2.1 《空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案

2.1.1 平面【学习目标】（1）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 （2）掌握平面的基本性质及作用； （3）培养学生的空间想象能力。

【学习重点、难点】学习重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 学习难点：平面基本性质的掌握与运用. 【学法指导】自主探究，合作交流。

学习过程 一、课前准备预习理解教材4043P P -的内容.1.如何理解“平面”？平面的主要特点有哪些？2.怎样画平面（图形语言）？怎样表示平面（符号语言）？3. 请叙述点与平面位置关系，并用符号来表示. 练习：判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 √ ，否则打 × : 1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) 2）、平面有边界； ( ) 3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4）、菱形的面积是 4 cm 2；( )(2)αACBHG(3)FEADCBβα5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )二、新课导学（一）思考、探究1.根据你的经验，要固定一根木棍在板面上只需钉_ ____个钉子！公理1：（文字语言）如果一条直线上的___ __点在一个平面内，则这条直线在此__ ___ .图形语言：符号语言： .2.根据经验，要摆稳一个架子，至少要_____个支点，请举例说明！公理2：（文字语言）过不在一条直线上的______点，___ ____一个平面。

图形语言：符号语言： .推论1：经过，有且只有一个平面；推论2：经过，有且只有一个平面；推论3：经过，有且只有一个平面.3. 将三角板的一角立在课桌上，三角板所在平面与桌面交于__ ___点？你认为其相交部分是什么？ .公理3：（文字语言）如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过给该点的_ _ .图形语言：符号语言： .（二）合作交流【例1】用符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系.【例2】空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，判断EF 、GH 、AC 三线是否共点，说明理由.【例3】在正方体1111ABCD A B C D 中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？ （2）点1,,B C D 是否在同一平面内？ （3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线.三、反馈练习1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面 （ ）A ．相交B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对 2．下列命题正确的是（ ）PH G FE DCBAA ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 3．判断正误：（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系班级：姓名：小组：【学习目标】1会运用图形、文字、符号三种语言描述3个基本事实2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系3.培养学生空间思维能力和直观想象力。

【重点难点】【教学重点】空间点、直线、平面之间的位置关系【教学难点】异面直线及空间思维能力和直观想象力的培养。

预习案一．知识梳理【知识点一】基本事实1：1、文字语言：过_____________________的三点，有且只有一个平面2、图形语言：3、符号语言：A、B、C三点____________⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本事实2：1、文字语言：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内2、图形语言：3、符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒_____________基本事实3：1、文字语言：如果两个不重合的平面有一个_______，那么它们有且只有一条过该点的_______2、图形语言：3、符号语言：P∈α，且P∈β⇒___________________________推论：推论1：经过一条直线和____________一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面。

【知识点二】点、线、面的位置关系的表示1.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义和画法。

①定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

②画法:如果直线a,b为异面直线,为了表示它们不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托。

(2)空间中直线与直线的位置关系。

位置关系是否在同一平面内公共点个数共面直线相交直线是 1平行直线是0异面直线否02.空间中直线与平面的位置关系位置关系定义图示符号表示直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α=A直线与平面平行没有公共点a∥α3.空间中平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点两个平面平行α∥β没有公共点αβl PαlA BαA BC高一数学第1 页(共4页)两个平面相交α∩β=l有一条公共直线二、自习检测1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）书桌面是平面（）（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点（）（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）（4）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面（）（5）四边形可以确定一个平面（）三、探究未知请同学们写出自己的疑惑，至少两点。

§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面 制作人：范兆强【使用说明和学法指导】先预习课本，然后开始做导学案； 【学习目标】1.掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用； 【重点难点】：重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

课前预习案一、自学提纲1．平面含义2．平面的画法及表示平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

右图中 点A 在平面α内，记作： 点B 在平面α外，记作3、平面的基本性质思考教材P41的思考题公理1： 符号表示为 公理1作用： 公理2： 符号表示为公理2作用： 。

