2018届广东省华附、广雅、省实、深中高三上学期期末四校联考理科数学试题及答 精品

广东省2018届高三年级四校联考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故选.2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.3. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. 21B. 17C. 14D. 5【答案】B【解析】作可行域为如图所示的，其中，设，则，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点时，取得最大值，．故选.4. 已知两个单位向量的夹角为，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B，所以当时，取得最小值．故选.解法2：如图，，因为，所以点在直线上运动，则，显然，当时，取得最小值，此时．故选.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（）A. 32B. 64C. 65D. 130【答案】C【解析】程序运行循环时变量值为：；；；，退出循环，输出，故选C．6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.7. 已知函数，若函数为奇函数，则的值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】，令，得，又，所以函数的对称中心为，所以函数的对称中心为，根据题意可得，解得，所以．故选.8. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，，当时，或，，两式相减，得或，，即或，，又因为，所以的最小值为．故选.解法2：直接令，得，解得．故选.9. 已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，所以，作出函数的图像，由图可知，要使得方程在区间上有两个根，且，则，即．故选.10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，连结，分别交抛物线于点，且三点共线，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】直线的方程为，将其代入，解得，故；直线的方程为，将其代入，解得，故，又，所以，因为三点共线，所以，即，解得．故选.11.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.12. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取中点，连接，则，，所以，设外接圆圆心为，半径为，则所以．同理可得：的外接圆半径也为2，因为，所以是等边三角形，，即二面角为，球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，所以，所以，即，所以外接球的表面积．故选.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_____________．【答案】【解析】，将代入，解得：．14. 的展开式中的系数为_____________．【答案】1【解析】，所以展开式中的系数为．15. 过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_____________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意可得，所以离心率，所以离心率的取值范围是．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，考查离心率和的关系，考查数形结合的数学思想方法.由于题目所给过右顶点的直线和双曲线右支交于两点，转化为渐近线的斜率小于该直线的斜率.双曲线的渐近线，在图像上显示的即是函数的图象无限的接近渐近线.在双曲线中，在椭圆中.16. 如图在平面四边形中，，则四边形的面积为_____________．【答案】【解析】连接，则，此时，，所以，取中点，连接，则，，，所以．【点睛】本题考查不规则四边形面积的求法，考查余弦定理解三角形.由于四边形是不规则的，所以要将求四边形面积的问题转化为求三角形面积的问题来求解.在连接将四边形分成两个三角形后，利用余弦定理和三角形内角和定理，结合解三角形与三角形面积公式，可求得面积.三、解答题：17. 已知等差数列的前项和为，，．（1）求的值；（2）求数列的前项和．【答案】（1）1（2）【试题解析】（1）因为，代入，可得：，整理可得，因为，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，当时，，当时，，因为，所以，若数列为等差数列，则有，解得．（2）由（1）可得，所以所以，即．18. 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．【答案】（1）（2）应选方案二．【解析】【试题分析】中位数是左右两边小长方形面积为的地方.（1）由于乙图中频率分成个部分，故将水位频率和对应级灾害的频率对应起来，利用相互独立事件概率计算公式，将发生级灾害的概率计算出来.（2）分别计算方案、方案和方案对应的利润分布列及数学期望，由此判断出方案较合理. 【试题解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知．的分布列为X1500 －100 －1000P 0.81 0.155 0.035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（1）知，，的分布列为：X2460 －1040P 0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，且平面平面，所以，所以．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以．分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以．记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以，记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．20. 已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为．（2）【解析】【试题分析】（1）根据离心率可有，依题意可知为椭圆的焦点，故.当位于椭圆上顶点时，面积取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圆和椭圆的方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线方程为，利用圆和直线相切求得的等量关系式，利用韦达定理和弦长公式计算出弦长并利用配方法求得弦长的取值范围.当直线斜率不存在时，直线的方程为，可直接得到的坐标求出弦长.【试题解析】（1）由题意得，解得：①因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，设，则，所以，当时，，代入①解得，所以，所以，圆的方程为，椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，，令，则，所以，所以，所以②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，综上，的取值范围是．【点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【答案】（1）1（2）存在【解析】【试题分析】（1）对函数求导后得到函数的单调区间，利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点.