2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷4试题Word版含解析

2020年广东省初中学业水平考试数学一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1.9的相反数是( )A.B. C. D. 【答案】B【解析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知，9的相反数是-9.故选B.2.一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）A. 5B. 35C. 3D. 25 【答案】C【解析】【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数．【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，∴这组数据的中位数是3，故选：C ．【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．3.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用关于x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D ． 99-1919-(3,2)x (3,2)-(2,3)-(2,3)-(3,2)-(3,2)x【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．4.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据内角和公式即可求解．【详解】设这个多边形的边数为n,∴（n-2）×180°=540°解得n=5故选B ．【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知内角和公式．5.在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．【详解】解：由题意知：被开方数，解得：，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．6.已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（）A. 8B. C. 16 D. 4 【答案】A【解析】【分析】由，，分别为三条边的中点，可知DE 、EF 、DF 为的中位线，即可得到的周长． x 2x ≠2x ≥2x ≤2x ≠-240x -≥240x -≥2x ≥ABC ∆D E F ABC ∆DEF ∆D E F ABC ∆ABC ∆DEF ∆【详解】解：如图，∵，，分别为三条边的中点，∴，，， ∵， ∴， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键．7.把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a 不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．8.不等式组的解集为（ ） A. 无解 B. C. D.D E F ABC ∆12DF BC =12DE AC =12EF AB =16BC AC AB ++=()1116822DF DE EF BC AC AB ++=++=⨯=2(1)2y x =-+22y x =+2(1)1y x =-+2(2)2y x =-+2(1)3y x =--2(1)2y x =-+[]22(1)12(2)2y x x =--+=-+23112(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩1x ≤1x ≥-11x -≤≤【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2（x ＋2），得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，故选：D ．【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）A. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由CD ∥AB 得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt △AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ∥AB ，∴∠EFD=∠FEB=60°，由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，∴∠AB’E=30°，设AE=x ,则BE=B’E=2x ，的ABCD 3AB =E F AB CD 60EFD ∠=︒EBCF EF B AD BE∴AB=AE+BE=3x =3，∴x =1，∴BE=2x =2，故选：D ．【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．10.如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．【详解】解：根据题意，则，，∵， ∴，∴，故①错误；由抛物线与x 轴有两个交点，则，故②正确；∵，令时，，∴，故③正确；在中，的2y ax bx c =++1x =0abc >240b ac ->80a c +<520a b c ++>1x =12b x a=-=2b a =-2x =-2x =420y a b c =++>1x =-0y a b c =-+>0a <0c >12b x a=-=20b a =->0abc <240b ac ->2b a =-2x =-420y a b c =-+<80a c +<2y ax bx c =++令时，则，令时，，由两式相加，得，故④正确；∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．二、填空题（本大题7小題，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11.分解因式：xy ―x ＝_____________．【答案】x (y －1)【解析】试题解析：xy ―x ＝x (y －1)12.若与是同类项，则___________．【答案】3【解析】【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．【详解】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．13.，则_________．【答案】1【解析】【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a ，b 的值，即可求出答案．2x =420y a b c =++>1x =-0y a b c =-+>520a b c ++>3m x y 25n x y -m n +=|1|0b +=2020()a b +=|1|0b +=∴，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a ，b 的值是解题关键． 14.已知，，计算的值为_________．【答案】7【解析】【分析】将代数式化简，然后直接将，代入即可．【详解】由题意得，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键．15.如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．【答案】45° 【解析】【分析】根据题意知虚线为线段AB 的垂直平分线，得AE=BE ，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵2a =1b =-2020()a b +=202011=5x y =-2xy =334x y xy +-5x y +=2xy =5x y +=2xy =3343()41587x y xy x y xy +-=+-=-=334x y xy +-ABCD 30A ∠=︒12AB A B AD E BE BD EBD ∠EBA EAB ∠=∠30A ∠=1275ABD ABC =∠=︒EBD ∠18030150ABC ∠=-=︒︒︒1275ABD ABC =∠=︒AE EB =∴∴故答案为：45°．【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．16.如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．【答案】 【解析】【分析】连接OA ，OB ，证明△AOB 是等边三角形，继而求得AB 的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答． 【详解】连接OA ，OB ，则∠BAO=∠BAC==60°， 又∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴的长为：， 设圆锥底面圆的半径为r EAB EBA ∠=∠753045EBD ∠=-=︒︒︒1m ABC m 13BOC1211202⨯︒ O B C 120AB 21803ππ= 223r ππ=故答案为．【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径．17.有一架竖直靠在直角墙面梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE 和BD 即可得出答案．【详解】如图当、、三点共线，距离最小，∵，为中点，的的13r =1390ABC ∠=︒M N BA BC MN 4MN =E MN D BA BC DE 2-B D E B D E 4MN =E MN∴，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解．【详解】解：原式 ，将，代入得：原式．故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：等级非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人）24 72 18（1）求的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？ 2BE =BD ==2DE BD BE =-=2-22()()()2x y x y x y x +++--x =y =2xy 2222222x xy y x y x =+++--2xy =x =y =2==x x【答案】（1）6 （2）1440人【解析】【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x 的值；（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果．【详解】（1）解：由题意得：解得（2）解：（人） 答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有1440人.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题目，审清题意，找到对应数据是解题的关键．20.如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．【详解】证明：在和中∴∴∴又∵∴247218120x +++=6x =247218001440120+⨯=ABC ∆D E AB AC BD CE =ABE ACD ∠=∠BE CD F ABC ∆BDF CEF ∆∆≌BF CF =FBC FCB ∠=∠A ABC CB =∠∠BDF ∆CEF ∆()DFB EFC FBD FCEBD CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩对顶角相等()BDF CEF AAS ∆∆≌BF CF =FBC FCB ∠=∠ABE ACD ∠=∠FBC ABE FCB ACD ∠+∠=∠+∠即∴是等腰三角形．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21.已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）关于x ，y 的方程组的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值； （2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．【详解】解：由题意列方程组：解得 将，分别代入和解得∴（2）解得 这个三角形是等腰直角三角形A ABCCB =∠∠ABC ∆x y4ax xy ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩a b x 20x ax b ++=-124ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩42x y x y +=⎧⎨-=⎩42x y x y +=⎧⎨-=⎩31x y =⎧⎨=⎩3x =1y =ax +=-15x by +=a =-12b =a =-12b =2120x -+=x ==理由如下：∵∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．22.如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】 （1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得．的222+=ABCD //AD BC 90DAB ∠=︒AB O CO BCD ∠CD O E P »AE 1AD =2BC =tan APE ∠OB CB ⊥OE OB =APE ABE ∠=∠90AEB =︒∠2,1CE BC DE AD ====12AE DE EF CE ==AE a =2EF a =BE AE EF BE=BE =【详解】（1）如图，过点作于点∵，∴，即又∵平分，∴即OE 是的半径∴直线与相切；（2）如图，连接，延长交延长线于点由圆周角定理得：，是的直径，，AD 、BC 都是的切线由切线长定理得：∵∴在和中， ∴∴ 设，则在和中，O OE CD ⊥E //AD BC 90DAB ∠=︒90OBC ∠=︒OB CB ⊥CO BCD ∠OE CD ⊥OE OB =O CD O BE AE BC F APE ABE ∠=∠90AEB =︒∠ AB O AB AD ⊥AB BC ⊥∴O 2,1CE BC DE AD ====//AD BC DAE CFE ∠=∠ADE FCE △AED FEC DAE CFE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ADE FCE ~ 12AE DE EF CE ==(0)AE a a =>2EF a =90BAE ABE FBE ABE ∠+∠=∠+∠=︒ BAE FBE ∴∠=∠ABE △BFE △90BAE FBE AEB BEF ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩ABE BFE ∴~，即 解得在中，则．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．23.某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元【解析】【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A 类和B 类的倍数关系列式即可；（2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A 类和B 类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．【详解】解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米BE AE EF BE ∴=2BE a a BE=BE =Rt ABE △tan AE ABE BE ∠===tan tan APE ABE ∠=∠=A B A B A B A B 35A B A B B A A x B ()2x -A a B (90)a -z A x B ()2x -由题意得 解得，∴，经检验为分式方程的解∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米（2）设建类摊位个，则类个，费用为∵∴，∵110>0，∴z 随着a 的增大而增大，又∵a 为整数，∴当时z 有最大值，此时∴建造90个摊位的最大费用为10520元【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24.如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．（1）填空：_________；（2）求的面积；（3）求证：四边形为平行四边形．6060325x x =⨯-5x =23x -=5x =A B A a B (90)a -z 3(90)a a ≤-022.5a <≤405303(90)z a a =⨯+⨯-1108100a =+22a =10520z =B 8y x =0x >B A C k y x=0x >OB M AB BC D E DE x F G O C BF BG k =BDF ∆BDFG【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意设点B 的坐标为（x ，），得出点M 的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k ；（2）连接，根据反比例函数系数k 的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形． 【详解】解：（1）∵点B 在上， ∴设点B 的坐标为（x ，）， ∴OB 中点M 的坐标为（，）， ∵点M 在反比例函数（）， ∴k=·=2， 故答案为：2； （2）连接，则， ，8x 2x 4x k y x =0x >OD ||12AOD k S ∆==842AOB S ∆==413BOD S ∆=-=//OF AB F AB O AB (),B B B x y (),D D D x y 8B B x y ⋅=2D D x y ⋅=B D y y =4B D x x =4B E y y =31BE EC =34BD AB =EBD ECF ∆∆∽13CF CE BD BE ==43OC AB BD BD ==41OC CF =O G C OC CG =4CG CF =3FG CF =BD FG =//BD FG BDFG 8y x =8x2x 4xk y x=0x >2x 4xOD ||12AOD k S ∆==∵， ∴，∵，∴点到的距离等于点到距离，∴；（3）设，，，，又∵，∴，同理， ∴，， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴，关于对称，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴是平行四边形．【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．842AOB S ∆==413BOD S ∆=-=//OF AB F AB O AB 3BDF BDO S S ∆∆==(),B B B x y (),D D D x y 8B B x y ⋅=2D D x y ⋅=B D y y =4B D x x =4B E y y =31BE EC =34BD AB =//AB BC EBD ECF ∆∆∽13CF CE BD BE ==43OC AB BD BD ==41OC CF =O G C OC CG =4CG CF =43FG CG CF OF CF CF =-=-=3BD CF =BD FG =//BD FG BDFG25.如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】（1）； （2） （3），，，【解析】【分析】（1）根据，得出，，将A ，B 代入得出关于b ，c 的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B ，D 代入求解即可；（3）由题意得tan ∠tan ∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3，分①当△PBQ ∽△ABD 时，②当△PQB ∽△ABD 时，③当△PQB ∽△DAB 时，④当△PQB ∽△ABD 时四种情况讨论即可．2y x bx c =++x A B A B 33BO AO ==B y C D BC =b c BD P x Q BA ABD ∆BPQ ∆Q 1-32--=+y x 1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(1-1,0⎫⎪⎪⎭(5-33BD AO ==(10)A -，(30)B ，2y x bx c =++2312y x x ⎛=-- ⎝BC =(3,0)B D (1)D BD y kx b =+【详解】解：（1）∵，∴，， ∴将A ，B 代入得， 解得，∴，； （2）∵二次函数是，， ∴的横坐标为，代入抛物线解析式得∴，设得解析式为：将B ，D 代入得， 解得，∴直线的解析式为； （3）由题意得tan ∠tan ∠ADB=1， 33BD AO ==(10)A -，(30)B ，2y x bx c =++030b c b c -+=++=132b c ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1b =-32c =--2312y x x ⎛=-+- ⎝BC =(3,0)B D 3312y ⎛=+-- ⎝312=++-1=+(1)D +BD y kx b =+103b k b =+=+⎪⎩k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩BD =y x由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3， ①当△PBQ ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即， 解得tan ∠PQB=tan ∠ADB 即， 解得此时Q 的坐标为（0）； ②当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ADB 即=1，解得n=-2，tan ∠QPB=tan∠ABD 即，解得x=1- 此时Q 的坐标为（1-，0）；③当△PQB ∽△DAB 时，tan ∠PBQ=tan∠ABD 即， 解得 tan ∠PQM=tan ∠DAE 即， 解得， 此时Q，0）； ④当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即=1， 解得n=-2， 2n -11n x-=-2n -1n x --2n -1n x -=-2n -tan ∠PQM=tan ∠DAE 即， 解得x=5-Q 的坐标为（5-0）；综上：Q 的坐标可能为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．1n x -=-1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(1-1,0⎫-⎪⎪⎭(5-。

