《定积分的概念》第2课时课件

f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上

得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位：km）的近似值，最 后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单位：km）的精确值．
思想：用化 归为各个小 区间上匀速 直线运动路 程和无限逼 近的思想方 法求出匀变 速直线运动 的路程
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S 与由直线
，…，
n
, b
i 1b i b
分 记第 i 个区间为
n
,
n
(i 1, 2 ,L
, n) ，其长度为
析
x i b i 1b b
n nn
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1b
n
,
b
上所作的功分别记作：
W1
，
W2 ，…， Wn
2．近似代替
有条件知： Wi
F
Wi
lim
n
kb2 2
1
1 n
kb2 2
kb2 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为：
2
变式例 题，可以提 高学生对定 积分思想的 认识。
五、
课
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的速度为
堂 v t t2 5 （单位 km / h ），试计算这辆车在 0 t 2 （单位： h ）这段时间内
练
习 汽车行驶的路程 S （单位： km ）
学以致 用，让学生 运用已学知 识解决问题。
六、 总
求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征，概括出基本步 结
骤 回 顾
总结好 这两节的内 容，为下节 讲解定积分 的概念大好 基础。

1x2dx
0
(1x3) 3
1 0

1 3
积分、定积分的几何意义．
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
a
f (x规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.5《定积分的概念》
教学目标
• ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，
了解定积分的背景；
• ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积
分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
• 3．理解掌握定积分的几何意义； • 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定
是一个确定的常数
n
2
.当

i 1
f
( )x i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du

n n
x
（4）取极限
1 i 1 S lim S lim f n n n i 1n n
n
引入2：汽车行驶的路程
问题：汽车以速度 v 匀速直线运动时， 经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果 汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度 2 为 v t t 2 （单位： km/h） ，那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位： km）是多少？
b
积 分 f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 yf (x)
a
y
上述曲边梯形面积的负值。
S [f(x)] dx
a
b
S[ f(x )] dx
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

S f f ( x ) d x ( x ) d x f ( x ) d x 。 y f ( x)
练习：
i 1 i 2 , f ( x ) x n 1、当n很大时，函数 在区间 n
上的值，可以用( C )近似代替 1 2 ) ) A. f ( B. f ( n n C. f ( i ) D. f 0
x 2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 i,x i 1 上的 C 近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi1 ) C.可以是该区间内任一点的函数值 f ( )( x , x ) i i i i 1 D.以上答案均不正确
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间 v v (t ) [a, b]内运动的距离s为 v
b a
s v ( t ) d t 。