数学理卷·2016届重庆市南开中学高三12月月考试题(2015.12)

南开中学2015-2016学年度上学期第一次月考高一数学试卷 考试时间：60分钟一、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U = ，{1,2,5}A = ，{2,3,4}B = ，则()U A C B ⋂=（ ）。

A 、{2,6}B 、{1,5}C 、{1,6}D 、{5,6}2. 设集合{1,2,3,4,5,6}P =，{26}Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是（ ）。

A 、P Q P ⋂=B 、P Q Q ⋂⊃C 、P Q Q ⋃=D 、P Q P ⋂⊂3. 不等式12x x-≤的解集为（ ）。

A 、[]1,0- B 、[)1,-+∝C 、(],1-∝-D 、(](),10,-∝-⋃+∝4. 如果奇函数()x f 在区间[]3,7 上是增函数，且最小值为5，那么在区间[]7,3--上是（ ）。

A 、增函数且最小值为5-B 、增函数且最大值为5-C 、减函数且最小值为5-D 、减函数且最大值为5-5. 已知函数224,04,0(){x x x x x x f x +≥-<=，若()()22f a f a -> ，则实数a 的取值范围是（）。

A 、()(),12,-∝-⋃+∝B 、()1,2-C 、()2,1-D 、()(),21,-∝-⋃+∝6. 已知函数()2481316(1)x x y x x ++=>-+的最小值是（）。

A 、1B 、32C 、2D 、37. 若关于x 的方程227(13)20x k x k k -++--=的两个实数根1x ，2x 满足12012x x <<<<，则实数k 适合的条件是（ ）。

A 、21k -<<-B 、34k <<C 、24k -<<D 、21k -<<-若34k <<8. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数[]()()0x f x ax x=-> 有且仅有3个实数解，则实数a的取值范围是（ ）。

中国人民大学附属中学2016届12月月考数学试题（理科）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1—8题的相应位置上．） （1）定积分121x dx -=⎰（ B ）（A ）0 （B ）23（C ）1 （D ）2 【考点】积分 【试题解析】【答案】B（2）已知全集U R =，集合M={|R}y y x ∈，1{21,}x N x x R -=≥∈，则()U M N ⋂=ð（ B ）（A ）[2,2]- （B ）[)0,1 （C ）[)2,1- （D ）[1,4] 【考点】集合的运算 【试题解析】，所以，故选B【答案】B（3）抛物线22x y =-的准线方程为（ B ）（A ）12x =（B ）18x = （C ）18x =- （D ）12x =- 【考点】抛物线 【试题解析】将抛物线化成标准方程为，所以，所以准线方程为，故选B【答案】B（4）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 【考点】等差数列 【试题解析】由已知为等差数列，首项为，公差为，所以，所以，故选D【答案】D（5）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是（ C ）.（A ）8π （B ）4π （C ）38π （D ）2π 【考点】三角函数的图像与性质 【试题解析】图象向右平移个单位后得得函数解析式为，因为图象关于轴对称，所以为偶函数，故（），即（），当时取得最小正值，故选C【答案】C（6）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，31()(1)e x f x x e +=+-.那么函数()f x 的极值点的个数是（ A ）（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5【考点】利用导数求最值和极值 【试题解析】 当时，令得，令得，令得，所以函数在单调递增，在单调递减，1所以为函数的一个极值点，又因为是定义域为的奇函数，所以也为函数的一个极值点，所以极值点的个数为2，故选A【答案】A（7）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（A）（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁【考点】合情推理与演绎推理【试题解析】假设甲说的是真话，即甲没有偷，则其他人说的是假话，此时丙与丁矛盾；假设甲说的是假话，即甲偷，则丁：我没有偷是真的，乙：丙是小偷是假的，丙：丁是小偷是假的，此时均成立，故选A【答案】A（8）在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D-中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足11PA PC?-的点P的个数为（ C ）（A）6 （B）8 （C）12 （D）241A21111+2412=4PA PC PO POPA PCPA PC C Aìï=-ï拮íï-=ïïî【考点】点线面的位置关系【试题解析】如图，连接，取的中点，连接，则有所以，即，所以，而，所以，即，所以为各棱中点，故有12个点，故选C【答案】C二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．)（9）函数12y x x=+的值域为_______________。