（2）原命题等价于，存在无数个，使得成立，求得的表达式，构造为函数，利用导数证得存在负值即可.【试题解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．……由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记…因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②…由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解，所以对任意，函数存在极大值点为．…【点睛】本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】（1）对于曲线直接代入公式即可得到极坐标方程，对于先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示，然后利用辅助角公式化简求得最大值.【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…23. [选修4—5：不等式选讲]已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将变为分段函数来求解不等式.（2）利用绝对值不等式的性质求得的最小值为，且，由解求的的取值范围.【试题解析】（1）当时，，所以或或，解得或，因此不等式的解集的（2），且，所以，所以存在，使得，等价于，所以，解得，所以实数的取值范围是…。

广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3} 2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣67．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．1310．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是．14．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= ．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，然后进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴∁R M={﹣2≤x≤2}；∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}．故选A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案．【解答】解：复数Z=，对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q 可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．154【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的框图，我们可知程序的功能是利用循环结构，累乘变量i的值，由于循环的初值为12，终值为10，步长为1，故输出结果为S=12×11的值．【解答】解：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．∵S=12×11=132．故选：B．5．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．故选：C．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【分析】由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f （3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B7．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．而a n+a n+1+…+a n+12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．故选：D．8．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC 交BC于点F，可得，，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，则，，∴点P满足=+，∴，满足||=2||，又||=t||，∴t=2．故选：C．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．13【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），令x=﹣c，则﹣=1，则有y=±，∴|AF|=，∴|EF|=a+c，∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2故选B．10．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z m a x=8．故选：A．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△A B C=，∴V三棱锥S﹣A B C==．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是log m2＜log n2 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可【解答】解：∵2m＞2n＞22，∴m＞n＞2，∴log2m＞log2n＞1即＜，∴log m2＜log n2故答案为：log m2＜log n214．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比，即可得到结论．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，∴，即（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2，即a n=2n﹣1，∴，又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，∴=3n﹣1，即k n=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2==≈1.167＜5.024；∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，故其概率为P（A）==0.4．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣PEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…∵AD⊂平面PAD，∴PAD⊥底面PCD …（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离…又∵PD=DC，E是PC的中点∴PC⊥DE由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．又∵PC∩BC=C∴DE⊥面PBC．…∴，，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC∴∴…20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h （a）m i n．