典中点一元二次方程专训7 一元二次方程全章热门考点整合应用

一元二次方程知识点梳理考点01 一元二次方程相关概念1.一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。

2.一元二次方程必须满足的3个条件：（1）必须是整式方程.（2）只含有一个未知数.（3）未知数的最高次数是2.3.一元二次方程的一般形式：我们把)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，称为一元二次方程的一般形式，其中c bx ax ,,2分别称为二次项、一次项和常数项.b a ,分别称为二次项系数和一次项系数。

2.一元二次方程的特殊形式：（1）当0,0=≠b a 时，02=+c ax .（2）当0,0=≠c a 时，02=+bx ax .（3）当0,0==≠c b a 时，02=ax .3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根。

4.方程根的定义在解题时的应用：（1）判断一个值是否是一元二次方程的根.（2）已知方程的根求一元二次方程中字母系数的值.考点02 一元二次方程的解法一、直接开平方法1.概念：如果492=x ，那么749±=±=x ，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。

2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化成q p x =+2)(的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数.（2）当0≥q 时，两边直接开平方即可求出它的根.当0<q 时，一元二次方程无实数根.二、配方法1.概念：先对原一元二次方程进行配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法。

2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，.（2）把常数项移到方程的右边.（3）方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.（4）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成q p x =+2)(的形式.（5）用直接开平方法解一元二次方程.三、公式法1.求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，，当042≥-ac b 时，一元二次方程的根是a ac b b x 242-±-=，这个式子称作一元二次方程的求根公式。

朱国林第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的观点及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的鉴别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增添率问题、面积问题和动向问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课真有关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，而且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都能够转变为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。