重庆南开中学高2016级高三（上）12月月考数学试题（文史类）I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、函数sin cos y x x =+最小正周期是（ ） A 、2πB 、πC 、2πD 、4π 2、已知i 为虚数单位，则2413i i+=+（ ）A 、5 B 、5 C 、25 D 、53、已知函数22y x x =-的定义域为区间A ，值域为区间B ，则A C B =（ ） A 、()1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,14、等比数列{}n a 中，0n a >，公比482,8q a a =⋅=，则267a a a ⋅⋅=（ ） A 、2B 、4C 、8D 、165、已知,a b R ∈，且24a b +=，则33ab +的最小值为（ ） A 、23B 、6C 、33D 、126、已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma nb +与2a b -共线，则mn=（ ） A 、12B 、2C 、12-D 、2-7、已知双曲线22219x y b-=的一个焦点在圆22280x y x +--=上，则双曲线的离心率为（ ）A 、43B 、53C 、11 D 、238、已知函数()y f x =满足()2'34f x x x =--，则()3y f x =+的单调减区间为（ ） A 、()4,1-B 、()1,4-C 、3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D 、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9、运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A 、2-B 、2C 、5D 、710、若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a的取值范围是（ ） A 、[]6,2-B 、()6,2-C 、[]3,1-D 、()3,1-11、一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积与剩余部分的体积之比为（ ） A 、1:2 B 、2:3 C 、4:5 D 、5:7 12、已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（ ） A 、276B 、358C 、143D 、378II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2016届重庆市一中高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}23|1,|1213nM x N n n Z x ⎧⎫=<=≤≤∈⎨⎬⎩⎭且，则N M = （ ）A ．{}2,3B ．{}3C ．⎡⎣D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由{}|1213={1,2,3}nN n n Z =≤≤∈且知N M = {}2,3，故选A ．【考点】集合的交集．2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P c P X c X <+=>+，则c =（ ） A ．43-B ．-1C ．0D ．4 【答案】C【解析】试题分析：因为(21)(5)P X c P X c <+=>+，由正态分布的对称性知，=21X c +与=5X c +关于对称轴3X =对称，从而21+5=23c c ++⨯，所以0c =，故选C ．【考点】正态分布．3．已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（ ）A ．5B ．3 D 【答案】B【解析】试题分析：因为(1)112x x i yi i +==+-，所以(1)2(1)x i yi +=+，从而2,1x y ==，z =，故选B ．【考点】复数的运算．4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900 【答案】A试卷第2页，总16页【解析】试题分析：由频率分布直方图知，支出在[)50,60的频率为10.10.240.360.3---=，所以301000.3n ==，故选A ． 【考点】频率分布直方图．5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A．2x y =± B．2y x =± C．4x y =± D．4y x =± 【答案】D【解析】试题分析：由题意知椭圆焦距和双曲线焦距相等，所以22223523m n m n -=+，即228m n =，所以双曲线的渐近线方程是y ===，故选D ． 【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的几何性质．6．在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ） A ．34 B ．14 C ．12 D ．23【答案】B【解析】试题分析：由题意，01,01x y <<<<，所以基本事件空间是边长为1的正方形面积，满足2y x ≥的事件区域是三角形区域，所以1u Ω=，1111224A u =⨯⨯=，根据几何概型得：14A u P u Ω==，故选B ． 【考点】几何概型．7．如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是由一个长宽高分别为3,3,4的长方体，高是1，底面直径为2的两个圆柱构成的组合体，其体积为2334211362V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A ．【考点】三视图．8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】试题分析：设每个人由少到多的顺序得到面包数分别为12345,,,,a a a a a ，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d ，则有1120510a d =+ ①；又最大的三份之和是较小的两份之和的7倍，得到：1111208a a d ++=⨯②，联立①②解得12a =，故选C ．【考点】1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式．9．若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-1B ．-2C ．52-D ．72- 【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.作直线0:l 20x y -=，再作一组平行于0l 的直线:l 2z x y =-，当直线l 经过点A 时，2z x y =-取得最小值，由21y x y x =+⎧⎨=-+⎩得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以min 17322z =--=-，故选D ． 【考点】线性规划．试卷第4页，总16页10．