2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（一）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）设集合{1A =，2，3}，{2B =，3，4}，则(A B = )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{2，3，4}D ．{1，3，4}2．（4分）复数2iz i+=的共轭复数是( ) A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．（4分）三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为( ) A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．（4分）等差数列{}n a 中，已知22a =，58a =，则9(a = ) A ．8B ．12C ．16D ．245．（4分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( ) A ．1y x=B ．3y x =-C ．1()2x y =D ．||y x =-6．（4分）在ABC ∆中，已知5a =，53b =．30C =︒，则角C 的对边c 的长为( ) A ．513B ．511C ．57D ．57．（4分）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S 等于( ) A ．11B ．5C ．8-D ．11-8．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )A ．38cmB ．312cmC ．3323cm D ．3403cm9．（4分）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = )A ．43-B ．34-CD ．210．（4分）已知偶函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，则满足(21)f x f -<（1）的x 取值范围是( ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)-11．（4分）正方体的内切球和外接球的表面积之比为( ) A ．3:1B ．3:4C ．4:3D ．1:312．（4分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为()A ．100B ．150C ．200D ．25013．（4分）直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行，则a 的值是( ) A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或214．（4分）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)(f =)A ．13B ．3C ．13-D ．3-15．（4分）点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43CD ．4二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）16．（4分）若(2,3)a =与(4,)b y =-共线，则y = ．17．（4分）在边长为2的正三角形ABC 中，以AAB ，AC 于D ，E ．若在ABC ∆这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是 ．18．（4分）已知实数x ，y 满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 ．19．（4分）函数1()5(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必过定点 ．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）20．（12分）已知设函数()log (12)log (12)(0a a f x x x a =+-->，1)a ≠． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 的取值范围．21．（12分）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，23AD SD ==，4BA BS ==．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）设集合{1A =，2，3}，{2B =，3，4}，则(A B = )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{2，3，4}D ．{1，3，4}【解答】解：{1A =，2，3}，{2B =，3，4}，{1AB ∴=，2，3，4}故选：A ． 2．（4分）复数2iz i+=的共轭复数是( ) A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【解答】解：由22(2)12i i i z i i i +-+===--， 得复数2iz i+=的共轭复数是：12i +． 故选：A ．3．（4分）三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为( ) A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【解答】解：0.70331a =>=，3000.70.71b <=<=，33log 0.7log 10c =<=，c b a ∴<<．故选：D ．4．（4分）等差数列{}n a 中，已知22a =，58a =，则9(a = ) A ．8B ．12C ．16D ．24【解答】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由22a =，58a =，得11248a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =， 91816a a d ∴=+=．故选：C ．5．（4分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( ) A ．1y x=B ．3y x =-C ．1()2x y =D ．||y x =-【解答】解：A ．1y x=是奇函数，则定义域内不具备单调性，不满足条件． B ．3y x =-是奇函数，则(,)-∞+∞上是减函数，满足条件．C ．1()2x y =是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．||y x =-是偶函数，不满足条件．故选：B ．6．（4分）在ABC ∆中，已知5a =，b =30C =︒，则角C 的对边c 的长为( ) A．B．C．D ．5【解答】解：5a =，b =30C =︒， 由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-．可得：22575225c =+-︒⨯=． 5c ∴=．故选：D ．7．（4分）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S 等于( ) A ．11B ．5C ．8-D ．11-【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q ≠ 由题意可得42511880a a a q a q +=+=，解得2q =-， 故5155522212(1)11(2)111(1)11(2)1a q S q q a q S q q-----====------ 故选：D ．8．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )A ．38cmB ．312cmC ．3323cm D ．3403cm 【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：33132222233cm +⨯⨯⨯=．故选：C ．9．（4分）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = ) A ．43-B ．34-C 3D ．2【解答】解：圆2228130x y x y +--+=的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10ax y +-=的距离211d a ==+，解得：43a =-，故选：A ．10．（4分）已知偶函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，则满足(21)f x f -<（1）的x 取值范围是( ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)-【解答】解：根据题意，()f x 为偶函数，则(21)f x f -<（1）(|21|)f x f ⇒-<（1）， 又由函数在区间[0，)+∞上单调递增， 则(|21|)f x f -<（1）|21|1x ⇒-<， 解可得：01x <<， 故选：B ．11．（4分）正方体的内切球和外接球的表面积之比为( )A ．3:1B ．3:4C ．4:3D ．1:3【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a ．2a r =内切球，2ar =内切球2r =外接球，r =外接球，:r r ∴=内切球外接球．∴正方体的内切球和外接球的表面积之比为1:3．故选：D ．12．（4分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为()A ．100B ．150C ．200D ．250【解答】解：分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=， ∴样本容量1500010050n =⨯=． 故选：A ．13．（4分）直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行，则a 的值是( ) A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或2【解答】解：直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行12(1)0a a ∴⨯-+= 220a a ∴+-=2a ∴=-或1a =当2a =-时，直线270x y --=与直线2140x y -+-=互相平行； 当1a =时，直线70x y +-=与直线22140x y +-=重合，不满足题意； 故2a =- 故选：B ．14．（4分）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)(f =)A ．13B ．3C ．13-D ．3-【解答】解：根据题意，42log 9log 30=>，当0x <时，()2xf x =，则21342211(log 9)(log 3)()233log f f f log -=-===；则441(log 9)(log 9)3f f =--=-；故选：C ．15．（4分）点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．43C D ．4【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，∴1=，2224a b b ∴+=，222233()a b c a ∴==-2243a c ∴=，即2a ，c e a ∴===， 故选：C ．二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）16．（4分）若(2,3)a =与(4,)b y =-共线，则y = 6- ． 【解答】解：若(2,3)a =与(4,)b y =-共线，则23(4)0y -⨯-= 解得6y =- 故答案为：6-17．（4分）在边长为2的正三角形ABC 中，以A AB ，AC 于D ，E ．若在ABC ∆这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是． 【解答】解：已知如下图示：122ABC S ∆=⨯阴影部分的扇形面积，26033602S ππ=⋅=扇， 则豆子落在扇形ADE 内的概率3263ABC S P S ππ∆===扇， 故答案为：36π．18．（4分）已知实数x ，y 满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 7 ．【解答】解：根据约束条件2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩画出可行域如图，得到ABC ∆及其内部，其中(5,3)A ，(1,3)B -，(2,0)C 平移直线:2l z x y =-，得当l 经过点(5,3)A 时，Z ∴最大为2537⨯-=．故答案为：7．19．（4分）函数1()5(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必过定点 (1,6) ． 【解答】解：由10x -=，得1x =．此时()6f x =．∴函数1()5(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必过定点(1,6)．故答案为：(1,6)．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）20．（12分）已知设函数()log (12)log (12)(0a a f x x x a =+-->，1)a ≠． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 的取值范围．【解答】解：（1）要使函数有意义，则120120x x +>⎧⎨->⎩，得1212x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即1122x -<<，所以()f x 的定义域为11(,)22-．（2）定义域为11(,)22-，关于原点对称又因为()log (12)log (12)()a a f x x x f x -=--+=-所以()f x 为奇函数． （3）()0log (12)log (12)0log (12)log (12)a a a a f x x x x x >⇒--+>⇒->+， 当1a > 时，原不等式等价为：12120x x x +>-⇒>， 当01a << 时，原不等式等价为：12120x x x +<-⇒<，又因为()f x 的定义域为11(,)22-，所以使()0f x > 的x 的取值范围，当1a > 时为1(0,)2；当01a << 时为1(,0)2-．21．（12分）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==4BA BS ==．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：ADB ∆中，由余弦定理可得2BD =，222BD AD AB ∴+=，AD BD ∴⊥．取SD 的中点E ，连接DE ，BE ，则DE SA ⊥，BE SA ⊥， DEBE E =，SA ∴⊥平面BDE ，SA BD ∴⊥， SAAD A =，BD ∴⊥平面SAD ；（Ⅱ）解：点C 到平面SAB 的距离=点D 到平面SAB 的距离h ． SAD ∆中，30SAD =︒，23AD SD ==，1323233322SAD S ∆∴=⨯⨯⨯=， SAB ∆中，4BA BS ==，6SA =，16169372SAB S ∆∴=⨯⨯-=，由等体积可得113323733h ⨯⨯=⨯，2217h ∴=．2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（二）一、选择题：本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2(a b -= )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)2．（4分）复数123ii-+在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（4分）公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．（4分）已知集合{|1}A x x =>，{|1}B x ax =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．[0，1)5．（4分）函数()f x =的定义域是( )A ．4(,)3+∞B ．5(,)3-∞C ．45(,)33D ．45(,]336．（4分）已知直线l ，m ，平面α，β，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则//αβ； ③若αβ⊥，则//l m ； ④若//l m ，则αβ⊥ 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．37．（4分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4；5:5:6，则应从一年级本科生中抽取( )名学生． A ．60B ．75C ．90D ．458．（4分）在ABC ∆中，sin :sin :sin 4A B C ，则角C 的大小为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9．（4分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．（4分）指数函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数图象过点(4,2)，则(a = ) A ．3B ．2C ．9D ．411．（4分）若1tan 2θ=，则2cos sin 2(θθ+= ) A ．45 B ．65 C ．85D ．212．（4分）函数5()sin sin()2f x x x π=-的最小正周期为( ) A ．πB ．23π C ．2π D ．π13．