此中 ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，对于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、对于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1B．0C．-1D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是11）试求a+b的值2）直接写出对于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓睁开放型题例1、已知对于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=01）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、以下方程中，是一元二次方程的为（）A.x2=-1B.2x（x-1）+1=2x2C.x2+3x=2D.ax2+bx+c-0 x2、已知对于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？1朱国林3、若对于x的一元二次方程（a-2）x2+a x=3是一元二次方程，则a的取值范围是4、把方程(x-1)2-3x（x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项3的值5、若a是方程x2-3x+1=0的一个根，求2a2-5a-2+a216、若对于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，abc知足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（），0 B.-1，0 C.1，-1 D.1，27、已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且a≠b，求a2b2的值2a 2b【课真有关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程知识点总结(超全)单选题1、一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（）A．(x+4)2=17B．(x+4)2=15C．(x−4)2=17D．(x−4)2=15答案：C分析：先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．解：∵x2-8x-1=0，∴x2-8x=1，∴x2-8x+16=17，∴（x-4）2=17．故选C．小提示：本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．2、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：通过根与系数之间的关系得到α+β=−2m+2，αβ=m2−m，由α2+β2=(α+β)2−2αβ可求出m的值，通过方程有实数根可得到[2(m−1)]2−4(m2−m)≥0，从而得到m的取值范围，确定m的值．解：∵方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)=−2m+2，1=m2−m，αβ=m2−m1∵α2+β2=(α+β)2−2αβ，α2+β2=12∴(−2m+2)2−2(m2−m)=12，整理得，m2−3m−4=0，解得，m1=−1，m2=4，若使x2+2(m−1)x+m2−m=0有实数根，则[2(m−1)]2−4(m2−m)≥0，解得，m≤1，所以m=−1，故选：A．小提示：本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．3、关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定答案：A分析：根据根的判别式的判断方程根的数量即可．解：△=(−m)2−4×2×(−3)=m2+24>0，故方程有两个不相等的实数根，故选：A．小提示：本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别式是解决本题的关键．4、一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案：A分析：根据Δ=b2−4ac即可判断．解：∵a=2，b=1，c=−1，∴Δ=b2−4ac=12−4×2×(−1)=1+8=9>0，∴一元二次方程2x2+x−1=0有两个不相等的实数根．故选：A．小提示：本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．5、设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n=mx的两个实数根．若x1<x2<0，则（）A．{m>1,n>0B．{m>1,n<0C．{m<1,n>0D．{m<1,n<0答案：C分析：先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根据x1< x2<0，得出m-1<0，n>0，即可求解．解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1-m）x+n=0，∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n=mx的两个实数根．∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，∵x1<x2<0，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m-1<0，n>0，∴m<1，n>0，故选：C．小提示：本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=-ba ，x1x2=ca”是解题的关键．6、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．7、若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，−2B．0，0C．−2，−2D．−2，0答案：B分析：直接把x=−2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．解：根据题意，∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，把x=−2代入x2+2x+m=0，则(−2)2+2×(−2)+m=0，解得：m=0；∴x2+2x=0，∴x(x+2)=0，∴x1=−2，x=0，∴方程的另一个根是x=0；故选：B小提示：本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．8、某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．(20+x)(100−2x)=1800B．(20+x)(100−2x)=18000.5×2)=1800D．x[100−2(x−20)]=1800C．x(100−x−200.5答案：C分析：根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;×2）kg，依题意得：解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（100−x−200.5×2)=1800依题意得：x(100−x−200.5故选:C小提示：此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程9、方程x2−1=0的解是（）A．x1=x2=1B．x1=0,x2=1C．x1=1,x2=−1D．x1=0,x2=−1答案：C分析：先移项，再两边开平方可得解．解：由原方程可得：x2=1，两边开平方可得：x1=1,x2=−1，故选：C．小提示：本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．10、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x 2−2x ⋅(x +40−2x 2)=950 整理，得，x 2+20x −125=0解得，x 1=5,x 2=−25（不合题意，舍去）．故选：D ．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键． 填空题11、关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m =0有两个不同的实数根x 1，x 2，且x 12+x 22=316，则m =__________． 答案：−18##-0.125 分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2，再由x 12+x 22=316变形得到（x 1+x 2）2-2x 1x 2=316，即可得到4m 2-m =316，然后解此方程即可．解：根据题意得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2，∵x 12+x 22=316， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=316， ∴4m 2-m =316， ∴m 1=-18，m 2=38，∵Δ=16m 2-8m ＞0， ∴m ＞12或m ＜0时， ∴m =38不合题意，所以答案是：−18．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ． 12、关于x 的方程(k −1)x |k|+1−x +5=0是一元二次方程，则k =________．分析：直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．解：∵关于x的方程(k−1)x|k|+1−x+5=0是一元二次方程，∴{k−1≠0①|k|+1=2②由①得：k≠1,由②得：k=±1,所以k=−1.所以答案是：−1小提示：此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．13、一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是_________．答案：x1=2，x2=−7分析：由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．解：由题意可知：x−2=0或x+7=0，∴x1=2或x2=−7，所以答案是：x1=2或x2=−7．小提示：本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．14、若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是___．答案：1分析：根据一元二次方程解的定义把x=1代入到mx2+nx−1=0(m≠0)进行求解即可．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，∴m+n−1=0，∴m+n=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．15、若m，n是一元二次方程x2+2x+1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是______分析：先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m+1=0，则m2+2m=-1，根据根与系数的关系得出m+n=-2，再将其代入整理后的代数式计算即可．解：∵m是一元二次方程x2+2x+1=0的根，∴m2+2m+1=0，∴m2+2m=-1，∵m、n是一元二次方程x2+2x+1=0的两个根，∴m+n=-2，∴m2+4m+2n=m2+2m+2m+2n=-1+2×（-2）=-5．所以答案是：-5．，小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-bax1x2=c．也考查了一元二次方程的解．a解答题16、某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?答案：(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%(2)该店应按原售价的九折出售分析：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据增长率公式列方程解答；（2）设商品应降价x元，根据售价乘以数量列一元二次方程解答．（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据题意可得：64(1+a)2=100，解得：a 1=14，a 2=−94（不合题意舍去）答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设商品应降价x 元，根据题意，得(60−x −40)(100+x 2×20)=2240， 化简，得x 2−10x +24=0，解得x 1=4，x 2=6，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时，售价为：60−6=54（元），5460×100%=90%，答：该店应按原售价的九折出售．小提示：此题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握增长率问题计算公式a （1+x ）2=b ，以及销售问题的计算公式是解题的关键．17、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．答案：(1)m 的值为1或-2(2)-2＜m ＜1(3)m ＝√624或m ＝4924 分析：（1）把x =-1代入方程，列出m 的一元二次方程，求出m 的值；（2）首先用m 表示出方程的两根，然后列出m 的不等式组，求出m 的取值范围；（3）首先用m 表示出方程的两根，分直角△ABC 的斜边长为7或2m +3,根据勾股定理求出m 的值.（1）解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x ＝-1代入方程x 2-4mx +4m 2-9＝0，得1+4m +4m 2-9＝0． 解得m ＝1或m ＝-2．∴m 的值为1或-2．（2）解：∵x 2-4mx +4m 2＝9，∴(x -2m )2＝9，即x -2m ＝±3． ∴x 1＝2m +3，x 2＝2m -3．∵2m +3＞2m -3，∴{2m +3＞−12m −3＜−1解得-2＜m ＜1．∴m 的取值范围是-2＜m ＜1．（3）解：由(2)可知方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两根分别为2m +3，2m -3．若Rt △ABC 的斜边长为7，则有49＝(2m +3)2+(2m -3)2．解得m ＝±√624． ∵边长必须是正数，∴m ＝√624． 若斜边为2m +3，则(2m +3)2＝(2m -3)2+72．解得m ＝4924．综上所述，m ＝√624或m ＝4924． 小提示：本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.18、解方程：(1)（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2；(2)x 2−√2x −14=0． 答案：(1)−2或43 (2)√2+√32或√2−√32分析：（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．（1）解：(2x −1)2=(3−x )2 (2x −1)2−(3−x )2=0 (2x −1+3−x )(2x −1−3+x )=0 (x +2)(3x −4)=0∴x +2=0或3x −4=0解得x =−2或x =43∴方程的解为−2或43．（2）解：x 2−√2x −14=0 (x −√22)2=14+12∴x −√22=√32或x −√22=−√32解得x =√2+√32或x =√2−√32∴方程的解为√2+√32或√2−√32． 小提示：本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．。