公理3： 。

符号表示为： 公理3作用：·B ·AαC ·B·A· α P· αLβ ·B课中改进案案二.探究、合作、展示教材P43 例1方法规律总结三、当堂检测1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）共点的三条直线可以确定几个平面？四．课堂小结1.知识方面：2.方法与数学思想：课后训练案1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. （）（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.（）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （）（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （）2．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面α内，但点B在平面α外；（2）直线a经过平面α外的一点M；（3）直线a既在平面α内，又在平面β内.§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系制作人 范兆强使用说明和学法指导】先预习课本，然后开始做导学案； 【学习目标】1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理4；4.理解并掌握等角定理；5.异面直线所成角的定义、范围及应用。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标：1. 正确理解异面直线的定义；2. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；3. 会求异面直线所成角的大小. 学习重点、难点重点：1、理解异面直线的概念，会用平面来画异面直线； 2、理解公理4及等角定理。

难点：理解异面直线的概念，能找出或作出异面直线所成的角，并会计算。

学习过程 一、学前准备预习教材4448P P 的内容．1. 叫异面直线2. 空间中两直线的位置关系如何？3. 空间中两直线平行与平面中两直线平行意义是否一致？4. 如何形象地画两异面直线？(通常用一个或两个平面衬托)．5. 把图示的正方体展开图还原为正方体后，线段GH EF CD AB ,,,所在直线是异面直线的有 对二、体验探究 探究一问题：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1111//,//,BB AA DD AA 问11BB DD 与平行吗？公理4：空间中平行于同一条直线的所有直线都相互__ ____.（空间平行线的传递性）【例1】如图，空间四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、的中点. （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形．（2）若加上条件AC BD =，四边形EFGH 是什么图形？ （3）若加上条件AC BD ⊥，四边形EFGH 是什么图形？ （4）若AC BD =且AC BD ⊥，结果又如何？探究二1. 问题： 在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．问：空间中此结论是否继续成立？2. 定理（等角定理）：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边 ，则这两个角 ．3. 异面直线所成的角D CBA A 1D 1C 1B 1HGFEDCBA D CBA A 1D 1C 1B 1三、合作交流1. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . 【例2】如图，正方体1111ABCD A B C D -中， （1）哪些棱所在的直线与直线1BA 是异面直线？ （2）求直线1BA 和1CC 所成的角的大小； （3）哪些棱所在的直线与直线1AA 垂直？ 四、反馈练习1. 把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为 （ ） A ． 12 B ．24 C ． 36 D ． 482. 正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都N MFEDCB A是30°的直线有且仅有（ ）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 4条 4．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为 度． 5. 长方体1111ABCD A B C D -中，32=AB ,32=AD ,21=AA 。

§2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》（练习）一、储备（一）学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系. （二）自学导航（阅读：教材P40~ P50，找出疑惑之处） 复习1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)；⑵平行公理、等角定理；复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系 ⑴直线与直线的位置关系； ⑵直线与平面的位置关系； ⑶平面与平面的位置关系.二、导学※ 典型例题例1 如图,ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ,Q ,R 三点共线.例2 如图,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.例3空间四边形ABCD中，AB=CD,AB与CD成30°角，E,F分别为BC,AD的中点，求EF和AB所成的角。

例4 如图,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?※随堂练习：练1. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练2. 如图，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,DF',DA三线交于一点.练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?三、追踪1. 直线1l ∥2l ,在1l 上取3个点，在2l 上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）. A.1个 B.3个 C.6个 D.9个2. 下列推理错误的是（ ）. A.A l ∈,A α∈,B l ∈,B α∈l α⇒⊂ B.A α∈,A β∈,B α∈,B β∈AB αβ⇒=C.l α⊄,A l A α∈⇒∉D.A ,B ,C α∈, A ,B ,C β∈,且A ,B ,C 不共线αβ⇒与重合 3. a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线，则a ,c 的位置关系是（ ）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面 4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________. 5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是__________________； 两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.6.若两个平面互相平行，则分别在这两个平面内的直线位置关系是7. 如图,在正方体中M ,N 分别是AB 和DD '的中点，求异面直线B M '与CN 所成的角.B C8.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD 上，且BG:GC=DH:HC=1:2求证：（1）E,F,G,H四点共面（2）EG与HF的交点在直线AC上9. 如图,已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P点是直线 上两点，N,Q分别是直线b,c上一点.求证：MN和PQ是异面直线.用反证法。