（4分）若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >14．（4分）函数sin(2)3y x π=+的图象( )A ．关于点(3π，0)对称 B ．关于直线4x π=对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3x π=对称15．（4分）函数2()log f x x x =+的零点所在区间为( )A ．1[0,]8B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]2二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）16．（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ． 17．（4分）若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为 ． 18．（4分）经过点(1,1)且与圆222x y +=相切的直线的方程是 ．19．（4分）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，则当0x <，()f x = ．三、解答题：本大题共2个小题，每个小题12分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20．（12分）已知函数2()f x x bx c=++的图象过点(1,3)-，且关于直线1x=对称（Ⅰ）求()f x的解析式；（Ⅱ）若3m<，求函数()f x在区间[m，3]上的值域．21．（12分）设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,4)离心率为35．（1）求C的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段中点坐标．2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2(a b -= ) A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)【解答】解：由(2,4)a =，(1,1)b =-，得：22(2a b -=，4)(1--，1)(4=，8)(1--，1)(5=，7)． 故选：A ． 2．（4分）复数123ii-+在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：1(1)(23)151523(23)(23)131313i i i i i i i i -----===--++-， ∴复数123i i -+在复平面内对应的点的坐标为15(,)1313--，位于第三象限． 故选：C ．3．（4分）公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设数列的公差为d 则 13513a d +=①1a 、2a 、5a 成等比数列2111()(4)a d a a d ∴+=+② ①②联立求得2d = 故选：B ．4．（4分）已知集合{|1}A x x =>，{|1}B x ax =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．[0，1)【解答】解：已知集合{|1}A x x =>，{|1}B x ax =>， 若B A ⊆，则A 集合包含B 集合的所以元素， 解B 集合时，当0a <时，不满足题设条件， 当0a =时，x 无实数解，B 集合为空集，满足条件，当0a >时，1x a >，则11a，1a ，即01a <， 综上则实数a 的取值范围为：[0，1]， 故选：C ．5．（4分）函数()f x =的定义域是( )A ．4(,)3+∞B ．5(,)3-∞C ．45(,)33D ．45(,]33【解答】解：函数()f x =令0.5log (34)0x ->， 解得0341x <-<， 即4533x <<； 所以函数()f x 的定义域是4(3，5)3．故选：C ．6．（4分）已知直线l ，m ，平面α，β，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则//αβ； ③若αβ⊥，则//l m ； ④若//l m ，则αβ⊥ 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解；①l α⊥，//αβ，l β∴⊥，又m β⊂，l m ∴⊥，①正确． ②由l m ⊥推不出l β⊥，②错误．③当l α⊥，αβ⊥时，l 可能平行β，也可能在β内，l ∴与m 的位置关系不能判断，③错误．④l α⊥，//l m ，m α∴⊥，又m β⊂，αβ∴⊥ 故选：C ．7．（4分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4；5:5:6，则应从一年级本科生中抽取( )名学生．A ．60B ．75C ．90D ．45【解答】解：采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++．故选：A ．8．（4分）在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:4:31A B C =，则角C 的大小为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：sin :sin :sin 3:4:31A B C =， ∴由正弦定理知::3:4:31a b c =，不妨设3a d =，则4b d =，31c d =，则由余弦定理可得：222222316313cos 22234a b c d d d C ab d d+-+-===-⨯⨯，(0,180)C ∈︒︒，150C ∴=︒．故选：A ．9．（4分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是23 ∴1244+=， ∴圆锥的侧面积是248ππ⨯⨯=，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4， ∴圆柱表现出来的表面积是2222420πππ⨯+⨯⨯= ∴空间组合体的表面积是28π，故选：C ．10．（4分）指数函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数图象过点(4,2)，则(a = ) A ．3B ．2C ．9D ．4【解答】解：指数函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数图象过点(4,2)， 根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点(2,4)， 可得，24a =， 解得：2a =； 故选：B ． 11．（4分）若1tan 2θ=，则2cos sin 2(θθ+= ) A ．45B ．65C ．85D ．2【解答】解：若1tan 2θ=，则22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ+++===++，故选：C ．12．（4分）函数5()sin sin()2f x x x π=-的最小正周期为( ) A ．πB ．23π C ．2π D ．π【解答】解：函数51()sin sin()sin cos sin 222f x x x x x x π=-==， ()f x 的最小正周期为22T ππ==． 故选：A ．13．（4分）若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【解答】解：方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，∴0404m m m m >⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得：02m <<． 故选：B ．14．（4分）函数sin(2)3y x π=+的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4x π=对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3x π=对称【解答】解：令23x k ππ+=得126x k ππ=-，对称点为1(26k ππ-，0)()k z ∈， 当1k =时为(3π，0)，故选：A ．15．（4分）函数2()log f x x x =+的零点所在区间为( )A ．1[0,]8B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]2【解答】解：因为函数2()log f x x x =+，在0x >时函数是连续增函数， 且有21111()308888f log =+=-<，21111()204444f log =+=-<，21111()102222f log =+=-<，f （1）10=>， 可得()f x 在1[,1]2存在零点．故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）16．（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为12． 【解答】解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为12． 故答案为：12． 17．（4分）若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为 16 ． 【解答】解：x ，0y >，且131x y+=， 13333(3)()1010616y x y x y x y x y x y x ∴+=++=+++，当且仅当31x y +=，y xx y=即14x y ==取等号． 因此3x y +的最小值为16． 故答案为16．18．（4分）经过点(1,1)且与圆222x y +=相切的直线的方程是 20x y +-= ． 【解答】解：因为点(1,1)在圆222x y +=上，所以切线的斜率为：10110--=-- 切线的方程为：1(1)y x -=--，即：20x y +-= 故答案为：20x y +-=19．（4分）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，则当0x <，()f x =(1)x x - ．【解答】解：设0x <，则0x ->，依题意，()(1)(1)f x x x x x -=--+=-，()f x 为偶函数，()()(1)(0)f x f x x x x ∴=-=-<．故答案为：(1)x x -．三、解答题：本大题共2个小题，每个小题12分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20．（12分）已知函数2()f x x bx c =++的图象过点(1,3)-，且关于直线1x =对称 （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若3m <，求函数()f x 在区间[m ，3]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数2()f x x bx c =++的图象过点(1,3)-，且关于直线1x =对称，∴(1)1312f b c b -=-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2b =-，0c =，2()2f x x x ∴=-．（Ⅱ）当13m <时，2()()2min f x f m m m ==-， ()max f x f =（3）963=-=，()f x ∴的值域为2[2m m -，3]；当11m -<时，()min f x f =（1）121=-=-， ()(1)123max f x f =-=+=，()f x ∴的值域为[1-，3]．当1m <-时，()min f x f =（1）121=-=-，2()()2max f x f m m m ==-，()f x ∴的值域为[1-，22]m m -．。

2020年中考数学全真模拟试卷（广东)（四）（考试时间：90分钟；总分：120分)班级:___________姓名：___________座号：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分)1．12-的值是()A．12-B．12C．2-D．2【答案】B【解析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即可求解【详解】根据负数的绝对值是它的相反数，得11 22 -=．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义和性质是解题的关键．2．某区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×105【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：用科学记数法表示15000是：1.5×104．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握，即可解题.4．如图，几何体的左视图是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：如图所示，其左视图为：．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．5．某班体育课上老师记录了7位女生1分钟仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：28，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（）A．35，38B．38，38C．38，35D．35，35【答案】B【解析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均。

2020年广东省初中学业水平考试模拟卷 数 学 试 卷(一)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．请把答题卡上的对应题目所选的选项涂黑．1．2的相反数是( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2 2．2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行．受阅官兵数量近15000人，请将数据15000用科学记数法表示为( )A ．0.15×105B ．1.5×105C ．1.5×104D ．0.15×1063．如图，有5个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是( )A B C D4．下列运算正确的是( )A ．(a 2)3＝a 5B ．2a 2＋3a 2＝5a 4C ．4a 4÷2a 2＝2a 2D ．2a 2·a ＝3a 25．下列电视台的台标图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ( )6．在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：96，106，112，108，113，106，115，则这7名同学考试成绩的众数是( ) A．106 B．108C．107 D．1127．实数a，b在数轴上对应点的位置如图，化简|－a|＋（a－b）2的结果是( )A．b B．2a－b C．－b D．－2a＋b8．因式分解2m2－8结果正确的是( )A．2(m2－4) B．2(m－4)2C．2(m＋2)(m－2) D．(2m＋4)(m－4)9．若关于x的一元二次方程ax2－7x－7＝0有实根，则a的取值范围是( )A．a＞－74B．a≥－74且a≠0C．a≤－74D．a＞－74且a≠010．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD＝135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME＝14BC；③FH＝HC；④AE2＝EF·EB；其中结论正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11.8－(12)－1＋(－1)2020＝________． 12．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于________．13．若13x 3y m 与－4x n y 4是同类项，则2mn ＝________． 14．如图，直线AB ，CD 相交于点E ，DF ∥AB ，若∠AEC ＝105°，则∠D 等于________．15．亮亮在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球，已知亮亮与篮筐底的距离BC ＝5米，眼睛与地面的距离AB ＝1.7米，视线AD 与水平线的夹角为α＝16.7°，已知tan16.7°≈0.3，则点D 到地面的距离CD 是________米．16．如图，已知直线y ＝x ＋b 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝6x(x ＞0)交于点C ，AB ＝BC ，则点B 的坐标是________． 17．如图，顺次连接矩形ABCD 四边的中点得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1四边的中点得四边形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律得到四边形A n B n C n D n ，若矩形ABCD 的面积为16，那么四边形A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥33（x －2）<x ＋419．先化简，再求值：(2－x －1x ＋1)÷x 2＋6x ＋9x 2－1，其中x ＝－2.20．如图，在△ABC 中，AB ＝3 cm ，AC ＝5 cm.(1)请用尺规作图法，作BC 的垂直平分线，分别交AC ，BC 于点D 、E (不要求写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的条件下，连接BD，求△ABD的周长．四、解答题(二)(本大题3小题，每小题8分，共24分)21．为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学这四门课程中选你喜欢的课程(被调查者限选一项)，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查的总人数为________，扇形统计图中A部分的圆心角是________度；(2)为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，冰冰和丽丽随机从这四个课程中抽取一个，用列表或画树状图法，求他们抽到相同课程题目的概率．22．龙眼又称桂圆，“石碣龙眼”是广东的特色水果，是著名的岭南佳果．某水果店在开业期间计划购进甲、乙两种型号的“石碣龙眼”共100箱，甲型号每箱180元，乙型号每箱150元，这两种型号的“石碣龙眼”共需16200元．(1)甲、乙两种型号的“石碣龙眼”各有多少箱？(2)若店家现需购进甲型号“石碣龙眼”55箱，则按计划剩下的钱最多能购进乙型号“石碣龙眼”多少箱？23．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小雨同学看到一道有趣的数学问题：我国古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与其面积相等的矩形，从而得到“筝形面积等于其对角线乘积之半”．(说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形)(1)根据下图完成这个数学问题的证明过程．证明：S筝形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COB＋S△COD，易知，S△AOD＝S△BEA，S△COD＝S△BFC，由等量代换可得：S筝形ABCD＝S△AOB＋________＋S△COB＋________＝S矩形EFCA＝AE·AC＝12·________． (2)若图中△AEB 是由△AOD 顺时针旋转90°得到的，AD ＝4 cm ，求点D 旋转到点B 所经过的路径长．五、解答题(三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)24．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦DF ⊥AB 于点G .(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)求证：CD 是⊙O 的切线；(3)若sin ∠BAD ＝45，⊙O 的直径为10，求DF 的长．