2018届河北省衡水中学高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)

河北省衡水市景县中学2018届高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则A∪B=（）A．{0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＞b，则2a≤2b﹣1”B．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”C．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题D．“a＞b“是“ac2＞bc2“的充分不必要条件4．（5分）由曲线y=与直线x=0，y=1所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．B．[1，2] C．D．（0，2] 6．（5分）函数f（x）=log2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B．C． D．7．（5分）函数f（x）对任意x∈R，满足f（x）=f（2﹣x）．如果方程f（x）=0恰有2016个实根，则所有这些实根之和为（）A．0 B．2016 C．4032 D．80648．（5分）已知平面向量，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=cos2x+sin x cos x在区间[﹣，]上的值域是（）A．[﹣，1] B．[﹣，] C．[0，] D．[0，]10．（5分）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对12．（5分）已知函数f（x）=a ln x+x2﹣（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设直线y=x+b是曲线y=ln x（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．14．（5分）已知向量满足，记向量的夹角为θ，则tanθ=．15．（5分）若，则=．16．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围．三、解答题（共70分）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）如图为函数y=f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数y=f（x）图象向在左平移的单位后，得到函数y=g（x）的图象，若，求x的取值范围．20．（12分）已知锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角C的大小；（2）求函数y=sin A+sin B的值域．21．（12分）已知函数f（x）=x e x﹣（x+1）2．（Ⅰ）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的最大值与最小值；（Ⅱ）讨论方程f（x）=ax﹣1的实根的个数．22．（12分）已知函数（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；（Ⅱ）求实数a的范围，使得f（x）≥1恒成立．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵A={0，1，2}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}．故选：C．2．B【解析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．3．C【解析】对于A，命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；∴A不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“任意x∈R，都有x2+x+1≥0”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确，对于D．“a＞b“是“ac2＞bc2“的必要不充分条件；∴D不正确；故选：C4．A【解析】曲线y=与直线x=0，y=1所围成封闭图形的面积如图阴影部分所示，则S阴影=y2dy=y3|=，故选：A5．A【解析】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（a）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（a）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．6．C【解析】函数可化为f（x）=，所以函数当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数结合图象可知选C．故选C．7．B【解析】∵f（x）=f（2﹣x），∴函数y=f（x）关于直线x=1对称，又方程f（x）=0恰有2016个实根，设这2016个根从小到大依次为x1、x2、 (x2016)则x1+x2016=2，x2+x2015=2，…x1008+x1009=2，∴所有这些实根之和为1008×2=2016．故选：B．8．B【解析】平面向量，，可得⇒（﹣1，2m+1）∥（﹣3，1）．故选：B．9．C【解析】y=cos2x+sin x cos x=+cos2x+sin2x=sin（2x+）+，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴函数y=cos2x+sin x cos x在区间[﹣，]上的值域是[0，]，故选：C．10．A【解析】函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；再往上平移1个单位，得到函数y=sin（2x+）+1的图象；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，所得图象对应的函数在区间（﹣，）上单调递增．故选：A．11．C【解析】∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sin B===，∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选C12．C【解析】函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x﹣（a+2）+=．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x，在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意；②当a＜0，即＜0时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．∴f（x）的极小值也就是f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=1﹣a﹣2=﹣a﹣1，∵当x→0时，f（x）→+∞，∴要使函数f（x）=a ln x+x2﹣（a+2）x恰有两个零点，则﹣a﹣1＜0，即a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0；③当0＜＜1，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜或x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）．令f'（x）＜0，得＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（，1）．f（x）的极大值为f（）=＜0，极小值为f（1）=1﹣a﹣2=﹣a﹣1＜0，∴f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意；④当=1，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），不可能有两个零点，不合题意；⑤当＞1，即a＞2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞）．