精品解析：【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则的子集个数共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】分析：首先确定出集合中的元素都有哪些，之后求得集合中的元素有几个，最后根据含有个元素的有限集合子集的个数为个，从而求得结果.详解：根据题中条件，可以求得，，从而可以求得，从而可以求得其子集的个数是个，故选D.点睛：该题考查了集合的有关运算以及交集的个数问题，在解题的过程中，确定集合中的元素是关键，尤其集合中的条件.2. 若复数满足，则下列说法不正确的是（）A. 复数的虚部为B. 复数为纯虚数C. 复数在复平面内对应的点位于第四象限D. 复数的模为1【答案】A【解析】分析：有已知可得，利用复数的除法运算法则可求得，之后逐个核对四个选项求得正确结果.详解：根据题意可以求得，所以可以确定其虚部为，故A是错误的，可以求得其他三项都是正确的，故选A.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，注意对概念的正确把握，只要应用复数的除法运算求得是关键.3. 已知命题：命题“若，则，都有”的否定是“若，都有，则”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先应用全称命题的否定是特称命题以及其否定形式判断出是假命题，根据正弦定理得出是真命题，之后应用复合命题真值表得到真命题是哪个，从而求得正确结果.详解：命题中所给的命题的否定应该是：若，则，使得，所以命题是假命题，根据正弦定理，可知命题是真命题，根据符合命题真值表，可知是真命题，故选A.点睛：该题所考查的是有关逻辑的问题，一是需要明确全称命题的否定形式是哪样，二是要明确正弦定理的内容，三是应用复合命题的真值表来判断哪个命题是真命题.4. 在中，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据题意，首先应用平面向量基本定理，得出，结合的条件，以及，再利用向量数量积的定义及性质求得结果.详解：根据题意可知，可以求得，所以，故选C.点睛：在解此类问题时，一定要注意将题中所涉及的向量向已知的向量来转化，这就要用到平面向量基本定理，以及对应的向量的运算法则------三角形法则和平行四边形法则，再结合向量数量积的定义式求得结果，在解题的时候要注意向量的平方和模的平方是相等的这个结论的应用.5. 我国南宋数学家秦九韶给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”.例如，可将3次多项式改写成：，然后进行求值.运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：流程图运行过程如下：第一次循环时，，第二次循环时，，第三次循环时，，第四次循环时，，此时跳出循环，该流程图计算的点斜式为：.本题选择A选项.点睛：本题同时在考查流程图和秦九韶算法，对于循环结构,需要注意三点：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．秦九韶算法是一种简化代数式运算的方法，本题要求同学们能够熟练逆用秦九韶算法处理多项式.6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】C【解析】由三视图可得该四棱柱的高为6；底面为梯形，且梯形的上、下底分别为2、4，梯形的高为2．故四棱柱的体积为．选C．7. 已知函数，且，则实数的值可能是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到，再结合求得，从而求得结果.详解：根据题意可知，点是图像的一个对称点，直线是图像的一条对称轴，所以会有，从而可以求得，所以有，从而得，从而可以求得可以是3，故选B.点睛：该题考查了三角函数图像的对称性、周期性等，在做题的过程中，需要我们注意对称中心与对称轴的距离与周期的关系，还有要注意就是取值可以是谁这些关键字.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某集合体的三视图，则该三视图的体积是（ ）A. 9B.C. 18D. 27【答案】B【解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中底面为一个底边长为， 高为的等腰三角形，且三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故选A.9. 已知为异面直线，平面，平面，直线满足，则（ ）A.且B.且C. 与相交，且交线垂直于D. 与相交，且交线平行于 【答案】A【解析】分析：关于几何元素位置关系的判断，一般要利用线面的性质定理判定定理进行证明. 详解：由m ⊥平面α，直线l 满足l ⊥m ，且l ⊄α，所以l ∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点睛: 关于几何元素位置关系的判断，一般要利用线面的性质定理判定定理进行证明,当然也可以举反例来证明判断是错误的. 本题也可以利用举反例证明A,B,C选项是错误的.对于这两种方法在解选择题时，要灵活运用.10. 记函数的定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据偶次根式的条件，求得集合，并算出对应的区间的长度，之后再看看总体中对应的几何度量是多大，之后借着长度型几何概型概率公式求得结果.详解：根据可以求得，即，所以可得对应的概率为，故选B.11. 已知双曲线（均为正数）的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】分析：首先求出抛物线的准线方程，再求出双曲线的渐近线方程，令，求得三角形的三个顶点的坐标，结合曲线的对称性，求出三角形的面积。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则的子集个数共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】分析：首先确定出集合中的元素都有哪些，之后求得集合中的元素有几个，最后根据含有个元素的有限集合子集的个数为个，从而求得结果.详解：根据题中条件，可以求得，，从而可以求得，从而可以求得其子集的个数是个，故选D.点睛：该题考查了集合的有关运算以及交集的个数问题，在解题的过程中，确定集合中的元素是关键，尤其集合中的条件.2. 若复数满足，则下列说法不正确的是（）A. 复数的虚部为B. 复数为纯虚数C. 复数在复平面内对应的点位于第四象限D. 复数的模为1【答案】A【解析】分析：有已知可得，利用复数的除法运算法则可求得，之后逐个核对四个选项求得正确结果.详解：根据题意可以求得，所以可以确定其虚部为，故A是错误的，可以求得其他三项都是正确的，故选A.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，注意对概念的正确把握，只要应用复数的除法运算求得是关键.3. 已知命题：命题“若，则，都有”的否定是“若，都有，则”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先应用全称命题的否定是特称命题以及其否定形式判断出是假命题，根据正弦定理得出是真命题，之后应用复合命题真值表得到真命题是哪个，从而求得正确结果.详解：命题中所给的命题的否定应该是：若，则，使得，所以命题是假命题，根据正弦定理，可知命题是真命题，根据符合命题真值表，可知是真命题，故选A.点睛：该题所考查的是有关逻辑的问题，一是需要明确全称命题的否定形式是哪样，二是要明确正弦定理的内容，三是应用复合命题的真值表来判断哪个命题是真命题.4. 在中，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据题意，首先应用平面向量基本定理，得出，结合的条件，以及，再利用向量数量积的定义及性质求得结果.详解：根据题意可知，可以求得，所以，故选C.点睛：在解此类问题时，一定要注意将题中所涉及的向量向已知的向量来转化，这就要用到平面向量基本定理，以及对应的向量的运算法则------三角形法则和平行四边形法则，再结合向量数量积的定义式求得结果，在解题的时候要注意向量的平方和模的平方是相等的这个结论的应用.5. 我国南宋数学家秦九韶给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”.例如，可将3次多项式改写成：，然后进行求值.运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：流程图运行过程如下：第一次循环时，，第二次循环时，，第三次循环时，，第四次循环时，，此时跳出循环，该流程图计算的点斜式为：.本题选择A选项.点睛：本题同时在考查流程图和秦九韶算法，对于循环结构,需要注意三点：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．秦九韶算法是一种简化代数式运算的方法，本题要求同学们能够熟练逆用秦九韶算法处理多项式.6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】C【解析】由三视图可得该四棱柱的高为6；底面为梯形，且梯形的上、下底分别为2、4，梯形的高为2．故四棱柱的体积为．选C．7. 已知函数，且，则实数的值可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到，再结合求得，从而求得结果.详解：根据题意可知，点是图像的一个对称点，直线是图像的一条对称轴，所以会有，从而可以求得，所以有，从而得，从而可以求得可以是3，故选B.点睛：该题考查了三角函数图像的对称性、周期性等，在做题的过程中，需要我们注意对称中心与对称轴的距离与周期的关系，还有要注意就是取值可以是谁这些关键字.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某集合体的三视图，则该三视图的体积是（）A. 9B.C. 18D. 27【答案】B【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中底面为一个底边长为，高为的等腰三角形，且三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故选A.9. 已知为异面直线，平面，平面，直线满足，则（）A. 且B. 且C. 与相交，且交线垂直于D. 与相交，且交线平行于【答案】A【解析】分析：关于几何元素位置关系的判断，一般要利用线面的性质定理判定定理进行证明.详解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点睛: 关于几何元素位置关系的判断，一般要利用线面的性质定理判定定理进行证明,当然也可以举反例来证明判断是错误的. 本题也可以利用举反例证明A,B,C选项是错误的.对于这两种方法在解选择题时，要灵活运用.10. 记函数的定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据偶次根式的条件，求得集合，并算出对应的区间的长度，之后再看看总体中对应的几何度量是多大，之后借着长度型几何概型概率公式求得结果.详解：根据可以求得，即，所以可得对应的概率为，故选B.11. 已知双曲线（均为正数）的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】分析：首先求出抛物线的准线方程，再求出双曲线的渐近线方程，令，求得三角形的三个顶点的坐标，结合曲线的对称性，求出三角形的面积。