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1，0)，B (0，2)，二次函数y ＝12x 2＋bx －2的图象经过C 点． (1)求二次函数的解析式；(2)平移该二次函数图象的对称轴所在直线l ，若直线l 恰好将△ABC 的面积分为1∶2两部分，请求出此时直线l 与x 轴的交点坐标；(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷4（解析版）(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{1,2}，N＝{0,1,3}，则M∩N＝()A．{1} B．{0,1}C．{1,2} D．{1,2,3}A[由题得M∩N＝{1,2}∩{0,1,3}＝{1}．]2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝()A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列{a n}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0”不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉>0，即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2,3的直线方程是()A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C[由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.]5．已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系()A ．一定是异面B ．一定是相交C ．不可能平行D ．不可能垂直C [a ，b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 异面和相交均有可能，但不会平行． 若c ∥b ，因为c ∥a ，由平行公理得a ∥b ，与a ，b 是两条异面直线矛盾．故选C.] 6．在平行四边形ABCD 中，AB →＋AD →等于( )A.AC→ B.BD → C.DB → D ．|AC →| A [AB→＋AD →＝AB →＋BC →＝AC →.] 7．圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝33x 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．直线过圆心A [由圆的方程得圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，因为(1,0)到直线y ＝33x 的距离d ＝331＋332＝12<1，所以圆与直线的位置关系为相交．] 8．方程x 3－2＝0的根所在的区间是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)C [∵x 3－2＝0，∴x 3＝2，故x ＝32，∵y ＝3x 是增函数，∴31<32<38，1<32<2，即方程x 3－2＝0的根所在的区间是(1,2)，故选C.]9．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④C[其俯视图若为圆，则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样，由图中可知其正视图的长度与侧视图的宽度不一样，因此其俯视图不可能是圆．故选C.]10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3C[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，根据对立事件的概率和为1，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]11．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[∵f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0，∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)在(1,2)上是连续的，故f(x)的零点所在的一个区间为(1,2)．故选C.]12．已知点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足y≤|x|，那么|P A|的最小值是()A.12 B.22C.32D．1B[作出平面区域如图，则|P A|的最小值为A(0,1)到直线x－y＝0的距离d＝12＝22.]13．将函数y＝cos x的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)的最小正周期为πB．y＝f(x)是偶函数C．y＝f(x)的图象关于点π2，0对称D．y＝f(x)在区间0，π2上是减函数D [将函数y ＝cos x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )＝cos x ＋π2＝－sin x 的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A ，B ，C 错误，D 正确．故选D.]14．求值：sin 45° cos15°＋cos 45°sin 15°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32D [sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32.]15．已知函数f (x )是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，则f (x )在区间[－2，－1]上是( ) A ．单调递减函数，且有最小值－f (2) B ．单调递减函数，且有最大值－f (2) C ．单调递增函数，且有最小值f (2) D ．单调递增函数，且有最大值f (2)B [因为函数f (x )是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，由函数的奇偶性性质知，奇函数在对称区间上的单调性相同，所以f (x )在区间[－2，－1]上是单调递减函数．当x ＝－2时，有最大值，f (－2)＝－f (2)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上) 16．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值是5，则输出y 的值是________．0．5 [阅读程序框图，可得该程序的功能是求分段函数的函数值，分段函数的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧0.2，x ≤30.1x ，x >3，因为输入x 的值是5，5>3，所以f (5)＝0.1×5＝0.5.]17．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________． 0 [f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋m ＝1，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0.] 18．设e 是椭圆x 2k ＋y 24＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是________．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ [当焦点在x 轴上时，e ＝k －4k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴k －4k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞；当焦点在y 轴上时，e ＝4－k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴k ∈(0,3)．故实数k 的取值范围是(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞.]19．已知x ∈[0，π]，且3sin x 2＝1＋sin x ，则tan x2＝________.12 [由于0≤x ≤π，所以0≤x 2≤π2，故sin x 2≥0，cos x 2≥0. 所以1＋sin x＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2＝sin x 2＋cos x 2，即sin x 2＋cos x 2＝3sin x 2， 即cos x 2＝2sin x 2，故tan x 2＝sin x 2cos x 2＝12.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分12分如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥CB ，点M 和N 分别是B 1C 1和BC 的中点．(1)求证：MB ∥平面AC 1N ；(2)求证：AC ⊥MB .[证明] (1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，因为点M ，N 分别是B 1C 1，BC 的中点， 所以C 1M ∥BN ，C 1M ＝BN ， 所以MC 1NB 是平行四边形， 所以C 1N ∥MB .因为C 1N ⊂平面AC 1N ，MB ⊄平面AC 1N ， 所以MB ∥平面AC 1N .(2)因为CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1.因为AC ⊥BC ，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 因为MB ⊂平面BCC 1B 1， 所以AC ⊥MB .21．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：哪种培训方式效率更高？(2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．[解] (1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t 1、t 2，则 t 1＝20×5＋25×10＋10×15＋5×2060＝10(小时)，t 2＝8×4＋16×8＋20×12＋16×1660≈10.9(小时)，据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10<10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人， 则这6人中来自甲组的人数为：630×10＝2， 来自乙组的人数为：630×20＝4，记来自甲组的2人为：a 、b ；来自乙组的4人为：c 、d 、e 、f ，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a ，b )，(a ，c ) ，(a ，d ) ，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共9种，故所求的概率P ＝915＝35.。

2020年广东省初中学业水平考试数学一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1.9的相反数是（ ）A.－9B.9C.19D.19- 2.一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）A.5B.35C.3D.253.在半面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A.(3,2)-B.(2,3)-C.(2,3)-D.(3,2)-4.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）A.4B.5C.6D.75.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.2x ≠B.2x ≥C.2x ≤D.2x ≠-6.已知ABC ∆的周长为16，点D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点，则DEF ∆的周长为（ ）A.8B.C.16D.4 7.把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A.22y x =+B.2(1)1y x =-+C.2(2)2y x =-+D.2(1)3y x =-- 8.不等式组231,12(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩的解集为（ ） A.无解 B.1x ≤ C.1x ≥- D.11x -≤≤9.如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为（ ）A.1B.2C.3D.2 10.如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =.下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③80a c +<；④520a b c ++>，正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题7小題，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11.分解因式：xy x -=_________.12.如果单项式3m x y 与35nx y -是同类项，那么m n +=_________. 13.若2|1|0a b -++=，则2020()a b +=_________. 14.已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为_________.15.如图，在菱形ABCD 中，30A ∠=︒，取大于12AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ，则EBD ∠的度数为_________.16.如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________m .17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，4MN =，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为_________.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18.先化简，再求价：22()()()2x y x y x y x +++--，其中2x =3y =19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级.随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下： 等级非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人）24 72 18 x（1）求x 的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？20.如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，BD CE =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于点F ，求证：ABC ∆是等腰三角形.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21.已知关于x ，y 的方程组23103,4ax y x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩与2,15x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同. （1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程20x ax b ++=的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.22.如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，AB 是O 的直径，CO 平分BCD ∠.（1）求证：直线CD 与O 相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AE 上一点，1AD =，2BC =.求tan APE ∠的值.23.某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35. （1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用. 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24.如图，点B 是反比例函数8y x=（0x >）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ，反比例函数k y x =（0x >）的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E .连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG .（1）填空：k =_________；（2）求BDF ∆的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形.25.如图，抛物线233y x bx c +=++与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，33BO AO ==，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，3BC CD =.（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上，当ABD ∆与BPQ ∆相似时，请直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的坐标. 2020厂东中考数学答案【选择题】1.A2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.D9.D10.B【填空题】11.(1)x y -12.43m =，1n =，4m n +=13.12a =，1b =-，202011=14.75x y +=，2xy =3343()41587x y xy x y xy +-=+-=-=15.45°18030150ABC ∠=-=︒︒︒ 1275ABD ABC =∠=︒ ∵AE EB =∴EAB EBA ∠=∠∴753045EBD ∠=-=︒︒︒16.13 1AB = 21203603ABC S r ππ︒=⋅=︒扇形 r l 锥扇=，3S rl ππ==锥13r =17.252-B 、D 、E 三点共线，距离最小2BE =，224225BD =+=252DE BD BE =-=-18.解：原式2222222x xy y x y x =+++-- 2xy =将2x =3y =得原式223=6=19.（1）解：由题意得：247218120x +++=解得6x =（2）解：247218001440120+⨯=（人） 答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有1440人.20.证明：在BDF ∆和CEF ∆中()DFB EFC FBD FCEBD CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩对顶角相等 ∴()BDF CEF AAS ∆∆≌∴BF CF =∴FBC FCB ∠=∠又∵ABE ACD ∠=∠∴FBC ABE FCD ACD ∠+∠=∠+∠即ABC ACB ∠=∠∴ABC ∆是等腰三角形21.解：由题意列方程组：42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩将3x =，1y =分别代入ax +=-15x by +=解得a =-12b =∴a =-12b =（2）2120x -+=解得x == 这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵222+=∴该三角形是等腰直角三角形22.