令f'（x）＜0，得1＜x＜，函数f（x）的单调递减区间为（1，）．f（x）的极大值为f（1）=1﹣a﹣2=﹣a﹣1＜0，极小值f（）=＜0，∴f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意．综上，函数f（x）=a ln x+x2﹣（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．故选：C．二、填空题13．ln2﹣1【解析】y′=（ln x）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣114．﹣【解析】||=2，∴=4，∴=﹣，∴cosθ==﹣．又0≤θ≤π，∴sinθ==．∴tanθ==﹣．故答案为：．15．﹣【解析】=﹣sin（﹣2x）=sin（2x﹣）=﹣cos（2x+）=2﹣1=﹣，故答案为：﹣．16．（﹣∞，1]【解析】令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题17．解：（1）若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解得：2＜x≤3；∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足，解得2＜x＜3，即x的取值范围为（2，3）；（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；∴a的取值范围为：（1，2]．18．解：（1）函数．∴==．（2由函数）====．所以，f（x）的最小正周期T==π，当（k∈Z）时，f（x）单调递增，解得：≤x≤即f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．19．解：（1）由函数y=f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象知，A=，T=2（﹣）=π，解得；∴函数，又函数f（x）图象过点，则sin（2×+φ）=，∴+φ=+2kπ，k∈Z，|φ|＜π，∴φ=﹣，∴；（2）将函数y=f（x）图象向在左平移的单位，得到函数y=sin[2（x+）﹣]，即g（x）=sin（2x﹣）的图象，令g（x）≥，得sin（2x﹣）≥，∴sin（2x﹣）≥，解得+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，即．20．解：（1）由，利用正弦定理可得2sin A cos C﹣sin B cos C=sin C cos B，可化为：2sin A cos C=sin（C+B）=sin A，∵sin A≠0，∴，∵，∴．（2），=sin A+=，由于：，所以：解得：，所以：．．21．解：（Ⅰ）因为f（x）=x e x﹣（x+1）2，所以f'（x）=（x+1）e x﹣2（x+1）=（x+1）（e x﹣2），令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=ln2，f'（x），f（x）的变化如下表：f（x）在[﹣1，2]上的最小值是﹣（ln2）2﹣1，因为，所以f（x）在[﹣1，2]上的最大值是2e2﹣9．（Ⅱ）f（x）﹣ax+1=x e x﹣x2﹣（a+2）x=x（e x﹣x﹣a﹣2），所以f（x）=ax﹣1⇔x=0或e x﹣x﹣a﹣2=0，设g（x）=e x﹣x﹣﹣a﹣2，则g'（x）=e x﹣1，x＞0时，g'（x）＞0，x＜0时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，g（x）≥g（0）=﹣a﹣1，且x→+∞，g（x）→+∞，x→﹣∞，g（x）→+∞，（ⅰ）当﹣a﹣1＞0时，即a＜﹣1时，g（x）=0没有实根，方程f（x）=ax﹣1有1个实根；（ⅱ）当﹣a﹣1=0时，即a=﹣1时，g（x）=0有1个实根为零，方程f（x）=ax﹣1有1个实根；（ⅲ）当﹣a﹣1＜0时，即a＞﹣1时，g（x）=0有2不等于零的实根，方程f（x）=ax﹣1有3个实根．综上可得，a＜﹣1时，方程f（x）=ax﹣1有1个实根；a＞﹣1时，方程f（x）=ax﹣1有3个实根．22．解：（Ⅰ）x=2是f（x）的极值点，，解得a=2．当a=2时，当（2，+∞）变化时，函数的极大值为．（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，x2﹣（a+1）x+a ln x≥0恒成立，设g（x）=x2﹣（a+1）x+a ln x，则g′（x）=x﹣（a+1）+=，（ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞），故g（x）min=g（1）=﹣a﹣≥0，得a≤﹣；（ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），此时g（1）=﹣a﹣＜0，∴不合题意；（iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，此时g（1）=﹣a﹣＜0，∴不合题意；（i v）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），此时g（1）=﹣a﹣＜0，∴不合题意．综上所述：a≤﹣时，f（x）≥1恒成立．。

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201７-2０１８学年度第一学期高三十模考试数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）１。

设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<,则A C B =( ） A ．(,1)-∞ Ｂ．(,1]-∞ C.(2,)+∞ D.[2,)+∞ 2。

在复平面内,复数2332iz i-++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于( ） A.第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限 3．已知ABC ∆中,sin 2sin cos 0A B C +=，3b c =，则tan A 的值是( ) A.3 Ｂ．23 C ．3 D ．43 ４。

设{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<，s 为(1)n e +的展开式的第一项(e 为自然对数的底数）,n m s =,若任取(,)a b A ∈,则满足1ab >的概率是( ) A.2eB.2eC ．2e e - D.1e e- ５.函数4lg x x y x=的图象大致是( ）A.B ． Ｃ． Ｄ.６.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+,则该几何体的表面积为( )Ａ.2448π+ B.2490641π++ Ｃ.4848π+ D ．2466641π++7。

绝密★启用前河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试理科综合试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列对组成细胞分子的描述，正确的是A．各种有机分子都因物种不同而存在结构差异B．有的RNA分子能降低某些生化反应的活化能而加速反应进行C．水稻细胞中由C、G、T，U四种碱基参与合成的核苷酸有8种D．激素、抗体、酶、载体蛋白发挥作用后均将失去生物活性2．下列关于人体细胞的结构和功能的叙述，正确的是A．细胞分化、衰老和癌变都会导致细胞形态、结构和功能发生变化B．细胞间传递信号的分子都是由细胞内的核糖体合成的C．神经元细胞处于静息状态时不进行葡萄糖的跨膜运输D．人体细胞中，催化丙酮酸进一步分解的酶都位于线粒体中3．图甲是将加热杀死的S型细菌与R型活菌混合注射到小鼠体内后两种细菌的含量变化，图乙是利用同位素标记技术完成噬菌体侵染细菌实验的部分操作步骤。

下列相关叙述中，不正确的是A．甲图中ab时间段内，小鼠体内还没形成大量的免疫R型细菌的抗体B．图甲中，后期出现的大量S型细菌是由R型细菌转化并增殖而来C．图乙沉淀物中新形成的子代噬菌体完全没有放射性D．图乙中若用32P标记亲代噬菌体，出现上清液放射性偏高一定是保温时间过短导致4．水稻体细胞有24条染色体，非糯性和糯性是—对相对性状。

非糯性花粉中所含的淀粉为直链淀粉，遇碘变蓝黑色。

而糯性花粉中所含的淀粉为支链淀粉，遇碘变橙红色。

