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第二节洛必达法则

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洛必达法则

洛必达法则

∞+)内单调递增.
n .x
(7) yxe (n>0, x≥0)
=
3
' n.. 1 xn .xn..
解：y=nx e .xe = 1 x( .) ， (n>0, x≥0) ，
xe nx
当x∈(0, n) 时，y' >0 ，当x∈(,n+∞) 时，y' <0 ，
解：取函数() =ln xa, ∈ +∞), fx () = 1 .a，得驻点x= 1,
fx .xx (0, '
x a
4
当0 <<1
时，fx >0 ，因此函数x 在(0, 1
x '( ) f ())内单调增加；
aa
1 <<∞ '
xf ()1
当x +时，f () <0 ，因此函数x 在(, +∞) 内单调减少.
从而f ()为最大值,又lim fx =.∞， lim fx =.∞，故
1+()()(aa)
ax→0 x→+∞
1 1 1
..
当f ..=ln .1 =0 ，即a =时，曲线y =ln x .ax 与x 轴仅有一个交点，这时原方程
..aa e
有惟一实根.
当f ..1 =ln 1 .>0 ，即0 <<1
x 1 = lim
.1 =.
x.>1 x .1 x .1 x.>1 x .1 x.>12x 2
1
(16) lim ( ) tan x
x.>0+ x

高等数学课件同济版第二节洛必达法则

高等数学课件同济版第二节洛必达法则

在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧

高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt

高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt

lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)

第二节洛必达LHospital法则

第二节洛必达LHospital法则

x? 0?
x? 0?
(3) lim (1 ? 1 ) x
x? 0?
x
x ) 1/ x 2 ;
系理数院学技科汉武
解：(1) 令y=xx, 则 lny=xlnx, 再取极限, 得到
ln x
1/ x
lim ln y ? lim
? lim
x? 0?
x? 0? 1 / x
x? 0? ? 1 / x 2
? lim x ? 0 x? 0?
? lim ln y ? 0 x? 0?
? lim y ? e 0 ? 1 ? x? 0?
lim x x ? 1
x? 0?
案教子电学数等高
也可以
( 1 ) lim x x ? lim e x ln x
x? 0?
x? 0?
? exp[
lim ( x ln x )]
x? 0?
? exp[
lim
1/ x ] ? e 0 ? 1
x ? 0 ? ? 1/ x 2
(2) lim(cos x? 0
x ) 1/ x 2 ? lim
1 ln cos x
e x2
x? 0
ln cos x
? exp[lim x? 0
x2
]
? tgx
? exp[lim
] ? exp[
x? 0 2 x
? 1 ? 1] 2
系理数院学技科汉武
? e ? 1/ 2 ?
在区间[a,x] 或[x,a] 上应用柯西中值定理
f ( x ) ? f ( a ) ? f ?(? ) , (? ? [ a , x ]) g ( x ) ? g ( a ) g ?(? )
x ? a,? ? a

洛必达法则详解

洛必达法则详解
x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )

e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得

B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1

e
lim
x 1
x 1
e .

洛必达法则

洛必达法则

3 x→π − 2cos x sin x x→π sin 2 x x→π 2cos 2 x
2
2
2
注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好.
-6-
tan x − x
例
5
求
lim
x→0
x2 tan x
.
(0) 0
解：原式
=
lim
x→0
tan x x3
−
x
(0) 0
x→∞
洛必达法则失效！
解：原= 式 lim(1+ 1 cos x) = 1.
x→∞
x
-12-
例12 求 lim[n − n2 ln(1+ 1 )]
n→∞
n
注意：数列极限没有洛必达法则，但是，可将数列极限
转化为函数极限，然后再使用洛必达法则．
解：原式 = lim [x − x2 ln(1+ 1 )]
x→+∞
x
1 =t x
t − ln(1+ t)
= lim
t →0+
t2
(0) 0
1− 1 = lim 1+ t
=1
t→0+ 2t
2
-13-
a x − asin x 例 13 求 lim
x→0 1− 1+ 2x3
解：原式 = lim asin x (ax−sin x −1) x→0 −( 1+ 2x3 −1)
∞
0
例 6 求 lim x−2ex. ( 0 ⋅ ∞ ) x→+∞
解：原式
=
lim
x→+∞
ex x2

洛必达法则


一、洛必达法则
1. 0/0型与∞/∞型未定式 定理1
பைடு நூலகம்
设
(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都
趋于无穷大）.
(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
(3)
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当
一、洛必达法则
当x→x0时，有ξ→x0，所以
上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、 分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则.
一、洛必达法则
注意
如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定 式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足 的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即
（3）
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
【例6】
【例7】
一、洛必达法则
解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛 必达法则得
当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－ 1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得
综上所述,对任意α>0,都有
二、其他类型的未定式
除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－ ∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞ 型未定式后，再应用洛必达法则来计算.
一、洛必达法则
【例1】
一、洛必达法则
注意
上式中的
已不再是未定式,故不能再
对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每
次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定