河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简集合A和B，再求.详解:由题得，，所以.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的化简及交集的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)化简集合A时，注意条件，否则就会错解.2. 已知数列为等差数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简，再求.详解：由题得所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2)等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.3. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先设圆心为（0，a）,再根据圆过点（1,3）求出a的值得解.详解：设圆心为（0，a）,则圆的方程为因为圆过点（1,3），所以.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.4. 已知命题“”是“”的充要条件；，则（ ）A.为真命题 B.为假命题 C.为真命题 D.为真命题【答案】D【解析】函数是增函数，所以，所以是充要条件，所以命题使正确的，为真命题，由图像可知和关于直线对称，没有交点，所以不存在，使，所以命题使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知是真命题，故选D.5. 若命题，则为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，据此可知：若命题则为.本题选择C 选项.6.外接圆的半径等于1，其圆心满足，则向量在方向上的投影等于（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】分析：由△ABC 外接圆圆心O 满足，可得点O 在BC 上．由于．可得△OAC是等边三角形．可得，进而得到向量在方向上的投影=．详解：△ABC 外接圆半径等于1，其圆心O 满足，∴点O 在BC 上，∴∠BAC=90°． ∵∴△OAC 是等边三角形． ∴∠ACB=60°． ∴=．∴向量在方向上的投影==．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查三角形的外接圆的性质，考查向量的投影，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在方向上的投影为7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积.详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D恰好是正方体的五个顶点，所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为所以几何体外接球的体积为故答案为: B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.8. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在内的人数为（）A. 100B. 160C. 200D. 280 【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×＝160．9. 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：由勾股定理得 （2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2+2，得到 e 2﹣e ﹣1=0，解出e ．详解：由题意得，△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得 （2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2+2=4a 2+4ac ，∴c 2﹣ac ﹣a 2=0，e 2﹣e ﹣1=0 且e ＞1，解方程得e=，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用.(2)利用勾股定理及双曲线的定义建立a 、c 的关系是解题的关键．10. 某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A. B.C.D.。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12,A x x x Z =+≤∈，{}2,11B y y x x ==-≤≤，则A B ⋂=（ ） A ．(],1-∞ B ．[]1,1- C.{}0,1 D ．{}1,0,1- 2.已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan a =（ ） A ．3- B ．3 C.3± D ．33-3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,3的圆的方程是（ ）A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C. ()2231x y +-= D ．()2231x y ++= 4.已知命题:p “a b >”是“22a b >”的充要条件；:,ln x q x R e x ∃∈<，则（ ） A.p q ⌝∨为真命题B.p q ∧⌝为假命题C.p q ∧为真命题D.p q ∨为真命题5.若命题:0,,sin 2p x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则p ⌝为（ ）A ．0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∉≥ ⎪⎝⎭C. 0000,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭ D ．0000,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭6.ABC ∆外接圆的半径等于1，其圆心O 满足()1,2AO AB AC AB AC =+=，则向量BA 在BC 方向上的投影等于（ ） A ．32-B ．32 C.32D ．37.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）A ．4πB ．43π C.43π D ．83π8.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)16,30内的人数为（ ）A ．100B ．160 C.200 D ．2809.设12,F F 是双曲线()22220,01x y a b a b -=>>的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=且()22122PF PF ac c a b ⋅==+，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．132+ C. 152+ D ．122+ 10.某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．()210624cm π++ B ．()216624cm π++ C. ()2124cm π+ D ．()2224cm π+11.有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果： 附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（ ）A ．99%B ．97.5% C. 95% D ．90%12.已知函数()()23,33,3x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，函数()()3g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,0-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为 ． 14.ABC ∆的两边长为2，3，其夹角的余弦为13，则其外接圆半径为 ．15.已知双曲线()22220,01x y a b a b -=>>的右焦点为F ，焦距为8，左顶点为A ，在y 轴上有一点()0,B b ，满足2BA BF a ⋅=，则该双曲线的离心率的值为 ．