执行下图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720 【答案】C【解析】试题分析：初始条件6,4n m ==；运行第一次，133p =⨯=，2k =；运行第二次，13412p =⨯⨯=，3k =；运行第三次，134560p =⨯⨯⨯=，4k =；运行第四次，13456360p =⨯⨯⨯⨯=，不满足条件，停止运行，所以输出的360p =，故选C ．【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4k <”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 【考点】程序框图．11．已知函数())cos()sin()cos()2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC ⋅=（ ）A ．299π+B ．299π-C ．244π+D ．244π-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2(3s i n ()o s ()s i n (22f x x x xx x x πππ=--++-=-1cos 212sin(2)262x x x π-=-=+-，所以T π=，由正弦型函数图象的对称性知：AB AC = ，所以2cos AB AC AB BAC ⋅=⋅∠ ，设AB 、AC 分别交对称轴:l 12y =-于M 、N 点，过A 做AE l ⊥于E ，由周期知4ME π=，由()f x 知1AE =，在直角三角形AME 中，AM =，1cos MAE AM ∠=，又222c o s c o s 22c o s 11B A CM A E M A E AM ∠=∠=∠-=-， 所以2222222cos 4(1)8484(1)4164AB AC AB BAC AM AM AM ππ⋅=⋅∠=-=-=-+=-，故选D ．【考点】1、诱导公式；2、二倍角的正弦、余弦公式；3、两角和正弦公式；4、正弦型函数图象与性质；5、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是向量的数量积、诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式、两角和正弦公式及正弦型函数的图象与性质，属于难题．解题时一定要注意三角函数化简要准确，得到正弦型函数之后，充分考虑周期，对称性等性质．在求向量的数量积时，注意平面几何的运用，通过直角三角形的处理，求得AM 及1cos MAE AM∠=，再利用2AB AM =，cos cos 2BAC MAE ∠=∠进行处理．12．已知函数42421()()1x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．24k -<<B ．142k -<< C ．21k -<≤ D ．112k -<≤【答案】B 【解析】试题分析：当x ≠时，4224242221(k 1)1()()11111x kx x k f x k R x x x x x x++--=∈=+=+++++++，令2211t x x =++，则3t ≥，所以①10k -=时， 即1k = ，()()()1f a f b f c ===，满足题意； ②10k ->时，当0x ≠时，111113k k y t --<=+≤+，又0x =时，(0)1f =，所以11()13k f x -≤≤+，所以2(1)2()()23k f a f b -≤+≤+，11()13k f c -≤≤+，由()()f(c)f a f b +>恒成立，所以11+23k -<，所以14k <<；③10k -<时，111113k k y t --+≤=+<，所以11()13k f x -+≤≤，2(1)2()()23k f a f b -+≤+≤，11()13k f c -+≤≤，由题意，2(1)213k -+>，所以112k >>-，综上故142k -<<，试卷第6页，总16页故选B ．【考点】1、函数的值域；2、基本不等式；3三角形的性质；4、分类讨论． 【方法点晴】本题主要考查的是利用基本不等式研究函数的值域及根据值域研究构成三角形的问题，属于难题．本题需要将均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，转化为任意两边之和大于第三边，即()()f(c)f a f b +>，然后利用()()f a f b +的最小值大于f(c)的最大值，所以这类问题重点转化为函数最值及恒成立问题，难度较大．二、填空题13．已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________． 【答案】-1【解析】试题分析：由题意()21a f x x x '=++，所以(0)f a '=，又切线方程为y x =-，所以1a =-，所以答案应填：1-．【考点】导数的几何意义． 14．已知51(1)(1)x x-+ 的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________．【答案】2【解析】试题分析：由二项式展开式的通项知：51(1)(1)x x-+ 的通项为1551(1)()r r r r r C x C x x x--=-，所以51(1)(1)x x-+ 的展开式为0011102233244355555C ()C ()C ()C ()C ()x x x x x x x x x x --+-+-+-+-5545C ()x x +-，因为2355C C =，所以展开式中不含有2x 的项，所以答案应填：2．【考点】二项式定理．15．设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ∆的面积为2，AB 边上的中且cos sin b a C c A =+，则ABC ∆中最长边的长为________．【答案】4【解析】试题分析：因为c o s s i n b a C c A =+，根据正弦定理得：sin sin cos sin sin B A C C A =+，所以sin(A C)sin cos sin sin A C C A +=+，展开整理得：tan 1A =，因为A 是三角形内角，所以4A π=，因为1sin 224s bc π==，解得bc =，设中点为M ，在A M C ∆中，由余弦定理得：2264c b +=，所以22cb +=+bc =2,b c ==4b c ==，所以最大的边是4，所以答案应填：4．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式；4、余弦定理． 【方法点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和正弦公式和三角形面积公式，属于难题题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．当确定角A 后，充分使用这一条件，得出bc =22c b +=43A ππ=<，必定不是最大角，从而a 不是最大边．16．如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10x y y =∈．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】试题分析：设小球截面球心)b （0，，抛物线上任意点)x y （，，则点到圆心距离的平方是222()r x y b =+-2222222(1)y y by b y b y b =+-+=+-+，当2r 的最小值在(0,0)处取得时，小球触及杯底，即y 0=时二次函数取最小值，所以对称轴y 10b =-≤，解得：01b <≤，所以球的半径最大值为1，所以答案应填：1． 