重庆市南开中学2015届高三数学10月月考试题 理

重庆市南开中学2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A、B为两个集合，若命题p：∀x∈A，都有2x∈B，则( )A．￢p：∃x∈A，使得2x∈B B．￢p：∃x∉A，使得2x∈BC．￢p：∃x∈A，使得2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，写出它的否定命题即可．解答：解：∵A、B为两个集合，命题p：∀x∈A，都有2x∈B；∴￢p：∃x∈A，使得2x∉B．故选：C．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据全称命题的否定是特称命题，直接写出它的否定命题，是基础题．2．已知向量，，则与( )A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据向量平行垂直坐标公式运算即得．解答：解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．点评：本题单纯的考两个向量的位置关系，且是坐标考查，直接考垂直或平行公式．3．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合( ) A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪∪解答：解：由a2a4=a32=1，得a3=1，所以S3==7，又q＞0，解得=2，即q=．所以a1==4，所以=．故选B．点评：本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．5．对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )A．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b B．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αD．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面平行的性质定理可判断A；由线面平行的判定定理可判断B；由线面垂直的判定定理可判断C；由面面垂直的性质定理可判断D．解答：解：若α∥β，α∩γ=α，β∩γ=b，则由面面平行的性质定理可得：a∥b，故A 正确；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故B错误；若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则m，n相交时a⊥α，否则a⊥α不一定成立，故C错误；若α⊥β，a⊂α，则a与β可能平行，可能垂直，也可能线在面内，故D错误；故选：A点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定理，性质定理和几何特征，是解答的关键．6．若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是( ) A．0 B．4 C．D．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．解答：解：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，﹣5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．8．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上横坐标伸长为原来的2倍后得到y=g（x）图象，若在x∈=sin（2x+）的图象；再将图象上横坐标伸长为原来的2倍后得到y=g（x）=sin（x+）图象．由x+=kπ+，k∈z，求得g（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+．若x∈∴f′（lnx）＞f（lnx）．∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∴h（1）＜h（2）＜h（e）＜h（3），又∵h（1）=，∴0＜b＜a；而c=﹣ef（1）=﹣e•=﹣e2h（e）＜0，a＞b＞c．故选：A．点评：如何构造新的函数，要结合题中所给的a，b的结构形式，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．10．已知函数．若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，则实数k的取值范围是( )A．0＜k≤3B．1≤k≤4C．D．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据分数函数的特点，将函数进行化简，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．解答：解：=，令2x+2﹣x=t，则t≥2，则函数等价为g（t）=，（t≥2），则原题等价为对于t≥2，min≥max恒成立，①当k=1时，显然成立；②当k＜1时，，由2（）≥1，得﹣；③当k＞1时，1＜f（t），由2×1，得1＜k≤4，综上；实数k的取值范围是．故选：D．点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的性质，反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数进行转化是解答的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．复数z=对应的复平面上的点在第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．解答：解：z==，∴复数z=对应的复平面上的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故答案为：四．点评：本题考查了复数的代数表示法与其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．则f（f（2））的值为2．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解答：解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．13．设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是4．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；转化思想．