16.在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知中锐角ABC ∆中内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，满足226cos a b ab C +=，且2si n 23s i n s i n C A B =.（1）求角C 的值；（2）设函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.18.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,BF DE =,点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若1,2AB BF ==,求三棱锥A CEF -的体积.19. 某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了 100名中学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[)[)[)350,450,450,550,550,650三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求,m n 的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？(参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)20.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点()2,0B 为直径两端点的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2） 若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程. 21.已知函数()()ln ,f x x x g x x a ==+.（1）设()()()h x f x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （2）若10a -<<，函数()()()x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在()01,x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2210f x x a x a =-++>，()2g x x =+. （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CACDC 6-10: CBBCA 11、12：AB二、填空题13.()()420144201442014141141354662a a a a a a ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭14.928 15. 2 16.2425 三、解答题17.解：（1）因为226cos a b ab C +=，由余弦定理知2222cos a b c ab C +=+，所以2cos 4c C ab=又因为2sin 23sin sin C A B =，则由正弦定理得:223c ab =， 所以2233cos 442c ab C ab ab ===，所以6C π=. （2）()sin cos 3sin 63f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由已知2,2ππωω==，则()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为6C π=，56B A π=-，由于0,022A B ππ<<<<，所以32A ππ<<，所以4032A ππ<2+<，所以()302f A -<<. 18. 解：（1）证明：设AC 与BD 交于点N ,则N 为AC 的中点, ∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ,EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,且BF DE =， ∴//BF DE ,∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC , EF ⊂平面EFC , ∴//BD 平面EFC . 又∵MN BD N ⋂=, ∴平面//BDM 平面EFC .（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥, 又∵BF ⊥平面ABCD ,∴BF AC ⊥. ∵BF BD B ⋂=,∴平面BDEF ，且垂足为N ，∴11122223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，∴三棱锥A CEF -的体积为23.19.解：（1）由题意知()1000.6m n +=且20.0015m n =+ 解得0.0025,0.0035m n ==所求平均数为3000.154000.355000.256000.157000.1470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（2）根据频率分布直方图得到如下22⨯列联表根据上表数据代入公式可得()22100154035101001.332.7062575505075K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关.20.解：（1）设200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C 的方程()()200204y x x y y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭， 令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以200,14M N M N y y y y y y +==-，()24M N M N M NMN y y y y y y =-=+-22004124y y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（2）设直线l 的方程为x my n =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=， 12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=-，所以12123x x y y +=-，则()21212316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点()2,0B 到直线l 的距离为211d m=+，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以202181y m=+，又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时20024y m y -=，直线l 的方程为3x =， 综上，直线l 的方程为1x =或3x =.21.解：（1）由题意可知：()ln h x x x x a =--，其定义域为()0,+∞，则()ln 11ln h x x x '=+-=.令()0h x '>，得1x >，令()0h x '<，得01x <<.故函数()y h x =的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.（2）由已知有()ln x aM x x+=，对于()1,x ∈+∞，有()()2ln 1ln a x x M x x --'=. 令()()()ln 11,a q x x x x =--∈+∞，则()221a x a q x x x x+'=+=. 令()0q x '>，有x a >-.而10a -<<，所以 01a <-<，故当 1x >时，()0q x '>.∴函数()q x 在区间()1,+∞上单调递增.注意到()110q a =--<，()0aq e e=->.故存在；《：。

河北武邑中学2017-2018学年下学期高三年级第一次模拟考试数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的虚部为（）A. -4B.C.D. 3【答案】A【解析】分析：根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数z的值，即可得到复数z的虚部．详解：z=（2﹣i）2=22﹣4i+i2=3﹣4i，故z的虚部是﹣4，故选：A．点睛：本题考查了复数的乘方运算及虚部概念，属于基础题.2. 若，则（）A. B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】分析：直接利用复数的代数形式四则运算法则化简求解即可．详解：z=2+i，z•=（2+i）（2﹣i）=5，则=．故选：A．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的左视图可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由图可知这是一个半圆柱和一个三棱锥组成的几何体，所以侧视图为三角形，故选D. 考点：三视图．视频 4. 已知平面，直线，且有，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确命题个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】分析：利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行判断即可. 详解：有l ⊥α，m ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，∴l ⊥β，又m ⊂β，则l ⊥m ，正确； ②若l ∥m ，m ⊂β，则α⊥β，正确； ③若α⊥β，则l ∥m 或异面直线，不正确； ④若l ⊥m ，则α∥β或相交，因此不正确． 