(学案)等式性质与不等式性质

课时教学设计课题 2.1等式性质与不等式性质授课时间：年月日课型：新授课课时：一课时1.教学目标知识与技能：能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；过程与方法：通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；情感态度与价值观：培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，提高学生数学运算和逻辑推理能力。

2.学习重点难点教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；3.教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

4.学习活动设计环节一：情景引入，温故知新（一）情境导学问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/ℎ;（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/ℎ,“限速40km/ℎ”就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40；对于（2），有题意得{f≥2.5%p≥2.3%.对于（3）设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a−b<c（你能写出其他可能情况吗？）以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式。

接着，就可以用不等式研究相应的问题了。

问题2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以销出8万本。

根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为(8−x−2.50.1×0.2)x万元，于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为(8−x−2.50.1×0.2)≥20 （*）求出不等式（*）的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围。

章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。

2.1等式性质与不等式性质第二课时 等式性质与不等式性质【学习目标】1、掌握不等式的性质．2、能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±； 性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=．二、学生探索、尝试解决问题2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质1 对称性 a b >⇔性质2 传递性 a b >，b c >⇒性质3 可加性 如果a b >，c R ∈⇔，性质4 可乘性 如果a b >，0c >⇒如果a b >，0c <⇒性质5 同向可加性 如果a b >，c d >⇒性质6 同向同正可乘性 如果0a b >>，0c d >>⇒性质7 乘方性 如果0a b >>⇒ ．(条件2n N n ∈≥，)问题3 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解，对不等式的性质，你能用文字语言来表述吗？三、运用规律，解决问题例1 对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b> C ．若0a b <<，则b a a b> D ．若a b >，11a b >，则0a >，0b <例2 已知0a b >>，0c <，求证c c a b>．四、变练演练，深化提高问题4 小明同学做题时进行如下变形对吗？请说明理由．23b <<∵，11132b <<∴． 又68a -<<∵，4a b<∴-2<．问题5 由68a -<<，42b -<<，两边分别相减得26a b -<-<，你认为正确吗？问题6 你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？24a b <-<∵，42b a -<-<-∴．又-22a b <+<∵，03a <<∴，30b -<<．33a b -<+<∴．这怎么与22a b -<+<矛盾了呢？例3 已知22αβ-≤<≤ππ，求+2αβ，-2αβ的取值范围．五、信息交流，教学相长问题7 不等式的哪些性质具有双向性，哪些性质是只有单向性的呢？当堂检测1. 用不等号>“”或“”<填空： (1)如果b a >，c d <，那么c a -____b d -；(2) 如果0a b >>,0c d <<，那么ac ____bd ；(3) 如果0a b >>，那么21a _____21b ； (4) 如果0a b c >>>，那么c a _____c b ． >2．下列命题为真命题的是( )A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b <3. 已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的取值范围．4. 已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证e e a c b d >--．分层作业《课时分层作业》（九）等式性质与不等式性质P175必做题1-14选做题15。

一对一辅导教案[常用结论与微点提醒]1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分式的性质(1)若a>b>0，m>0，则ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔1a<1b.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)a＝b⇔ac＝bc.()(3)若ab>1，则a>b.()(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.()2.(老教材必修5P66A3(2)改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bcC.ac＞bd D.ac＜bd3.(新教材必修第一册P63讲解示例改编)比较两数的大小：7＋10________3＋14.4.(2020·沈阳调研)实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是()A.yx<1 B.2－x<2－yC.lg(x－y)>0D.x2>y25.(2020·广东执信中学月考)若a，b∈R，且a＞|b|，则()A.a＜－bB.a＞bC.a2＜b2D.1a＞1b6.(多选题)(2020·商丘九校联考)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是()A.xy＞yzB.xy＞xzC.xz ＞yzD.x |y |＞|y |z考点一 比较两个数(式)的大小例1、若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <bD.b <a <c规律方法 1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【训练1】 (1)若a ，b 为正数，且a ≠b ，则a 3＋b 3________a 2b ＋ab 2(用符号>、<、≥、≤填空).(2)(2020·黑龙江海林检测)若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( )A.p ≥qB.p ≤qC.p ＞qD.p ＜q考点二 不等式的性质【例2】 (1)(多选题)设b ＞a ＞0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A.a 12＜b 12 B.1a －c ＞1b －c C.a ＋2b ＋2＞abD.ac 2＜bc 2(2)(组合选择题)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】 (1)(2020·抚顺调研改编)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是( ) A.ab ＞ac B.c (b －a )＜0 C.cb 4＜ab 4D.ac (a －c )＞0(2)(2019·武汉联考)下列命题中正确的是( ) A.若a ＞b ，c ∈R ，则ac ＞bc B.若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b d C.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d D.若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b考点三 不等式及其性质的应用 多维探究角度1 不等式在实际问题中的应用【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________.角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移【例3－2】 (经典母题)已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________.【迁移1】 将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围.【迁移2】 将本例条件改为“已知－1<x －y <4，2<x ＋y <3”，求3x ＋2y 的取值范围.规律方法 1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表：甲 乙 维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg 、y kg 配成至多100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________.(2)(2019·青岛测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________.A 级 基础巩固 一、选择题1.限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式为( ) A.v <40 km/h B.v >40 km/h C.v ≠40 km/hD.v ≤40 km/h2.(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b 成立的有( ) A.b ＞0＞a B.0＞a ＞b C.a ＞0＞bD.a ＞b ＞0。