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知f′（x）=﹣2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴解得，∴，当≤x≤e时，令f′（x）＞0得＜x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜e，∴f（x）在（，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）m i n．∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，]上单调递增，∴h（a）m i n=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．∵1＜x＜e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）m i n=﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e2]．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x ＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈∅；当2＜x＜3时，f（x）≤﹣即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，则有≤x＜3．则原不等式的解集为[，3）∪[3，+∞）即为[，+∞）；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有f（x）的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，即或，即有a∈∅或a≤．则a的取值范围是（﹣∞，]．。

华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学命题学校：广东实验中学 定稿人：杨晋鹏 张淑华本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足i z i −=+1)1(，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且)32)b a b a −⊥+（（，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．43π 5.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.321B.27 C. √ 3 D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．)cos 1(RS R +B ．)cos 1(R S R −C ．R S R sin 2D ．RS R sin7.若1ln )1)1=−=−b c e c a（（则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列}{n a 的前n 项和n S ，且1112881−−−++=n n n n a n a a a ，),2(+∈≥N n n ，若11=a ，则 A ．3252024<<S B ．2522024<<S C ．2232024<<S D ． 2312024<<S 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则)1(log log 1+<+b b a a10. 已知圆C 1：122=+y x ，圆C 2：222)4()3(r y x =++−）（0>r ，P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为0186=−−y xC .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠不可能等于 π211.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线1422=−y x ，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数)3(sin )(2πω−=x x f (ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数34)(2−+−−=x x x f 和函数x axe ax x g −=)ln()( 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

【高三】广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试试卷说明：届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．若集合，，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D. 充分不必要条件2. 若，，，则A．B． C．D．3．函数的部分图象如图所示，则A． B. C. D. 4．已知圆及以下３个函数：①；②；③其中图像能等分圆面积的函数有A．个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 展开式中的常数项为A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B. C. D. 7. 已知数列满足：对于任意的，则A． B. C. D. 8．点是平面内的定点,点与点不同)的“对偶点”是指：点在射线上且厘米.若平面内点在某不过点的直线上,则它们相应的“对偶点”在 A．一个过点的圆上 B．一个不过点的圆上C．一条过点的直线上 D．一条不过点的直线上110分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取名学生．10. 若向量，且与的夹角为则 . 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 . 12. 已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线围成的平面区域的面积为则______ ， . 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选做题）如图，过点作的外接圆的切线交的延长线于点.若，，则 . 15．在极坐标系中，点关于直线的对称点的极坐标为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列的前项和为记（1）若数列是首项与公差均为的等差数列，求；（2）若且数列均是公比为的等比数列，求证：对任意正整数，20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；② (1) 求曲线的方程;(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求函数的零点；（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围；（3）已知且函数在上是函数，探究函数的单调性.届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．题号12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知4．【解析】圆关于原点对称. 函数与函数是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称, 能等分圆面积；而是上的偶函数，其图像关于轴对称，且当时不能等分圆面积5. 【解析】展开式中的通项为为常数项的充要条件是常数项6．