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长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N=A ．{|3x x -<<1}B ．{|02}x x <<C ．{-3，-2，-1，0,1）D ．{-2，一1，0}2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂αB ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC ．存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD ．存在一个平面β，α//β且α//β3．如果数列321121,,,,,nn a a a a a a a - …是首项为1，公比为2-的等比数列，则a 5等于A ．32B ．64C ．—32D ．—644．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是A ．24y x =B ．28y x =C ．22y x =D ．26y x = 5．21()nx x -展开式中，常数项为15，则n 的值可以为A ．3B ．4C ．5D ．66．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．226++B ．2(12)6++C ．23 D ．32262++7．给出15个数：1，2，4，7，1 l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A ．16?;1i p p i ≤=+-B ．14?;1i p p i ≤=++C ．15?;1i p p i ≤=++D ．15?;i p p i ≤=+8．已知实数x ，y 满足1(10)||,(,)()2cos (0)||12x x x x y f x x x y ππ---≤<⎧⎧≤⎪⎪=⎨⎨≤<⎪⎪≤⎩⎩则点在函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为A ．32πB ．14πC ．34πD ．12π9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
高三数学理科试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2、P= log 23，Q= log 32，R= log 2(log 32)，则( )A. R<Q<PB. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q3、参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4、设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是 ( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真5、若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 36、在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)7、若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤2B ．5≤a ≤7C ．4≤a ≤6D ．a ≤5或a ≥78、若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是( )A. [B.(-C.[-D.(- 9、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若3x ya b ==，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1210、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，2sin sin cos a A B b A +=，则b a等于( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 211、设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}12、函数y ＝11－x的图像与函数2sin y x π=(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每小题4分，共20分）：13、命题”“存在01,:2>+-∈x x R x P 的否定P ⌝为__________14、323(9)x dx --⎰＝________.15、若曲线4y x =的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 16、从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________3cm ．17、 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三.解答题（本大题共有6个小题，满分70分） 18、（本小题满分10分）函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设(0,),()222f παα∈=，求α的值．19、（本小题满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2， 求a 的值．20、（本小题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数； (2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．21、（本小题满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为，求a 的值． 22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．23、（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 西安市第一中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学理科参考答案二、填空题（共4小题，满分20分）：13.”“任意01,2≤+-∈x x R x 14. 36 15. 4x －y －3＝016.144 17. ①③三、解答题（共6小题，满分70分）18、（满分10分）函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………………5分 (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3. ……………………10分19、（满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ……………………1分 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ； ……………………3分 当0<a <1时，y max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； ……………………5分 当a ≤0时，y max ＝f (0)＝1－a . ……………………7分 根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. ……………………10分20、（满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． ……………………2分又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． ……………………6分(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . …………9分x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4. …………12分 21、（满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为，求a 的值．