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ch3-2罗必达法则 [兼容模式]

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x sin x 1 lim 2 x 0 3 x 3
例（ 3 3） .lim
x 0
1 x 1- x - 2 1 x -1
2
（等价，罗法，有理化）
1 1 lim 2 1 x 2 1 x x 0 x
解：
1 x 1- x - 2 原式 lim x 0 1 2 x 2
证明略
(洛必达法则)
洛必达法则 推论1. 定理 1,2中x a 换为
x a ,
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1,2 仍然成立. f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x ) 理1条件, 则
例 1（ 1） . 求 解: 原式 lim
0 型 0
解: 原式 lim
x
nx
1 0 lim n x n x
x 例2（2） 求 lim x x e
解
n
(n 为正整数 , 0)
n 1
( )
nx lim 原式 x e x
n(n 1) x lim 2 x x e n! ... lim n x x e
e
1
方法2 解
求 lim x
x 1
1 1 x
.
( 1 )
原式 lim e
x 1
1 ln x 1 x
e
ln x x 11 x lim
e
1 lim x x 1 1
e 1 .
使用洛必达法则时的几点注意：
0 型或 型才能直接使用洛必达法则; （1）只有 0
（2）洛必达法则中的导数是分子分母分别求导; （3）对其它形式未定式极限的处理方法.
1 1 x 1 x lim 2 x 0 x 1 x 1 x
1 1 x 1 x lim x 2 x 0
1 2 x 1 lim x 0 2 x( 1 x 1 x ) 2
三、其他未定式:
解决方法:
0 0

通分 转化
取倒数 转化
1 ( csc 2 x) cot x lim 1 x 0 x
1
1 ln x
原式 lim y lim (cot x)
x 0 x 0
e
1
书写格式2
例6（1） 解
求 lim (cot x )
x 0
1 ln x
. ( )
0
原式 lim e
x 0
e 1 x 1 lim lim x 0 2 x x 0 2 x 2
x
0 先通分化成 或 0
例5（2）(补). 求
x
lim (sec x tan x ) .
2
型
1 sin x 1 sin x ) lim 解: 原式 lim ( cos x x x cos cos x x 2 2 cos x lim sin x x 2
0 先通分化成 或 0
例6(1)(P105) 解
求 lim (cot x )
x 0
1 ln x
0 . ( ) 先取对数
令 y (cot x)
x 0 x 0
1 ln x
1 ln x
lim ln y lim ln(cot x )
ln(cot x) lim x 0 ln x
sec2 x 1 lim 2 x 0 3x
等价无穷小 罗比达法则 重要极限
tan 2 x lim x 0 3 x 2
1 . 3
sin x - x cos x 3 2） .lim 例（ 3 x 0 sin x
解：
（等价，罗法，重要极限）
原式
sin x x cos x lim 3 x 0 x
1 例 求 lim n tan , n n
n2
考研题
x2 1 3
1 可先求得 lim x tan e x x
1 从而可得 lim n tan e . n n
n2 1 3
练 习
A
tan x x 1.lim 2 x 0 x sin x
x 0
ln x lim x 0 csc x
1 x lim x 0 csc x cot x
sin x lim tan x x 0 x
1 0 0
0
lim x
x 0
sin x
e 1
例6(3)(P105) 求
解:
原式 lim e
x
0 ( ) 0
x x
解
e e e e 2 lim lim x 0 sin x x 0 1 cos x
e e lim x 0 cos x
x x
2
注意：法则可以反复使用
练
习
2
2x 2 ln( x 3) 2 [ln( x 3)] 3 4 x 1.lim 2 lim lim x2 x 3x 2 x 2 ( x 2 3 x 2) x2 2 x 3
2 2
6 cos 6 x 3. lim x 2 cos 2 x
2
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
多种方法结合使用
tan x x . 例3（1） 求 lim 2 x 0 x tan x
解
tan x x 原式 lim x 0 x3
0 称为 或 型未定式 . 0
tan x 0 例如： lim ,( ) x0 x 0 ln sin ax lim , x 0 ln sin bx
( )
0 型未定式(P100) 一、 0 定理 1.设
2) f ( x) 与F ( x) 在 ( a )内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 x a F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim x a F ( x ) x a F ( x )