等式性质与不等式性质【学习目标】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．【学习重难点】等式与不等式的性质。

【学习过程】一、自主学习知识点一：实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b>0c>d>0⇒ac>bd状元随笔（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋c．（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．教材解难：教材P40思考等式有下面的基本性质：性质1：如果a＝b，那么b＝a；性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc．基础自测：1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N ．答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是（ ） A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x <a <0，不等号两边同时乘a ，则ax >a 2；不等号两边同时乘x ，则x 2>ax ，故x 2>ax >a 2．答案：B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 解析：因为－1≤b ≤2，所以－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5，所以－1≤a －b ≤6． 答案：－1≤a －b ≤6 二、素养提升题型一：比较大小（教材P 38例1）例1：比较（x ＋2）（x ＋3）和（x ＋1）（x ＋4）的大小． 解析：因为（x ＋2）（x ＋3）－（x ＋1）（x ＋4） ＝（x 2＋5x ＋6）－（x 2＋5x ＋4） ＝2>0，所以（x ＋2）（x ＋3）>（x ＋1）（x ＋4）．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1：若f （x ）＝3x 2－x ＋1，g （x ）＝2x 2＋x －1，则f （x ）与g （x ）的大小关系是（ ）A ．f （x ）<g （x ）B ．f （x ）＝g （x ）C ．f （x ）>g （x ）D ．随x 值变化而变化解析：f （x ）－g （x ）＝（3x 2－x ＋1）－（2x 2＋x －1） ＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1>0， 所以f （x ）>g （x ）．故选C ． 答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小 题型二：不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断 例2：对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0． 其中正确的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc ．①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b ．②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2．③对．对于④，⎭⎬⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b ⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b ．④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b ⇒a >0，b <0．⑤对． 故选C ． 答案：C 方法归纳：（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2：（1）已知a <b ，那么下列式子中，错误的是（ ） A ．4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4（2）对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD．若a>b，则1 a< 1 b解析：（1）根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（1）B；（2）C题型三：利用不等式性质求范围例3：已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1<a＋b<5；（3）依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；（4）由－2<a≤3得－4<2a≤6①，由1≤b<2得－6<－3b≤－3②，由①②得，－10<2a－3b≤3．状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳：利用不等式性质求范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3：已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，（1）求xy的取值范围；（2）求x－2y的取值范围．解析：（1）∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是（2，6）．（2）由（1）知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是（－5，－2）．状元随笔（1）根据不等式的性质6可直接求解；（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．三、学业达标（一）选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（ ） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －（4ab －b 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B ．答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a > c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bd D ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（ ） A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1． 又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A ． 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3．若1a <1b <0，则不正确的不等式的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．答案：C （二）填空题5．已知a ，b 均为实数，则（a ＋3）（a －5）________（a ＋2）（a －4）（填“>”“<”或“＝”）． 解析：因为（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8）＝－7<0，所以（a ＋3）（a －5）<（a ＋2）（a －4）．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －（c －2b ）＝2b －2a ＝2（b －a ）<0． 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒ba <1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d ．其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤ （三）解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－（2x 2－2x ）＝x 3－2x 2＋2x －1＝（x 3－x 2）－（x 2－2x ＋1）＝x 2（x －1）－（x －1）2＝（x －1）（x 2－x ＋1）＝（x －1）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以（x －1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x ．9．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd ． 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤cd ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d ． 尖子生题库：10．设f （x ）＝ax 2＋bx ，1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4，求f （－2）的取值范围． 解析：方法一：设f （－2）＝mf （－1）＋nf （1）（m ，n 为待定系数）， 则4a －2b ＝m （a －b ）＋n （a ＋b ）＝（m ＋n ）a ＋（n －m ）b ， 于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1∴f （－2）＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4． ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]． 方法二：由⎩⎨⎧f －1＝a －b f1＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]b ＝12[f1－f－1]，∴f （－2）＝4a －2b ＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4， ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]．。

【新教材】等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．)3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