【解析】 7. 【解析】由数学归纳法可证明:当为大于的奇数时, ；当为正偶数时, 故8．【解析】过作与直线垂直的直线以为原点，直线为轴，单位为厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线,是直线上任意一点,它的“对偶点”为,则存在使得,即,又,消去,得.故在过点的圆上.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：.10. 【解析】由与的夹角为知,11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为12.【解析】抛物线的焦点为,知.13. 【解析】如图,在,上均单调递增, 由及知的取值范围14. 【解析】由知，解得由得，即15. 【解析】如图，在极坐标系中，设关于直线的对称点为则，且从而即三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.解：(1) (2)分 (4)分………………………………………………………6分(2)(解法一) ………………………7分................................................ 9分...................................................... 10分, ............12分 (2)(解法二) (7)分 (9)分……………………………………………………… 10分,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分……10分…11分………………………12分17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望解：（1），……………………………………………………………2分………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以随机变量的分布列为…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小. (1）证明：,分别为，的中点，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设……………………………………7分,，，，，，, ,.，，分别为，，的中点，，，,, …… ………分（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得.…… …………………10分设为平面的一个法向量,则,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一个法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一个法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分（解法) 延长到使得连，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，分别为，的中点平面，平面，平面.………7分平面平面平面.........分平面与平面所成锐二面角相等. ... ...10分平面平面平面的平面角. (12)分… …………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分19.（本题满分1广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。

绝密★启用前 试卷类型：A广东省2018届高三年级四校联考理科数学本试卷共6页，22小题，满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案． 答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．集合2{|560}A x x x =-+≥ ，{|210}B x x =->，则A B =A ．(,2][3,)-∞+∞B ．1(,3)2 C ．1(,3]2 D ．1(,2][3,)2+∞ 2．i 为虚数单位，则复数2iiz -=在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若实数,x y 满足条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23x y +的最大值为A ．21B ．17C ．14D ．5 4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，k ∈R ，则|k -a b|的最小值为A ．34 BC ．1D ．325．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的 “秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法． 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的 值分别为4，2，则输出v 的值为 A ．32 B ．64 C ．65 D ．1306．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A ．23B ．1C ．43D ．837．已知函数3214()33f x x x x =+++， 若函数()y f x a b =++为奇函数，则a b +的值为 A ．5- B ．2- C ．0 D ．28．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>）图象的一个对称中心为π(,0)2，且π1()42f =，则ω的最小值为A ．23 B ．1 C ．43D ．2 9．已知关于x 的方程πsin(π)sin()2x x m -++=在区间[0,2π)上有两个实根1x ，2x ，且12||πx x -≥，则实数m 的取值范围为正视图 侧视图俯视图A．( B．( C． D ．[0,1) 10．已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，O 为坐标原点，点(,9)2pM -，(,1)2pN --，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点A ，B ，且A ，B ，F 三点共线，则p 的值为A ．1B ．2C ．3D ．411．e 为自然对数的底数，已知函数1,1()8ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩,则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是A ．1a <-或21e a =或98a > B ．1a <-或2118e a ≤≤ C ．1a >-或219e 8a << D ．1a >-或98a >12．在三棱锥P ABC -中，2PA PB AC BC ====，AB =1PC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A ．4π3 B ．4π C ．12π D ．52π3第II 卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．如图是一组数据(,)x y 的散点图,经最小二乘法计算，y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ1y b x =+，则ˆb = ． 14． 41(1)(1)x x x-+-展开式中3x 的系数为 ．15．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为 ．16．