【考点】1、圆的性质；2、抛物线的的性质．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数单调性的应用、抛物线的性质及圆与圆锥曲线的的综合，属于难题．解题时要把球与酒杯底部相切，转化为抛物线上动点到球心距离的最小值在抛物线顶点取得，进而转化为二次函数的最小值在0y =处取得，从而二次函数对称轴在0y =左侧，求出圆的圆心范围，从而得出半径的最大值，注意转化的数学思想在解题中的应用． 17．（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该试卷第8页，总16页（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量，独立性检验临界值表为：【答案】（1）15%；（2）有关，理由见解析；（3）分层抽样较好，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）由22⨯列联表知需要帮助的有75人，共500人，占比7515%500=；（2）根据独立性检验的公式计算2K ，根据检验临界值表得出结论；（3）由题意男性女性需要帮助的比例有显著差异，所以应采取分层抽样． 试题解析：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．（2）22500(5022525200)5006.6352502507542551K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【考点】1、22⨯列联表；2、独立性检验；3、分层抽样．三、解答题18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈． （1）求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足13()2n na b n a -= ，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13()2n n a -=；（2）43t ≥． 【解析】试题分析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=- ，当4n ≥时，10n n b b -->，所以数列是递减数列，此时3n b b >，当3n =时，23b b =，又12b b <，所以数列中最大的项是23b b =，从而2t b ≥即可．试题解析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=， 所以数列{}n a 是以1为首项，32为公比的等比数列，所以13()2n n a -=． （2）有已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=-，所以max 234()3n b b b ===，则43t ≥． 【考点】1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题． 19．我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146天． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图及中位数概念知，中位数为41；（2）由二项分布知，(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，441.610E ξ⨯==；（3）试卷第10页，总16页一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η ，得到23651465E η=⨯=（天）．试题解析：（1）10天的中位数为(3844)/241+=（微克/立方米）（2）由于(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，即得分布列如下：所以441.610E ξ⨯== （3）一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η，得到23651465E η=⨯=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天． 【考点】1、茎叶图；2、样本的数字特征（中位数）；3、二项分布；4、分布列、期望．20．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C的离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T ． 【解析】试题分析：（1）因为直线截圆的弦长为1，所以1b =，又离心率e =，可求a =（2）假设存在(,)T u v ，斜率存在时设直线方程13y kx =-，联立直线与椭圆，根据直线与圆锥曲线的位置关系得12212189kx x k +=+，12216189x x k -=+，因为以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以0TA TB ⋅= ，将TA TB ⋅ 表示为12x x +，12x x ，然后代入整理得：222222(666)4(3325)062u v k ku u v v k +--+++-=+恒成立，即不论k 取何值，22222(666)4(3325)0u v k ku u v v +--+++-=，因此系数及常数项恒为0，解得0,1u v ==，当斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ．试题解析：（1）则由题设可求的1b =，又e =，则a =C 的方程是2212x y +=．（2）解法一：假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理得22(189)12160k x k +--=．设点A B 、的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189kx x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为111222(),()TA x u y v TB x u y v =--=-- 及112211,33y kx y kx =-=-，所以2121()3v T A⋅=222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-+．当且仅当0TA TB ⋅= 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266604033250u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩，解得0,1u v ==，此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T ．当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件．解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为试卷第12页，总16页22116()39x y ++=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． ．．．．．