（1）证明：连接过点O 作OE CD ⊥于点E∵//AD BC ，90DAB ∠=︒∴90OBC ∠=︒又∵CD 平分BCD ∠，OE CD ⊥，OB CB ⊥∴OE OB =∴直线CD 与O 相切（2）连接BE ，延长AE 交BC 延长线与点F由题意得APE ABE ∠=∠∵//AD BC∴DAE CFE ∠=∠在ADE ∆和CFE ∆中AED FEC DAE CFE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ADE CFE ∆∆∽ ∴12AE EF = 根据射影定理得2BE AE EF =⋅ ∴2tan tan AE ADE ABE BE ∠=∠==23.解：（1）设每个A 类摊位占地面积x 平方米，则B 类占地面积()2x -平方米 由题意得6060325x x =⨯- 解得5x =∴23x -=，经检验5x =为分式方程的解∴每个A 类摊位占地面积5平方米，B 类占地面积3平方米（2）设建A 类摊位a 个，则B 类(90)a -个，费用为z∵3(90)a a ≤-∴022.5a <≤4030(90)z a a =+-102700a =+当22a =时2920z =∴建造90个摊位的最大费用为2920元24.解：（1）2k =（2）连接OD 则||12AOD k S ∆== ∵842AOB S ∆== ∴413BOD S ∆=-=∵//OF AB∴点F 到AB 的距离等于点O 到AB 距离∴3BDF BDO S S ∆∆==（3）设(),B B B x y ，(),D D D x y8B B x y ⋅=，2D D x y ⋅=又∵D B y y =∴4B D x x =同理4B E y y = ∴31BE EC =，34BD AB = ∵//AB BC ∴EBD ECF ∆∆∽ ∴13CF CE BD BE == ∵43OC AB BD BD ==∴41OC CF = ∴O ，G 关于C 对称∴OC CG =∴4CG CF =∴43FG CG CF OF CF CF =-=-=又∵3BD CF =∴BD FG =又∵//BD FG ∴BDFG 是平行四边形25.解：（1）∵33BD AO ==∴(1,0)A -，(3,0)B∴02730b c b c b +=⎨+⎪++=⎪⎩解得1322b c ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩∴13b =--，322c =-- （2）∵二次函数是2312y x x ⎛=-+- ⎝⎭∵BC =，(3,0)B∴D的横坐标为3312y ⎛=++ ⎝⎭331222+=+--1=∴(1)D设BD：y kx b=+则103bk b=+=+⎪⎩解得kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线BD的解析式为3y x=-+（3）(1-(5-3,03⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭2020年东莞市初中毕业生水平考试试题数学一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1下列实数中，最小的是（）A.0B.－1C. D.12.美国约翰斯·霍普金斯大学实时统计数据显示，截至北京时间5月10日8时，全球新冠肺炎确诊病例超4000000例.其中4000000科学记数法可以表示为（）A.70.410⨯ B.6410⨯ C.7410⨯ D.54010⨯3.若分式11x+有意义，则x的取值范围是（）A.1x<- B.1x≤- C.1x>- D.1x≠-4.下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）A. B. C. D.5.下列四个不等式的解集在数轴上表示如图的是（ ）A.12x +≤B.12x +<C.12x +>D.12x +≥6.如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，且2AC AD =，那么CAD ∠的度数是（ ）A.30°B.45°C.60°D.75°7.一组数据2，3，4，2，5的众数和中位数分别是（ ）A.2，2B.2，3C.2，4D.5，4 8.计算62a a ÷的结果是（ ）A.3B.4C.3aD.4a 9.如图，已知//AB CD ，CE 平分ACD ∠，且120A ∠=︒，则1∠=（ ）A.30°B.40°C.45°D.60°10.如图，一次函数1y x =+和2y x =与反比例函数2y x=的交点分别为点A 、B 和C ，下列结论中，正确的个数是（ ）①点A 与点B 关于原点对称；②OA OC =； ③点A 的坐标是(1,2)；④ABC ∆是直角三角形.A.1B.2C.3D.4 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11.3-的相反数是_________.12.若正n 边形的一个外角等于36°，则n =_________.13.若等边ABC ∆的边长AB 为2，则该三角形的高为_________.14.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若70A ∠=︒，则C ∠的度数是_________.15.一个不透明的袋子里装有除颜色不同其他都相同的红球、黄球和蓝球，其中红球有2个，黄球有1个，从中任意摸出1球是红球的概率为14，则蓝球的个数是_________. 16.已知方程组24417x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x y -=_________.17.如图，等腰12Rt OA A ∆，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，以此规律作等腰89Rt OA A ∆，则89OA A ∆的面积是_________.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18.计算：03822cos60(3.14)π---+--︒.19.先化简，再求值：2221(1)x x x x x-+÷--，其中23x =. 20.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，10AB =.（1）用尺规作图作AB 的垂直平分线EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F （保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）在（1）的条件下，求EF 的长度.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21.因受疫情影响，东莞市2020年体育中考方案有较大变化，由原来的必考加选考，调整为“七选二”，其中男生可以从A （篮球1分钟对墙双手传接球）、B （投掷实心球）、C （足球25米绕杆）、D （立定跳远）、E （1000米跑步）、F （排球1分钟对墙传球）、G （1分钟踢毽球）等七个项目中选考两项.据统计，某校初三男生都在“A ”“B ”“C ”“D ”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目.根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，请结合图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中C 所对应的圆心角的度数是_________；（2）请补全条形统计图；（3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A 、B 、C 、D 项目中的两项.若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A 和B 的概率22.某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩的生产比甲厂单独完成多用5天.（1）求甲、乙厂每天分别可以生产多少万只口罩？（2）该地委托甲、乙两厂尽快完成100万只口罩的生产任务，问两厂同时生产至少需要多少天才能完成生产任务？23.如图，90EAD ∠=︒，O 与AD 相交于点B 、C ，与AE 相切于点E ，已知OA OD =.（1）求证：OAB ODC ∆∆≌；（2）若2AB =，4AE =，求O 的半径.五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24.如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为斜边AB 的中点.将线段AC 平移至ED 交BC 于点M ，连接CD 、CE 、BD .（1）求证：CD BE =；（2）求证：四边形BECD 为菱形；（3）连接AD ，交CE 于点N ，若10AC =，5cos 13ACE ∠=，求MN 的长. 25.已知抛物线23y x bx =-++的图象与x 轴相交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，图象的对称轴为直线1x =-.连接AC ，有一动点D 在线段AC 上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交x 轴于点F .设点D 的横坐标为m .（1）求AB 的长度；（2）连接AE 、CE ，当ACE ∆的面积最大时，求点D 的坐标；（3）当m 为何值时，ADF ∆与CDE ∆相似.2020年东莞市初中毕业生水平考试《数学》参考答案一、选择题：1-5CBDCA 6-10CBDAD二、填空题：3 12.10 314.110° 15.5 16.7 17.64（填62亦可）三、解答题（一）18.解：原式122212=--+⨯- 4=-19.解：原式2(1)1(1)(1)x x x x -=⋅-- 1x= 当23x =时，原式323== 20.解：（1）如图，EF 为AB 的垂直平分线；（2）∵EF 为AB 的垂直平分线∴152AE AB ==，90AEF ∠=︒ ∵在Rt ABC ∆中，8AC =，10AB =∴221086BC =-=∵90C AEF ∠=∠=︒，A A ∠=∠∴AFE ABC ∆∆∽∴AE EF AC BC=， 即586EF = ∴154EF = 四、解答题（二）21.解：（1）108°（2）（3）∴机会均等的结果有AB 、AC 、AD 、BA 、BC 、BD 、CA 、CB 、CD 、DA 、DB 、DC等共12种情况，其中所选的项目恰好是A 和B 的情况有2种；∴P （所选的项目恰好是A 和B ）21126==. 22.解：（1）设乙厂每天能生产口罩x 万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x 万只， 依题意，得：606051.5x x-=， 解得：4x =，经检验，4x =是原方程的解，且符合题意，∴甲厂每天可以生产口罩：1.546⨯=（万只）.答：甲、乙厂每天分别可以生产6万和4万只口罩.（3）设应安排两个工厂工作y 天才能完成任务，依题意，得：()64100y +≥，解得：10y ≥.答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务.23.（1）证明：过点O 作OM BC ⊥，交AD 于点M ，∴MC MB =，90OMA ∠=︒，∵OA OD =，OM AD ⊥，∴MA MD =∴MA MB MD MC -=-，即AB CD =.又∵OA OD =，OB OC =， ∴()OAB ODC SSS ∆∆≌.（2）解：连OE ，设半径OE r =， ∵O 与AE 相切于点E ，∴90OEA ∠=︒，又∵90EAD ∠=︒，90OMA ∠=︒， ∴四边形AEOM 为矩形，∴4OM AE ==，OE AM r ==， 在Rt OBM ∆中，222BM OM OB +=， 即222(2)4r r -+=，∴5r =.即O 的半径为5.五、解答题（三）24.（1）证明：∵ED 为AC 平移所得，∴//AC ED ，AC ED =，∴四边形ACDE 为平行四边形， ∴AE CD =，在Rt ABC ∆中，点E 为斜边AB 的中点， ∴AE CE BE ==，∴CD BE =.（2）证明：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴//AE CD ，即//CD BE ， 又∵CD BE =，∴四边形BECD 为平行四边形， 又∵CE BE =， ∴四边形BECD 为菱形.（3）解：在菱形BECD 中，点M 为DE 的中点， 又10DE AC ==， ∴152ME DE ==， ∵//AC DE ，∴18090CEM ACB ∠=︒-∠=︒，ACE CEM ∠=∠， ∴在Rt CME ∆中，5cos 13ME CEM CE ∠==， 即5cos 13ME ACE CE ∠==， ∴135135CE =⨯=， 在平行四边形ACDE 中，点N 为CE 的中点， ∴16.52MN CE ==. 25.解：（1）∵对称轴12(1)bx =-=-⨯-，∴2b =-， ∴223y x x =--+当0y =时，2230x x --+=，解得13x =-，21x =，即(3,0)A -，(1,0)B ， ∴1(3)4AB =--=.（2）经过点(3,0)A -和(0,3)C 的直线AC 关系式为3y x =+， ∴点D 的坐标为(,3)m m +.在抛物线上的点E 的坐标为()2,23m m m --+， ∴()2223(3)3DE m m m m m =--+-+=--， ∴111222ACE S DE F DE OF DE OA ∆=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ()2213933222m m m m =⋅--⋅=--， 当9323222m -=-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，ACE S ∆的最大值是233932722228⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴点D 的坐标为33,322⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）连EF ，情况一：如图，当//CE AF 时，ADF CDE ∆∆∽，当3y =时，2233x x --+=，解得10x =，22x =-，∴点E 的横坐标为－2，即点D 的横坐标为－2， ∴2m =-情况二：∵点(3,0)A -和(0,3)C ， ∴OA OC =，即45OAC ∠=︒. 如图，当ADF EDC ∆∆∽时，45OAC CED ∠=∠=︒，90AFD DCE ∠=∠=︒，即EDC ∆为等腰直角三角形，过点C 作CG DE ⊥，即点CG 为等腰Rt EDC ∆的中线， ∴22m DE CG ==-，3DF m =+，∴EF DE DF =+，即22323m m m m --+=-++， 解得1m =，0m =（舍去）综述所述，当1m =-或－2时，ADF ∆与CDE ∆相似.2020年广州市初中毕业生学业考试数学第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次.将15233000用科学记数法表示应为（ ） A.5152.3310⨯B.615.23310⨯C.71.523310⨯D.80.1523310⨯2.某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）A.套餐一B.套餐二C.套餐三D.套餐四3.下列运算正确的是（ ） a b a b =+ B.236a a a =C.5630x x x ⋅=D.()5210x x =4.ABC ∆中，点,D E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，连接DE ，若68C ∠=︒，则AED ∠=（ ）A.22︒B.68︒C.96︒D.112︒5.如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）A.该圆锥的主视图是轴对称图形B.该圆锥的主视图是中心对称图形C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形6.一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ） A.123y y y <<B.321y y y <<C.213y y y <<D.312y y y <<7.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4cos 5A =，以点B 为圆心，r 为半径作B ，当3r =时，B 与AC 的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.无法确定8.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm =，则水的最大深度为（ ）A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm9.直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）. A.0个B.1个C.2个D.1个或2个10.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（ ）A.485B.325C.245D.125第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11.已知100A ∠=︒，则A ∠的补角等于____________︒.12.=____________. 13.方程3122x x x =++的解是_________. 14.如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为___________.15.如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为___________.16.对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm ）9.9，10.1，10.0，若用a 作为这条线段长度的近以值，当a =__________mn 时，222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-最小.对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到n 个结果（单位：mm ）12,,,n x x x ，若用x 作为这条线段长度的近似值，当x =__________mm时，()()()22212n x x x x x x -+-++-最小.三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解不等式组：212541x x x x -+⎧⎨+<-⎩18.如图，AB AD =，25BAC DAC ∠=∠=︒，80D ∠=︒.求BCA ∠的度数.19.已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，化简：21644k k k -+--20.为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率.21.如图，平面直角坐标系xOy 中，OABC 的边OC 在x 轴上，对角线AC ，OB 交于点M ，函数()0ky x x=>的图象经过点()3,4A 和点M .（1）求k 的值和点M 的坐标； （2）求OABC 的周长.22.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆. 23.如图，ABD ∆中，ABD ADB ∠=∠.（1）作点A 关于BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC ，DC ，连接AC ，交BD 于点O . ①求证：四边形ABCD 是菱形； ②取BC 的中点E ，连接OE ，若132OE =，10BD =，求点E 到AD 的距离. 24.如图，O 为等边ABC ∆的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点,A B 重合），连接DA ，DB ，DC .（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值.25.平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:012G y ax bx c a =++<<过点()1,5A c a -，()1,3B x ，()2,3C x ，顶点D 不在第一象限，线段BC 上有一点E ，设OBE ∆的面积为1S ，OCE ∆的面积为2S ，1232S S =+.（1）用含a 的式子表示b ；（2）求点E 的坐标；（3）若直线DE 与抛物线G 的另一个交点F 的横坐标为63a+，求2y ax bx c =++在16x <<时的取值范围（用含a 的式子表示）.2020年深圳市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分） 1. 2020的相反数是( )A.2020B.C.-2020D.【考点】相反数 【答案】C【解析】由相反数的定义可得选C 。