河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题含答案2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞ 2.在复平面内，复数2332iz i-++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=c =，则tan A 的值是（ ）A C4.设{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<，s 为(1)ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =取(,)a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A ．2e B ．2e C ．2e e - D ．1e e- 5.函数4lg x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+ B ．2490π++．4848π+ D ．2466π++7.已知11717a =，16logb =17logc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A ．20200B ．5268.5-C ．5050D ．5151-9.如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12 B ．23 C ．13 D ．1410.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（ ）A ．6B ．7C ．13D ．14 11.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．012.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =.其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知实数x ，y 满足2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x y m x ++=+，则实数m 的取值范围 ．14.双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为 ．15.若平面向量1e ，2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是 ．16.观察下列各式：311=；3235=+； 337911=++； 3413151719=+++；……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围. 18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论）19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，已知1PA PB PC BC ====，AB =，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .（1）试判定点E 的位置，并加以证明； （2）求二面角E AC D --的余弦值.20.在平面直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为(0,1)B -，(0,1)C ，平面内两点P 、Q 同时满足：①0PA PB PC ++=；②QA QB QC ==；③//PQ BC .（1）求顶点A 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l ，2l 与A 的轨迹E 相交弦分别为11A B ，22A B ，设弦11A B ，22A B 的中点分别为M ，N .①求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数ln(1)()1x f x ax +=+.（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）已知x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求证(31)ln(1)(31)ln(1)11x x y y x y -+-++--(31)ln(1)01z z z -++≤-.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C ，若M ，N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()21()f x x a x a R =--+∈.（1）当1a =时，解不等式()2f x >. （2）若不等式21()12f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.十模数学答案（理）一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC二、填空题13. [2,7] 14.3215. 3- 16. 45三、解答题17.解：（1）由题意可得12111767352(4)()(10)a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩，即121352a d d a d +=⎧⎨=⎩. 又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩.所以1n a n =+.（2）因为111(1)(2)n n a a n n +=++1112n n =-++，所以11112334n T =-+-1112n n +⋅⋅⋅+-++11222(2)n n n =-=++. 因为存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使得22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++，114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）， 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.18.解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：1240024020⨯=人.（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.由题意可得4448(0)C P X C ==170=；134448(1)C C P X C ==1687035==； 224448(2)C C P X C ==36187035==；314448(3)C C P X C ==1687035==； 4448(4)C P X C ==170=. 所以随机变量的分布列为∴均值017070EX =⨯+⨯237070+⨯+⨯4270+⨯=.（3）由折线图可得2212s s >.19.解：（1）E 为PD 的中点，证明如下： 连接OE ，因为//PB平面AEC ，平面PBD 平面AEC OE =，PB ⊄平面AEC ，所以//OE PB ，又O 为BD的中点，所以E 为PD 的中点.（2）连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC =.因为PA PC =，所以PO AC ⊥.同理，得PO BD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OP 为z 轴，过O平行于AD 的直线为x 轴，过O 平行于CD 的直线为y 轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知1(,,0)22A -，1(,,0)22B，1(,22C -，1(,,0)22D --，1(0,0,)2P ，11(,)444E --，则11(,,)444EA =--，1(,22OA =-. 显然，OP 是平面ACD 的一个法向量.