其中，正确命题个数为2． 故选：B ．点睛：本题考查了空间位置关系及其判定，考查了空间想象力，考查了逻辑推理能力，属于中档题． 5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算．详解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2．∴棱锥的体积V=××2×2×2=（cm）．故选：B．点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 6. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤》（注）（）A. 125.77B. 864C. 123.23D. 369.69【答案】C【解析】由题意知，大球半径，空心金球的半径，则其体积（立方寸）．因1立方寸金重1斤，则金球重斤，故选C．7. 执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（）A. 7B. 20C. 22D. 54【答案】B【解析】初始值a=1,b=1,s=0,k=0s=2,a=2,b=3,k=2,s=7,a=5,b=8,k=4s=20,a=13,b=21,k=6输出s=20,选B.8. 是圆上两个动点，，，为线段的中点，则值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用基底表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．详解：由，，所以•=（）=，又△OAB为等边三角形，所以=1×1×cos60°=．•==.故选：B ．点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．9. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．10. 椭圆的左、右顶点分别为，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由椭圆，可知其左右顶点为,设，则，可得，因为，所以，因为，所以，解得，故选A.11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A. -1B. -2C.D.【答案】A【解析】因为，所以函数在上单调递减，在单调递增，故，故为方程的根，故，故解得，所以在上有解，即在上有解，令，可求得，所以，解得，故选A.点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.12. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f（x）是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程（2x+2﹣x）2﹣m（2x+2﹣x）﹣8=0有解．可设2x+2﹣x=t（t≥2），从而得出需方程t2﹣mt﹣8=0在t≥2时有解，从而设g（x）=t2﹣mt﹣8，得出其对称轴为，从而可讨论m的值，求出每种情况下m的范围，再求并集即可．详解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可；即4﹣x﹣m•2﹣x﹣3=﹣（4x﹣m•2x﹣3）；∴4x+4﹣x﹣m（2x+2﹣x）﹣6=0；即（2x+2﹣x）2﹣m（2x+2﹣x）﹣8=0有解即可；设2x+2﹣x=t（t≥2），则方程等价为t2﹣mt﹣8=0在t≥2时有解；设g（t）=t2﹣mt﹣8，对称轴为；①若m≥4，则△=m2+32＞0，满足方程有解；②若m＜4，要使t2﹣mt﹣8=0在t≥2时有解，则需：；解得﹣2≤m＜4；综上得实数m的取值范围为[﹣2，+∞）．故选：B．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若与垂直，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：根据题意，由向量坐标计算公式可得2﹣的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得（2﹣）•=﹣3+x2=0，解可得x的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．详解：根据题意，向量=（1，x），=（﹣1，x），则2﹣=（3，x），若2﹣与垂直，则（2﹣）•=﹣3+x2=0，解可得：x=±，则||==2，故答案为：2．点睛：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x的值．14. 已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】根据题意为偶函数，则，又由在上单调递减，且，则，即，所以，解得或，即的取值范围是.15. 设抛物线的焦点为是抛物线上一点，的延长线与轴相交于点，若，则__________．【答案】10【解析】抛物线的焦点为又则为的三等分点，故横坐标为，代入求得则故点睛：本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，结合向量的综合运用题目，依据条件中，运用线性关系可得三点的位置关系，代入坐标计算，从而可以求出各点坐标，继而解得结果16. 已知数列的前项和为，且，，则的值为__________．【答案】384【解析】分析：直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果．详解：数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，①，则：当n≥2时，=②，①﹣②：=，所以：=2，即：（常数），所以：数列{a n}是以a2=3为首项，2为公比的等比数列．则：，当n=1时，首项不符合．故：，则：，故答案为：384点睛：本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，分别是角的对边，向量，向量，且.（1）求的大小；（2）若，求的最小值.【答案】(1);(2)1.【解析】分析：（1）由，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据A与B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的值；（2）由余弦定理结合均值不等式知，又，从而得到最小值.详解：（1），由正弦定理得，∴，∴.∵，∴，∴（2）由余弦定理知.∴.∴的最小值为1，当且仅当时取“=”.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品记为，现从，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）通过频率分布表得推出．利用等级系数为的恰有件，等级系数为的恰有件，分别求出，然后求出．（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从，，这件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．试题解析：（1）由频率分布表得，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以，等级系数为5的恰有2件，所以，从而，所以．（2）从日用品，，中任取两件，所有可能结果，有10种，设事件A表示“从日用品，中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为，共4个，故所求的概率．考点：1．频率分布表；2．古典概型．19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（I）由菱形的性质可得，由平面，可得由线面垂直的判定定理能证明平面，从而可得平面平面；（2）取中点，连结，先证明平面由.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵四边形是菱形，∴，又∵，平面.而平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：∵平面，平面平面，∴，∵是中点，∴是中点.取中点，连结，∵四边形是菱形，，∴，又，，∴平面，.∴.20. 已知椭圆经过点，且两个焦点的坐标依次为和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得2a=4，即可得a的值，又，可得b的值，从而得到椭圆的方程；（2）设直线EF的方程为，，，直线EF的方程与椭圆方程联立，可得，由已知，，分析可得，由点到直线的距离公式可得，解可得m的值，进而可得圆的标准方程．学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...详解：（1）由椭圆定义得，即，又，所以，得椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，，，直线的方程与椭圆方程联立，消去得，当判别式时，得，由已知，即，因为点在直线上，所以，整理得，即，化简得原点到直线的距离，所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：.【答案】(1)时，的单调递减区间是；时的单调递减区间是，的单调递增区间是;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.【答案】(1)见解析;(2)或或.【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得，代入韦达定理即得答案解析：（1），故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到，所以或，解得或或.23. 选修4-5：不等式选讲已知，且.