高数第三章第二节洛必达法则


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例1 解
0 tan x . ( ) 求 lim x→0 → 0 x
(tan x )′ sec 2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→ 0 → ( x )′ 1
例2. 求 解: 原式 = lim
0 型 0
x→ 1
3x 3 2 3x 2x 1
2
6x 3 = lim = x→ 6x 2 1 2
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ln(1+ x + x2 ) + ln(1 x + x2 ) 2) lim x→0 secx cos x
ln[(1+ x2)2 x2] 解: 原式 = lim x→0 sec x cos x ln(1+ x2 + x4) x2 + x4 = lim = lim x→0 sec x cos x x→0 sec x cos x
f ( x) 与F( x) 都趋于零或都趋于无穷 ，那末 大 f ( x) 可能存在、 极限 lim 可能存在、也可能不存 ．通 在 x→a F( x) ( x→∞) 0 ∞ . 常把这种极限称为 或 型未定式 0 ∞
tan x 0 ,( ) 例如 lim x→0 → x 0
lnsinax ∞ lim ,( ) x→0 lnsin bx → ∞
7 2 x cos 2 2 x 7 2 1 = lim = = 1. 2 2 x →0+ 7 x cos 7 x 2 7 1
mx m 1 ma m 1 m m n = ( 2)式 = lim a . n 1 = n 1 x → a nx na n
习题解答
P139 1题（15）

3-2 洛必达法则


注意： 注意：
f ′(x) 0 （1） 如 ） 果 仍 属 型 且 f ′(x), F′(x) 满 ， 足 F′(x) 0 定 的 件 可 继 使 洛 达 则 即 理 条 ， 以 续 用 必 法 ，
f (x) f ′(x) f ′′(x) lim . = lim = lim =L x→ F(x) a x→ F (x) a x→ F ′(x) a ′ ′
×
3、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。 、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。
例：求 lim xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x (e − 1)
x 3
x→0
（代数和的形式不可以） 代数和的形式不可以）
xe x + x − 2e x + 2 xe x + e x + 1 − 2e x x 解：原式 = lim e . = lim 3 x →0 x →0 x 3x 2
ln sin ax ∞ lim , ( ) x→0 ln sin bx → ∞
定理1 设 (1 lim f (x) = 0, limF(x) = 0; 定理 )
x→ a x→ a
0 ( ) 0
(2) 在a点 某 心 域 , f ′(x)及 的 去 邻 内 F′(x) 都 在 F′(x) ≠ 0 存 且 ;
tanx − x . 求lim 2 x→ x tanx 0
0 ( ) 0
tanx− x x− sec2 x−1 x− 解: 原 = lim 式 = lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x 3x
tan x 1 tan2 x 1 = lim 2 = lim 2 = . 3 x→ 3x 0 3 x→0 x