;重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.、要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些3.重要不等式是4.等式的基本性质,5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法 {a −a >0⟺a >aa −a =0⟺a =a a −a <0⟺a <a作商法{a a >1⟺a >a aa=1⟺a =a a a<1⟺a <a2.不等式的基本性质·\3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( )(3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) '(5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( )(7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；《（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b2（4）如果a>b>c>0，那么c a_______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第1课时 不等关系与比较大小【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)【使用说明及学法指导】1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.【预学案】知识点1 不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点． (1)不等符号<，>，__≤__，__≥__或≠. (2)所表示的关系是__不等关系__.思考1：不等式“a ≤b ”的含义是什么？只有当“a<b ”与“a ＝b ”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a ≤b 应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a<b 或者a ＝b ”，等价于“a 不大于b ”，即若a<b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据 比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧依据⎩⎪⎨⎪⎧如果a －b>0，那么__a>b__如果a －b<0，那么__a<b__如果a －b ＝0，那么__a ＝b__结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？ (2)若“b －a>0”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b>a 预学自测：1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2.( √ ) (2)若x 2＝0，则x ≥0.( √ ) (3)若x －1≤0，则x <1.( × )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) [解析] (1)不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2. (2)若x 2＝0，则x ＝0，所以x ≥0成立． (3)若x －1≤0，则x <1或者x ＝1，即x ≤1.(4)任意两数之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( C )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥403．已知x <1，则x 2＋2与3x 的大小关系为__x 2＋2>3x __.【我的疑惑】_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【探究案】探究一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)·[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x －8)·[100－10(x －10)]≥300.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N .[归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶ 用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝(15－x2)(m)．因此菜园面积S ＝x ·(15－x2)，依题意有S ≥110，即x (15－x2)≥110，故该题中的不等关系可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x (15－x 2)≥110.探究二：比较实数的大小 例3 已知a ，b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． [解析] 方法一(作差法)：(a b ＋ba)－(a ＋b ) ＝(a b －b )＋(ba－a ) ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.∵a ，b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，∴a b ＋b a ≥a ＋b .方法二(作商法)：a b ＋ba a ＋b ＝(a )3＋(b )3ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －ab )ab (a ＋b )＝a ＋b －abab＝(a －b )2＋ab ab ＝1＋(a －b )2ab ≥1.∵b a ＋a b >0，a ＋b >0，∴a b ＋ba≥a ＋b . 方法三(平方后作差)：∵(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴(a b ＋b a )2－(a ＋b )2＝(a ＋b )(a －b )2ab .∵a >0，b >0，∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0.又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋ba≥a ＋b .[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：b >(<)0时，a b >1⇔a >(<)b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a <(>)b .步骤：作商—变形—判断商与1的大小—得出结论． 注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a >b ，b >c ，则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷ 当x ≤1时，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小．[解析]3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1)． 因为x ≤1，所以x －1≤0， 而3x 2＋1>0.所以(3x 2＋1)(x －1)≤0， 所以3x 3≤3x 2－x ＋1.【检测案】1．下列说法正确的是( C )A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x >y ”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”[解析] A 应为x ≤2 000，B 应为x <y ，D 应为y ≤a ，故选C ． 2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( C ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥bD ．a ≤b[解析] a －b ＝3x 2－x ＋1－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a －b ≥0即a ≥b ，故选C ．3．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( A )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤44．用不等式表示下面的不等关系： (1)a 与b 的积是非负数：__ab ≥0__； (2)m 与n 的和大于p ：__m ＋n >p __；(3)某学校规定学生离校时间t 在16点到18点之间：__16≤t ≤18__. 5．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是__x <y __.【课堂小结】。

教学计划：《等式性质与不等式性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够准确理解并掌握等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性），能够运用这些性质进行简单的等式变形和不等式推导。

2.过程与方法：通过实例分析、逻辑推理和动手操作，培养学生的观察能力、分析能力和问题解决能力，同时引导学生学会归纳总结的学习方法。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和严谨的科学态度，感受数学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点和难点●重点：等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性）的理解与应用。

●难点：如何灵活运用不等式性质进行不等式推导，特别是涉及负数时乘法性质的方向性判断。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：以天平称重为例，引导学生思考天平平衡时两边重量相等（等式）和不平衡时一边重于另一边（不等式）的情况，引出等式与不等式的话题。

●提出问题：在等式中，我们可以做哪些操作而不改变其平衡状态？在不等式中，哪些操作会改变或保持其不平衡的方向？●明确目标：简要介绍本节课将要学习的等式与不等式的基本性质，并明确学习目标。

2. 讲解新知（15分钟）●等式性质：o反射性：以“我=你，则你也=我”为例，说明等式两边可以互换。

o对称性：通过具体等式展示，如“a=b，c=d，则a+c=b+d”，说明等式在相等关系下可以进行对称操作。

o传递性：利用“如果a=b，b=c，那么a=c”的逻辑链，强调等式的传递性质。

●不等式性质：o加法性质：以实际情境（如增加相同重量的物品）为例，说明不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变。

o乘法性质：分正数、负数两种情况讨论，通过实例展示（如放大或缩小比例），强调正数时方向不变，负数时方向反转。

o方向性：强调不等式总是指向较大的数，并通过实例加深理解。

3. 案例分析（10分钟）●精选例题：选取几道涉及等式与不等式性质应用的典型例题，逐步分析解题步骤和思路。