设1(,,)n x y z =是平面ACE 的一个法向量，则1100n EA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1104441022x y z x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取1y =， 则1(2,1n =，所以1cos ,n OP <>11n OP n OP⋅==所以二面角E AC D --的余弦值为11. 20.（1）221(0)3x y x +=≠；（2）①S 的最小值的32，②直线MN 恒过定点4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）∵2PA PB PO +=，∴由①知2PC PO =-，∴P 为ABC ∆的重心. 设(,)A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，由②知Q 是ABC ∆的外心， ∴Q 在x 轴上由③知,03x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由QC QA =，得=，化简整理得：221(0)3x y x +=≠. （2）解：F 恰为2213x y +=的右焦点， ①当直线1l ，2l 的斜率存且不为0时，设直线1l的方程为my x =，由22330my x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩22(3)10m y ⇒++-=， 设111(,)A x y ，122(,)B x y，则12y y +=，12213y y m -=+，①根据焦半径公式得1112)A B x x =+，又1212x x my my +=12()m y y =++223m -=++23m =+，所以1123A B m =+=，同理22221113m A B m⎫+⎪⎝⎭=+221)31m m +=+， 则2222(1)6(3)(31)m S m m +=++2222(1)64(1)2m m +≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭32=， 当22331m m +=+，即1m =±时取等号.②根据中点坐标公式得M ⎝⎭，同理可求得N ⎝⎭，则直线MN的斜率为22MNk -=243(1)m m =-， ∴直线MN的方程为23y m -+243(1)m x m ⎛= -⎝⎭，整理化简得()4334ymx m +()263490ym x m y ++-=， 令0y =，解得x =∴直线MN恒过定点4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.②当直线1l ，2l 有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN 即为x轴，过点4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.综上，S 的最小值的32，直线MN恒过定点4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.21.（1）当1a =时，ln(1)()1x f x x +=+则(0)0f =，21ln(1)'()(1)x f x x -+=+则'(0)1f =，∴函数()y f x =的图象在0x =时的切线方程为y x =.（2）∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴10ax +=在(0,1)上无解， 当0a ≥时，10ax +=在(0,1)上无解满足，当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①21ln(1)1'()(1)ax a x x f x ax +-++=+，∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴'()0f x ≥在(0,1)上恒成立， 即[](1)ln(1)1ax x x ++-≤在(0,1)上恒成立.设()(1)ln(1)x x x ϕ=++'()ln(1)(1)x x x x ϕ-=+++11ln(1)1x x ⋅-=++， ∵(0,1)x ∈，∴'()0x ϕ>，则()x ϕ在(0,1)上单调递增，∴()x ϕ在(0,1)上的值域为(0,2ln 21)-.∴1(1)ln(1)a x x x ≤++-在(0,1)上恒成立，则12ln 21a ≤-②综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln 21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.（3）由（2）知，当1a =-时，ln(1)()1x f x x+=-在(0,1)上单调递增，于是当103x <≤时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≤=，当113x ≤<时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≥=， ∴(31)()x f x -34(31)ln 23x ≥-⋅，即(31)ln(1)1x x x -+-33(31)ln 24x ≤-⋅，同理有(31)ln(1)1y y y -+-33(31)ln 24y ≤-⋅，(31)ln(z 1)1z z -+-33(31)ln 24z ≤-⋅，三式相加得(31)ln(1)1x x x -+-(31)ln(1)1y y y -++-(31)ln(z 1)01z z -++≤-.22.解：（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，∴4cos 3sin 24ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=.曲线2C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴221x y +=，故2C 的普通方程为221x y +=.（2）将曲线2C经过伸缩变换''2x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C 的方程为22''184x y +=，则曲线3C的参数方程为y 2sin x αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin N αα，则点N 到曲线1C的距离为d==24)5αϕ-+=(tan 3ϕ=.当()sin1αϕ+=时，d有最小值MN23.解：（1）当1a =时，等式()2f x >，即2112x x --+>，等价于11212x x x <-⎧⎨-++>⎩或1121212x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--->⎩或122112x x x ⎧>⎪⎨⎪--->⎩，解得23x <-或4x >， 所以原不等式的解集为2(,)(4,)3-∞-+∞； （2）设()()1g x f x x x =+-+2x a x =-+，则,2()3,2a a x x f x a x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， 则()f x 在(,)2a-∞上是减函数，在(,)2a +∞上是增函数， ∴当2a x =时，()f x 取最小值且最小值为()22a a f =， ∴2122a a >-，解得112a -<<，∴实数a 的取值范围为1(,1)2-.。