学考仿真卷(五)(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．向量a ＝(－1,3)，b ＝(2，－4)，则a －b ＝( )A ．(3,1)B ．(－3,7)C ．(3，－7)D ．(1，－1)B [a －b ＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．]2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 3＝5，则a 8＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10D [公差为d ＝a 3－a 2＝1，a 8＝a 2＋(8－2)d ＝4＋6＝10.]3．已知集合P ＝{y |y ＝x 2＋2x －1，x ∈N }，Q ＝{y |y ＝－x 2＋2x －1，x ∈N }，则( )A ．P ∩Q ＝∅B ．P ∩Q ＝{－1}C ．P ∩Q ＝{0}D ．P ∩Q ＝NB [由x 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1得x ＝0，∵当x ＝0时，x 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1＝－1，∴P ∩Q ＝{－1}，故选B.]4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝cos xC ．y ＝x 25D ．y ＝－x 2D [函数y ＝－x 是奇函数，y ＝cos x 在(0，＋∞)上不具有单调性，y ＝x 25在(0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(0，＋∞)上单调递减，故选D.]5．若cos x ＝－35，且π2<x <π，则tan x ＋sin x 的值是( )A ．－3215B ．－815 C.815 D.3215B [由题意，知cos x ＝－35，且π2<x <π，所以sin x ＝1－cos 2x ＝45，则tan x ＝sin x cos x ＝－43，所以tan x ＋sin x ＝－43＋45＝－815.]6．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°B [如图，取A1B 1的中点M ，连接GM ，HM .由题意易知EF ∥GM ，且△GMH 为正三角形．∴异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角∠HGM .而在正三角形GMH 中∠HGM ＝60°，故选B.]7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0A [如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.]8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是( )A ．8B ．4C ．2D ．1C [这组数据的平均数x －＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，s 2＝16[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s ＝2.]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为( )A.x 28－y 24＝1B.x 216－y 28＝1C.x 216－y 212＝1 D.x 212－y 28＝1A [e ＝62，即c ＝62a ，a ＝2b ，渐近线方程为x 22b 2－y 2b 2＝0，即2y ＝±x ， 因为左顶点到一条渐近线的距离为|a |3＝263， 解得a ＝22，b ＝2，即该双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1，故选A.]10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2D [在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.]11．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－34 B. 34 C.815 D.3215A [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴－p 2＝－2，∴p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.]12．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么数列{a n }的前7项和S 7＝( )A ．22B ．24C ．26D ．28D [∵等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，解得a 4＝4，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＝28.] 13．若x ，y 满足⎩⎨⎧ 2x ＋y ≤8，x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6C [在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即A (3,2)． 将z ＝x ＋2y 变为y ＝－x 2＋z 2，作直线y ＝－x 2.由图可知，当直线l 移动到点A (3,2)时，z 有最大值，此时z max ＝3＋2×2＝7，故z max ＝7.]14．若正方形ABCD 的边长为1，则BD →·BC→等于( ) A.22 B ．1 C. 2 D ．2B [因为正方形ABCD 的边长为1，所以BD →·BC →＝|BD →||BC →|cos 〈BD →，BC →〉＝2×1×22＝1.]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3 D.17D [cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13.又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17，所以c ＝17.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |等于________． 1 [1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1，z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.] 17．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________． 2 [f (f (2))＝f (log 3(22－1))＝f (1)＝2e 1－1＝2.]18．计算：log 21＋log 24＝________.2 [原式＝log 21＋log 222＝log 21＋2log 22＝0＋2×1＝2.]19.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为________．4 [圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立．]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．(本小题满分12分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．[解](1)抽取的5人中男同学的人数为5×3050＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．(2)记3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)＝610＝3 5.21．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面P AB是正三角形，且平面P AB⊥平面ABCD，E是P A的中点，AC与BD的交点为M.(1)求证：PC∥平面EBD；(2)求证：BE⊥平面AED.[证明](1)连接EM, ∵四边形ABCD是矩形，∴M为AC的中点．∵E是P A的中点，∴EM是三角形P AC的中位线，∴EM∥PC.∵EM⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD.(2)∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，而AD⊥AB，∴AD⊥平面P AB，∵BE⊂平面P AB，∴AD⊥BE.又∵△P AB是等边三角形，且E是P A的中点，∴BE⊥AE, 又AE∩AD＝A，∴BE⊥平面AED.。

2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,1,2,3,M N =-=则M N ⋃=（ ） A ．M B ．NC ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,2【答案】C【解析】根据集合的并集运算可得答案. 【详解】因为集合{}{}1,0,1,2,1,2,3,M N =-= 所以M N ⋃={1,0,1,2,3}-. 故选:C 【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题. 2．设i 是虚数单位，则复数()1i i +=（ ） A ．1i -+ B ．1i +C ．1i --D ．1i -【答案】A【解析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()1i i +=2(1)1i i i i +=+-=-+.故选:A 【点睛】本题考查了复数的乘法运算,属于基础题.3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（ ） A ．94 B ．93C ．92D ．91【答案】B【解析】去掉96和83后剩下5个数的和除以5可得答案. 【详解】去掉一个最高分96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,它们的平均数为:9191949495935++++=.故选:B 【点睛】本题考查了利用平均数的定义求平均数,属于基础题. 4．直线210x y --=的斜率是（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式,可得斜率. 【详解】由210x y --=得1122y x =-, 所以210x y --=的斜率为12.故选:A. 【点睛】本题考查了由直线方程的斜截式求斜率,属于基础题. 5．下列函数为偶函数的是（ ） A ．()3f x x =+ B ．()22f x x =-C ．()3f x x =D ．()1f x x=【答案】B【解析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案. 【详解】当()f x =22x -时,22()()22()f x x x f x -=--=-=,所以2()2f x x =-为偶函数,()3f x x =+为非奇非偶函数函数,3()f x x =与1()f x x=为奇函数. 故选:B 【点睛】本题考查了用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.6．（2015秋•河西区期末）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案． 解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角． 故选：B ．【考点】三角函数值的符号． 7．函数()f x = ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()(),04,-∞+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】D【解析】利用被开方大于等于0列式,解一元二次不等式可得答案. 【详解】 由函数()f x =,可得240x x -≥, 解得4x ≥或0x ≤. 故选:D. 【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域,一元二次不等式的解法,本题属于基础题. 8．在等差数列{}n a 中，若51015,10,a a =-=-则20a =（ ） A ．20- B ．5-C ．0D ．5【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知条件列方程组,解得首项和公差,从而可得20a .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则11415910a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ ,解得1191a d =-⎧⎨=⎩, 所以2011919190a a d =+=-+=. 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.9．已知函数()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，设()1f a =，则()f a =（ ） A ．2 B ．12C ．12-D ．32-【答案】A【解析】由(1)f a =求得1a =-,再根据分段函数解析式求得(1)f -即可得到答案. 【详解】因为()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩, 所以(1)121f =-=-,所以1a =-, 所以11(1)()22f --==.故选:A 【点睛】本题考查了根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.10．设,x y 满足约束条件201010y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．2-B ．3-C ．5-D ．6-【答案】C【解析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得z 的最小值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数2z x y =-化为斜截式得122z y x =-, 由图可知,最优解为2()1,M -,所以当1x =-,2y =时,min 1225z =--⨯=-. 故选:C 【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键. 11．设20.33log 3,log 2,log 2a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数的性质以及单调性可比较大小. 【详解】因为22log 3log 21a =>=,0.30.3log 2log 10b =<=,33log 2log 31c =<=,33log 2log 10c =>=,所以b c a <<. 故选:D 【点睛】本题考查了利用对数的性质以及单调性比较大小,属于基础题. 12．直线:20+-=l x y 被圆22:3C x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2CD ．1【答案】B【解析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】由22:3C x y +=可知圆心为(0,0),,所以圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==由勾股定理可得弦长为2=. 故选:B 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.13．已知命题[)()000:0,,ln 1,p x x x ∃∈+∞+=则p ⌝为 （ ） A ．[)()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞+= B ．[)()0,,ln 1x x x ∀∉+∞+= C ．[)()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞+≠ D ．[)()0,,ln 1x x x ∀∈+∞+≠【答案】D【解析】先否定存在量词,改为全称量词,再否定结论. 【详解】因为命题[)()000:0,,ln 1,p x x x ∃∈+∞+= 所以p ⌝为: [)()0,,ln 1x x x ∀∈+∞+≠. 故选:D 【点睛】本题考查了含有一个存在量词的命题的否定,属于基础题.14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（ ）（参考公式：球的表面积公式为24S R π=，其中R 是球的半径） A ．3π B ．4πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据正方体的对角线是其外接球的直径,可得球的半径,进而可得球的表面积. 【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体的外接球的直径2R ==,所以R =,所以该球的表面积244312S R πππ==⨯=. 故选:D 【点睛】本题考查了正方体与球的组合体,考查了正方体的对角线长定理,考查了球的表面积公式,属于基础题.15．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知4A π=,4b =，且ABC ∆ 的面积为2，则a =（ ）A ．BC ．D【答案】B【解析】根据面积公式可求得c =再根据余弦定理可求得a =【详解】根据三角形的面积公式可得12sin 2bc A =,所以124sin 24c π=⨯⨯,所以c =由余弦定理可得2222cos 1622410a b c bc A =+-=+-⨯=,所以a =. 故选:B 【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.二、填空题16．设向量(1,3),(2,),a b m ==-，若//b a ，则m =_____ 【答案】6-【解析】根据向量共线的坐标表示列方程可解得. 【详解】因为//b a ,所以13(2)0m ⨯-⨯-=, 解得6m =-. 故答案为:-6 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,本题属于基础题.17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，23S =，则3S =_____ 【答案】7【解析】根据121,3a S ==列方程可解得公比q ,再根据等比数列的前n 项和公式可求得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =, 由2123S a a =+=,得13q +=,所以2q =,所以3313(1)127112a q S q --===--. 故答案为:7 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的基本量的计算,属于基础题. 18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是____ 【答案】16【解析】利用组合知识求得基本事件种数和所求事件包含的事件种数后,利用古典概型的概率公式可得答案. 【详解】从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张,总共有246C =种抽法, 所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有221C =种抽法, 根据古典概型的概率公式可得所求概率为16. 故答案为:16【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,关键是求出积为奇数时的抽法种数,属于基础题. 19．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则该椭圆的离心率为____【解析】利用三角形1AF B ∆为等边三角形可得2||3AF =,1||AF =,再根据椭圆的定义列式可得离心率. 