分析：先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论．解答：解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a=3，b=，且2acosA=bcosC+ccosB，则边c的长为2．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：首先，根据正弦定理，化简2acosA=bcosC+ccosB，得到2sinAcosA=sin（B+C），然后，根据三角形的性质得到A的值，然后，再借助于正弦定理，得到B=，从而得到C=，最后，利用勾股定理求解其值．解答：解：根据正弦定理，设，∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB∴2sinAcosA=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴2sinAcosA=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，根据正弦定理，得，∴sinB==，∴B=，∴C=，∴c=．故答案为：2．点评：本题重点考查了正弦定理及其应用、三角恒等变换公式等知识，属于中档题，准确把握正弦定理的变形公式是解题的关键．15．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是2．考点：二倍角的正弦；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，∴•的最大值是2．故答案为 2．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．（1）科研攻关小组中男、女职员的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）某同学被抽到的概率是抽取人数与总人数的比值；根据分层抽样，男同学抽取的人数与抽取人数的比值和男同学的人数与总人数的比值相等，可以求出抽取的男同学的人数，进而可以求出抽取的女同学的人数；（Ⅱ）先列出总的基本事件，然后找出“选出的两名同学中恰有一名女同学”的基本事件的个数，根据古典概型公式求出概率．解答：解：（Ⅰ）P===，∴某同学被抽到的概率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设有x名男同学，则，∴x=1∴女同学的人数是1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种，其中有一名女同学的有6种﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了分层抽样及古典概型，解决本题的关键是列举基本事件时要按照一定的顺序，不能重也不能漏．17．已知递增等比数列{a n}首项a1=2，S n为其前n项和，且S1，2S2，3S3成等比数列．（1）求的{a n}通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用S1，2S2，3S3成等差数列，确定数列的公比，即可求得数列的通项．（2）b n===32n﹣3，由此利用等比数列求和公式能求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S3，∵a1=2，∴4（2+2q）=2+6（1+q+q2），即3q2﹣q=0，解得q=0（舍去）或q=．∴a n=2•（）n﹣1．（2）∵b n===32n﹣3，∴T n=3﹣1+3+33+35+…+32n﹣3==．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，属于中档题．18．如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且E，F，G，H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）DH⊥平面AEG．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平行公理证明BC∥EF，再利用线面平行的判定，证明BC∥平面EFG；（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，证明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，证明DH⊥AG，从而可证DH⊥平面AEG．解答：证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF，∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴BC∥平面EFG；（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，DH⊂平面ABCD，∴PA⊥DH，即AE⊥DH．∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°∴∠AGD+∠HDC=90°∴DH⊥AG又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．点评：本题考查线面平行，线面垂直，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．19．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（1）求φ的值；（2）若实数α满足f（α）+f（﹣α）=，α∈（，π），试求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=sin（x+φ），然后，根据函数f（x）在x=π处取最小值，确定φ=；（2）根据（1），得到f（x）=cosx，然后，根据f（α）+f（﹣α）=，得到sinα+cosα=，从而得到sinα﹣cosα=，最后，化简=﹣2sinα，从而确定其值．解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx，∴f（x）=2sinx•+cosxsinφ﹣sinx=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx=sin（x+φ），∴f（x）=sin（x+φ），∵函数f（x）在x=π处取最小值．且0＜φ＜π，∴φ=．（2）根据（1）得f（x）=sin（x+）=cosx，∴f（α）+f（﹣α）=cosα+cos（）=，∴sinα+cosα=，∵===﹣2sinα∵sinα+cosα=，且α∈（，π），∴sinα﹣cosα=，∴sinα=，∴的值为﹣．