解析：（Ⅰ）2()222cos 2cos 232sin(2)36f x x x x x x π=++=++=++．…………………4分所以最小正周期T=π，对称轴方程为,()26k x k Z ππ=+∈ …… (6分) （Ⅱ）依题意2sin(2)34,6A π++=即1sin(2)62A π+=,由于0A π<<,所以52,66A ππ+=A=3π ………………(9分)又∵1sin 22bc A =且b=1，∴,42c =得c=2，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 3a b c bc A =+-=,所以a =…………………(12分)22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )． …………………5分(2)方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． ……………………7分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，因此h (x )在此区间上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，因此h (x )是在此区间上是增加的． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ……………………10分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根． ……………………12分 23、（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = ……………2分 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.……………………6分 (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ……………………7分 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………………10分 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, ………………12分 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--. ………………14分。
西安市第一中学2012-2013学年度第二学期期中高三年级数学（理科）试题 命题人：白恒兴一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为{}{}06,101,2=-+∈=≤≤∈==x x R x B x N x A R U ,则右图中阴影表示的集合为（ ）A.{}2 B ．{}3 C ．{}2,3- D ．{}3,2-2．复数满足(1)2z i i +=，则复数Z 的实部与虚部之差为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．0 3 .函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,24. 已知圆O:224x y +=，直线l 过点(1,1)P ,且与直线OP 垂直，则直线l 的方程为（ ） A. 340x y +-= B. 10y -= C. 0x y -= D. 20x y +-=5．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） A.向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位 C.向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位 6．若,,a b c 是空间三条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )A ．当c α⊥时，若c β⊥，则//αβB ．当b α⊂时，若b β⊥，则αβ⊥C ．当,b a αα⊂⊄且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂且c α⊄时，若//c α，则//b c7．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（ ）A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b>8．已知,x y 满足0,404,x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A.6B.8C.12D.159. 已知2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若对任意1[1,2]x ∈-，都存在0[1,2]x ∈-，使10()()g x f x =，则a 的取值范围是（ ） A.1(0,]2 B.1[,3)2C.[3,)+∞D.(0,3] 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f , 则⎰-=11)(dx x f ( ) A.124π-+ B. 421π+ C. 41π+ D.122π-+ 二、填空题（每小题5分，共25分）11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到不合格的成绩的频率为0.4，则合格的人数是 ．12. 阅读如图程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42 内，则输入的实数x 的取值范围是___________.13. 一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm ），则此几何体的体积是__________㎝3.14．下列四种说法中，①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”；②命题“p 且q 为真” 是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于12④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超 过3分钟的概率是47. 说法正确的序号是 . 15．选做题：A.对任意x R ∈，2234x x a a -++≥-恒成立，则a 满足________.B.在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线l ：sin()16πρθ-=的距离是_______.C.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝________.三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，点(,)a b 在直线(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上.（1）求角C 的值；（2）若4ab =，求ABC ∆的面积.17. （本题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11=a ，其前n 项和为n S ，且对任意正整数n 有：n 、n a 、n S 成等差数列．（1）求证：数列{}2++n S n 成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．18. （本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3， 点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥；(3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为45°.19. （本题满分12分）已知232()816(),()254f x x x k k R g x x x x =+-∈=++.