（部分提取）
↓罗比达法则
1.
tan x 例2（4） 求 lim . x tan 3 x
2
( )
1 cos 2 3 x lim 2 3 x cos x
2
解
sec2 x 原式 lim 3 sec 2 3 x x
2
1 sin 6 x 6 cos 3 x sin 3 x lim lim 3 x 2 cos x sin x x sin 2 x
2
(一次洛必达法则后，不存在，不能用)
lim
x 0
x e
1 x2
1
0 ( , 越导越繁，不宜用). 先变形或变量代换后再用. 0
e lim ) x 0 1 x
x2
2 x -1 3 x 1 lim 100 x 5x 6
30
70
不宜用
(8).对数列的不定式的极限不能直接用罗必达法则，因 为对离散变量正整数n是不能直接求导数的，此时应利 用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限 而得到数列极限的结果。
x 0
ln 2
1 1 e x x
1 e x 0 2
x
x 0
1 x
1

先取对数
lim e
ln(1 e x )-ln 2 x
ln(1 e ) ln 2 又 lim x 0 x
x
e 1 lim x x 0 1 e 2
1 2
x
1 ex lim x 0 2
1 x
e
1

方法1：凑重要极限2 方法2：取对数用罗比达法则
例. 求 lim x
x 1
1 1 x
. ( 1 )
方法1：
解： lim x
x 1
1 1 x
lim （ 1 x 1）
x 1
1 ( 1) x 1

0
取对数 转化
00
1

0
例4（1）（P104）. 求
x 0
lim x ln x .
1 x
2
0 型
ln x lim 解: 原式 lim 2 2 1 x 0 x x 0 2 x
x2 lim ( ) 0 x 0 2
2 2 arctan(3 x ) x 例4（2）（补）. 求 xlim 2
x sin x 2.lim 3 x 0 x
x 3x 4 3.lim 3 x 1 ( x 1)
5 2
1 cos x 1 lim 2 x 0 3x 6
5x 6 x lim 2 x 1 3( x 1)
4
例 2（ 1） . 求
型
1 x n 1
第三章
第二节 洛必达法则
实质：导数在计算函数极限方面的应用
0 一、 型未定式 0
二、
型未定式
三、其他未定式
定义
如果当 x a (或 x )时 , 两个函数 f ( x )与 F ( x )都趋于零或都趋于无穷 那末极限 f ( x) lim x a F ( x) ( x ) 大,

2 lim 解: 原式
x
0 型
arctan(3 x )
2
1 x2
6x 4 1 9 x lim x 2 3 x
1 3
例5(1)(P104). 求
x
1 1 lim[ x ] x 0 x e 1
x e 1 x e 1 x 解: 原式 lim lim x 2 x 0 x (e 1) x 0 x

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3-2洛必达法则高数7页word文档

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§3. 2 洛必达法则主要内容：洛必达法则；重点分析：利用洛必达法则求未定式的极限；洛必达法则的适用条件； 难点分析：洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限。

一、00型及∞∞型未定式解法：洛必达法则 定义1 如果当()x a x →→∞时，两个函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限()()()limx ax f x g x →→∞叫做未定式，并简记为00∞∞或。

如重要极限sin lim x x x →就是00型未定式的一个例子。

此时“商的极限等于极限之商”法则失效。

那其极限如何求？ 1：型未定式 定理1(洛必达法则)：设01)lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==2）在点0x 的某个去心邻域0(,)x δ内，()f x '及()g x '都存在且()0g x '≠； 3)0()lim()x x f x g x →''存在（或为无穷大）， 那么00()()limlim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='。

