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第二课时对数函数的图象和性质的应用课标要求素养要求1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题. 通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究观察图形，回答下列问题：图(1)图(2)问题1观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？提示对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴.问题2函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x的图象如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？提示由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝log b x的图象在(1，＋∞)上比y＝log c x的图象靠近x轴，所以b<c，因此a，b，c的大小关系为0<b<c<1<a.1.y＝log a f(x)型函数性质的研究(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.(2)值域：在函数y＝log a f(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝log a t的单调性确定函数的值域.(3)单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.(5)最值：在f (x )>0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值.2.log a f (x )<log a g (x )型不等式的解法 (1)讨论a 与1的关系，确定单调性；(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零. 3.反函数 互为反函数的两函数的图象关于y ＝x 对称一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.教材拓展补遗[微判断]1.y ＝log 2x 2在[0，＋∞)上为增函数.(×) 提示 函数y ＝log 2x 2的定义域为{x |x ≠0}.2.y ＝log 12x 2在(0，＋∞)上为增函数.(×) 提示 函数y ＝log 12x 2在(0，＋∞)为减函数. 3.ln x <1的解集为(－∞，e).(×) 提示 由ln x <1，解得0<x <e.4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同(a >0且a ≠1).(√) [微训练]1.若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log a x 互为反函数，则a ＝________.解析 由题意知，a ＝12. 答案 122.若a ＝log 0.20.3，b ＝log 26，c ＝log 0.24，则a ，b ，c 的大小关系为________. 解析 因为f (x )＝log 0.2x 为减函数，且0.2<0.3<1<4.则log 0.20.2>log 0.20.3>log 0.21>log 0.24， 即1>a >0>c .同理log 26>log 22＝1，可知结果. 答案 b >a >c [微思考]1.你能求出函数y ＝log 2(x 2＋2x ＋2)＋2的定义域、单调区间、值域吗？ 提示 因为x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0恒成立，所以，函数y ＝log 2(x 2＋2x ＋2)＋2的定义域为R .令t ＝x 2＋2x ＋2，所以函数t ＝x 2＋2x ＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).故函数y ＝log 2(x 2＋2x ＋2)＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).由以上的单调性可知，当x ＝－1时，y min ＝2. 所以函数y ＝log 2(x 2＋2x ＋2)＋2的值域为[2，＋∞). 2.你能确定log 24，log 34，log 0.24，log 0.34的大小关系吗？提示 在同一直角坐标系中，作出y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 0.2x ，y ＝log 0.3x 的大致图象如图所示.作出x ＝4，可得log 0.34<log 0.24<log 34<log 24.题型一 比较对数值的大小 利用对数函数的单调性求解【例1】 (1)若a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 46，则下列结论正确的是( ) A.b <a <c B.a <b <c C.c <b <aD.b <c <a(2)下列不等式成立的是(其中a >0且a ≠1)( ) A.log a 5.1<log a 5.9 B.log 122.1>log 122.2C.log 1.1(a ＋1)<log 1.1aD.log 32.9<log 0.52.2解析(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a.(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以12为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.答案(1)D(2)B规律方法比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.【训练1】比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.14(a>0，a≠1)；(4)log30.2，log40.2.解(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，则有log aπ>log a3.14；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，则有log aπ<log a3.14.综上所得，当a>1时，log aπ>log a3.14；当0<a<1时，log aπ<log a3.14.(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图象，再作出直线x＝0.2，观察图象可得log30.2<log40.2.题型二 解对数不等式【例2】 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围. 当底数为字母时，要对底数a 进行分情况讨论，分a >1或0<a <1进行求解 解 ∵－1<log a 34<1， ∴log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，则a >43； 当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 规律方法 两类对数不等式的解法 (1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式. ①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0； ②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x ).(2)形如log a f (x )<b 的不等式可变形为log a f (x )<b ＝log a a b . ①当0<a <1时，可转化为f (x )>a b ； ②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .【训练2】 已知log 0.3(3x )<log 0.3(x ＋1)，则x 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 因为函数y ＝log 0.3x 是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于⎩⎨⎧3x >0，x ＋1>0，3x >x ＋1，解得x >12. 答案 A题型三 对数型函数性质的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1).(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并求函数的单调区间.判断奇偶性时应注意定义域关于原点对称，然后再利用奇偶性的定义进行判断 解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎨⎧x ＋1>0，x －1>0或⎩⎨⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞). (2)由(1)可得f (x )的定义域关于原点对称. ∵f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数. f (x )＝log ax ＋1x －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1， 函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减， 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )＝log ax ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增. 规律方法 形如y ＝log a f (x )的函数的单调性 首先要确保f (x )>0，当a >1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性一致. 当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性相反. 