第二章、点、直线、平面之间的位置关系本章概述空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质以及直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质，它们是我们认识现实世界中物体的形状、大小与位置关系的重要工具和必要的基础知识，对培养空间想象力和逻辑推理能力有一定的辅助和推进作用．另外，本章始终采用直观感知、操作确认、思维论证、度量计算等方法认识和探索几何图形的结构及其性质．本章共分三大节：第一大节是介绍空间点、直线、平面之间的位置关系；第二大节是研究直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；第三大节是研究直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体会公理化思想，培养逻辑思维能力，解决简单的推理论证及应用问题．本章重点是平面的基本性质，空间两直线、直线与平面、平面与平面间的平行与垂直关系．本章难点是直线、平面之间的平行与垂直关系的互相转化，异面直线所成的角及直线与平面所成的角的计算方法．2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面【考纲要求】[学习目标]1．知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面．2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．[目标解读]1．用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系是重点；2．用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理是难点．【自主学习】1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.2．点、线、面之间的位置关系直线、平面都可以看成的集合．点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作；直线l在平面β内，记作；直线l在平面α外，记作.3．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内，，且，⇒l⊂α公理2的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条，⇒α∩β＝l，且P∈l是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示.【考点突破】要点一平面的概念及点、线、面的位置关系1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的．立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的．2．平面通常用希腊字母α，β，γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上)，如平面α，平面β，平面γ等．也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．典型例题1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【思路启迪】正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译．【解】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)、(2)、(3)所示．方法指导：三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线反馈训练1、在下列命题中，正确命题的个数为()①书桌面是平面②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚③有一个平面的长是50 m，宽是20 m④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念A．1B．2C．3D．4要点二共面问题1.证明点线共面的主要依据(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1)；(2)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(公理2及其推论)．2．证明点线共面的具体操作(1)证明几点共面可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；(2)证明空间几条直线共面可先取两条相交(或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．典型例题2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．【思路启迪】先利用其中D1，E，F三点确定一平面，然后利用公理3证明四点共面．【证明】因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．方法指导：证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．反馈训练2、求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．要点三点共线或线共点问题1.证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2．证明线共点主要利用公理1、公理3作为推理的依据．典型例题3、如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．【思路启迪】解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可。

必修2 第二章 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；2.理解平面的无限延展性；3.理解公理1、2、3、4；4.了解空间中两条直线的位置关系；5.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；6.理解并掌握等角定理；7.异面直线所成角的定义、范围及应用；8.了解空间中直线与平面的位置关系9.了解空间中平面与平面的位置关系.【教学重点】1.异面直线的概念；2.公理4；3.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

【教学难点】用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系；异面直线所成角的计算及等角定理.【导学设计】【自主学习】认真阅读课本P40-P43【知识总结】1.平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②没有厚度（2）平面的画法：（3）平面的表示：平面可以看成点的集合，点A在平面α内，记作，点B不在平面α内，记作2.（2）中心投影定义：叫做中心投影．【探究二】三视图1.定义从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的。

从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图称为几何体的。

从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图称为几何体的。

2.仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗? 教师复备或学生笔记几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用表示,不能看见的轮廓线和棱用________表示.【小组讨论】讨论一：画出下列图形的三视图.讨论二：根据下列三视图，说出对应的几何体：【当堂检测】1．下列命题正确的是（ ）A ．一个点在一个平面内的投影仍是一个点B ．一条线段在一个平面内的投影仍是线段C ．一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线D ．一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形 2．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是（ ） A ．正方形B ．长方形C ．三角形D ．圆3．一个几何体的三视图如下图。