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式等知识，属于中档题．20．如图，底面ABCD为菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，所有棱长都为2，∠BAD=60°，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥面D1AC．（1）求线段B 1E的长度及三棱锥E﹣D1AC的体积V；（2）设AC和BD交于点O，在线段D1E上是否存在一点P，使EO∥面A1C1P？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．由题意可得A，C（0，2，0），D1（0，0，2），B，．设E，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系可得E，再利用三棱锥E﹣D1AC的体积V=即可得出．（2）假设在线段D1E上存在一点P，使EO∥面A1C1P．连接A1C1、B1D1，相交于点O1，连接O1P，则O1P∥OE．另一方面．利用向量共线定理即可得出．解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．由题意可得A，C（0，2，0），D1（0，0，2），B，．设E，=，=，=（0，2，﹣2）．∵D1E⊥面D1AC，∴，解得z=3．∴E．∴|B1E|=2．∵|D1A|==|D1C|，|AC|=2，∴==，∵|D1E|==．∴三棱锥E﹣D 1AC的体积V===．（2）假设在线段D1E上存在一点P，使EO∥面A1C1P．连接A1C1、B1D1，相交于点O1，连接O1P，则O1P∥OE．O，O1，∴=，∴，另一方面，∴，解得x=，y=，z=，，μ=．∴．∴，∴．点评：本题考查了建立空间直角坐标系解决线面垂直、向量共线、三棱锥的体积等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（a∈R）．（1）若a=，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a为整数，且函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点，试求a的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=代入函数解析式，求出导函数，得到函数在x=1时的导数，求出f（1）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）把函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点转化为其最大值大于0，然后利用导数求其最大值，解关于a的不等式得答案．解答：解：（1）a=，则f（x）=x2+x+lnx，．．又f（1）=．∴f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为．即30x﹣5y﹣7=0；（2）由f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（a∈R）．得x＞0，．当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＜0时，可知x时f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0．∴x时，f（x）为增函数，x时，f（x）为减函数．故当x=﹣时函数有极大值，也是最大值．由f（﹣）==＞0，得．由a为整数，验证a=﹣1时，，，满足．当a＜﹣1时，，，不满足．∴a的值为﹣1．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．。

重庆南开中学高2015级10月月考数学答案（理 科）一、选择题 BCDCB ACBAD二、填空题11. 10 12. (-3,3) 13. 1-14. 223 15. 12- 16. []5,2-三、解答题17.(1) ()cos sin cos (cos )f x x x x x =+- 11cos 2sin 222x x +=-1sin(2)42x π=-- ()的最小正周期f x T π∴= （2）[,]44x ππ∈-32[,]444x πππ∴-∈- ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-22,1)42sin(πx 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈--0,212221)42sin(22πx ()f x ∴的最大值为0，最小值为2122--18.（1）tan 2((,))2πθθπ=-∈sin ,cos θθ∴==-()2sin()sin cos 6f πθθθθ∴=+=+=(2)()2sin()26f παα=+=sin()16πα∴+=又[0,]3πα∈ +[0,]62ππα∴∈ +=，故=623πππαα∴ 8又()2sin()65f πββ=+=，4sin()65πβ∴+= 25(22)2sin(2+)2sin(2)366f πππβαββ∴+=+=+2cos(2)3πβ=+22[12sin ()]6πβ=-+14= -25/2219.(1)()2(1)f x x x m =-++-1时，m ∴=/2()2(2)f x x x x x =-+=-- 0或2时，x x ∴<>/()0f x <，()在（-，0），（2，+）上单调递减f x ∴∞∞ 02时，x ∴<</()0f x >，()在（0，2)上单调递增f x ∴ 故当0x =时，()f x 取得极小值(0)0f =，2x =时，()f x 取得极大值4(2)3f =（2）法一:当[0,]2x π∈时，/(sin )cos 0f x x ≥ ，而cos 0x ≥（[0,]2x π∈） 故只许/22(sin )sin 2sin (1)0f x x x m =-++-≥在[0,]2π上恒成立 即221sin 2sin m x x -≥-在[0,]2π上恒成立， 22max 须1[(sin 1)1]m x ∴-≤--而22sin 2sin (sin 1)1x x x -=--，又sin [0,1]x ∈∴ 当sin 0x =时，2(sin 1)1x --取得最大值0∴210m -≥，即-1m ≤或1m ≥法二:也可利用同增异减法则,说明外层函数在[]10，单调递减20.（1）过点P 作PC x ⊥轴，则3BC AC =，故tan 3tan BPC APC ∠=∠ tan tan()APB BPC APC ∴∠=∠-∠22tan 1213tan APC APC ∠==-∠ 解得1tan 1或3APC ∠=. 