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x －1). (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间[12，2]上的值域. 解 (1)由4x －1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1， 因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)， 即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上递增.(3)因为f (x )在区间[12，2]上递增， 又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415].一、素养落地1.通过利用对数函数的单调性解决对数式的大小培养数学抽象素养，通过利用对数函数性质解决不等式及综合问题，培养数学运算素养.2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a >1和0<a <1两类分别求解.3.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用. 二、素养训练1.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A.b <a <c B.c <a <b C.c <b <aD.a <c <b解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a <b ，故选B. 答案 B2.不等式log 12(2x ＋3)<log 12(5x －6)的解集为( ) A.(－∞，3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，65 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，3 解析由题意可得⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3.答案 D3.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c解析∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.又∵c＝log45>log44＝1，∴c>a>b.答案 D4.若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(32，23)，则a＝________.解析因点(32，23)在y＝f(x)的图象上，所以点(23，32)在y＝a x的图象上，则有32＝a 23，又因a>0，所以a2＝2，a＝ 2.答案 25.判断函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)的奇偶性.解易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，又f(－x)＋f(x)＝log2(x2＋1－x)＋log2(x2＋1＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.基础达标一、选择题1.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a解析∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.答案 A2.函数f(x)＝log a x(0<a<1)在[a2，a]上的最大值是()A.0B.1C.2D.a解析∵0<a<1，∴f(x)＝log a x在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝log a a2＝2.答案 C3.函数f(x)＝log a[(a－1)x＋1]在定义域上()A.是增函数B.是减函数C.先增后减D.先减后增解析当a>1时，y＝log a t和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0<a<1时，y＝log a t和t＝(a－1)x＋1都是减函数，所以f(x)是增函数，故选A. 答案 A4.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是()A.0<k<1B.0≤k<1C.k≤0或k≥1D.k＝0或k≥1解析令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx ＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.答案 C5.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A.x2<x3<x1B.x1<x3<x2C.x1<x2<x3D.x3<x2<x1解析分别作出三个函数的大致图象，如图所示.由图可知，x2<x3<x1.答案 A二、填空题6.不等式log1(4x＋2x＋1)>0的解集为________.2解析 由log 12(4x ＋2x ＋1)>0，得4x ＋2x ＋1<1，即(2x )2＋2·2x <1， 配方得(2x ＋1)2<2，所以2x <2－1，两边取以2为底的对数， 得x <log 2(2－1).答案 (－∞，log 2(2－1))7.已知f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________.解析 二次函数y ＝x 2－ax ＋3a 的对称轴为x ＝a 2，由已知，应有a2≤2，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4.答案 (－4，4]8.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________.解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称. ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，函数的大致图象如图所示.∴f (log 18x )>0log 18x <－13或log 18x >13x >2或0<x <12， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 三、解答题9.已知函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称，且g (x )的图象过点(9，2).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (3x －1)>f (－x ＋5)成立，求x 的取值范围.解 (1)∵g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(9，2)， ∴log a 9＝2，解得a ＝3，∴g (x )＝log 3x .又∵函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log 3x 的图象关于x 轴对称，∴f (x )＝log 13x .(2)∵f (3x －1)>f (－x ＋5)，即log 13(3x －1)>log 13(－x ＋5)，则⎩⎨⎧3x －1>0，－x ＋5>0，3x －1<－x ＋5，解得13<x <32，∴x 的取值范围为.10.讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性.解 由3x 2－2x －1>0得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－13. 则当a >1时，若x >1，则u ＝3x 2－2x －1为增函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数.若x <－13，则u ＝3x 2－2x －1为减函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数.当0<a <1时，若x >1，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数；若x <－13，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数.能力提升11.已知函数f (x )＝log 3（4x －1）＋16－2x 的定义域为A .(1)求集合A ；(2)若函数g (x )＝(log 2x )2－2log 2x －1，且x ∈A ，求函数g (x )的最大值、最小值和对应的x 值.解 (1)要使f (x )有意义，需满足⎩⎨⎧4x －1≥1，16－2x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤4，所以12≤x ≤4，所以集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤4. (2)设t ＝log 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4， 所以t ∈[－1，2]，所以y ＝t 2－2t －1，t ∈[－1，2].因为y ＝t 2－2t －1＝(t －1)2－2的对称轴为t ＝1∈[－1，2]， 所以当t ＝1时，y 有最小值－2.所以当t ＝－1时，y 有最大值2.所以当x ＝2时，g (x )的最小值为－2.当x ＝12时，g (x )的最大值为2.12.已知函数f (x )＝log 121－ax x －1的图象关于原点对称，其中a 为常数. (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12(x －1)<m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即log 121＋ax －x －1＝－log 121－ax x －1＝log 12x －11－ax， 解得a ＝－1或a ＝1(舍).(2)f(x)＋log 12(x－1)＝log121＋xx－1＋log12(x－1)＝log 12(1＋x)，当x>1时，log 12(1＋x)<－1，∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log 12(x－1)<m恒成立，∴m≥－1.。