2.1.1平面学习目标1.能够利用生活中的实物感知平面；2.会用图形语言、文字语言、符号语言表示平面，了解平面的基本性质及作用；自学探究认真阅读课本40页---43页,完成下列任务1.画一个平面,并表示出来2.点A与直线l, 点A与平面α, 直线l与平面α的位置关系有哪些?并用符号表示出来.（1）A在直线l 上，用符号表示为； A不在直线l，用符号表示为＿＿＿＿（2）点A在平面α内，用符号表示为；点A不在平面α，用符号表示为＿＿＿＿（3）直线l在平面α内，用符号表示为直线l不在平面α内，用符号表示为＿＿＿＿3．请用图形语言和符号语言表示：公理1、公理2、公理3，并思考它们分别有什么作用？公理1公理2公理34.完成课本43页练习1,2,3,4 51页15.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。

（1）经过三点，有且只有一个平面。

（）（2）经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（）（3）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（）（4）经过两条相交直线，有且只有一个平面。

（）（5）经过两条平行线，有且只有一个平面。

（）（6）圆心和圆上两点可以确定一个平面. （）（7）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）(8) 梯形可以确定一个平面（）（9）一个平面长4m，宽2m（）6.完成 51页5 ， 52页72.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.理解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、会求异面直线线所成角，提升空间想象能力；3.了解公理4和等角定理，知道异面直线所成角的定义、范围及作用.自学探究（一）认真阅读课本44页---46页,完成下列任务1.（1）空间两条直线有几种位置关系？用图形表示出来。

（2）如右图长方体ABCD-A'B'C'D'中，与线段AA'相交的有哪些线段？与线段AA'平行的有哪些线段？与线段AA'异面的有哪些线段？2.如右图长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？你能得出什么结论？【试试】公理4：符号表示为：作用：3.如右图∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？【试试】等角定理：作用：4.完成课本48页练习1, 51页3,65.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1) 已知a ,b, c, d是四条直线，若a//b , b//c , c//d则a//d. （ )(2) 两条直线a , b没有公共点，那么a与b是异面直线. （ )(3)若a , b是两条直线，α , β是两个平面，且α⊂a,β⊂b,则a,b是异面直线. ( )自学探究（二）异面直线所成的角阅读教材46-47页完成下列问题1．什么叫异面直线所成的角？（结合图形说明）异面直线所成的角的范围是什么？2．什么叫异面直线垂直？请举几个异面直线垂直的例子。

空间点、直线、平面之间的位置关系（第一课时）导学案学习目标 1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；2.理解平面的无限延展性；3.理解公理1、2、3、4；重点难点重点：1.平面的概念；2.公理1、2、3、4；3.公里1、2、3、4的符号表示难点：公里1、2、3、4的符号表示学法指导 自主探索与合作交流相结合一.预习自学1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②没有厚度（2）平面的画法：（3）平面的表示： 平面可以看成点的集合，点A 在平面α内，记作 ，点B 不在平面α内，记作2．四个公理公理1：用数学符号表示为：公理2： 用数学符号表示为：公理3： 用数学符号表示为：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的. 公理4：（平行线的传递性）二.典型例题例1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么它和这个平面有几个公共点？说明理由.例2. 已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交面α于,Q,R P ,求证：,Q,R P 在同一条直线上.αR P Q B CA例3.在空间中有四点，若其中任意三点都不共线，则经过其中三个点的平面有 个.例4.已知正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别为1111,C D D A 的中点，求证：四边形MNAC 是梯形.例5.三个平面将空间划分成几个部分？三.课堂检测1．下列命题正确的是（ ）A 经过三点确定一个平面B 经过一条直线和一个点确定一个平面C 四边形确定一个平面D 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）共点的三条直线可以确定几个平面？3.判断下列命题是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”.（1）两个平面相交，它们只有有限个公共点 （ ）（2）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （ ）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （ ）（4）若两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （ ）4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形。