定义2在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则。

证明：利用柯西中值定理推导。

注意:1. .若0()lim()x x f x g x →''仍属0型，且(),()f x g x ''满足定理1条件，则 000()()()limlim lim ()()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''。

且可以类推下去，直到求出极限。

2.定理1中0x x →换为0,x x +→0x x -→之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立。

定理2 设：设1)lim ()lim ()0x x f x g x →∞→∞==2) X ∃当x X >时，()f x '及()g x '都存在且()0g x '≠； 3)()lim()x f x g x →∞''存在（或为无穷大）， 那么 ()()limlim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='。

第二节 洛必达法则3-2

第二节 洛必达法则3-2


第三章 第二节
10
二、用洛必达法则（间 接地）解 0 、 、0 、1 、 型未定式
0 0
关键:将这些类型未定式化为洛必达法则直接可解决的 类型 ： 0 ), ( ). ( 0
1. 0 型
步骤: 例题
0
代数代换：其中之一取 倒数

求 lim x ln x
化简
e
1 连 续 1 x 0 2(1 x ) e 2
. f (0) f ( x)在x 0处连续
第三章 第二节 17
例题 试确定常数A，B，C的值，使得 e x 1 Bx Cx 2 1 Ax x3 , 其中 x3 是当 x 0时比x 高阶的无穷小。

x e lim
x
x
0
8
第三章 第二节

注意：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法， 但应与其它求极限方法结合使用。为便于求导，应先 化简。常用的化简方法有：等价变量代换、恒等变形 、有非零极限的因子分离出去、...。
x sin x 5) lim 3 tgx x 0
e e 6) lim x 0 x arctgx
3
第三章 第二节
18
三、小结
洛必达法则
型
取倒数、通分
0 ,1 , 型
0 0

指数代换
0 型 0 型
uv e v ln u
0 型
其中之一取倒数
洛必达法则只是函数未定式极限存在的充分条件； 对数列未定式不能直接地应用洛必达法则．
第三章 第二节 19
归纳起来，通常求未定型的步骤如下：
1 x lim x 1 ln x x 1
3.2 洛必达法则

3.2 洛必达法则


f '( x ) 存在 及 g' ( x ) 都存在且 g' ( x ) ≠ 0; (3) lim x→a g ' ( x ) →
(或为无穷大 , 那么 或为无穷大), 或为无穷大
f ( x) f '( x ) lim . = lim x →a g ( x ) x →a g' ( x )
证 因函数在某点的极限是否存在 与函数在该点 取何值无关, 取何值无关, 故可补充定义 f (a ) = g (a ) = 0. 根据定理的条件, 根据定理的条件, 知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在以 a 与 x
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ' (ξ ) = = (ξ 在 x 与 a 之间 之间), g ( x ) g ( x ) − g (a ) g' (ξ )
又当 x → a 时, 有 ξ → a , 所以
f ( x) f ' (ξ ) lim = A. 证毕. = lim 证毕. x →a g ( x ) ξ → a g' (ξ )
e x − e−x − 2 x . 例3 求 lim x →0 x − sin x
解
e x − e − x − 2 x = lim e x + e − x − 2 lim x →0 x →0 1 − cos x x − sin x
e x − e−x = lim x → 0 sin x e x + e−x = lim x → 0 cos x
故洛必达法则失效, 不能使用. 但原极限是存在的, 使用. 洛必达法则失效, 不能使用 但原极限是存在的, 可用下法求得 求得: 可用下法求得:
1 x sin lim x sin 1 x = lim( x ⋅ x sin 1 ) = x→0 x lim x → 0 sin x x → 0 sin x x lim sin x x →0 x 0 = 0. = 1
洛必达法则

洛必达法则

洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。

这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。

洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。

通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。

洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。

洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。

洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。

若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。

示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。

假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。

首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。

总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。