2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ 2.在复平面内，复数2332iz i-++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=c =，则tan A 的值是（ ）A C D4.设{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<，s 为(1)ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =(,)a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ）A ．2e B ．2e C ．2e e - D ．1e e- 5.函数4lg x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490π++．4848π+ D ．2466π++7.已知11717a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A ．20200B ．5268.5-C ．5050D ．5151-9.如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12 B ．23 C ．13 D ．1410.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（ ） A ．6 B ．7 C ．13 D ．14 11.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．012.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =.其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知实数x ，y 满足2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x y m x ++=+，则实数m 的取值范围 ．14.双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为 ． 15.若平面向量1e ，2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是 ． 16.观察下列各式：311=；3235=+； 337911=++； 3413151719=+++；……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论）19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，已知1PA PB PC BC ====，AB =，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .（1）试判定点E 的位置，并加以证明； （2）求二面角E AC D --的余弦值.20.在平面直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为(0,1)B -，(0,1)C ，平面内两点P 、Q 同时满足：①0PA PB PC ++=；②QA QB QC ==；③//PQ BC . （1）求顶点A 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l ，2l 与A 的轨迹E 相交弦分别为11A B ，22A B ，设弦11A B ，22A B 的中点分别为M ，N .①求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数ln(1)()1x f x ax +=+.（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）已知x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求证(31)ln(1)(31)ln(1)11x x y y x y -+-++--(31)ln(1)01z z z -++≤-.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C ，若M ，N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()21()f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x >. （2）若不等式21()12f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.十模数学答案（理）一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC二、填空题13. [2,7] 14.3215. 3- 16. 45三、解答题17.解：（1）由题意可得12111767352(4)()(10)a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩，即121352a d d a d +=⎧⎨=⎩. 又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩.所以1n a n =+.（2）因为111(1)(2)n n a a n n +=++1112n n =-++，所以11112334n T =-+-1112n n +⋅⋅⋅+-++11222(2)n n n =-=++. 因为存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使得22(2)nn λ≤+成立. 又2142(2)2(4)n n n n =+++，114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）， 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.18.解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：1240024020⨯=人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.由题意可得4448(0)C P X C ==170=；134448(1)C C P X C ==1687035==； 224448(2)C C P X C ==36187035==； 314448(3)C C P X C ==1687035==； 4448(4)C P X C ==170=. 所以随机变量X 的分布列为∴均值017070EX =⨯+⨯237070+⨯+⨯4270+⨯=.（3）由折线图可得2212s s >.19.解：（1）E 为PD 的中点，证明如下： 连接OE ，因为//PB 平面AEC ，平面PBD 平面AEC OE =，PB ⊄平面AEC ，所以//OE PB ，又O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点.（2）连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC =.因为PA PC =，所以PO AC ⊥.同理，得PO BD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OP 为z 轴，过O 平行于AD的直线为x 轴，过O 平行于CD 的直线为y 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.易知1(,2A ，1(2B，1(2C -，1(,2D -，1(0,0,)2P ，11(,)444E --，则11(,)444EA =--，1(,22OA =-. 显然，OP 是平面ACD 的一个法向量.设1(,,)n x y z =是平面ACE 的一个法向量，则1100n EA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11044102x y z x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取1y =，则1(2,1n =， 所以1cos ,n OP <>11n OP n OP⋅==， 所以二面角EAC D --. 20.（1）221(0)3x y x +=≠；（2）①S 的最小值的32，②直线MN 恒过定点4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）∵2PA PB PO +=， ∴由①知2PC PO =-， ∴P 为ABC ∆的重心. 设(,)A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，由②知Q 是ABC ∆的外心， ∴Q 在x 轴上由③知,03x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由QC QA=，得=，化简整理得：221(0)3x y x +=≠. （2）解：F 恰为2213x y +=的右焦点， ①当直线1l ，2l的斜率存且不为0时，设直线1l 的方程为myx =由22330my x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22(3)10m y ⇒++-=， 设111(,)A x y ，122(,)B x y ，则1223y y m -+=+，12213y y m -=+，①根据焦半径公式得1112)A B x x =+，又1212x x mymy +=12()my y =++223m -=++23m =+，所以11A B==，同理22221113mA Bm⎫+⎪⎝⎭=+=则2222(1)6(3)(31)mSm m+=++2222(1)64(1)2mm+≥⎛⎫+⎪⎝⎭32=，当22331m m+=+，即1m=±时取等号.