（1）求()g x 的极值；（2）[]12123,3,()().x x f x g x k ∈-≤若对任意、都有成立，求的取值范围20. （本题满分13分）一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的. 评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或着打错得0分”. 某考生已确定 有5道题的答案是正确的，其余题中，有一道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可 以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.（1）求出该考生得40分的概率;（2）写出该考生所得分数X 的分布列，并求出X 数学期望.21. （本题满分14分）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．高三第二学期期中考试数学（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B B A B A B二、填空题（每小题5分，共25分）11．600 12.[2,1]-- 13.2243 14.③④ 15A.[1,5]-1 C.三、解答题（共75分）16.（本题满分12分）解：⑴因点(,)a b 在直线(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上，所以(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=，……………..2分由正弦定理，得22()a a b b c -+=，即222a b c ab +-=，……..4分 由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==，……………6分又(0,)C π∈，所以060C =………………8分⑵01sin 602S ab ==………………12分17．（本题满分12分）解：⑴因对任意n N +∈有,,n n n a S 成等差数列，所以2n n a n S =+……2分又当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以12()n n n S S n S --=+，………4分即122(12)n n S n S n -++=+-+，又1124S ++=，所以{}2++n S n 成以4为首项、2为公比的等比数列……………6分 ⑵由⑴得112422n n n S n -+++=⨯=，所以122n n S n +=--当2n ≥时，11(22)(212)21n n n n n n a S S n n +-=-=----+-=- 又11a =满足此式，所以21n n a =-……………………12分（或把122n n S n +=--代入2n n a n S =+得通项n a 也可）18.（本题满分12分）解：⑴当E 是BC 中点时，因F 是PB 的中点，所以EF 为PCB ∆的中位线， 故EF//PC ，又因PC ⊂面PAC ，EF ⊄面PAC ，所以EF//面PAC ……4分⑵证明：因PA ⊥底面ABCD ，所以DA ⊥PA ，又DA ⊥AB ，所以DA ⊥面PAB ， 又DA//CB ，所以CB ⊥面PAB ，而AF ⊂面PAB ，所以AF CB ⊥， 又在等腰三角形PAB 中，中线AF ⊥PB ，PB CB=B ，所以AF ⊥面PBC. 而PE ⊂面PBC ，所以无论点E 在BC 上何处，都有PE AF ⊥………8分 ⑶以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 为x\y\z 轴建立坐标系，设BE m =， 则(0,0,1)P，D ，(,1,0)E m ，设面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，由00PE n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00mx y z z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取(1,3,n m =-，又(0,0,1)AP =， 则由0cos ,sin 45PA n ==，解得m =故当BE =时，PA 与面PDE 成045角……………12分（前2问也可以用空间向量解答） 19.（本题满分12分）解：（1）32'22()254,()61040,13g x x x x g x x x x =++=++==--或，……2分 由单调性即得()g x 极大值为(1)1,g -=-()g x 极小值为228().327g -=-……………………6分 （2）[]12123,3,()()x x f x g x ∀∈-≤、都有成立，即[]max min 3,3()()f x g x -≤上，(3)111,(3)21,g g =-=-min max ()21,()(3)120,g x f x f k ∴=-==-12021,k ∴-≤-141,[141,)k k ≥∈+∞即…………………12分20.（本题满分13分）解：⑴其余3道题中，各题答对的概率分别为12，13，14. 故得40分的概率为111123424P =⨯⨯=………6分 ⑵X 的取值为25、30、35、40…………………8分 1111(25)(1)(1)2344P X ==⨯-⨯-=， 12311312111(30)23423423424P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 1111211131(35)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1(40)24P X ==. 分布列（略） 111113652530354030.442442412EX =⨯+⨯+⨯+⨯=≈………13分21.（本题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，得(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为1y kx =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由24,1x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，216160k ∆=+>. 124x x k +=，124x x =-…2分由24x y =，得214y x =，所以'12y x =，直线AM 的斜率为112AM k x =， 所以，直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=-，又2114x y =， 所以，直线AM 的方程为 112()x x y y =+ ①………………4分 同理，直线BM 的方程为 222()x x y y =+ ②………………5分②-①并据12x x ≠得点M 的横坐标122x x x +=， 即A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.………………………………7分 （Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M 的坐标为（2k,-1）(0k ≠). 所以212MF k k k ==--，则直线MF 的方程为11y x k=-+………………8分设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4), 由24,11x y y x k ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y ，得2440x x k +-=， 216160k ∆=+>344x x k+=-，344x x =-. …………………………9分又||AB ==24(1)k ==+.…………………………….10分||CD ==214(1)k==+. …………………12分 因为1MF AB k k ⋅=-，所以AB CD ⊥， 所以，2222111||||8(1)(1)8(2)322ACBD S AB CD k k k k=⋅=++=++≥， 当且仅当1k =±时，四边形ACBD 面积的取到最小值32.…………14分。