《一元二次方程》全章复习—知识讲解【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么ab x x -=+21，a c x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.四、列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 3.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C ；【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．2．若方程2(310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，m= ．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx --=是关于x的一元二次方程时，m =．举一反三：1、关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 2、已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，m= .【答案】1、a =4；a ≠4且a ≠-2.2、依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.类型二、一元二次方程的解法3．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=． 【答案与解析】 (1) 1167x =，243x =． (2)13x =，292x =． (3) 1232x x ==-．举一反三：解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．(3)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (4)2(t-1)2+t ＝1.【答案】 (1) 15x =-，232x =-．(2) 13x =，21x =．(3)123x =，21x =．(4)11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用4．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a ≠lD 、a ＜﹣2 【答案】C ；举一反三：1、关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 2、k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】1、A ；①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥． 答案：A2、（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．举一反三：1、已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．2、已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】1、（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．2、存在．设方程两根为x 1、x 2，根据题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=，而222121212()2x x x x x x +=+-，于是有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=，解这个方程得110m =，22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<， 当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>， 所以符合条件的m 的值为-2．3、(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>，所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =．当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．7．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案】1、设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．2、设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．举一反三：1、有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.3、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

一元二次方程专题复习考点一、概念 (1) 定义： ①只含有一个未知数，并且 ②未知数的最高次数是 2，这样的 ③ 整式方程 就是一元二次方程。

．．．．．．．． ．．．．．．．． ．． ．．．．(2) 一般表达式： ax 2 bx c 0( a 0) ⑶难点 ：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“ 0”； ②未知数指数为“ 2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A3 x 1 22 x 1B1 12 0x 2 x Cax 2bx c 0Dx 2 2x x 2 1变式：当 k时，关于 x 的方程 kx 22x x 23 是一元二次方程。

例 2、方程 m 2 x m3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，则m 的值为。

针对练习：★1、方程 8x 2 7 的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程 m2 x m10 是关于 x 的一元一次方程，⑴求 m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。

★★ 3、若方程m 1 x 2m ? x 1是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是。

★★★ 4、若方程 nx m +x n -2x 2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解 ⑴概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用 ：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、已知 2y2y3 的值为2，则 4 y 2 2 y 1 的值为。

例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2 x 2x a 2 4 0 的一个根为 0，则 a 的值为 。

例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax2bxc 0 a0 的系数满足 ac b ，则此方程必有一根为。