②根据中点坐标公式得22,33Mm m⎛⎫⎪⎪++⎝⎭，同理可求得222,3131Nm m⎛⎫⎪⎪++⎝⎭，则直线MN的斜率为2222313MNkm m-=++243(1)mm=-，∴直线MN的方程为23ym-+2243(1)3mxm m⎛⎫=-⎪⎪-+⎝⎭，整理化简得()4334ym x m+()263490ym x m y++-=，令0y=，解得4x=.∴直线MN恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭.②当直线1l，2l有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN即为x轴，过点⎫⎪⎪⎝⎭. 综上，S的最小值的32，直线MN恒过定点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭.21.（1）当1a=时，ln(1)()1xf xx+=+则(0)0f=，21ln(1)'()(1)xf xx-+=+则'(0)1f=，∴函数()y f x=的图象在0x=时的切线方程为y x=.（2）∵函数()f x在(0,1)上单调递增，∴10ax+=在(0,1)上无解，当0a≥时，10ax+=在(0,1)上无解满足，当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①21ln(1)1'()(1)ax a x x f x ax +-++=+，∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴'()0f x ≥在(0,1)上恒成立， 即[](1)ln(1)1a x x x ++-≤在(0,1)上恒成立. 设()(1)ln(1)x x x ϕ=++'()ln(1)(1)x x x x ϕ-=+++11ln(1)1x x ⋅-=++， ∵(0,1)x ∈，∴'()0x ϕ>，则()x ϕ在(0,1)上单调递增， ∴()x ϕ在(0,1)上的值域为(0,2ln 21)-.∴1(1)ln(1)a x x x ≤++-在(0,1)上恒成立，则12ln 21a ≤-②综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln 21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.（3）由（2）知，当1a =-时，ln(1)()1x f x x+=-在(0,1)上单调递增，于是当103x <≤时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≤=，当113x ≤<时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≥=， ∴(31)()x f x -34(31)ln 23x ≥-⋅，即(31)ln(1)1x x x -+-33(31)ln 24x ≤-⋅，同理有(31)ln(1)1y y y -+-33(31)ln 24y ≤-⋅，(31)ln(z 1)1z z -+-33(31)ln 24z ≤-⋅，三式相加得(31)ln(1)1x x x -+-(31)ln(1)1y y y -++-(31)ln(z 1)01z z -++≤-.22.解：（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，∴4cos 3sin 24ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=.曲线2C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴221x y +=，故2C 的普通方程为221x y +=.（2）将曲线2C经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C 的方程为22''184x y +=，则曲线3C 的参数高中经典试题方程为y 2sin x αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin N αα，则点N 到曲线1C的距离为d==24)5αϕ-+=(tan 3ϕ=. 当()sin 1αϕ+=时，d有最小值245-，所以MN的最小值为245-. 23.解：（1）当1a =时，等式()2f x >，即2112x x --+>，等价于11212x x x <-⎧⎨-++>⎩或1121212x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--->⎩或122112x x x ⎧>⎪⎨⎪--->⎩， 解得23x <-或4x >， 所以原不等式的解集为2(,)(4,)3-∞-+∞； （2）设()()1g x f x x x =+-+2x a x =-+，则,2()3,2a a x x f x ax a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()f x 在(,)2a-∞上是减函数，在(,)2a +∞上是增函数， ∴当2a x =时，()f x 取最小值且最小值为()22a a f =， ∴2122a a >-，解得112a -<<，∴实数a 的取值范围为1(,1)2-.。

河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题含答案2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞2.在复平面内，复数2332iz i-++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=c =，则tan A 的值是（ ）A C4.设{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<，s 为(1)ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =，若任取(,)a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ）A ．2e B ．2e C ．2e e - D ．1e e- 5.函数4lg x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490π++C ．4848π+D ．2466π++7.已知11717a =，16log b =17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A ．20200B ．5268.5-C ．5050D ．5151-9.如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12 B ．23 C ．13 D ．1410.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（ ） A ．6 B ．7 C ．13 D ．14 11.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．012.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =. 其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知实数x ，y 满足2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x y m x ++=+，则实数m 的取值范围 ．14.双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为 ．15.若平面向量1e ，2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是 ． 16.