3-2第二节洛必达L’Hospital法则


系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x

型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a
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第二节洛必达法则
人物介绍：洛必达（L'Hospital）（1661—1704）法国数学家
“第一本微积分课本出版于1696年，它是由洛必达写的.”
──伊夫斯
“求分子分母同趋于零的分式极限的‘洛必达法则’是约翰·伯努利1694年告诉洛必达的.”
──摘自梁宗巨编著的《世界数学史简编》
洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎. 洛必达出生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特（Saimte Mesme）侯爵昂特尔芒（d′Entremont）伯爵的称号.青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究.
洛必达很早即显示出其数学才华，15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的高徒，成功地解答过约翰·伯努利提出的“最速降线”问题.他是法国科学院院士.
洛必达最大的功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程──《用于理解曲线的无穷小分析》，因此，美国史学家伊夫斯（Eves）说：“第一本微积分课本出版于1696年，它是由洛必达写的.”后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国，普及微积分起了重要作用.
这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点.在这本书中，先给出了如下定义和公理：“定义1，称那些连续地增加或减少的量为变量，……”“定义2，一个变量在其附近连续地增加或减少的无穷小部分称为差分（微分），……”然后给出了两个公理，第一个说，几个
仅差无穷小量的量可以相互代替；第二个是说，把一条曲线看作是无穷多段无穷小直线的集合，……在这两个公理之后，给出了微分运算的基本法则和例子.第二章应用这些法则去确定曲线在一个给定点处的斜率，并给出了许多例子，采用了较为一般的方法.第三章讨论极大、极小问题，其中包括一些从力学和地理学引来的例子，接着讨论了拐点与尖点问题，还引入了高阶微分.以后几章讨论了渐屈线和焦散曲线等问题.
洛必达这本书中的许多内容是取材于他的老师约翰·伯努利早期的著作.
其经过是这样的：约翰·伯努利在1691年─1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表.不久以后，他答应为年轻的洛必达侯爵讲授微积分，定期领取薪金，作为报答.他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用.于是洛必达根据约翰·伯努利的传授和未发表的论著以及自己的
学习心得，撰写了《用于理解曲线的无穷小分析》.这部著作不但普及了微积分，而且帮助约翰·伯努利完成并传播了平面曲线的理论.
特别值得指出，在这部书的第九章中有求分子分母同趋于零的分式极限的法则，即所谓“洛必达法则”：
如果是可微函数，且在右端的极限存在或为无穷的情况下.但当时洛必达的论证没有使用函数的符号，是用文字叙述的，相当于断言，他的结论是：如果把给定曲线的纵坐标“表示为一个分式，且x取到极限时分子和分母都等于零”，那么“如果求出分子的微分，再除以分母的微分，最后在其中令自变量去极限，便得到值”.这个法则实际上是约翰·伯努利在1694年7月22日写信告诉他的.至于现在一般微积分教材上用来解决其他未定式求极限的法则，是后人对洛必达法则所作的推广（例如，后几个未定式的法则就是后来欧拉（Euler）给出的），但现在都笼统地叫做“洛必达法则”.
洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼茨也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划.他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》，此书在他逝世之后16年才出版.
洛必达豁达大度，气宇不凡.由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往，从而成为全欧传播微积分的著名人物.
一、00
型未定式
定理1、（法则一）设函数)(x f ，)(x g 满足：
（1）在点0x 的某去心邻域内可导，且0)('≠x g ；
（2）)(lim 0x g x x →0)(lim 0
==→x f x x ； （3）)(')('lim 0x g x f x x →存在或为无穷大， 则有)()(lim 0x g x f x x →)(')('lim 0x g x f x x →=。

证明：分别对)(x f ，)(x g 做延拓。

令
⎩⎨⎧=≠=,,0,),()(00x x x x x f x F ⎩
⎨⎧=≠=,,0,),()(00x x x x x g x G 对)(x F ，)(x G 在],[0x x 或],[0x x 上用柯西中值定理即可。

如果)()(lim 0x g x f x x →为无穷大，利用它的倒数关
系，也有)()(lim 0x g x f x x →)(')('lim 0x g x f x x →=。

推论：设函数)(x f ，)(x g 满足：
（1）当x 足够大时，)('x f 和)('x g 存在，且0)('≠x g ；
（2）)(lim x g x ∞→0)(lim ==∞
→x f x ； （3）)(')('lim x g x f x ∞→存在或为无穷大， 则有)()(lim x g x f x ∞→)(')('lim x g x f x ∞→=。

例1、x x x sin lim 0→
例2、64lim 22
2-+-→x x x x
例3、x x x e e x x x sin 2lim 0----→
例4、20arcsin ln lim x
x
x x → 二、∞∞
型未定式
定理2、（法则二）设函数)(x f ，)(x g 满足：
（1）在点0x 的某去心邻域内可导，且0)('≠x g ；
（2）)(lim 0x g x x →∞==→)(lim 0
x f x x ； （3）)(')('lim 0x g x f x x →存在或为无穷大， 则有)()(lim 0x g x f x x →)(')('lim 0x g x f x x →=。

当∞→x ，+∞→x ，-∞→x 也有类似的结果。

例5、x n
x e x λ+∞→lim （+∈Z n ，+∈R λ）
例6、n m
x x x )(ln lim +∞→（+∈Z n m ,）
由以上两例说明了当+∞→x 时， 例7、x x x x sin 1sin lim 2
0→
此例说明洛必达法则是函数极限存在的 条件。

三、其它未定式
（1）∞⋅0型：00100=∞=∞⋅或∞∞=∞=∞⋅010 （2）∞
1型：01ln 1⋅∞⋅∞∞==e e （3）0
0型：
（4）0∞型：
（5）21∞-∞型：
说明：对于以上的极限过程，都可以推广到单侧极限过程。

例8、x x n x ln lim 0
+→（0>n ） 例9、()
x x x tan sec lim 2-→π
例10、x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→πarctan 2lim
6、继续上述过程，优先用等价无穷小代换，直至求出最后结果。

练习题
1、x x x +→0
lim 2、x x x 1lim +∞→⇒n
n n ∞
→lim 3、x
b a x x x -→0lim )0,(>b a 4、x
x x x x 30sin cos sin lim -→ 5、a x a x x
x x -+∞→ln lim 6、2tan )1(lim 1x x x π-→ 7、x
x x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→cos lim 8、2
10sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→
9、)1ln(ln lim 1
x x x -⋅-→ 10、x x x x b a 302lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→ 11、)21ln(arctan lim 30x x x x +-→
12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20 13、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→2220cos sin 1lim x x x x。