例 4、已知 a, b 是方程 x 24x m 0 的两个根， b,c 是方程 y 2 8y5m 0的两个根，则 m 的值为。

一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复考点1：一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程。

一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）。

判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程，两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

解法为x1=-a+√b，x2=-a-√b。

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解。

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的。

一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b2-4ac))/2a（b2-4ac≥0）。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。

理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

因式分解的方法有提公因式、公式法、十字相乘法。

5.一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。

⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2-4ac＜0，则方程无解。

⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。

一元二次方程专题复习知识盘点1. 方程中只含有 _个未知数.并且整理后未知数的最高次数是 _ 这样的_ 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式(a 、b、C、为常数.a ) 。

2. 一元二次方程的解法：(1)____________________________________________________________ 直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 _____________________ 的平方•而另一边是一个 ________ 时•可以根据 ________ 的意义•通过开平方法求出这个方程的解。

(2)配方法：用配方法解一元二次方程aχ2∙ bx ∙ c = O a = O的一般步骤是：①化二次项系数为.即方程两边同时除以二次项系数；②移项.使方程左边为 ______ 项和________ 项.右边为______ 项；③配方.即方程两边都加上_________________ 的平方；④化原方程为(X - m)2= n的形式.如果n是非负数.即n _ 0.就可以用____________ 法求出方程的解。

如果n v 0.则原方程_______ 。

(3) ______________________________________________ 公式法：方程ax2+bx+c = 0(a ≠0).当b2—4ac ___________________________ 0 时.x = ________(4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为_______ ;②将方程的左边化成两个_____ 的乘积；③令每个因式都等于. 得到两个______________ 方程；④解这两个方程.它们的解就是原方程的解。

3. 一元二次方程的根的判别式(1) ______________________________________________________ b2—4ac>0= —元二次方程aχ2∙ bx ∙ c = 0 a = 0有两个_____________________ 的实数根,即X^= ------------------ , X2 = --------------------(2)b2 -4ac=0= —元二次方程有两个________ 的实数根.即Xi =X2 ------ -------- ,(3)b2 -4ac<0= —元二次方程aχ2■ bx■ c = 0 a = 0 ____ 实数根。

典中点二次函数专训7 二次函数全章热门考点整合应用◐名师点金◑二次函数是中考的必考内容,难度高,综合性强,既可以与代教知识相结合,也可以与几何知识相结合。

有关二次函数的问题,中考一般以三种形式出现:一是以选择题或填空题出现,重在考查二次画数的基本视念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现,重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现,往往是压轴题,考查学生分析问题和解决问题的能力.其主要热门考点可概括为:一个概念、一个性质、两个关系、三个应用、两个技巧、三种思想。

考点1：一个概念——二次函数的定义1.已知数5)3(342++=-+m m x m y 是关于x 的二次函数。

(1)求m 的值。

(2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上?(3)当m 为何值时,该函数有最大值?考点2：一个性质——二次函数的图象与性质2.二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是( )A.函数有最小值B.图象的对称轴是直线x=21C.当x<21时,y 随x 的增大而减小 D.当-1<x<2时,y>0(第2题) (第3题)考点3：两个关系关系1：抛物线的位置与二次面数备项系数的关系3.如图为三次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象，则下列说法①a>0；②2a+b=0；③a+b+c>0； ④当-1<x<3时，y>0，其中正确的个数为( )关系2：二次函数与一元二次方程的关系4.已知关于x 的函数41)1()23(22+++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点。

(1)求a 的取值范围；(2)设函数的图象与x 轴有两个不同的交点,分别为A(1x ,0),B(2x ,0),当311221-=+a x x 时,求a 的值。

考点4：三个应用应用1：最大面积的应用5.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,设BC 的长度是x 米,矩形区域ABCD 的面积为y 平方米。