如图在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，150D ∠=︒， 24AB BC ==，则四边形ABCD 的面积为 ．A DBC三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =λ（0>λ），11n a +=()N n *∈． （I ）求λ的值； （II ）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（I ）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元； 若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：乙甲级1级频率40试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（I ）证明：MN PC ⊥；（II ）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，圆O ：222x y r +=(0)r >与x轴交于点M 、N ，P 为椭圆E 上的动点，||||2PM PN a +=，PMN ∆ （I ）求圆O 与椭圆E 的方程；（II ）圆O 的切线l 交椭圆E 于点A 、B ，求||AB 的取值范围．CA DBPHMN21．（本小题满分12分）已知函数()(1)e 16xa f x x =--+,其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,常数0a >． （I ）求函数()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数；（II ）函数()F x 的导数()(e )()x F x a f x '=-，是否存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点? 说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos ,:2sin .x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数，[0,2π)ϕ∈)．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （I ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（II ）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点, 点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间π[0,]2上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()21f x x x a =-++，其中a ∈R ．（I ）当a =()6f x ≥的解集；（II ）若存在0R x ∈，使得()0f x a <4，求实数a 的取值范围．广东省2018届高三年级四校联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13． 0.8； 14．1； 15．； 16． 6三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17．（本小题满分12分）［解析］（I ）因为11n n n a S S ++=-，代入11n a +=可得：11n n S S +-=，………………………………………………………………………………………2分整理可得211)n S +=，因为0n S >1=，……………………3分所以数列1的等差数列，……………………………………4分 (1)1n n =-=，2(1)n S n =，……………………………5分当2n ≥，123n n n a S S n -=-=+，…………………………………………………6分当1n =，1a λ=，……………………………………………………………………………7分 因为， 12n n a a +-=，所以，若数列{}n a 为等差数列，则有2112a a λ-=-=，解得1λ=．………………………………………………………………………………………8分（II ）由（I ）可得21n a n =+，所以111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==⨯-++++,…………………………………10分所以12231111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+， 即111111111()235572123646n T n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-+++． ………………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）［解析］（I ）依据甲图,记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A , “水位在40米至50米之间” 为事件2A , “水位大于50米” 为事件3A ，它们发生的概率分别为：1()(0.020.050.06)50.65P A =++⨯=,2()(0.040.02)50.30P A =+⨯=, 3()0.0150.05P A =⨯=.………………………………………………………………………………………3分记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ， “水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以1()0.1P B =,2()0.2P B =,3(B )0.6P =.……………………………………………4分 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B .112233()()()()P B P A B P A B P A B =++112233()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=.估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155，…………………………………6分 （Ⅱ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X (万元)的取值为：500，100-，1000-，由（I ）知1(500)0.81P X ==，1(100)0.155P X =-=，1(1000)0.035P X =-=， 1X 的分布列为，则该企业在8月份的利润期望1()5000.811000.15510000.035E X =⨯-⨯-⨯=354.5 (万元) ……………………8分选择方案二, 则2X (万元)的取值为：460， 1040-，由（I ）知2(460)0.965P X ==，2(1040)0.035P X =-=， 2X 的分布列为，则该企业在8月份的平均利润期望2()4600.965(1040)0.035407.5E X =⨯+-⨯=(万元)………………………………………………………………………………………10分选择方案三, 则该企业在8月份的利润为：3()500100400E X =-=(万元).………11分 由于231()()()E X E X E X >>，因此企业应选方案二.……………………………12分 19．