【详解】因为1AF B ∆为等边三角形,所以126AF F π∠=,所以212||||33AF F F c ==,12||2||3AF AF c ==, 又由椭圆的定义可知12||||2AF AF a +=,所以233c a +=,a =,所以离心率3c e a ==.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的几何性质:离心率,利用正三角形的性质求出1||AF 和2||AF 后,再用椭圆定义列等式是答题关键,属于基础题.三、解答题20．已知函数()sin 2f x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期和最大值； (2)若θ满足325f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，求4f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【答案】(1)()f x 的最小正周期是π,最大值是1 (2)725【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式2||T πω=直接求出周期,根据正弦函数的最大值可求得函数的最大值;(2)利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得答案. 【详解】解：(1)函数()sin 2f x x =，则()f x 的最小正周期是22T ππ== ()f x 的最大值是1(2)由325f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3sin 5θ=所以27sin(2)cos 212sin 4225f ππθθθθ⎛⎫+=+==-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,正弦函数的最大值,诱导公式,二倍角的余弦公式,属于基础题.21．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是1,BC AB 的中点.(1)证明：//DE 平面11ACC A ； (2)若11BB =,证明：1C D ⊥平面ADE 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】(1) 连接11,A B A C ,根据中位线可得1//DE A C ,根据线面平行的判定定理可得//DE 平面11ACC A ;(2)根据直棱柱可得1BB AD ⊥,根据等边三角形可得BC AD ⊥,根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面11B BCC ,再根据性质定理可得1AD C D ⊥,根据勾股定理22211111DB C D B C +=可得11C D DB ⊥,最后根据线面垂直的判定定理可得1C D ⊥平面ADE .【详解】证明：(1)连接11,A B A C ，如图所示:第 11 页 共 11 页 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，因为点E 是1AB 的中点，所以点E 是1A B 的中点又因为点D 是BC 的中点，所以1//DE A C ,因为1AC ⊂平面11ACC A ,DE ⊄平面11ACC A , 所以//DE 平面11ACC A(2)连接1B D ，如图所示:在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以 1BB AD ⊥又因为底面ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥，又1BC BB B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，又1C D ⊂平面11B BCC所以1AD C D ⊥由2BC =，得1BD =，又111BB CC ==所以11DB C D ==所以22211111DB C D B C +=，所以11C D DB ⊥1DB AD D ⋂=，即1C D ⊥平面ADE【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,直线与平面垂直的判定定理以及性质定理,利用勾股定理22211111DB C D B C +=证明11C D DB ⊥是答题关键.。

2020年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷一．选择题（共10小题）1．﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣C．﹣5 D．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A．16×104B．1.6×107C．16×108D．1.6×1084．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a46．小明记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5；则这组数据的中位数是（）A．5 B．4.5 C．5.5 D．5.27．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝42°，则∠1＝（）A．48°B．42°C．40°D．45°8．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．25°C．15°D．35°9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．分解因式：a2﹣9＝．12．八边形内角和度数为．13．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于．14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为．15．不等式组的解是．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B 的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为．17．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA ＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1；过点M1作M1A1⊥OA于点A1：过点A1作A1M2⊥AB于点M2；过点M2作M2A2⊥OA于点A2…以此类推，点M2019的坐标为．三．解答题（共8小题）18．计算：19．先化简，再求值：÷a，中a＝﹣1．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于D（保留痕迹）；（2）若AD＝DB，求∠B的度数．21．2019年全国两会于3月5日在人民大会堂开幕，某社区为了解居民对此次两会的关注程度，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，根据调查结果，把居民对两会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：请结合图表中的信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了名居民；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为；（4）若该社区有1500人，则可以估计该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的约有人．22．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．23．如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D 处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．（1）求∠BCD的度数；（2）求旗杆AC的高度．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣C．﹣5 D．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数是，可得答案．【解答】解：﹣5的绝对值是5．故选：A．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A．16×104B．1.6×107C．16×108D．1.6×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将16 000 000用科学记数法表示应为1.6×107，故选：B．4．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程解的情况．【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×2＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a4【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、a+2a＝3a，此选项错误；B、a3•a2＝a5，此选项正确；C、（a4）2＝a8，此选项错误；D、a4与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：B．6．小明记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5；则这组数据的中位数是（）A．5 B．4.5 C．5.5 D．5.2【分析】先把这些数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这些数据从小到大排列为：4.5，4.5，5，5，5，5.5，5.5，最中间的数是5，则这组数据的中位数是5；故选：A．7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝42°，则∠1＝（）A．48°B．42°C．40°D．45°【分析】由互余可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．【解答】解：如图，∵∠2＝42°，∴∠3＝90°﹣∠2＝48°，∴∠1＝48°．故选：A．8．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．25°C．15°D．35°【分析】根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得④正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵BE＝CE＝BC，∴＝（）2＝4，∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；∴CF＝EC＝CD，故③错误；∴tan∠BAE＝＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴△ABE∽△AEF，故②正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B．10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．【解答】解：由题可得，BN＝x，当0≤x≤1时，M在BC边上，BM＝3x，AN＝3﹣x，则S△ANM＝AN•BM，∴y＝•（3﹣x）•3x＝﹣x2+x，故C选项错误；当1≤x≤2时，M点在CD边上，则S△ANM＝AN•BC，∴y＝（3﹣x）•3＝﹣x+，故D选项错误；当2≤x≤3时，M在AD边上，AM＝9﹣3x，∴S△ANM＝AM•AN，∴y＝•（9﹣3x）•（3﹣x）＝（x﹣3）2，故B选项错误；故选：A．二．填空题（共7小题）11．分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．12．八边形内角和度数为1080°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．13．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于17 ．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：分两种情况：当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；当腰为7时，7+4＞7，所以能构成三角形，周长是：7+7+3＝17．故答案为：17．14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为2：3 ．【分析】相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：3，故答案为：2：3．15．不等式组的解是1＜x≤6 ．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤6，所以，这个不等式组的解集是1＜x≤6，故答案为1＜x≤6．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为3．【分析】由旋转的性质得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代换得到AD＝DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．【解答】解：由旋转得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°，∵DE＝EF，∴AD＝DE，即△ADE为等腰直角三角形，根据勾股定理得：AE＝＝3，则AB＝AE＝3，故答案为：317．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA ＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1；过点M1作M1A1⊥OA于点A1：过点A1作A1M2⊥AB于点M2；过点M2作M2A2⊥OA于点A2…以此类推，点M2019的坐标为（1﹣，）．【分析】根据等腰三角形的性质得到点M1是AB的中点，根据三角形中位线定理求出点M1的坐标，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵OA＝OB，OM1⊥AB，∴点M1是AB的中点，∵M1A1⊥OA，∴A1是OA的中点，∴点M1的坐标为（，），同理，点M2的坐标为（1﹣，），点M3的坐标为（1﹣，），……点M2019的坐标为（1﹣，），故答案为：（1﹣，）．三．解答题（共8小题）18．计算：【分析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝﹣2﹣1+3﹣1＝﹣1．19．先化简，再求值：÷a，中a＝﹣1．【分析】先化简，后代入求值，特别注意分母有理化．【解答】解：原式＝﹣＝﹣1＝当a＝﹣1时，原式＝＝﹣20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于D（保留痕迹）；（2）若AD＝DB，求∠B的度数．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）由AD＝DB知∠DBA＝∠DAB，再由角平分线知∠DBA＝∠DAB＝∠DAC，结合∠ACB＝90°可得答案．【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求．（2）∵AD＝DB，∴∠DBA＝∠DAB，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠DBA＝∠DAB＝∠DAC，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°．21．2019年全国两会于3月5日在人民大会堂开幕，某社区为了解居民对此次两会的关注程度，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，根据调查结果，把居民对两会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：请结合图表中的信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了120 名居民；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为108°；（4）若该社区有1500人，则可以估计该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的约有150 人．【分析】（1）根据“一般”层的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据可以求得“较强”层的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据可以计算出该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的人数．【解答】解：（1）18÷15%＝120，即本次调查一共随机抽取了120名居民，故答案为：120；（2）“较强”层次的有：120×45%＝54（名），补充完整的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：108°；（4）1500×＝150（人），故答案为：150．22．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE＝FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．23．如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D 处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．（1）求∠BCD的度数；（2）求旗杆AC的高度．【分析】（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE．利用平行线的性质求得相关角的度数．（2）本题涉及到两个直角三角形△ECD、△BCE，通过解这两个直角三角形求得DE、BD 长度，进而可解即可求出答案．【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE∵DF∥CE∴∠ECD＝∠CDF＝30°同理∠ECB＝∠ABC＝45°∴∠BCD＝∠ECD+∠ECB＝75°．（2）在Rt△ECD中，∠ECD＝30°∵∴同理BE＝CE∵BD＝BE+DE∴，答：（1）∠BCD为75°；（2）旗杆AC的高度CE为米．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD 即可得出结论；（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BC＝BD＝，最后用△ABD ∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，∴∠DCP＝∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴BD＝CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，∴BC＝CD＝BC＝，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP＝16.9cm．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；（2）连接OP，由S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可求得G点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0），B（﹣4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．。