7分 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆方程并整理得22(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=- ，所以有2222121212121224161616163216()1(1)()039189k k k TA TA x x y y y y k x x k x x k ---++⋅=+-++=+-+==+ ，所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点(0,1)T ，综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T 满足条件．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以AB 为直径的圆恒过定点T ，利用圆的几何性质知TA TB ⊥ ，从而只需计算0TA TA ⋅= 恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．21．已知存在实数,,a b c和,,αβγ使得32()f x x ax bx c =+++()(x x x αβγ=---． （1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值；（2）当11()32αβγαβ-=>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成立，求()f m 的最值．【答案】（1）3；（2）最大值486，无最小值． 【解析】试题分析：（1）当1a b c ===-时，32()1()()()f x x x x x x x αβγ=---=---，展开，对应项系数相等，所以1αβγ++=，1αββγγα++=-，从而2222()2()3αβγαβγαβ++=++-++；（2）由存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n++-=对任意x R ∈恒成立，可以证明(,)m n 是函数对称中心，又2()320f x x ax b '=++=的解12,x x 是()f x 的极值点，(,)m n 是对称中心，所以1223x x a m +==-，计算()()()()()3333a a a a f m f αβγ=-=------，又a αβγ++=-，13αβ-=，代入整理得： [][][]21()3()23()116()27f m γβγβγβ=---+-- ，换元得：21()(32)(31)(16)27f m t t t =-+-，利用导数求其最值． 试题解析：（1）由题意1,1a b αβγαββγγα++=-=++==-2222()2()3αβγαβγαββγγα⇒++=++-++=（2）由题意知()y f x =关于(,)m n 中心对称，所以m 取两个极值点的平均值，即3a m =-，则有 [][][]22()()()()()33331(2)(2)(2)2713()23()116()271(32)(31)(16)27a a a a f m f t t t αβγβγααγβαβγγβγβγβ=-=------=+-+-+-=---+--=-+- 其中11()26t γβαβ=->-=，令()(32)(g t t t t=-+-，则2()9(1861g t t t '=---，所以()g t在1(6上递增，在)+∞上递减．试卷第14页，总16页由此可求出max 21()27f m g ==，()f m 无最小值． 【考点】1、利用导数研究函数的最值；2多项式的性质；3、函数图像的中心对称性；4换元法．【方法点晴】本题主要考查的是多项式恒等、函数图象的中心对称性质、利用导数研究函数的最值，属于难题．本题最大特点在于运算，利用多项式恒等得,,a b c 与,,αβγ关系，222αβγ++变形为2()αβγ++与αββγγα++的形式，求解，而第二问根据中心对称的性质处理m ，对()()3a f m f =-进行大量变形，换元后利用导数求最值，对思维能力，运算能力要求较高．22．如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．（1）求AC AB的值； （2）若BC =，求2O 到弦AB 的距离．【答案】（1）23；（2）１． 【解析】试题分析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，由圆直径性质得：2ABD ACE π∠=∠=，所以//BD CE ，利用平行线分线段成比例求解；（2）RT ABD ∆中，解出030A ∠=，再利用直角三角形求解．试题解析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，∵圆1O 与圆2O 内切于点A ，∴点2O 在AD 上．∴AD ，AE 分别是，圆1O 与圆2O 的直径．∴2ABD ACE π∠=∠=．∴//BD CE ． ∴23AC AD AB AE ==． （2）若BC =，由（1）问结果可知AB =6AD =，所以在RT ABD ∆中，030A ∠=，又由22AO =，推得2O 到弦AB 的距离为1【考点】1、圆的直径的性质；2、平行线判定与性质；3、直角三角形中角的三角函数．23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式；（2）写出过点M 的直线l 的标准参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆的方程，得：210t -=，利用参数的几何意义表示MA MB +，从而求解．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=，（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上l 的标准参数方程为221x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．代入圆方程得：210t -=．设A B 、对应的参数分别为12t t 、，则12t t +=121t t =．于是1212MA MB t t t t +=+=+=【考点】1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24．已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <． 【答案】（1）02x <<；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）利用绝对值的性质()()f x a a f x a <⇔-<<求解即可；（2）试卷第16页，总16页 将21x -用1x y --和21y +表示出来，得：()212(1)(21)f x x x y y =-=--++，再利用绝对值的性质a b a b +≤+证明．试题解析：（1）()1121102f x x x x x <+⇔-<-<+⇔<<．（2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++115212121366x y y ≤--++≤⨯+=<． 【考点】1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．。