【三维设计】2015高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系学案新人教A版必修22．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1 平面平面[提出问题]宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题1：生活中的平面有大小之分吗？提示：有．问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分．[导入新知]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；平面的基本性质[提出问题]问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上．问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上．问题3：两张纸面相交有几条直线？提示：一条．[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[化解疑难]从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解] (1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A ∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．点、线共面问题[例2][解] 已知：如图所示，l 1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法1：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．证法2：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[类题通法]证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．[活学活用]2．下列说法正确的是( )①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选C 不在同一条直线上的三点确定一个平面．圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，∴①不正确，②正确．当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不正确．根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确.共线问题[例3] 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．[类题通法]点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．[活学活用]3.如图所示，在正方体ABCD­A 1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．2.证明三线共点问题[典例] 如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3.求证：EF ，GH ，BD 交于一点．[解题流程]欲证EF 、GH 、BD 交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3可得GE ∥FH 且GE ≠FH ，即EFHG 是梯形，由此得到GH 与EF 交于一点．证明E 、F 、H 、G 四点共面―→EFHG 为梯形―→GH 和EF 交于一点O ―→证O ∈平面ABD ―→O ∈平面BCD ―→平面ABD ∩平面BCD ＝BD ―→O ∈BD ―→得出结论. [规范解答]因为E ，G 分别为BC ，AB 的中点，所以GE ∥AC .又因为DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，所以FH ∥AC ，从而FH ∥GE .∴GE ≠FH .(4分)故E ，F ，H ，G 四点共面．又因为GE ＝12AC ，FH ＝25AC ，所以四边形EFHG 是一个梯形，设GH 和EF 交于一点O .(6分)因为O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，所以O 在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，(9分)且交线只有这一条，所以点O 在直线BD 上．(10分)这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上，所以EF ，GH ，BD 交于一点．(12分)[名师批注]如何证明四点共面？,根据公理2的推论可知，本题可利用HF ∥GE 即可确定E ，F ，H ，G 四点共面.为什么GH 和EF 交于一点？,因为E ，F ，H ，G 四点共面，且GE 綊12AC ，HF 綊25AC ，所以GE ∥HF 且GE ≠HF ，即EFHG 为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点？只要证明交点在第三条直线上，这条直线恰好是分别过GH 和EF 的两个平面的交线.[活学活用]如图所示，在空间四边形各边AD ，AB ，BC ，CD 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，求证：点P 在直线BD 上．证明：∵EF ∩GH ＝P ， ∴P ∈EF 且P ∈GH .又∵EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面CBD ，又P ∈平面ABD ∩平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，由公理3可得P ∈BD .∴点P 在直线BD 上．[随堂即时演练]1．若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q ，b ，β之间的关系可记作( ) A ．Q ∈b ∈β B ．Q ∈b ⊂β C ．Q ⊂b ⊂βD ．Q ⊂b ∈β解析：选B ∵点Q (元素)在直线b (集合)上，∴Q ∈b . 又∵直线b (集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q ∈b ⊂β. 2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对解析：选C 若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．3．下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；③四边形确定一个平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是________．解析：序号正误原因分析①×太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的②×平面是无大小、无厚薄之分的③×如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面④√平面是空间中点的集合，是无限集答案：④4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C5．将下列符号语言转化为图形语言．(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)[课时达标检测]一、选择题1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α解析：选B 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合间的关系．2．(2012·福州高一检测)下列说法正确的是( )A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面解析：选D A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )A．1 B．2C．3 D．1或3解析：选D 若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．4．下列推断中，错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合解析：选C A即为直线l上有两点在平面内，则直线在平面内；B即为两平面的公共点在公共直线上；D为不共线的三点确定一个平面，故D也对．5．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG 交于点M，那么( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：选A 点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上．二、填空题6．(2012·福州高一检测)线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．解析：因为线段AB在平面α内，所以A∈α，B∈α.由公理1知直线AB⊂平面α.答案：直线AB⊂平面α7．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.(3)a⊄α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.解析：(1)图C符合A∉α，a⊂α(2)图D符合α∩β＝a，P∉α且P∉β(3)图A符合a⊄α，a∩α＝A(4)图B符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O答案：(1)C (2)D (3)A (4)B8．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ，又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.答案：CR三、解答题9．求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：如图．(1)连接B1D1.∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[提出问题]立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交．问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行．问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是． [导入新知] 1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系位置关系 特 点相交 同一平面内，有且只有一个公共点平行 同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[化解疑难]1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a 、b 两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB 与B 1C 1是异面直线．2．空间两条直线的位置关系①若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线，无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线，异面直线.②若从是否共面的角度看，也可分两类：直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，不共面直线：异面直线.