2020年普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（1）一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}3x x B =>，则()UAB =ð ( )A ．{}5B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4,5 2．已知复数z 满足()12i z i -=-，i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1i + B ．1i - C ．1122i - D ．1122i + 3．函数()f x =的定义域为( ) A ．(),1-∞ B ．()1,-+∞ C ．[]1,1- D ．()1,1- 4．下列等式正确的是( )A ．lg7lg31+=B ．7lg 7lg3lg 3= C ．3lg 3log 7lg 7=D ．7lg 37lg 3= 5．设向量()0,1a =-，11,22b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是( ) A ．//a b B ．()a b b +⊥ C ．()a b b -⊥ D ．a b b -= 6．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则( )A ．p 或q 为假B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假 7．设x ，R y ∈，且5x y +=，则33xy+的最小值是( )A ．10B ．．．8．已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于( )A ．3B ．1-C ．1D ．3- 9．函数()23xf x =-的零点所在区间是( )A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,310．等差数列{}n a 的公差0d ≠，120a =，且3a ，7a ，9a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为( )A ．110-B ．90-C ．90D ．11011．如图所所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π12．若实数x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值是( )A ．95B ．3C ．6D ．4 13．为了得到函数22cos sin 1y x x =-+的图象，只需将函数()2cos sin y x x =+的图象( ) A ．向右平移2π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 14．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是1，那么另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的平均数和方差分别是( )A ．2，3B ．2，9C ．4，7D ．4，915．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2F ∆AB 为正三角形，则这个椭圆的离心率为( ) A．3 B．3 C．2 D．2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)16．抛物线24y x =的焦点到它的准线的距离为____________．17．已知()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()3xf x =，则()2f -=____________．18．已知θ是第二象限角，5cos 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=____________． 19．已知圆222240x y x y +---=截直线0x y a ++=所得弦的长度为4，则实数a =________．三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在锐角C ∆AB 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2s i n a =B ，C S ∆AB =7b c +=.(1)求角A ； (2)求边a 的值．21．(12分)如图，在四棱锥CD P -AB 中，D PA ⊥A ，C PA ⊥B ，//CD AB ，DC 90∠A =，CD 22=AB =，D 1PA =A =，E 为C P 的中点．(1)求证：CD PA ⊥； (2)求证：//BE 平面D PA ； (3)求四棱锥CD E -AB 的体积.2020年普通高中学业水平考试 数学模拟仿真卷（1）参考答案一、选择题二、填空题 16．18 17．9- 18．512- 19．0 三、解答题20．解：（12sin a =B 2sin sin B =A B ，…………2分因为sin 0B ≠，所以sin 2A =，…………4分 因为0π<A <，所以3πA =．…………6分 （2）由余弦定理得：()22222cos 22cos3a b c bc b c bc bc π=+-A =+--，………8分因为C 1sin 24S bc ∆AB =A ==8bc =，…………11分 所以22172828252a =-⨯-⨯⨯=，解得：5a =．…………12分 21．（1）证明：因为D PA ⊥A ，C PA ⊥B ，D A 与C B 相交，D A ⊂平面CD AB ，C B ⊂平面CD AB ，所以PA ⊥平面CD AB ，…………2分因为CD ⊂平面CD AB ，所以CD PA ⊥．…………4分 （2）证明：取D P 的中点F ，连接F E ，F A ， 因为E 为C P 的中点，所以1//F CD 2E ，又1//CD 2AB ， 所以//F E AB ，所以四边形F ABE 为平行四边形，…………6分 所以//F BE A ，又F A ⊂平面D PA ，BE ⊄平面D PA ，所以//BE 平面D PA ．…………8分（3）解：由（1）得：PA ⊥平面CD AB ，所以PA 是四棱锥CD P -AB 的高，…………10分 由（2）得：()()CD 113CD D 121222S AB =AB +A =+⨯=四边形，所以CD CD 111311V 323224S E-AB AB =⨯⨯PA =⨯⨯=四棱锥四边形．…………12分。

2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（四）、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分）1.（4分）若集合A {x| 1 x 2}, 1, 2}, 则A I B ( )2 .B . {0 , 1} C.{0 , 1, 2} D . { 2 , 0, 1, 2} （4分）下列等式成立的是（A . log2 (8 4) log 2 83C . log2 2 3log 2 2（4分）已知函数f（x）（4分）若复数A. 25. （4分）已知log2 4Iog2 8log2 4log 2(8log2；4) log2 8 log 2 41 x, x, Ixa ,x 0，若 f (1)z ig(a i)(a R,ra量向RA .充分不必要条件C •充要条件6.（4分）已知向量a^1f（ 1），则实数a的值等于（i为虚数单位）的虚部为2，则a (2），则“ a i3 ”是“ 2 ”的（）B .必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(1,1)，则|2舌A . 10 B. 10 C. 5 D. .57. （4分）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500,为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数A . 80B . 90 C. 100 D. 1208 . （4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）C . 2x 2 16.（4分）双曲线亍y 2 1的离心率为9. （ 4分）若 B . 36y 满足约束条件x 2x y..・0y …2,2, 0c . 18 12C .ABCD x 2y 的最小值为中，下列结论中错误的是 10. （4分）如图，在平行四边形 已知等差数列 11. (4 分) uuir uuu B . AD AB uur AC C . uni BC unr DC uui CA uui r ADuui rCB 0A . 5n12. (4 分) 函数 {a n }的前n 项和为 B . 5n 4 S n ，若 C . S 6 5n f （x ） sin2x cos2x 的最小正周期是（ a 17 , a 4 16，则 a n 5n C . 213. (4 分) 2 2已知椭圆C:J f 1(a2「2）的焦距为2,则C 的长轴长为14. (4 分) 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且 f （x ）在［0 , A . f ( log 23) f (log s 2) f(0) C . f (0) f (log s 2) f( log 23) 15 . (4分)等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n 1n nA . -(31) B . (3 1)2二、填空题(本大题共 B . f (log a 2) f(0) f(log 2 3) D . f (log 3 2) f( log 2 3)f(0)3n 1，则 a ； 2 a 2a ：()1 nC . —(9 21)D . n(91)）内单调递减，则（） 4小题，每小题4分，共16分.） 42317. （4分）已知sin（）-，且为第二象限角，则tan518. （4分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 _.19. __________ （4分）已知圆C的圆心在坐标原点，截直线x 9y 41 0所得的弦长为.82，则圆的方程为_______ .三、解答题（本大题共2小题，共24分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）20. （12分）在ABC中，内角A , B , C的对边分别为a , b , c .已知acosC ccosA a（1）求证：A B（2 ）若A , ABC的面积为.3，求ABC的周长.621. （12分）如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为菱形，PB PD , E , F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF //平面PBC ;（2）求证：平面PBD 平面PAC .2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（四）参考答案与试题解析、选择题（本大题共15小题, 每小题4分，共60分•每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分）1. （4分）若集合A {x| 12} , B 1 , 2}，则A I B ( ){0 ,1} C. {0 , 1, 2} D• { 2 , 0, 1, 2}【解答】解：A {x| 1 x 2}, 0, 1, 2},A| B {0 , 1} •故选：B .2. （4分）下列等式成立的是A . log2 (8 4) log 2 8 log2 4 Iog2 8log2 4 log2；3C. log2 2 3log 2 2 log 2(8 4) log2 8 log 2 4【解答】解：A •等式的左边log 2 (8 4) log 2 4 2，右边log 2 8 log2 4 3 2 1 , A 不成立.B .等式的左边log2 8 3log 2 4 28右边log2 -2log2 4 2 , B不成立.C •等式的左边3，右边3 , C成立.D .等式的左边log2(8 4) log212，右边828 log 2 4 3 2 5 , D 不成立.故选：C .3. （4分）已知函数f（x）jx,"0，若 f ( 1)a ,x 0f（ 1），则实数a的值等于（）C. 3【解答】解: Q函数f (x) 1 x,x, 0xa ,x 0f( 1) 2 f(1)(1) f( 1),故选：B •4. （4分）右复数z ig （a i ）（a R , i 为虚数单位）的虚部为 2，则a （）A. 2 B . 2 C . 1D . 1【解答】解：z ig （a i ） 1 ai ,由于复数z igfa i ）（a R , i 为虚数单位）的虚部为 2,a 2 , 故选：B .5. （4分）已知 R ，向量a （1,1）, bA .充分不必要条件 C .充要条件【解答】解：若“ a b ”则agb 0,即（ 即 22 0 ,得 2或 1 , 即“ a b ”是“ 2 ”的必要不充分条件，故选：B .（,2），则“ a b ”是“2 ”的（）B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件1） 2 10 ,|2a b| () C . 5D . 5【解答】解：向量a(1,1),r bra2贝r b ra7. （ 4分）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500,为调查该校学生的学 业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数A . 80B . 90C . 100D . 120【解答】 解：抽样的比例为270400 450 500丄，则从高二年级抽取的人数为 5450 -90 ,5^11r a (226. （4 分）已知向量a （1,1）, b （ 1,1），则A. 10B. 10故选：B .& （4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ztz正B视圈■ 3 ■A . 48B . 36 C. 18 【解答】解：几何体的三视图，可知几何体是三棱柱，如图: 所以，几何体的体积为： 1 3 4 3 18 .2代入目标函数z x 2y,D. 129. （4分）若x , y满足约束条件x y 02x 2，则z x 2y的最小值为( x 2, 0A. 2B. 2C. 6 【解答】解：由z x 2y得y ^x -,2 2作出x , y满足约束条件x y・・02x y-2对应的平面区域如图（阴影部分x 2, 0ABC):平移直线y1 z由图象可知当直线y — x —,过点A时，2 21 z直线y 2x-的截距最大，此时z最小,x 2 2x y，解得A(2,2). 2目标函数z x 2y 的最小值是 2 .JJJ JUT _ AB DC ，选项A 正确;由向量加法的平行四边形法则，可得 JJLT JJJ JJLT AC ，选项B 正确;AD ABJJLT Q AD JJJC BJJLT JJJ AD DA 0 ,选项D 正确；JJ LT Q JJL T DJJJ JJJBC ABJILT AC , 选项C 错误.故选：C .11. （4分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 6【解答】解：Q 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , So 亦,16 ,a 16da 1 3d 16ABCD 中，下列结论中错误的是JJLT B . ADuu u ABJJL T AC C . uuu BC uurDCUJI D CAJJLT JJJ T AD CB 0【解答】 解：由平行四边形的性质,可得a i7 , a 416，则 a n (A . 5n 6B. 5n 4C. 5n 1D. 5n 46a-i故选：A . 10. （4分）如图，在平行四边形解得a 1 , d 5,a n 1 (n 1) 5 5n 4.故选：B .12. (4分)函数f (x) sin2x cos2x的最小正周期是()A. B. C. 2 D. 42【解答】解：函数 f (x) sin 2x cos2x 2 cos(2 x—)4所以函数f(x) sin2x cos2x的最小正周期是：T —2故选：B .2x13 . （4分）已知椭圆C：pa4.2c . f(0) f (log s 2) f( log 2 3) D.f (log a2)f( log2 3) f(0)【解答】解: Q f （x）是定义在R上的偶函数，且 f (x)在［0）内单调递减，Q f( log 2 3) f (log 2 3)，且log 2 3 log 3 2 0f( log 2 3) f (log 3 2) f (0)故选：A.15 . （4分）等比数列｛a n｝的前n项和为S n 3n 1,则a122a2a2 ()1 /小A . — (31) B . (3n 1)C. 1n n尹1) D . (9n 1)1（a 2. 2）的焦距为2,则C的长轴长为2【解答】解:椭圆c：笃a2 y_解得a 3，所以椭圆的长轴长为1(a 2 2)的焦距为2,可得c 1 ,b 2 2，则a 、a2 8 1 ,故选：B .14 . （4分）已知f （x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在［0 , ）内单调递减，则（A. f ( log23) f (log 3 2) f(0)B . f (log 3 2) f (0) f( log 2 3)【解答】解: Q等比数列｛a n｝的前n项和为S n n3 1 , a〔S 3 1 2 ,19 18 ,则a 2 8 2 6，则公比 则a n n 1 n 12g3 ,则a 2 n 1 4g9即｛a ：｝ 是首项为4,公比 则a ； 2a 2 24(1 a1故选： C .q（本大题共 二、填空题 尹押1）'9的等比数列,4小题，每小题4分，共16分.）x 2双曲线- 32【解答】解：双曲线-316. (4 分) y 2 1 c . a 2b 2 2 ,可得e - a 2 .一3故答案为:17. (4 分) 已知 sin( 【解答】解：由知 sin( Q 为第二象限角, cossin 则tancos故答案为：色4的离心率为—孕3一，且 为第二象限角，贝U tan5 3 /曰. ，得 sin 53，即 sin518.（ 4分）有5支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这 5支彩 笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,基本事件总数n C f 10 ,取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m C l c 4 4 ,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 故答案为：2 .519. （4分）已知圆C 的圆心在坐标原点，截直线 x 9y 41 0所得的弦长为.82，则圆的方程为_ x 2 y 2 41C 到直线x 9y 41 0的距离为|0 0 411 41，故半径J 1 81 辰故要求的圆的方程为 x 2 y 2 41 ,故答案为：x 2 y 2 41 .三、解答题（本大题共 2小题，共24分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）20. （12分）在 ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知acosC ccosA a（1）求证：A B（2 ）若A , ABC 的面积为 3，求 ABC 的周长.6【解答】 解：（1）法一：Q acosC ccosA a ,由正弦定理，可得 si n AcosC cosAs in C si nA ，即 sin （A C ） si nA ,又 Q A C B ,sin B sin A ,又Q A , B （0,）,A B 或A B（舍去），A B . 法二：Q acosC ccosA a ,a 2b 2c 2b 2c 2 a 2 2 由余弦定理可得 agcg a ，整理可得2b 2ab ,2ab 2bc a b ,10【解答】 解：由题意可得圆心_ 1ABC 的面积为.3丄absinC ，且a b2c 2.3 ,ABC 的周长为21. （12分）如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为菱形，PB PD , E, F 分别为AB 和 PD 的中点.（1） 求证：EF //平面PBC ;Q F 是PD 的中点，□ 1FG / /CD ，且 FG -CD ,2 又Q 底面ABCD 是菱形，E 是AB 中点，BE//CD ，且 BE -CD , 2BE//FG ，且 BE FG ,四边形BEFG 是平行四边形，EF //BG , 又EF 平面PBC , BG 平面PBC ,EF / / 平面 PBC ；（2）设AC | BD O ，则0是BD 中点,(2) Q A ，由(1)可知 C6 (A B) Q 由余弦定理可得 2abcosC 41（2）12，（2） 求证：平面PBD 平面PAC .【解答】证明：（1 ）取PC 的中点G ,Q底面ABCD是菱形,BD AC ,又Q PB PD , O是BD中点，BD PO ,平面PAC ,又AC| PO O , AC 平面PAC , P OBD 平面PAC ,Q BD 平面PBD ,平面PBD 平面PAC .。