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）证明：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得+的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设由，得.故.所以.当时，，得；当时，，解得，故；当时，，解得，故；综上，.（2），，.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},32|{Z x x x A ∈≤≤-=，}3|{2-==x y y B ，则B A 的子集个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若复数z 满足5)43(=+z i ，则下列说法不正确的是（ ） A ．复数z 的虚部为i 54-B ．复数z z -为纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点位于第四象限D ．复数z 的模为1 3．已知命题p ：命题“若0>a ，则R x ∈∀，都有1)(>x f ”的否定是“若R x ∈∀，都有1)(>x f ，则0≤a ”；命题q ：在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，则“B A >”是“b a >”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧⌝)(0B ．)(q p ⌝∨C ．q p ∧D ．)()(q p ⌝∧⌝4．在ABC ∆中，1||,3,==⊥AB AD ，则=⋅（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”.例如，可将3次多项式改写成：012233a x a x a x a +++ 0123))((a x a x a x a +++=，然后进行求值.运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ）A ．432234++++x x x xB ．5432234++++x x x xC ．3223+++x x xD ．43223+++x x x 6．一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48 7．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ，且)6()6(),3()3(x f x f x f x f -=+--=+ππππ，则实数ω的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某集合体的三视图，则该三视图的体积是（ ）A.9B.227C.18D. 27 9．已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β，直线l 满足βα⊄⊄⊥⊥l l n l m l ,,,，则（ ）A ．βα//且α//lB ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 10．记函数22)(x x x f -+=的定义域为A ，在区间]6,3[-上随机取一个数x ，则A x ∈的概率是（ ） A ．32 B ．31 C ．92 D ．9111．已知双曲线12222=-by a x （b a ,均为正数）的两条渐近线与抛物线x y 42=的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3212．已知偶函数)(x f （0≠x ）的导函数为)('x f ，且满足0)1(=f .当0>x 时，)(2)('x f x xf <，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若31)4cos(=+πα,则α2sin 的值为 . 14．曲线xxe x f =)(在点))1(,1(f 处的切线在y 轴上的截距是 .15．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都不在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤0330333y x y x x 表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 .16．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-=0,230,21)(3x mx x x e x f x （其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足100,11106==S a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设1)1(+⋅-=n n nn a a nb ，求数列}{n b 的前n 项和为n T .18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖一次.抽奖方法是：从装有标号为1，2，3，4的4个红球和标号为1，2的2个白球的箱中，随机摸出2个球，若摸出的两球号码相同，可获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可或二等奖，其余情况获三等奖.已知某顾客参与抽奖一次. （1）求该顾客获一等奖的概率； （2）求该顾客获三等奖的概率.19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，CD AB //，060=∠BAD ，2===AB AD PD ，4=CD ，E 为PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ； （2）求三棱锥PBD E -的体积.20．如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，其左右焦点为)0,1(1-F 及)0,1(2F ，过点1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与y 轴分别交于E D ,两点，且||1AF 、||21F F 、||2AF 构成等差数列. （1）求椭圆C 的方程；（2）记D GF 1∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得2112S S =？说明理由.21．已知函数x a x x f ln 2)(2+=.（1）若函数)(x f 的图象在))2(,2(f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数)(2)(x f xx g +=在]2,1[上是减函数，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin 2cos 22（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=，曲线3C C 的极坐标方程为)0(6>=ρπθ.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交21,C C 于点Q P ,，求PQ C 1∆的面积. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f 的解集； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（文科）参考答一、选择题：二、填空题： 13．97 14．e - 15．4)1(22=+-y x 16．),1(+∞三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)12-=n a n . （2）)121121(41)1()1(1++-⋅⋅-=⋅-=+n n a a n b n n n nn .18．标号为1，2，3，4的4个红球记为4321,,,A A A A ，标号为1.2的2个白球记为21,B B .从中随机摸出2个球的所有结果有：},{21A A ，},{31A A ，},{41A A ，},{11B A ，},{21B A ，},{32A A ，},{42A A ，},{12B A ，},{22B A ，},{43A A ，},{13B A ，},{23B A ，},{14B A ，},{24B A ，},{2B B 共15个，这些事件的出现是等可能的（1）摸出的两球号码相同的的结果有：},{11B A ，},{22B A 共2个 所以，“该顾客获一等奖”的概率152=P . （2）摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有：},{21B A ，},{12B A ，},{23B A 共3个则“该顾客获二等奖”的概率51153==P 所以“该顾客获三等奖”的概率32511521=--=P . 19．解：(1)设F 为PD 的中点，连接FA EF ,， 因为EF 为PDC ∆的中位线，所以CD EF //，且221==CD EF 又CD AB //，2=AB ，所以EF AB =，EF AB //， 故四边形ABEF 为平行四边形，所以AF BE //又⊂AF 平面PAD ，⊄BE 平面PAD ，所以//BE 平面PAD （2）因为E 为PC 的中点，所以三棱锥BCD P BCD E PBD E V V V ---==21又AB AD =，060=∠BAD ，所以ABD ∆为等边三角形因此2==AB BD ，又4=CD ，060=∠=∠BAD BDC ，所以BC BD ⊥ 因为⊥PD 平面ABCD ，所以三棱锥BCD P -的体积3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-BCD BCD P S PD V 所以三棱锥PBD E -的体积332=-PBD E V . 20.