若111tan ,则333APC AC PC ∠===，此时()f x 的最小正周期443T AC ==，3故2ω=，313()sin[()]cos 232f x x x ππ=+= ，其图像关于y 轴对称，舍去 若tan 1,则11APC AC PC ∠===，此时()f x 的最小正周期44T AC ==，1故2ω=，1()sin[()]sin()2326f x x x πππ=+=+ ，符合题意 （2），32sin sin )312()312(==--βαβπαπf f 且34αβπ+= ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-62=，62cos cos -=βα ∴原式=22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos sin αθαθβθβθθθ++-2222sin sin cos cos cos sin sin()sin cos cos sin αβθαβθαβθθθθ+++=- 22sin sin cos cos tan sin()tan 1tan αβαβθαβθθ+++=-922-=21. 解： （Ⅰ）2(21)1()x ax a x a f x e-+-+-'= 由条件知(0)1f a '=-， 因为函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与直线013=+-y x 平行所以31=-a ,2-=a（Ⅱ）2(21)1()x ax a x a f x e-+-+-'=(1)(1)x ax a x e -+--= ①当0a =时，1x =，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增；在)4,1(上，有()0f x '< 函数()f x 减，44)4(,0)0(-==e f f 函数()f x 的最小值为0，结论不成立． ②当0a ≠时，1211,1x x a==- (1)若0a <，(0)0f a =<，结论不成立(2)若01a <≤，则110a-≤，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增； 在)4,1(上，有()0f x '<，函数()f x 减，只需⎩⎨⎧≥≥--44)4()0(ef e f ，所以14≤≤-a e (3)若1a >，则1011a <-<，在)11,0(a-上，有()0f x '<，函数()f x 减； 在)1,11a-（,有()0f x '>,函数()f x 增;在)4,1(上，有()0f x '<，函数()f x 减 函数在11x a =-有极小值，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=)4(),11()(min f a f x f 只需⎪⎩⎪⎨⎧≥≥---44)4()11(ef e a f 得到⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥---14171213a e a a ，因为1,11213<>---a e a ，所以1a >综上所述可得4-≥e a22.（1）方程即x a x =+)ln(，构造函数x a x x F -+=)ln()(，定义域为{}a x x ->， ax a x a x x F ++--=-+=')1(11)(，由a a ->-1可得)(x F 在)1,(a a --增，),1(+∞-a 减 而-∞→+∞→-∞→-→)(,;)(,x F x x F a x ；则0)1(=-a F 即1=a(2) ),25(21ln )(2≥-+=m mx x x x g bx cx x x h --=2ln )( 由已知01)(2=+-='xmx x x g 的两根为21,x x ，当25≥m 时方程012=+-mx x 的0>∆ 则m x x =+21，121=x x又由21,x x 为bx x x x h --=22ln )(的零点可得⎩⎨⎧=--=--0ln 0ln 22221211bx cx x bx cx x 两式相减0)())((ln 21212121=---+-x x b x x x x c x x ，可反解出)(ln212121x x c x x x x b +--=① 而)2()(2121x x h x x y +'-=)[(21x x -=])(22121b x x c x x -+-+代入①式 =y )ln2)((21212121x x x x x x x x --+-212121ln 2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-= 令t x x =21)10(<<t ，由m x x =+21，121=x x 可得221m t t =++则]41,0(∈t 设函数t t t t G ln 112)(-+-=，而0)1()1()(22<+--='t t t t G ，则)(t G y =在]41,0(∈t 单减 所以4ln 56)41()(min +-==G t G ，即)2()(2121x x h x x y +'-=的最小值为4ln 56+-。

重庆南开中学高2015级高三9月月考数学试题（文史类） 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ={1,2,3}，N ={x |1log 2>x ），则N M ⋂=( ) A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,3} D ．{1,2,3} 【答案】A考点：集合的运算.2.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ．等，则5cos a =( )A ．21-B ．21C ．±21D ．±23【答案】B 【解析】试题分析：由已知及等比数列的性质可知39527325ππ±=⇒=⋅=a a a a ,所以21)3cos(cos 5=±=πa ;故选B. 考点：等比数列的性质.3.已知31)2sin(=+a π，则a 2cos 的值为( )A ．31B ．31-C ．97D ．97-【答案】D 【解析】试题分析：由已知得31cos =α,从而971921cos 22cos 2-=-=-=αα,故选D.考点：诱导公式及余弦倍角公式.4.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ,则( ) A ．命题q p ∨是假命题 B ．命题q p ∧是真命题 C ．命题)(q p ⌝∧是真命题 D ．命题)(q p ⌝∨是假命题 【答案】C 【解析】考点：复合命题真假的判断. 5.若x >0, y >0且12)21(2-=y x ，则yx 11+的最小值为( ) A ．3 B ．22 C ．2 D ．