观察下列各式：311=； 3235=+； 337911=++； 3413151719=+++；……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数. （2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论）19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，已知1PA PB PC BC ====，AB =，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .（1）试判定点E 的位置，并加以证明； （2）求二面角E AC D --的余弦值.20.在平面直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为(0,1)B -，(0,1)C ，平面内两点P 、Q 同时满足：①0PA PB PC ++=；②QA QB QC ==；③//PQ BC . （1）求顶点A 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l ，2l 与A 的轨迹E 相交弦分别为11A B ，22A B ，设弦11A B ，22A B 的中点分别为M ，N .①求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数ln(1)()1x f x ax +=+.（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）已知x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求证(31)ln(1)(31)ln(1)11x x y y x y -+-++--(31)ln(1)01z z z -++≤-.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C ，若M ，N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()21()f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x >.（2）若不等式21()12f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.十模数学答案（理）一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC二、填空题13. [2,7] 14.3215. 3- 16. 45 三、解答题17.解：（1）由题意可得12111767352(4)()(10)a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩，即121352a d d a d +=⎧⎨=⎩. 又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩.所以1n a n =+.（2）因为111(1)(2)n n a a n n +=++1112n n =-++，所以11112334n T =-+-1112n n +⋅⋅⋅+-++11222(2)n n n =-=++. 因为存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使得22(2)nn λ≤+成立. 又212(2)2(4)n n n n =+++，114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）， 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.18.解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：1240024020⨯=人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.由题意可得4448(0)C P X C ==170=；134448(1)C CP X C ==1687035==；224448(2)C C P X C ==36187035==； 314448(3)C CP X C ==1687035==； 4448(4)C P X C ==170=.X ∴均值017070EX =⨯+⨯237070+⨯+⨯4270+⨯=. （3）由折线图可得2212s s >. 19.解：（1）E 为PD 的中点，证明如下： 连接OE ，因为//PB平面AEC ，平面PBD平面AEC OE =，PB ⊄平面AEC ，所以//OE PB ，又O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点. （2）连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC =.因为PA PC =，所以PO AC ⊥.同理，得PO BD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OP 为z 轴，过O平行于AD 的直线为x 轴，过O 平行于CD 的直线为y 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.易知1(,2A ，1(2B，1(2C -，1(,2D -，1(0,0,)2P ，11(,)44E -，则11(,)444EA =--，1(,,0)22OA =-. 显然，OP 是平面ACD 的一个法向量.设1(,,)n x y z =是平面ACE 的一个法向量，则1100n EA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即110444102x y z x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取1y =， 则1(2,1n =， 所以1cos ,n OP <>11n OP n OP⋅=11=，所以二面角E AC D --. 20.（1）221(0)3x y x +=≠；（2）①S 的最小值的32，②直线MN恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 试题解析：（1）∵2PA PB PO +=， ∴由①知2PC PO =-， ∴P 为ABC ∆的重心. 设(,)A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，由②知Q 是ABC ∆的外心， ∴Q 在x 轴上由③知,03x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由Q C Q A ==化简整理得：221(0)3x y x +=≠. （2）解：F 恰为2213x y +=的右焦点， ①当直线1l ，2l 的斜率存且不为0时，设直线1l的方程为my x =由22330my x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22(3)10m y ⇒++-=，设111(,)A x y ，122(,)B x y，则1223y y m -+=+，12213y y m -=+，①根据焦半径公式得1112)A B x x =+，又1212x x my my +=12()m y y =++223m -=++23m =+，所以11A B ==22221113m A B m ⎫+⎪⎝⎭=+= 则2222(1)6(3)(31)m S m m +=++2222(1)64(1)2m m +≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭32=，当22331m m +=+，即1m =±时取等号.②根据中点坐标公式得22,33M m m ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭，同理可求得222,3131N m m ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭， 则直线MN的斜率为MNk =243(1)m m =-， ∴直线MN的方程为y243(1)m x m ⎛=- -⎝⎭，整理化简得()4334ym x m +()263490ym x m y ++-=，令0y =，解得x =∴直线MN恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. ②当直线1l ，2l 有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN 即为x轴，过点⎫⎪⎪⎝⎭. 