解：（1）因为1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列， 所以1212224a AF AF F F =+==，所以2a =， 又因为1c =， 所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在直线AB ，使得1212S S =，显然直线AB 不能与x ， y 轴垂直． 设AB 方程为()1y k x =+ ()0k ≠，由()221{ 143y k x x y =++=消去y 整理得()22224384120k x k x k +++-=， 显然()()()()22222844*********k k k k ∆=-+-=+>．设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122843k x x k -+=+，故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+， 所以22243,4343k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设(),0D D X ，因为DG AB ⊥，所以2223431443Dk k k kx k +⨯=---+， 解得2243D k x k -=+，即22,043k D k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． ∵1Rt GDF ∆和Rt ODE ∆相似，且1212S S =， 则GD OD =，= 整理得2390k -+=， 解得23k =，所以k =，所以存在直线AB 满足条件，且直线AB的方程为)1y x =+．21．解：(1) xax x a x x f 2222)('2+=+= 由已知1)2('=f ，解得3-=a 由x a x xx g ln 22)(2++=，得x ax x x g 222)('2++-=， 由已知函数)(x g 在]2,1[上是减函数， 则0)('≤x g 在]2,1[上恒成立 令21x xa -≤在]2,1[上恒成立 令21)(x x x h -=，在]2,1[上0)21(21)('22<+---=x xx x x h ， 所以)(x h 在]2,1[上是减函数，27)2()(min -==h x h ，所以27-≤a .22.解：(1)曲线1C 的普通方程4)2(22=+-y x ，即0422=-+x y x所以1C 的极坐标方程为0cos 42=-θρρ，即θρcos 4=.曲线3C 的直角坐标方程：)0(33>=x x y （2）依题意，设点Q P ,的坐标分别为)6,(1πρ，)6,(2πρ， 将6πθ=代入θρcos 4=，得321=ρ 将6πθ=代入θρsin 2=，得12=ρ所以132||||21-=-=ρρPQ ，依题意得，点1C 到曲线6πθ=的距离为16s in ||1==πOC d所以213)132(21||211-=-=⋅=∆d PQ S PQ C . 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m11 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北武邑2022-2023下学期高三第四次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则*6,B yN y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知集合(){}lg 1A x y x ==+，{}2B x x =<，则AB =（ ）A ．()1,2-B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,1--3．设向量()1,a x x =-，()2,4b x x =+-，则“a b ⊥”是“2x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布()2100,5N ，且()1100.96P ξ<=，则()90100P ξ<<的值为（ ）A ．0.49B ．0.48C ．0.47D ．0.46 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+ 6．设D 为ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ） A ．5166BO AB AC =-+ B ．1162BO AB AC =-C ．5166BO AB AC =- D ．1162BO AB AC =-+ 7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．B ．1024C ．12D ．1- 8．已知()00,P x y 是椭圆C ：2214x y +=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<，则0x 的取值范围是（ ）A ．2626,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B ．2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．66,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9．在平行四边形ABCD 中，3AD =，5AB =，23AE AD =，13BF BC =，3cos 5A =，则EF =（ ）A ．14B ．25C ．42D ．211 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．272B ．27C ．272．311．已知点2F ，P 分别为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若22OM OP OF =+，22OF F M =，且2222c OF F M ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．23．32C ．331+12．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e⎛⎤--+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，则4S = ．14．设0ω>，将函数sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）试求当1a 为何值时，数列{}n a 是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n 为何值时，数列400lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取得最大值.18．某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p ，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04.（1）求p 及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.19．在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD AB ==112DC BC ==，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD . （Ⅰ）证明：ED ∥面PAB ； （Ⅱ）若2PC =，3PA =，求二面角A PC D --的余弦值.20．已知圆1F ：()22116x y ++=，定点()21,0F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点. （Ⅰ）求P 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=-，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值. 21．已知函数()xf x x a =-（0a >，且1a ≠）. （1）当a e =，x 取一切非负实数时，若()212f x b x ≤-，求b 的范围； （2）若函数()f x 存在极大值()g a ，求()g a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程将圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设m ，(){}n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.数学（理）参考答案一、选择题1-5:DABDC 6-10:ADDBD 11、12：DA二、填空题13．180 14．3215．27个 16．[]6,10- 三、解答题17．解：（1）由11n n a S +=+得：当2n ≥时，11n n a S -=+， 两式相减得：12n n a a +=，因为数列{}n a 的是等比数列，所以212a a =， 又因为21111a S a =+=+，所以解得：11a =得：12n n a -=（2）易得数列1400lg 2n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个递减数列，所以01400400lglg 22>>28400400lg lg22>>94000lg 2>>>由此可知当9n =时，数列400lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T 取最大值.18．（1）两天都下雨的概率为()210.04p -=，解得0.8p = 该基地收益X 的可能取值为10，8，5.（单位：万元）则：()100.64P X ==，()820.8P X ==⨯0.20.32⨯=，()50.04P X ==所以该基地收益X 的分布列为：则该基地的预期收益100.64EX =⨯+80.325⨯+0.049.16⨯=（万元） 所以，基地的预期收益为9.16万元（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益：110.86EY =⨯+0.20.59.5⨯-=（万元）此时EY EX >，所以该基地应该外聘工人.19．