（本小题满分12分）（I ）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点， 因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O = 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥， 因为//BD 平面AMHN ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．………………………………………………………………5分CADBPHM N O（II ）由（I ）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ∠=︒，所以12AO PA =，PO PA =，因为PA =，所以BO PA =．..……………………………8分 以OA ，OB ，OP分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 记2PA =，所以(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(1,0,0)C -，(0,D ，P，1(2H -，所以(0,3DB =，3(,0,22AH =-(1,3AB =- ，(AP =- ． 记平面AMHN 的法向量为1111(,,)n x y z = ，所以1100n DB n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11103302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 令11x =，解得10y =，1z =1n =，记平面PAB 的法向量为2222(,,)n x y z = ，所以2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222200x y x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 令21x =，解得2y =2z =2n = ，..………………………11分 记二面角P AM N --的大小为θ，所以，121212cos |cos ,|||13||||n n n n n n θ⋅=<>==．C所以二面角P AM N --的余弦值为13．………………………………………12分20．（本小题满分12分） ［解析］（I）由题意12a =，解得，2b a =，①，……………………1分 因为，||||2PM PN a +=，所以，点M 、N 为椭圆的焦点，所以，222214r a b a =-=， ……………………………………………………………………………………2分设00(,)P x y ，所以0b y b -≤≤，因为，001||||2PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0||y b =时，max 1()2PMN S ab ∆==………………………………………………3分 代入①解得2a =，所以，b =1r =，…………………………………………4分所以，圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………5分 （II ）（1）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)A x k x m +，22(,)B x k x m +，因为，直线l 与圆O 相切，1=，即221m k =+，②……………………………………………6分 联立221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得： 222(43)84120k x kmx m +++-=， 因为1x ，2x 为此方程的根，22248(43)48(32)0k m k ∆=+-=+>， 所以，122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+③，因为，12|||AB x x =-=，代入③式可得：2||43ABk=+，………………………………8分代入②式可得：2||4ABk==+，所以，||AB=令2134tk=+，所以，214334tk<=≤+，所以，||AB=，43t<≤，因为，||AB=3||AB<≤……………………11分（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=±，解得：3(1,)2A±，3(1,)2B ，或3(1,)2A-±，3(1,)2B- ，所以，||3AB=.综上，||AB的取值范围为[3,]3.………………………………12分21．（本小题满分12分）［解析］（I）()()e6xaf x x'=-，……………………………………………………1分当06ax<<时，()0f x'<，()f x单调递减；当6ax>时，()0f x'>，()f x单调递增；…………………………………………………………………………………2分因为()(0)066a af f<=-<,(1)106af+=>，所以存在(,1)66a ax∈+,使()0f x=；且当0x x<<时，()0f x<,当x x>时,()0f x>.故函数()f x的有1个零点,即x．………………………………………………………4分（II）（法一）当1a>时,ln0a>.因为当(0,ln)x a∈，e0x a-<；当(ln,)x a∈+∞，e0x a->．由（I）知，当(0,)x x∈，()0f x<；当(,)x x∈+∞，()0f x>．下证:当(1,e)a ∈时,0ln a x <, , 即证(ln )0.f a <2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a a =--+=--+， 记2()ln 16x g x x x x =--+，[1,e]x ∈……………………………………………………………6分 ()ln 3x g x x '=-,3()03x g x x-''=>，所以()g x '在(1,e)单调递增， 由1(1)03g '=-<，e (e)103g '=->，……………………………………………………………7分 所以存在唯一零点0(1,e)t ∈，使得0()0g t '=，且0(1,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；0(,e)x t ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增. ……………………………………………………………8分 当(1,e)x ∈时, {}()max (1),(e).g x g g <……………………………………………………………9分 由1(1)06g =-<,26e (e)06g -=<,得当(1,e)x ∈时, ()0.g x < 故0(ln )0,0ln .f a a x <<<……………………………………………………………11分当0ln x a <<时,e 0x a -<,()0f x <,()(e )()0x F x a f x '=->，()F x 单调递增； 当0ln a x x <<时,e 0x a ->,()0f x <,()(e )()0x F x a f x '=-<，()F x 单调递减.所以存在(1,e)(1,4)a ∈⊂时,ln a 为()F x 的极大值点．………………………………12分 （II ）（法二） 因为当(,ln )x a ∈-∞，e 0x a -<；因为当(ln ,)x a ∈+∞，e 0x a ->．由（I ）知，当0(,)x x ∈-∞，()0f x <；因为当0(,)x x ∈+∞，()0f x >．