3+22 【答案】D考点：基本不等式.6.函数2ln 4)(x x x f -=的大致图象是( )【解析】试题分析：首先注意到0111ln 4)1(2<-=-=f ,排除C 和D;再由2024)(=⇒=-='x x xx f ,从而0)12(ln 222ln 4)2()(max <-=-==f x f ,排除A,故选B. 考点：函数图象.7.若)(x f 是奇函数，且0x 是函数xe xf y -=)(的一个零点，则0x -一定是下列哪个函 数的零点( )A ．1)(--=xe xf y B ．1)(+=-xe xf y C ．1)(+=x e x f y D ．1)(-=x e x f y【答案】A考点：函数的零点.8.在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知a c b 41=-，C B sin 3sin 2=， 则cos A =( ) A ．41-B ．41C ．87D ．1611 【答案】A 【解析】试题分析：在△ABC 中，∵a c b 41=-，2sinB=3sinC ，利用正弦定理可得2b=3c ，求考点：正弦定理、余弦定理的应用.9.已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．22 【答案】A考点： 简单的线性规划.10.在△ABC 中，E ，F 分别在边AB ,AC 上，D 为BC 2||||||===AC FA EB ，0=⋅DF DE ,则 cos A = ( )A ．0B ．23C ．43D ．169【答案】D 【解析】试题分析：如图，根据已知条件得：考点：1. 共线向量基本定理;2.向量的加法、减法运算；3.向量的数量积的运算及运算公式．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.已知),(23R b a i b iia ∈-=+，其中i 为虚数单位，则b a +=____________. 【答案】5 【解析】 试题分析：由),(23R b a i b iia ∈-=+得3,22)2(3==⇒+=-=+b a bi i i b i a ,所以b a +=5，故答案为：５．考点：复数的概念及运算．12.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若648a a -=，则9S =____________. 【答案】36 【解析】试题分析：在等差数列{a n }中， 由a 4=8-a 6，得a 4+a 6=8， 即2a 5=8，a 5=4． 则S 9=9a 5=9×4=36． 故答案为：36．考点：等差数列的前n 项和13.已知a 为单位向量，3|2|),4,3(=-=b a b ,则=⋅b a ____________. 【答案】23.考点：平面向量的数量积与向量的模.14.设m ，n ，p ∈R ，且p n m -=+2，22212p n m -=+，则p 的最大值和最小值的差 为__ __． 【答案】316考点：最大值与最小值的求法.15.函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤>-=0,1)21(20,2sin 2),1(log )(2015x x xx x x f xπ，若a,b,c,d 是互不相等的实数，且)()()()(d f c f b f a f ===，则a+b+c+d 的取值范围为___ .【答案】（4，2017） 【解析】试题分析：由题意，不妨设a ＜b ＜c ＜d ，则-1<a<0,b+c=2，0＜log 2015(d-1)＜1 ∴1＜d-1＜2015,从而2<d<2016，再注意到当a 接近0时，d 接近2；而当a 接近-1时，d 接近2016，如图：；∴4＜a+b+c+d ＜2017．考点：1．指数函数，对数函数；２．函数图象；３．数形结合法．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（13分）等差数列{n a }足：642=+a a ，36S a =，其中n S 为数列{n a }前n 项和． (I)求数列{n a }通项公式；(II)若*N k ∈，且k a ，k a 3，k S 2成等比数列，求k 值． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）k=4．考点：１．等比数列的通项公式及性质；２．等差数列的通项公式．17.（13分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．(I)求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差21S 、22S ，并根据结 果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 【答案】（Ⅰ）甲班参加；（Ⅱ）710P =．考点：１．古典概型及其概率计算公式；２．茎叶图． 18.（13分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(I)当a =2时，求曲线)(x f y =在点A (1，f （1）)处的切线方程； (II)讨论函数f (x )的单调性与极值．【答案】（Ⅰ）2y x =-+；（Ⅱ）① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； ② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小， 无极大值. 【解析】考点：１．利用导数研究曲线上某点切线方程；２．利用导数研究函数的单调性． 19.（12分）设函数)0(41cos cos )6sin()(2>-+⋅-=ϖϖϖπϖx x x x f 图像上的一个最高 点为A ，其相邻的一个最低点为B ，且|AB|=2． (I)求ϖ的值；(II)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b+c =2，3π=A ，求)(a f的值域． 【答案】(Ⅰ)2πω=; (Ⅱ) )41,21[-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)首先应用三角恒等变形公式将函数的解析式化为:B x A x f ++=)sin()(ϕω;另一方面由函数图像上的一个最高点为A ，其相邻的一个最低点为B ，且|AB|=2,求得周期T 的值,由再利用ωπ2=T 求得ϖ的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知)(a f 是以a 为自变量的函数,要求其值域,必须先求出a 的取值范围后,再由三角函数的图象和性质求得其值域;根据已知条件及余弦定理,结合基本不等式可求出a 的取值范围.