平行公理及等角定理[提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．空间中是否有类似规律？提示：有．观察下图中的∠AOB 与∠A ′O ′B ′.问题2：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行．问题3：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等． [导入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．(2)符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．两直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD—A 1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.[解析] 直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C 在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”．[答案] ①平行②异面③相交④异面[类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．(2012·台州高一检测)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是( )A．6 B．4C．5 D．8解析：选B 与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条．2．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是________．解析：在正方体ABCD－A′B′C′D′中，设直线D′C′为直线b，直线A′B′为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B′C′，也可以是直线BB′.显然直线B′C′与b 相交，BB′与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交．答案：异面或相交平行公理及等角定理的应用[例2] 如图，在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.[类题通法]1．证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理42．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．[活学活用]3．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明：(1)如题图，在△ABD 中， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥GH . 故E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH .又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .两异面直线所成的角[例3] 11111BD 1和AD 中点，求异面直线CD 1，EF 所成的角的大小．[解] 取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ，∵E 是BD 1的中点，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形，∴EF ∥DG ，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.[类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是(0°，90°]．[活学活用]4．已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成角的大小．解：如图所示，连接A1D和C1D，∵B1C∥A1D，∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，∴A1D＝A1C1＝C1D，∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.2.探究空间中四边形的形状问题[典例] 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．[证明] 连接BD .因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG . 又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． [多维探究] 1．矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ， 又BD ⊥AC ， 因此EH ⊥EF ，所以四边形EFGH 为矩形． 2．菱形的判断本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ， 所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形， 所以EFGH 为菱形． 3．正方形的判断本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由探究1与2可知，EFGH 为正方形．4．梯形的判断若本例中，E 、H 分别是AB 、AD 中点，F 、G 分别是BC ，CD 上的点，且CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝1∶2，那么四边形EFGH 是什么形状？证明：由题意可知EH 是△ABD 的中位线，则EH ∥BD 且EH ＝12BD .又CF FB ＝CG GD ＝12， ∴FG ∥BD ，FG BD ＝FC BC ＝13， ∴FG ＝13BD ，∴FG ∥EH 且FG ≠EH ， ∴四边形EFGH 是梯形． [方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．[随堂即时演练]1．不平行的两条直线的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行D ．相交或异面解析：选D 若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面． 2．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．150°D ．以上结论都不对解析：选B ∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同． ∴∠PQR ＝30°或150°.3．已知正方体ABCD －EFGH ，则AH 与FG 所成的角是________． 解析：∵FG ∥EH ，∴∠AHE ＝45°，即为AH 与FG 所成的角． 答案：45°4．正方体AC 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是________．解析：直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交5.如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG. ∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.[课时达标检测]一、选择题1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：选B 假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a ∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．2.如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A ∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.3．(2012·福州高一检测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：选D 将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.4．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B 对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B 逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．二、填空题6．(2012·连云港高一检测)空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．解析：设棱长为1，因为A1B1∥C1D，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝32，cos∠AED1＝D1EAE＝1232＝13.答案：138．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答题9.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC 1为平行四边形． ∴C 1Q 綊DF . 又∵B 1E 綊C 1Q ， ∴B 1E 綊DF .∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角． 所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角． 因为直线AB 与CD 成60°角， 所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°. 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ①，(1)若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°. (2)若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°. 综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.2．1.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[提出问题]应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高67.31米，底层直径30.27米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑．塔建在4米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋相连接，使双层套筒紧密结合．暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整体性．问题1：立柱和地面是什么位置关系？提示：相交．问题2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？提示：在平面内．问题3：直线和平面还有其他关系吗？提示：平行．[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示[化解疑难]1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.空间中平面与平面的位置关系[提出问题观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面．。