（0x 的意义同（I ））存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点，即存在无数个(1,4)a ∈，使得0ln a x <成立，①………………………………………………………………6分 由（I ），问题①等价于，存在无数个(1,4)a ∈，使得(ln )0f a <成立， 因为，2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a a =--+=--+， 记2()ln 16x g x x x x =--+，(1,4)x ∈………………………………………………………………………7分()ln 3xg x x '=-，(1,4)x ∈， 因为，3()03xg x x -''=>，所以()g x '在3(,2)2单调递增， 由331()ln 0222g '=-<，2(2)ln 203g '=->， 所以存在唯一零点03(,2)2t ∈，使得0()0g t '=，且03(,)2x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0(,2)x t ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以，3[,2]2x ∈，2min 0000(())()ln 16t g x g t t t t ==--+，②…………………………………9分由0()0g t '=，可得00ln 3t t =， 代入②式可得2min 00(())()16tg x g t t ==-+，， 当03(,2)2t ∈，220000(3)11()106628t t g t t -=-+=-≤-<，…………………………………11分 所以，必存在3(,2)2x ∈，使得()0g x <，即对任意3(,2)2a ∈，(ln )0f a <有解， 所以，对任意3(,2)2a ∈，函数 ()F x 存在极大值点为ln a ．…………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）［解析］（I ）曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，……………………………3分即πsin()42ρθ+=…………………………………………………………3分曲线2C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240.x y x +-=曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.…………………………………………6分（II ）由（I ）知1cos sin A OA ρθθ==+,4cos B OB ρθ==,…………8分π4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)2)4OBOA αααααα=+=++=++………………………………………………………………………………10分由π02α≤≤知ππ5π2444α≤+≤,当ππ242α+=,即π8α=时, OBOA有最大值2+………………………………………………………12分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）［解析］（I）当a =,()21,2,123,21,21, 1.x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪=-++=-<≤⎨⎪+≥⎪⎩()26216x f x x ≤-⎧≥⇔⎨--≥⎩或2136x -≤<⎧⎨≥⎩或1216x x ≥⎧⎨+≥⎩72x ⇔≤-或52x ≥.…………4分 因此不等式()6f x ≥的解集为72x x ⎧≤-⎨⎩或52x ⎫≥⎬⎭.………………………6分 （II ）()22221(1)()11f x x x a x x a a a =-++≥--+=+=+, 且()211f a =+,所以()2min 1.f x a =+……………………………………10分 存在0R x ∈，使得()04f x a <等价于224141022a a a a a >+⇔-+<⇔<<所以实数a的取值范围是(2…………………………………12分。

2017-2018届高三上学期期末华附、省实、
广雅、深中四校联考
理科综合
一、单项选择题（本大题共16小题，每小题4分。

共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
选对得4分，选错或不答得0分。

）
1.下列细胞中内质网和高尔基体相对较多的是
A．蓝藻 B．洋葱鳞片叶外表皮细胞C．浆细胞 D．记忆B细胞
2. 下图为体内部分细胞的物质运输情况，下列分析错误的是
Ａ．图①表示小肠绒毛上皮细胞吸收甘油的速度随消化道内
甘油浓度变化的情况
Ｂ．图②表示神经元兴奋时，Na+流入神经元的速度随细胞内
外浓度差的影响
Ｃ．图②表示小肠绒毛上皮细胞吸收葡萄糖的速度随消化道
内葡萄糖浓度变化的情况
Ｄ．图③表示胰岛B细胞分泌胰岛素的速度随细胞内O2浓度变化的情况。

⎨⎩绝密★启用前 试卷类型：A广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上． 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案． 答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用 铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错 涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．集合 A = {x | x 2 - 5x + 6 ≥ 0}， B = {x | 2x -1 > 0} ，则 A B =A ．(-∞, 2] [3, +∞)B ．( 1 , 3)2 C ．( 1, 3]2 D ．( 1, 2] [3, +∞)22． i 为虚数单位，则复数 z = 2 - i在复平面上对应的点位于iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⎧ x + y ≤ 6, 3．若实数 x , y 满足条件 ⎪x - 3 y ≤ -2 , ，则 2x + 3y 的最大值为 ⎪ x ≥ 1,A ． 21B ．17C ．14D ．54．已知两个单位向量 a ， b 的夹角为120︒ ， k ∈ R ，则| a - kb | 的最小值为A ． 34B C ．1D ． 325．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n ， x 的 值分别为 4 ， 2 ，则输出 v 的值为 A ． 32B ． 64C ． 65D ．1306．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为2A ．3B ．14 C ．38 D ．正视图侧视图37．已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + x 2 + x + 4，33若函数 y = f (x + a ) + b 为奇函数，则 a + b 的值为俯视图A ． -5B ． -2C ． 0D ． 28．已知函数 f (x ) = sin(ωx + ϕ)（ω > 0 ）图象的一个对称中心为 ( π , 0) ，且 f ( π ) = 1，则ω 的最小值为2 A ．34B ．1C ．32 4 2D ． 29．已知关于 x 的方程 sin(π - x ) + sin( π + x ) = m 在区间[0, 2π) 上有两个实根 x ， x ，且 21 2| x 1 - x 2 |≥ π ，则实数m 的取值范围为⎨ A ． (B ． (C ．D ．[0,1)10．已知抛物线 E ： y 2 = 2 p x （ p > 0 ）的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M (- p, 9) ， 2N (- p, -1) ，连结 OM ，ON 分别交抛物线 E 于点 A ， B ，且 A ， B ， F 三点共线，则2p 的值为A ．1B ． 2C ． 3D ． 