试题解析：(Ⅰ) )62sin(21)(πω+=x x f ，由条件，2222πωωπ=⇒==T . (Ⅱ)由余弦定理：bc bc c b A bc c b a 343)(cos 22222-=-+=-+=又1022≤<⇒≥+=bc bc c b ，故412<≤a ，又a c b >+=2，故21<≤a 由)6sin(21)(ππ+=a a f ，613667ππππ<+≤a ，所以)(a f 的值域为)41,21[-. 考点：1.三角恒等变形公式;2. 三角函数的图象和性质;3. 余弦定理.20.（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． (I)证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；(II)数列{n a }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的最小正整数n ．【答案】（Ⅰ）12-=n n a ；（Ⅱ）8n =． 【解析】∴1(1)22n n K n +=-⨯+， ∴1(1)(1)222n n n n T n ++=-⨯+-， 21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数8n =.考点：1．数列递推式求数列通项；２．等比数列的定义；３．数列求和．21.（12分）对于函数)(x f y =与常数a ，b ，若b x af x f +=)()2(恒成立，则称（a ，b ）为函数)(x f 的一个“P 数对”：设函数)(x f 的定义域为+R ，且f (1)=3． (I)若（a ，b ）是)(x f 的一个“P 数对”，且6)2(=f ，9)4(=f ，求常数a ，b 的值； (Ⅱ)若(1，1)是)(x f 的一个“P 数对”，求*))(2(N n f n∈；(Ⅲ)若(0,2-)是)(x f 的一个“P 数对”，且当)2,1[∈x 时，|32|)(--=x k x f ，求k 的值及 )(x f 茌区间*))(2,1[N n ∈上的最大值与最小值．【答案】（1）a ＝１，b ＝３；（2）(2)3n f n =+；（3）最大值为2n ，最小值为12n +-．考点：１．函数与方程的综合运用；２．函数最值的应用．。

重庆南开中学高2015级高三9月月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，且→→⊥b a ，则=x （ ） A ．21-B ．1-C ．5D ．0【答案】D考点：向量垂直的条件． 2.函数234y x x =--+的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 【答案】C 【解析】 试题分析：由1114104310430122<<-⇒⎩⎨⎧<<-->⇒⎩⎨⎧<-+->⇒⎩⎨⎧>+-->+x x x x x x x x x ，故选C ． 考点：函数的定义域．3.已知命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝或q ；④p ⌝且q ；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，知p ⌝，q ⌝两个均为假命题，从而p 、q 均是真命题，故知①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝或q 均为真命，故选C ． 考点：命题真假的判断．4.函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B考点：函数的零点．5.已知243.03.0,3log ,4log -===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 【答案】A 【解析】 试题分析：由于19.013.0,14log 3log 1log 0,01log 4log 24443.03.0>===<=<==<=-c b a ，故知c b a <<，所以选Ａ．考点：比较大小．6. ∆ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若15,10,60===a b A ，则cos =B （ ）A ．6 B ．6- C ．223 D ．223- 【答案】A考点：正弦定理．7.函数)80(1102)(2≤≤+++=x x x x x f 的值域为（ ）A ．]61,81[B ．]10,8[C ．]61,101[ D ．]10,6[ 【答案】D 【解析】试题分析：由于)80(,19)1(19)1()(2≤≤+++=+++=x x x x x x f ，令]9,1[1∈=+t x ，则有2229919t t t y t t y -=-='⇒+=，知y 在[]3,1上是减函数，在[]9,3上是增函数，所以10,6max min ==y y ，故知函数的值域为]10,6[，故选Ｄ．考点：函数的值域．8.已知⎩⎨⎧>+-≤-=02602)(2x x x x xx f ，则关于x 的不等式2(3)(2)-<f x f x 的解集为（ ） A ．)3,3(--B ．)1,3(-C ．),32()32,(+∞+--∞D ．),32()1,3(+∞+-【答案】D考点：１．分段函数；２．解不等式．9.已知21,x x 是关于x 的一元二次方程20++=ax bx c 的两根，若121<<x x ，则 2221212()++x x x x 的取值范围是（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞ D ．),41(+∞【答案】C 【解析】考点：１．一元二次不等式的根与系数的关系；２．基本不等式的性质及其变形应用．10.已知函数()3ln (1)=≥f x x x ，若将其图像绕原点逆时针旋转(0,)2πθ∈角后，所得图像仍是某函数的图像，则当角θ取最大值0θ时，0tan θ=（ ） A.3 B.3 C.3 D.3【答案】Ｃ 【解析】考点：１．函数的定义；２．函数的导数．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题纸上）11.已知集合}1)1(log |{21->-=x x A ，}2|{x y y B ==，则=B A C R )(___ __．【答案】),3[]1,0(+∞ 【解析】试题分析：由1)1(log 21->-x 得到31210<<⇒<-<x x ，即Ａ＝（１，３），从而),3[]1,(+∞-∞= A C R ，而Ｂ＝（０，＋∞），所以=B A C R )(),3[]1,0(+∞ ．考点：集合的运算．12.设:21(0)+<>p x m m ，0121:>--x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】(0,2]考点：充分条件和必要条件的应用 13.