陕西省西安第一中学高三上学期期中考试（数学文）一、选择题：（每小题3分，共36分） 1 、sin600°的值等于( )A 、23B 、－23 C 、21D 、－212、若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a 与b 的夹角等于（ ）A 、︒45B 、 ︒60C 、 ︒120D 、 ︒135 3、“)Z k (2k ∈+=βπα”是“βαsin sin =”的（ ）A 、 充分不必要条件B 、 必要不充分条件C 、 充分必要条件D 、 不充分不必要条件 4、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A 、55x y =与2x y =B 、x y =与 33x y =C 、1)3)(1(-+-=x x x y 与3+=x y D 、1=y 与 0x y =5、 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z m m x x M ,3cos |π的元素个数是（ ） A 、 2 B 、 3 C 、 4 D 、 5 6、函数f (x)=sin(πx-3π)+3cos(πx+3π)是（ ）A 、周期为π的奇函数B 、周期为π的偶函数C 、周期为2的奇函数D 、周期为2的偶函数7、已知函数())1(log >=a x x f a ，则函数)(2x f 的图象大致是（ ）8、 设集合A={x||x-a|<3},B={ x|x ≤-1或x>2}若A ⋃B=R ，则实数a 的取值范围是( ) A 、（-1，2] B 、（-1，2） C 、[-2，1] D 、（-2，1） 9、 已知nS 是等差数列)}({*N n a n ∈的前n 项和，若57S S >，则( )A 、76<+a a B 、39S S > C 、87>+a a D 、410S S >10、 已知α是锐角，则ααcos sin +的值可以是（ ）A B D CA 、 31B 、 32C 、 34D 、 3511、 为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ）A 、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B 、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C 、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D 、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度12、 设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A tan 、B tan 是方程035x x 2=+-的两个实根，那么△ABC 是 （ ） A 、锐角三角形 B 、等腰直角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上均有可能二、填空题：（每小题4分，共 13、 命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的否命题．．．是 。
西安市第一中学2011—2012学年度第一学期期中高三年级数学(（理科）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合22{||cossin |,}M y y x x x R ==-∈，{|||1xN x i=<，i 为虚数单位，x ∈R },则MN 为（）A.(0，1) B 。
（0，1］ C 。
［0，1) D 。
[0,1］ 【答案】D【KS5U 解析】由22cossin cos2y x x x =-=，所以22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈{}|01y y =≤≤，由1:11xx x i=<-<<得,所以{|||1x N x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }={}|11x x -<<，所以MN ={}|01x x ≤≤，因此选D 。
2。
从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙,中位数分别为m 甲，m 乙，则A.x x <甲乙,m 甲>m 乙B ．x x <甲乙,m 甲<m 乙C ．xx >甲乙，m 甲>m 乙D ．xx >甲乙,m 甲<m 乙【答案】B【KS5U 解析】根据平均数的概念易计算出乙甲x x<，又2022218=+=甲m ，2923127=+=乙m ,故选B.3. 已知函数(3)5(1)()2(1)a x x f x ax x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则a 的取值范是（ )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ． (0,2]【答案】D【KS5U 解析】因为函数(3)5(1)()2(1)a x x f x ax x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，所以3020(3)52a a a a -<⎧⎪>≤⎨⎪-+≥⎩，解得0<a 2，所以选D 。
陕西省西安市2013届高三第一次质检数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若向量(23),(47),BA CA ==，，则BC =A ．（－2，－4）B ．（3．4）C ．（6，10）D ．（－6．－10） 【答案】A【解析】因为(23),(47),BA CA ==，，所以()2,4BC BA AC =+=--.2．设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，则AB =A ．（1，2）B ．[l ，2]C ．[1．2）D ．（1，2] 【答案】D【解析】集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-≤=-≤≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，所以{}|1B x x =>，所以A B =（1，2]。
3．复数z 满足：（z －i ）（1－i ）=2．则z=A ．一l －2iB ．一1十2iC ．1—2iD ．1+2i【答案】D【解析】设()z a bi a b R =+∈、，因为（z －i ）（1－i ）=2，所以 ()()(1)1-12a bi i i a b a b i +--=+-++-=，1=21-1=02a b a a b b +-=⎧⎧⎨⎨+-=⎩⎩所以，解得：，所以12z i =+。
4．右图是一个算法的流程图，最后输出的W=A ．12B ．18C ．22D ．26【答案】C【解析】开始循环：21,S T S =-=≥不满足S 10，T=T+2=3；再次循环：28,S T S =-=≥不满足S 10，T=T+2=5；再次循环：217,S T S =-=≥满足S 10，此时输出的=17+5=22W S T =+，因此选C 。
西安市第一中学2012-13年度第一学期期中考试 高一数学（必修1）试题一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.下列各项中，能组成集合的是( )（A ）高一（1）班的好学生 （B ）西安市所有的老人 （C ）不等于0的实数 （D ）我国著名的数学家2.满足条件{1}{1,2,3}M =的集合M 的个数是( )（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为( )（A ）3,1x y ==-（B ）(3,1)- （C ）{3,1}- （D ）{(3,1)}- 4.各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是()5.与函数1+=x y 相同的函数是( )（A ）112--=x x y (B)1+=t y (C)122++=x x y (D)2)1(+=x y6.函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =( )(A)15(B )3(C )23(D)1397.函数错误！未找到引用源。