综上，S 的最小值的32，直线MN恒过定点4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 21.（1）当1a =时，ln(1)()1x f x x +=+则(0)0f =， 21ln(1)'()(1)x f x x -+=+则'(0)1f =， ∴函数()y f x =的图象在0x =时的切线方程为y x =.（2）∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴10ax +=在(0,1)上无解， 当0a ≥时，10ax +=在(0,1)上无解满足，当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①21ln(1)1'()(1)ax a x x f x ax +-++=+， ∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴'()0f x ≥在(0,1)上恒成立，即[](1)ln(1)1a x x x ++-≤在(0,1)上恒成立. 设()(1)ln(1)x x x ϕ=++'()ln(1)(1)x x x x ϕ-=+++11ln(1)1x x ⋅-=++， ∵(0,1)x ∈，∴'()0x ϕ>，则()x ϕ在(0,1)上单调递增， ∴()x ϕ在(0,1)上的值域为(0,2ln 21)-.∴1(1)ln(1)a x x x≤++-在(0,1)上恒成立，则12ln 21a ≤-②综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln 21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦. （3）由（2）知，当1a =-时，ln(1)()1x f x x+=-在(0,1)上单调递增，于是当103x <≤时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≤=， 当113x ≤<时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≥=， ∴(31)()x f x -34(31)ln 23x ≥-⋅，即(31)ln(1)1x x x -+-33(31)ln 24x ≤-⋅， 同理有(31)ln(1)1y y y -+-33(31)ln 24y ≤-⋅，(31)ln(z 1)1z z -+-33(31)ln 24z ≤-⋅，三式相加得(31)ln(1)1x x x -+-(31)ln(1)1y y y -++-(31)ln(z 1)01z z -++≤-. 22.解：（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，∴4cos 3sin 24ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=. 曲线2C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴221x y +=，故2C 的普通方程为221x y +=.（2）将曲线2C经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C 的方程为22''184x y +=，则曲线3C 的参数方程为y 2sin x αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin N αα，则点N 到曲线1C 的距离为d===(tan 3ϕ=.当()sin 1αϕ+=时，dMN23.解：（1）当1a =时，等式()2f x >，即2112x x --+>，等价于11212x x x <-⎧⎨-++>⎩或1121212x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--->⎩或122112x x x ⎧>⎪⎨⎪--->⎩， 解得23x <-或4x >， 所以原不等式的解集为2(,)(4,)3-∞-+∞； （2）设()()1g x f x x x =+-+2x a x =-+，则,2()3,2a a x x f x a x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， 则()f x 在(,)2a-∞上是减函数，在(,)2a +∞上是增函数， ∴当2a x =时，()f x 取最小值且最小值为()22a a f =， ∴2122a a >-，解得112a -<<，∴实数a 的取值范围为1(,1)2-.。

2017—2018学年度上学期高三年级十模考试（文科）数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于全集，，，∴，∴，故选A.2. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，故选B.3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A. 各月的平均最高气温都不高于度B. 七月的平均温差比一月的平均温度小C. 平均最高气温低于度的月份有个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于度【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C的说法是错误的.故选C．4. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.5. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过做的垂线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.考点：双曲线的性质6. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.7. 函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，可排除；又时，，即，故选.考点：函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为.考点：三视图.9. 给出个数：，，，，，，…，要计算这个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】试题分析：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1+1=2；第3个数比第2个数大2即2+2=4；第4个数比第3个数大3即4+3=7；…故②中应填写p=p+i考点：程序框图10. 已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.考点：函数的性质.【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.11. 正四面体的所有棱长均为，球是其外接球，，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为.本题选择C选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.12. 已知抛物线：经过点，过焦点的直线与抛物线交于，两点，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵抛物线：经过点，∴，即抛物线，设过焦点的直线：，由，∴，设，∵，∴，且，解得，，∴，则，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数，满足条件，则的最大值是__________．【答案】7【解析】如图，过点时，14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真真.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是__________．【答案】甲【解析】如果甲说假话，则丙被录用，那么乙也说假话了，与题设矛盾；如果乙说假话，则乙没有被录用，并也没有被录用，则甲被录用，满足题意；如果丙说假话，则甲也说了假话，与题设矛盾。