解：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF . 因为EF 是PBC 的中位线，所以12EF BC ∥.又12AD BC ∥，所以AD EF ∥，所以四边形ADEF 是平行四边形. 所以DE AF ∥，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ，所以ED ∥面ABP .（Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则AD MC ∥，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上. 所以AB AC ⊥，可得3AC =过D 做DG AC ⊥于G ，因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC 面ABCD AC =，所以DG ⊥面PAC ，所以DG PC ⊥.过G 做GH PC ⊥于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则PC DH ⊥，所以GHD ∠是二面角A PC D --的平面角. 在ADC 中，12GD =，连接AE ，1222GH AE ==.在Rt GDH 中，3HD =. 6cos GH GHD HD ∠==，即二面角A PC D --620．解：（Ⅰ）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =. 所以21PF PF +=1PA PF +=1124AF F F =>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以3b =故轨迹C 的方程22143x y +=. （Ⅱ）证明：不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，()11,E x y ，()22,H x y .联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22348k x kmx ++24120m +-=，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+.① 由121234EG FH y y k k x x ⋅==-， 得()()1212kx m kx m x x ++=()2212121234k x x km x x m x x +++=-.②由①、②，得222430m k --=.③ 设原点到直线EH 的距离为21m d k=+，2121EH k x =+-=()2222161239134k m k k -+++，4EOHEFGH S S==四边形2EH d ⋅=2281239m k m -+④由③、④，得43EFGH S =四边形EFGH 的面积为定值，且定值为321．解：（1）当a e =时，()xf x x e =-，原题分离参数得212x b x x e ≥+-恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项.答案：1b ≥ （2）()1ln xf x a a '=-，①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，所以()0f x '>，所以()f x 在R 上为单增函数，无极大值；②当1a >时，设方程()0f x '=的根为t ，则有1ln t a a =，即1log ln a t a ==1lnln ln a a，所以()f x 在(),t -∞上为增函数，在(),t +∞上为减函数，所以()f x 的极大值为()t f t t a =-=1ln1ln ln ln a a a -，即()1ln1ln ln ln a g a a a=-，因为1a >，所以10ln a >，令1ln x a =则1ln1ln ln ln a a a-=ln x x x -， 设()ln h x x x x =-，0x >，则()1ln 1ln h x x x x x'=+⋅-=，令()0h x '=，得1x =，所以()h x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()h x 得最小值为()11h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =.22．解：（1）设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有1112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩112cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）2cos sin x y θθ=⎧∴⎨=⎩（θ为参数） 2214x y ∴+= （2）2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：20x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩所以()12,0p ，()20,1p ，则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()1212y x -=-，即4230x y --=. 化为极坐标方程得：4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-23．()3f x x x =+-=32,03,0323,3x x x x x -<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解得23x ≤-或x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦[)8,+∞.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥.由于()()24m n mn +-+=224m mn n -+-=()()22m n --.且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+.。

河北武邑下学期高三第四次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则*6,B yN y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．已知集合(){}lg 1A x y x ==+，{}2B x x =<，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．()0,2 C ．()2,0- D ．()2,1--3．设向量()1,a x x =-r ，()2,4b x x =+-r，则“a b ⊥r r ”是“2x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布()2100,5N ，且()1100.96P ξ<=，则()90100P ξ<<的值为（ ）A ．0.49B ．0.48C ．0.47D ．0.46 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+ 6．设D 为ABC V 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A ．5166BO AB AC =-+uu u r uuu r uuu r B ．1162BO AB AC =-uu u r uu u r uuu rC ．5166BO AB AC =-uu u r uu u r uuu rD ．1162BO AB AC =-+uu u r uuu r uuu r7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2016B ．1024C ．12D ．1- 8．已知()00,P x y 是椭圆C ：2214x y +=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<uuu r uuu r ，则0x 的取值范围是（ ）A ．2626,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．2323,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．33,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．66,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 9．在平行四边形ABCD 中，3AD =uuu r ，5AB =uu u r ，23AE AD =uu u r uuu r ，13BF BC =uu u r uu u r ，3cos 5A =，则EF =uu u r（ ）A ．14B ．25C ．42D ．211 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．272B ．27C ．272．311．已知点2F ，P 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若22OM OP OF =+u u u r u u u r u u u r ，22OF F M =uuur uuuu r ，且2222c OF F M ⋅=uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23．32C 331+12．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，则4S = ． 14．