的图像是( )8.函数1()ln(1)f x x =+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]- 9.数xx y 26ln +-=的零点一定位于如下哪个区间( )(A)()2,1 (B)()3,2 (C)()4,3 (D)()6,510.列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2x y =，[]2,1∈x 与函数2x y =，[]1,2--∈x 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是 ( )（A ）x y = (B)x y 2= (C)3-=x y (D)x y 21log =11.设m b a ==52，且211=+ba ，则=m ( ) （A ）10 （B ）10 （C ）20 （D ）10012.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间()1,0上单调递减的函数序号是( )（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.幂函数()x f 的图象经过点)41,2(则⎪⎭⎫⎝⎛21f = . 14.函数y ＝a x -1＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点________.15.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______.16.下列各式中正确的．．．有 .（把你认为正确的序号全部写上） （1）()[]212212-=--；（2）已知,143log <a则43>a ； （3）函数x y 3=的图象与函数x y --=3的图象关于原点对称； （4）函数21x y =是偶函数；三解答题(本大题5小题共计52分)17.(本小题满分10分)已知集合A ＝{x | 73<≤x }, B={x| 2< x <10}, C={x |x < a }. （1）求 (C )A R ∩B ; （2）若A C ⊆,求a 的取值范围．18.（本小题满分10分）计算：（1）20.52032527()()(0.1)3964π--++-；（2）8log 9log 5.12lg 85lg 21lg 278⋅-+-．19.（本小题满分10分）探究函数4(),(0,)f x x x x=+∈+∝的最小值，并确定相应（1）若124x x =，则1()f x 2()f x （请填写“>, =, <”号）；若函数xx x f 4)(+=,(x>0)在区间(0,2)上递减，则在区间 上递增；（2）当x = 时，x x x f 4)(+=,(x>0)的最小值为 ；（3）试用定义证明xx x f 4)(+=,在区间(0,2)上单调递减．20. （本小题满分10分）已知函数()122-+-=ax x x f ，若()x f 在[]1,1-上的最大值为()g a ，求()g a 的解析式.21.（本小题满分12分）已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中（0>a 且1≠a ），设=)(x h )()(x g x f -（1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合；（3）若]21,0[∈x 时，函数()h x 的值域是]1,0[，求实数a 的取值范围．附加题：（本大题10分不计入总分）已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数.二.填空题:（本大题有4小题，每小题3分，共12分）13______________ 14_____________ . 15__________ 16.___________.三解答题（本大题有5小题共52分）17.（本题10分）18. （本题10分）19. （本题10分）20. （本题10分）21. （本题12分）附加题：西安市第一中学2012-13年度第一学期期中考试 高一数学（必修1）参考答案仅供参考一.选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分） .CCDA B D B B B C A B（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 二填空题(本大题有4小题，每小题3分，共12分） 13. 4 .14. (1,2)_ ____15. 3-≤a 16. 3 三解答题17.(本小题满分10分) 解(1) C 3|{<=x x A R 或}7≥x(C )A R ∩B ={ x ∣2<x<3或7≤x<10}........................5分(2) a ≥7........................10分 18.（本小题满分10分）计算：（1）原式=1.3)10(])43[(])35[(213235.02-++--- ………3分=310091635-++ ………4分=94100 ………5分（2）原式=27lg 8lg 8lg 9lg )2255821lg(⋅-⨯⨯ ………8分 =lg10-32………9分 =31………10分19.（本小题满分10分）解：（1） =，(2,+∞) (左端点可以闭) ……………… 2分（2）x=2时，y min =4 ………………… 5分 （3）设0<x 1<x 2<2，则f(x 1)- f(x 2)= )44()()4()4(21212211x x x x x x x x -+-=+-+ =211212121212444()()()x x x x x x x x x x x x ---+=- …………… 8分∵0＜x 1＜x 2＜2 ∴x 1-x 2＜0,0＜x 1x 2＜4 ∴x 1x 2－4＜0 ∴f(x 1)－f(x 2)>0 ∴f(x 1)＞ f(x 2)∴f(x)在区间(0,2)上递减 …………… 10分20. （本小题满分10分）20.解：()()122-+--=a a x x f (3)1当1a ≤-时，()f x 在[]1,1- 上单调减，()()max 122f x f a ∴=-=-- … 5 分 2当11a -<<时，()f x 在[]1,a - 上单调增，在(],1a 上单调()()2max 1f x f a a ∴==-……………………7分3当1a ≥时，()f x 在[]1,1- 上单调增，()()max 122f x f a ∴==- …9分()222,11,1122,1a a g a a a a a --≤-⎧⎪∴=--<<⎨⎪-≥⎩……………………10分21.（本小题满分12分）解（1）定义域()1,1-又()()x h xxx x x h a a-=-+-=+-=-11log 11log ……………4分 （2）2=a()0,1,11011-∈∴<<-<⇒-<+x x x x x 又……………………8分 （3）()()()()()3121,0021,0121,0121121121log 11log ==⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡>⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=a h h x h a x x x x x x x x h a a得上单调递增又在时因此上单调递增在可知令ϕϕ ()()无解上单调递减在时当a h x h a ,1021,010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<综上3=a ………………………………………………………12分附加题：（本大题10分不计入总分）附加题解答：证明：(1)设12x x >，则120x x ->，而()()()f a b f a f b +=+ ∴11221222()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+< ∴函数()y f x =是R 上的减函数;(2)由()()()f a b f a f b +=+得()()()f x x f x f x -=+- 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =∴()()f x f x -=-，即函数()y f x =是奇函数。