已知函数123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x ，则55(3)(3)22-++-=f f ___． 【答案】8 【解析】试题分析：由于123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x )41312111(4+++++++-=x x x x ，从而)231211211231(4)25(++++-+--=+-x x x x x f=+-++-+--+---=--)231211211231(4)25(x x x x x f )231211211231(4++++-+-+x x x x所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ，故答案为：8． 考点：函数值的求法．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14.如图，圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ，则=∠DCB ______． OPDCBA【答案】45考点：与圆有关的比例线段．15.已知直线1:=+ny mx l 与曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin 21cos 21:y x C （ϕ为参数）无公共点，则过点),(n m 的直线与曲线θθρ222sin 9cos 436+=的公共点的个数为 .【答案】2考点：１．圆的参数方程；２．根的存在性及根的个数判断；３．简单曲线的极坐标方程．16.已知函数)0(1)(>-++=a a x x x f ，若不等式6)(≥x f 的解集为(,2][4,)-∞-+∞, 则a 的值为__________． 【答案】3 【解析】试题分析：函数f （x ）=|x+1|+|x-a |表示数轴上的x 对应点到-1和a 对应点的距离之和，由于不等式6)(≥x f 的解集为(,2][4,)-∞-+∞,所以数轴上的-2、4对应点到-1和a 对应点的距离之和正好等于6，故有⎩⎨⎧=-++=--++-64146212a a ，即31452=⇒⎩⎨⎧=-=+a a a ，故答案为：３． 考点：绝对值不等式的解法．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题13分）已知函数)(x f 对任意R x ∈满足0)()(=-+x f x f ，)1()1(+=-x f x f ，若当[0,1)∈x 时，b a x f x +=)(（0>a 且1≠a ），且21)23(=f ．（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)()()(2x f x f x g +=的值域． 【答案】（1）1,41-==b a ；（2）]1621,41[-考点：１．函数的奇偶性；２．函数的周期性． 18.（本小题13分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点． （1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）若1,1,2===PA AC AB ，求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）祥见解析；（2）46． 【解析】考点：１．平面与平面垂直的判定；２．二面角的平面角及其求法． 19.（本小题13分）在数列{}n a 中，122,511-+==-n n n a a a （*,2N n n ∈≥）． （1）求23,a a 的值；（2）是否存在常数λ，使得数列}2{nn a λ+是一个等差数列？若存在，求λ的值及}{n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）132=a ，333=a ；（2）12)1(,1+⋅+=-=nn n a λ．【解析】试题分析：（1）直接把n=２，3，代入a n =2a n -1+2n-1（n ∈N *，n ≥2），再注意a １=５，即可求出数列的前三项；考点：１．数列递推关系式的应用；２．等差关系的确定． 20.（本小题12分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物 线于,A B 两点．（1）若直线l 的斜率为22，求证：0=⋅； （2）设直线,FA FB 的斜率分别为21,k k ，求21k k +的值． 【答案】（1）祥见解析；（2）０． 【解析】试题分析：（1）由点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求出A ，B 两点的横坐标的和与积，写出向量FB FA ,的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案； （2）设直线l 的方程为l ：x ＝ky −2p，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案． 试题解析：（1）)2(22:p x y l += 与抛物线方程联立得04322=+-p px x 设),(),,(2211y x B y x A083)(423)2)(2(221212121=++-=+--=⋅p x x p x x y y p x p x FB FA ； （2）设直线2:p ky x l -= 与抛物线联立得0222=+-p pky y 0))((22))(()(2222122121212211221121=--⋅-=--+-=-+-=-+-=+p ky p ky pk p kp p ky p ky y y p y ky p ky y p ky y p x y p x y k k ． 考点：１．直线与圆锥曲线的关系；２．抛物线的简单几何性质．21.（本小题12分）已知函数x bx ax x f ln )(2-+=，R b a ∈,．（1）若0<a 且2=-b a ，试讨论()f x 的单调性；（2）若对[2,1]∀∈--b ，总(1,)∃∈x e 使得()0<f x 成立，求实数a 的取值范围． 考点：１．二次函数的性质；２．利用导数研究函数的单调性．22.（本小题12分）已知函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1+=++f x y f x f y 成立，且当0>x 时， ()1>-f x ,(1)0=f .（1）求(5)f 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数ε，总能找到一个正实数σ，使得当0||σ-<x x 时，0|()()|ε-<f x f x ，则称函数()f x 在0=x x 处连续。