4⎧ x+ 1, x < 1 11． e 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 8⎪⎩ln x -1, x ≥ 1,则函数 y = f (x ) - ax 有唯一零点的充要条件是A ． a < -1 或 a = 1 9 或 a >B ． a < -1 或 1 ≤ a ≤ 1C ． a > -1 或 1e 2e 2 8< a < 98 8e2D ． a > -1 或 a > 9812．在三棱锥P - ABC 中， PA = PB = AC = BC = 2 ， AB = PC = 1 ，则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为A ．4πB ． 4πC ．12πD ．3第 II 卷（非选择题共 90 分）52π3二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分．13．如图是一组数据( x , y ) 的散点图,经最小二乘法计算，y 与 x 之间的线性回归方程为 y ˆ = b ˆ x +1，则 bˆ = ． 14． ( x - 1 + 1)( x -1)4 展开式中 x 3 的系数为．x15．过双曲线 x2y 2 -= 1（ a > 0 ， b > 0 ）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支 a2 b2交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为．C16．如图在平面四边形 ABCD 中， ∠A = 45︒ ， ∠B = 60︒ ， ∠D = 150︒ ， DAB = 2BC = 4 ，则四边形 ABCD 的面积为．A B*三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．17．（本小题满分12 分）已知等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，a1 =λ（λ> 0 ），a n+1 = 1 (n∈N ) ．（I）求λ的值；（II）求数列{1} 的前n项和Tn．anan+118．（本小题满分12 分）依据某地某条河流8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．频率组距甲1级级乙试估计该河流在8 月份水位的中位数；（I）以此频率作为概率，试估计该河流在8 月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8 月份，若没受1、2 级灾害影响，利润为500 万元；若受1级灾害影响，则亏损100 万元；若受2 级灾害影响则亏损1000 万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．19．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 P - ABCD ，底面 ABCD 为菱形，PD = PB , H 为 PC 上的点，过 AH 的 平面分别交 PB ，PD 于点 M ， N ，且 BD // 平面 AMHN ． （I ）证明： MN ⊥ PC ；（II ）当 H 为 PC 的中点， PA = PC =求二面角 P - AM - N 的余弦值．，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60︒ ， PHNDMCAB20．（本小题满分12 分）已知椭圆 E ： x 2 y 2+ = 1 (a > b > 0) 的离心率为 1 ，圆O ：x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 与 x a 2 b2 2轴交于点 M 、N ，P 为椭圆 E 上的动点，| PM | + | PN |= 2a ，∆PMN 面积最大值为（I ）求圆 O 与椭圆 E 的方程；（II ）圆 O 的切线 l 交椭圆 E 于点 A 、 B ，求| AB | 的取值范围．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ,其中 e = 2.718 ⋅ ⋅ ⋅ 为自然对数的底数,常数 a > 0 ． 6（I ）求函数 f ( x ) 在区间(0, +∞) 上的零点个数；（II ）函数 F ( x ) 的导数 F '(x ) = (e x - a ) f (x ) ，是否存在无数个 a ∈ (1, 4) ，使得 ln a 为 函数F ( x ) 的极大值点? 说明理由．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分．22．（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I ）写出曲线C 1 , C 2 的极坐标方程；（II ）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点, 点 B 是l 与C 2的公共点，当α 在区间[0, π ] 上变化时，求OB 的最大值．2OA23．（本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲]已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2，其中 a ∈ R ．（I ）当 a = f ( x ) ≥ 6 的解集；（II ）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学四校：华南师大附中、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页， 满分150分，考试用时120分钟.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知31iz i =-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为 A.32- B.32C.32i-D.32i 答案：A考点：复数概念及计算。

解析：()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，3322z i =--，虚部为32-2.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是 A.b a 11<B.b a 11>C.2a b >D.22a b >答案：C考点：不等式的性质。

解析：对于A ，当a 为正数，b 为负数时，ba 11>，所以，A 错误； 对于B ，当a ＝2，b ＝12时，B 不成立，所以错误。

对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确； 对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ==== 3.已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++= A.()1614n--B.()1612n-- C.()32143n -- D.()32123n -- 答案：C考点：等比数列的通项公式，前n 项和。

解析：由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，1314()22n nn a --=⨯=， 32521222n n n n n a a ---+=⨯=，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列， 所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--，选C . 4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A考点：充分必要条件。