西安市第一中学 2011-2012学年度第一学期期中高三年级 数学（理科）试题 一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合P=｛xx2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（ ） A. B. C. D. 3.设集合，则为（ ） A. B. C. D. 4.已知是上的减函数，那么的取值范围是( ) A． B． C． D． 5.函数的图象是（ ） 6.为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象( ) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7.二项式的展开式中常数项是( ) A．-28 B．-7 C．7 D．-28 8.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576 9.在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线以及该曲线在处的切线所围成图形的面积是( ) A． B． C． D． 10.已知函数，定义如下：当，（ ） A有最大值1，无最小值B．有最小值0，无最大值 C．有最小值—1，无最大值D．无最小值，也无最大值 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________ 12.已知，且，则的值为 13. 在正三角形中，是上的点，，则 。
14．设函数,观察: 根据以上事实，由归纳推理可得： 当且时， . 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） （1）．（选修4—4坐标系与参数方程）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为 ； （2）．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 ； （3）．(选修4—1 几何证明选讲）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分，且AE=2，则AC=； 三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）在中，角所对的边分别为，且满足. 求角的大小； 求的最大值，并求取得最大值时角的大小. 17．（12分）已知数列满足， . 令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。
市一中大学区2017-2018学年度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．设集合{}|1A x x =>,集合{}2B a =+，若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}|1A x x =>且A B 为空集， 所以21a +≤，即1a -≤，所以当1a -≤时，满足A 与B 的交集为空集的条件． 故选A ．2．已知为i 虚数单位,若复数1i()1ia z a -=∈+R 的虚部为3-,则||z =( ）． A ．5B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为1i (1i)(1i)1(1)i 111i 2222ia a a a a a z -----+-+====-+，所以132a+-=-，所以5a =，所以23i z =--，所以z 故选C ．3．已知命题:p x ∀∈R ，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ）． A ．0x ∃∈R ，120(2)0x ->B ．x ∀∈R，12(1)0x ->C ．x ∀∈R ，12(1)0x -≥D ．0x ∃∈R ,120(2)0x -≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题， 即命题p x ⌝∀∈R ,20x >,的否定是：:p x ∃∈R ，20x ≤． 故选C ．4．执行如图所示的算法框图,则输出的S 值是（ )．A ．1-B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】i 1=，1S =-；i 2=，23S =；i 3=，32S =； i 4=，4S =;i 5=， 1S =-;;i 8=，4S =;i 9=，结束循环，输出S 的值是4．故选D ．5．设55log 4log 2a =-，2ln ln33b =+，1lg5210c =，则a ，b ,c 的大小关系为（ ）． A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A【解析】解:∵13log 20a =<,112211log log 132b =>=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a c b <<．故选A ．6．若函数()f x 满足1(1)()2f x f x +=，则()f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）．A ．2x B ．12x + C ．2x -D ．12log x 【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式．由已知该函数具有性质1(1)()2f x f x +=，将此运用到四个选项中：A 项，1(1)2x f x ++=，1()24xf x =，不符合题意，故A 项错误； B 项,3(1)2f x x +=+，11()224x f x =+，不符合题意，故B 项错误；C项，(1)11(1)22()22x x f x f x -+-+==⨯=，符合题意，故C 项正确;D 项，12(1)log (1)f x x +=+，112211()log log 22f x x ==,故D 项错误． 故选C ．7．函数e xy x=和图象是（ )．A．B．C．D．【答案】C【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x，y，则[0,2]xy∈的概率是( ）．A．1ln22-B．32ln24-C．1ln22+D．12ln22+【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln)2d11ln2442xxS xPS+++====⎰阴影正方形．【注意有文字】故选C．9．设实数x,y满足22010210x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤,则11yx--的最小值是（）．A ．5-B ．12-C ．12D ．5【答案】B 【解析】4000x y x y -+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所表示的区域如图所示 11y z x -=-表示区域中的点到点(1,1)的斜率, 故原点到点(1,1)的斜率最大． 故选B ．10．若将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是( ）． A ．5π12B ．π3C ．2π3D ．