设0ω>，将函数sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅uuu r uuu r的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）试求当1a 为何值时，数列{}n a 是等比数列，并求出它的通项公式； （2）在（1）的条件下，当n 为何值时，数列400lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取得最大值.18．某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p ，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04.（1）求p 及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由. 19．在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD AB ==112DC BC ==，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD .（Ⅰ）证明：ED ∥面PAB ； （Ⅱ）若2PC =，3PA =，求二面角A PC D --的余弦值.20．已知圆1F ：()22116x y ++=，定点()21,0F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点.（Ⅰ）求P 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=-，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值. 21．已知函数()xf x x a =-（0a >，且1a ≠）.（1）当a e =，x 取一切非负实数时，若()212f x b x ≤-，求b 的范围； （2）若函数()f x 存在极大值()g a ，求()g a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程 将圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设m ，(){}n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.数学（理）参考答案一、选择题1-5:DABDC 6-10:ADDBD 11、12：DA二、填空题13．180 14．3215．27个 16．[]6,10- 三、解答题17．解：（1）由11n n a S +=+得：当2n ≥时，11n n a S -=+， 两式相减得：12n n a a +=，因为数列{}n a 的是等比数列，所以212a a =， 又因为21111a S a =+=+，所以解得：11a =得：12n n a -=（2）易得数列1400lg 2n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个递减数列， 所以01400400lglg 22>>28400400lg lg 22>>L 94000lg 2>>>L 由此可知当9n =时，数列400lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T 取最大值.18．（1）两天都下雨的概率为()210.04p -=，解得0.8p = 该基地收益X 的可能取值为10，8，5.（单位：万元）则：()100.64P X ==，()820.8P X ==⨯0.20.32⨯=，()50.04P X ==所以该基地收益X 的分布列为：则该基地的预期收益100.64EX =⨯+80.325⨯+0.049.16⨯=（万元） 所以，基地的预期收益为9.16万元（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益：110.86EY =⨯+0.20.59.5⨯-=（万元）此时EY EX >，所以该基地应该外聘工人.19．解：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF . 因为EF 是PBC V 的中位线，所以12EF BC ∥.又12AD BC ∥，所以AD EF ∥，所以四边形ADEF 是平行四边形. 所以DE AF ∥，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ，所以ED ∥面ABP .（Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则AD MC ∥，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上. 所以AB AC ⊥，可得3AC =过D 做DG AC ⊥于G ，因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC I 面ABCD AC =， 所以DG ⊥面PAC ，所以DG PC ⊥.过G 做GH PC ⊥于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则PC DH ⊥，所以GHD ∠是二面角A PC D --的平面角.在ADC V 中，12GD =，连接AE ，1222GH AE ==.在Rt GDH V 中，32HD =. 6cos GH GHD HD ∠==，即二面角A PC D --620．解：（Ⅰ）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =. 所以21PF PF +=1PA PF +=1124AF F F =>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以3b =故轨迹C 的方程22143x y +=. （Ⅱ）证明：不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，()11,E x y ，()22,H x y .联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22348k x kmx ++24120m +-=，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+.①由121234EG FH y y k k x x ⋅==-， 得()()1212kx m kx m x x ++=()2212121234k x x km x x m x x +++=-.②由①、②，得222430m k --=.③ 设原点到直线EH的距离为d =，12EH x =-=，4EOH EFGH S S ==四边形V 2EH d ⋅=④由③、④，得EFGH S =四边形EFGH 的面积为定值，且定值为21．解：（1）当a e =时，()xf x x e =-，原题分离参数得212x b x x e ≥+-恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项.答案：1b ≥ （2）()1ln xf x a a '=-，①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，所以()0f x '>，所以()f x 在R 上为单增函数，无极大值；②当1a >时，设方程()0f x '=的根为t ，则有1ln t a a =，即1log ln a t a ==1lnln ln a a，所以()f x 在(),t -∞上为增函数，在(),t +∞上为减函数，所以()f x 的极大值为()t f t t a =-=1ln1ln ln ln a a a-，即()1ln1ln ln ln a g a a a =-，因为1a >，所以10ln a >，令1ln x a =则1ln1ln ln ln a a a-=ln x x x -，设()ln h x x x x =-，0x >，则()1ln 1ln h x x x x x'=+⋅-=，令()0h x '=，得1x =，所以()h x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()h x 得最小值为()11h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =. 22．解：（1）设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有1112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩112cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩Q （θ为参数）2cos sin x y θθ=⎧∴⎨=⎩（θ为参数）2214x y ∴+= （2）2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：20x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩所以()12,0p ，()20,1p ，则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()1212y x -=-，即4230x y --=. 化为极坐标方程得：4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-23．()3f x x x =+-=32,03,0323,3x x x x x -<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解得23x ≤-或x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U [)8,+∞.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥.由于()()24m n mn +-+=224m mn n -+-=()()22m n --.且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+.。