽由试验得出，但其六边形则是根据假设由直线连接而成．Mises提出用圆来连接这六个角点似乎更为合理，并可避免因曲线不光滑而在数学上引起的困难；主应力方向未知时屈服条件又很复杂．这样，按Mises屈服条件，屈π服曲面为垂直于平面的圆柱面，如图Mises 屈服曲线为Tresca 屈服条件六边形的外接圆，如图1232313122 ()2 ()2 ()k k k σσσσσσσσσ−=±⎫⎪−=±⎬⎪−=±⎭为中间应力为中间应力为中间应力2222122331()()()2(2)k σσσσσσ−+−+−=应力偏量第二不变量与上式相比较，则可得出：2J 2243=J k 只要应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，材料就屈服2J可以得到用等效应力2222)6()x xy zy zx τττ⎤+++⎦屈服六边形在六个角点上重•在的平面应力情况下，Mises屈服条件可表示成平面应力下Mises屈服条件30σ=22211224kσσσσ−+=在( )平面上，其形状是一个椭圆12,σσ3.3 屈服条件的实验验证•屈服理论的可靠性需要由实验来加以验证•大多数实验是利用薄圆管试件的拉伸与内压或者拉伸与扭转的联合作用来实现双向应力状态．通过调整应力分量间的比值便可得到平面上不同的值(或Lode参数)．下面只介绍历史上两个较重要的实验结果．σμ薄圆管受拉力和内压的联合作用(Lode,1926)薄圆管受拉力和扭矩的联合作用(Taylor-Quinney, 1931)薄圆管受拉力和内压的联合作用(Lode，1926)•现设圆管的平均半径为R ，壁厚为h ，•在拉力P 和内压q 的作用下，圆管近似地处于均匀应力状态，在柱坐标中其应力分量为h R qR hθσ=2z P Rhσπ=0r σ≈123,,0z r θσσσσσσ====132()23s σσσσμ−=+131sσσσ−=相应的主应力为：2P σσσ−−−2/z s θσσ两者在纯剪切( )时的误差最大，其值约为15.5％/z sσσ3.4 后继屈服条件及硬化模型3.4.1 后继屈服条件的概念单向拉伸情况下，当材料进入塑性状态卸载后再重新进行加载时，拉伸应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达前次卸载前的最高应力点时，材料才再次进入塑性状态，产生新的塑性变形．这个应力点就是材料在经历了塑性变形后的新屈服点．由于材料的硬化特性，它比初始屈服点为高．为了与初始屈服(Initial yielding)点相区别，将它称为后继屈服(Subsequent yielding)点或硬化点．与初始屈服点不同，它在应力-应变曲线上的位置不是固定的，而是依赖于塑性变形的过程，即塑性变形的大小和历史．后继屈服点是材料在经历一定塑性变形后再次加载时，变形是按弹性还是按塑性规律变化的区分点，亦即后继弹性状态的界限点与单向应力状态相似，材料在复杂应力状态下也有初始屈服和后继屈服的问题．初始屈服的问题前面已经讨论，这里将讨论后继屈服问题•复杂应力状态下，各种应力状态的组合能达到初始屈服或后继屈服时，这些应力点在应力空间中的集合形成的面就称为初始屈服面和后继屈服面，分别相当于单向应力状态应力-应变曲线上的初始屈服点和后继屈服点．当应力状态点由原点O移至初始屈服面上一点A时，材料开始屈服．当应力点突破初始屈服面到达邻近的后继屈服面的B点时，材料产生新的塑性变形．如果在B 点卸载，应力点退回到后继屈服面内而进入后继弹性状态．如果再重新加载，当应力点重新达到卸载开始时曾经达到过的后继屈服面上C点(不一定和B重合)时，重新进入塑性状态继续加载，应力点会突破原来的后继屈服面,而到达另一个相邻近的后继屈服面对于理想塑性材料，后继屈服面与初始屈服面重合(,)0ij h αϕσ=h a 反映塑性变形大小及其历史的参数，称为硬化参数(hardening parameter )，后继屈服面就是以h a 为参数的一族曲面，以下确定后继屈服面的形状以及它随塑性变形的发展变化规律．确定材料是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈服条件．后继屈服不仅与瞬时的应力状态有关，而且与塑性变形的加载路径有关，后继屈服条件即硬化条件，可表示为：•对于硬化材料，因硬化效应，两者不重合．随着塑性变形的不断发展，后继屈服面不断变化．又将后继屈服面称为硬化面，它是后继弹性阶段的界限面。