5π6-【答案】A【解析】把该函数的图象右移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin 223y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 又所得图象关于y轴对称，则π3π22πk ϕ-=+，k ∈Z ， ∴当1k =-时，ϕ有最小正值是5π12．故选A ．11．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥,若互不相等的实数1x ,2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是( ）．A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】解:函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥的图象，如图，不妨设123x x x <<，则2x ，3x 关于直线3x =对称,故236x x +=， 且1x 满足1703x -<<; 则123x x x ++的取值范围是:12376063x x x -+<++<+， 即12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故选D ．12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；(2）()()2()f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 是导函数，e 是自然对数的底数）,则(1)(2)f f 的范围为（ ）．A ．11,2e e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,2e)D ．3(e,e )【答案】B【解析】构造函数()()e x f x g x =，(0,)x ∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xfx f x f x f x g x ''--'==，由已知()()f x f x '<得()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上递增， 所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <, 再构造函数2()()(e )x f x h x =，(0,)x ∈+∞,2242()(e )()2(e )()2()()(e )(e )x x x x fx f x f x f x g x ''⋅-'==，由已知()2()f x f x '<，所以()0h x '<在(0,)+∞，则函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据24(1)(2)e ef f <有24(1)e (2)e f f <，即2(1)1(2)e f f <，所以21(1)1e (2)e f f <<．故选B ．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13．计算11130.7536170.027*********-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭3109913643553=-+-+- 31=．14．已知423401234(2x a a x a x a x a x =++++,则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1【解析】令1x =，得401234(2a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(2a a a a a -=-+-+;两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=⋅-=-=．15．一个类似杨辉三角形的数阵: 则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7,可以知道第n 行的首尾两数均为21n -, 设第(2)n n ≥行的第2个数构成数列{}n a ， 则有323a a -=，435a a -=，547a a -=，，123n n a a n --=-,相加得232335(23)(2)(2)2n n a a n n n n +--=+++-=⨯-=- 23(2)23n a n n n n =+-=-+．因此，本题正确答案是：223n n -+．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言,要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】见解析【解析】解:22534475A A 1201A A 9401206==--．三、解答题：（共70分)17．（10分）已知函数2π()cos sin 02222f x x x x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1)求()f x ．(2）在ABC △中,A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，a =,ABC S =△，角C 为锐角且π72126C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求C 边长． 【答案】见解析．【解析】解：（1)∵2()cos sin 222f x x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos(2))2x x ϕϕ-+=++11)cos(2)22x x ϕϕ=+-++ π1sin 262x ϕ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，∵图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππ1sin 21362ϕ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 22ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=, ∵π02ϕ<<,∴π3ϕ=， ∴π1()sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭．（2）∵π17sin 21226Cf C ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴2sin 3C =,∴cos C ==,∵112sin 223ABC S ab C b ==⋅=△， ∴6b =,∴2222cos 5362621c a b ab C =+-=+-=， ∴c =18．（12分）已知ABC △中，D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠．（2)若1AD =,DC =BD 和AC 的长．【答案】见解析．【解析】（1）1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅△∠，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅△∠， 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD =∠∠,所以2AB AC =， 在ABC △中，由正弦定理得：sin sin AC AB B C =∠∠,所以sin 1sin 2B AC C AB ==∠∠． (2）设ADB θ=∠，则πADC θ=-∠． 由(1）知12AC b AB c ==，所以2c b =①，由CD =，所以BD =在ACD △中，由余弦定理，22121π)b θ=+-⨯-⎝⎭，即232b θ=+②，在ABD △中，由余弦定理，2122c θ=+-，即232c θ=-③， 由①②③得1b =,故1AC =．19．(12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此,很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1)（2）若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3)在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成．．．“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望．频率【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510C C C C C 424666622(2)C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==．（2） ξ的所有可能取值为：0,1，2，3，226422510C C 4515(0)C C 22575P ξ==⋅==，21112646442222510510C C C C C 41562410234(1)C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==， 124422510C C 46124(3)C C 104522575P ξ==⋅=⋅==，所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望65E ξ=．20．（12分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数）．(1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程． （2)已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ,求ABM △面积的最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数），所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=． (2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离d ，ABM △的面积1π|||2cos 2sin 9|2924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以ABM △的面积的最大值为9+21．（12分)已知函数()|3|f x x =+，()2|11|g x m x =--,若2()(4)f x g x +≥恒成立，实数m 的最大值为t ． (1）求实数t ．（2）已知实数x 、y 、z 满足22236(0)x y x a a 2++=>，且x y z ++的最大值是20t，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可得(4)2|411|2|7|g x m x m x +=-+-=--，若2()(4)f x g x +≥恒成立, ∴2|3|2|7|x m x +--≥，即2(|3||7|)m x x ++-≤． 而由绝对值三角不等式可得2(|3||7|)2|(3)(7)|20x x x x ++-+--=≥， ∴20m ≤，故m的最大值20t =．（2）∵实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，由柯西不等式可得2222222)))]⎡⎤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥,∴21)a x y z ⨯++≥(，∴x y z ++，再根据x y z ++的最大值是120t=,1, ∴1a =．22．（12分）已知二次函数2()1f x x ax m =+++，关于x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +，(0)m ≠,设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值．（2)()k k ∈R 如何取值时,函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点． （3）若1m =，且0x >,求证：[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥． 【答案】见解析．【解析】（1）因为关于x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +， 即不等式22(12)0x a m x m m ++-++<的解集为(,1)m m +, 所以22(12)()(1)x a m x m m x m x m ++-++=---， 所以222(12)(21)(1)x a m x m m x m x m m ++-++=-+++， 所以12(21)a m m +-=-+，所以2a =-．(2）由（1）得2()21()(1)111f x x x m mg x x x x x -++===-+---,所以()()ln(1)(1)(1)1mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为(1,)+∞， 所以222(2)1()1(1)1(1)m k x k x k m x x x x ϕ-++-+'=--=---，方程2(2)10x k x k m -++-+=(*)的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+---=+．①当0m >时,0∆>，方程（*）的两个实根为11x =<，21x >,则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>,所以函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减,在2(,)x +∞上单调递增，所以函数()x ϕ有极小值点2x ． ②当0m <时,由0∆>，得k <-k >，若k <-，则11x =<，21x =>，故(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．所以函数()x ϕ没有极值点,若k >11x =>,21x =>，则1(1,)x x ∈时,()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时,()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>,所以函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增,在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增, 所以函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ，综上所述，当0m >时，k 取任意实数，函数()x ϕ有极小值点2x ， 当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x ，(其中1x =2x =．(3）因为1m =， 所以1()(1)1g x x x =-+-， 所以1122122412211C C C C C n n n n n n nn n n n n x x xx x xx x------=+⋅+⋅=+++， 令122412C C C n n n nn n n T x x x----=+++，则122412122412C C C C C C n n n nn n nn n n n n n n n T x x x x x x---------=+++=+++, 因为0x >，所以1222441221212C ()C ()C ()2(C C C )n n n n n n n n n n n n n n T x x x x x x --------=++++++=+++012102(C C C +C C C C )2(22)n n n nn n n n n n n -=+++++-=-，所以22n T -≥，即[(1)](1)22n n n g x g x +-+-≥．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