全章热门考点整合应用名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，两个应用，三种思想．两个概念概念1 一元二次方程的定义1．当m 取何值时，方程(m －1)xm 2＋1＋2mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程？概念2 一元二次方程的根2．【2015·兰州】若一元二次方程ax 2－bx －2 017＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．3．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0182 017c的值．一个解法——一元二次方程的解法4．选择适当的方法解下列方程：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)【中考·山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.两个关系关系1一元二次方程的根的判别与系数的关系5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b ＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．关系2一元二次方程根与系数的关系6．【2016·梅州】关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2，求k的值．7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？两个应用应用1一元二次方程的应用8．【中考·湖州】随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．【导学号：83182032】(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？9．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”小峰的说法正确吗？请说明理由．应用2 配方的应用10．阅读下面材料，完成填空．我们知道x 2＋6x ＋9可以分解因式，结果为(x ＋3)2，其实x 2＋6x ＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：x 2＋6x ＋8＝x 2＋6x ＋9－9＋8＝(x ＋3)2－1＝(x ＋3＋1)(x ＋3－1)＝(x ＋4)(x ＋2)．(1)请仿照上述过程，完成以下练习：x 2＋4x －5＝[x ＋(______)][x ＋(______)]；x 2－5x ＋6＝[x ＋(______)][x ＋(______)]；x 2－8x －9＝[x ＋(______)][x ＋(______)]．(2)请观察横线上所填的数，这两个数与一次项系数、常数项有什么关系？11．阅读材料：把形如ax 2＋bx ＋c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.例如：(x －1)2＋3，(x －2)2＋2x ，⎝⎛⎭⎫12x －22＋34x 2是x 2－2x ＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x 2－4x ＋2的三种不同形式的配方；(2)已知a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝0，求a ＋b ＋c 的值．三种思想思想1 整体思想12．已知x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，求代数式2a 4＋a 3＋2a 2＋2a ＋1的值．思想2 转化思想13．解方程：()2x ＋12－3()2x ＋1＝－2.思想3分类讨论思想14．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，求该三角形的周长．参考答案1．解：当m2＋1＝2且m－1≠0时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1.由m－1≠0，得m≠1，所以只能取m＝－1.所以当m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．点拨：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑．2．2 017点拨：把x＝－1代入方程中得到a＋b－2 017＝0，即a＋b＝2 017.3．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴4－c ≥0且c －4≥0.∴c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0182 017×4＝0. 4．解：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0，(x －1)(x －1＋2x ) ＝0，(x －1)(3x －1) ＝0，x 1＝1，x 2＝13. (2)x 2－6x －6＝0，x 2－6x ＝ 6，x 2－6x ＋9＝ 15(x －3)2＝ 15，x －3＝ ±15，x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)6 000(1－x )2＝4 860，(1－x )2＝ 0.81，1－x ＝ ±0.9，x 1＝1.9，x 2＝0.1.(4)(10＋x )(50－x )＝800，x 2－40x ＋300＝ 0，x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8 ＝0，x 1＝2，x 2＝4.5．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(b ＋2)2－4(6－b )＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰长时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.6．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k －3>0.解得k >34. (2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2＋1.∵x 1＋x 2＝－x 1·x 2，∴－(2k ＋1)＝－(k 2＋1)．解得k ＝0或k ＝2.又∵k >34， ∴k ＝2.7．解：∵方程有两个实数根，∴b 2－4ac ＝(2a )2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2⎝⎛⎭⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑b 2－4ac ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．8．解：(1)设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率为x ，由题意可列出方程：2(1＋x )2＝2.88.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率为20%.(2)①因为规划建造单人间的房间数为t (10≤t ≤30)，则建造双人间的房间数为2t ，三人间的房间数为100－3t ，由题意得t ＋4t ＋3(100－3t )＝200.解得t ＝25.答：t 的值是25.②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，由题意得y ＝t ＋4t ＋3(100－3t )＝－4t ＋300(10≤t ≤30)．∵k ＝－4＜0，∴y 随t 的增大而减小．当t ＝10时，y 有最大值为300－4×10＝260，当t ＝30时，y 有最小值为300－4×30＝180.答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．9．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm ，则较长的一段为(40－x ) cm ，由题意，得⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段为40－28＝12(cm )＜28cm (不合题意，舍去)．∴应剪较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较长的一段就为(40－m ) cm ，由题意得⎝⎛⎭⎫m 42＋⎝⎛⎭⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0. ∵b 2－4ac ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.10．解：(1)－1；5；－2；－3；1；－9.(2)这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．11．解：(1)(x －2)2－2；(x －2)2－(4－22)x ；2(x －1)2－x 2.(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34(b －2)2＋(c －1)2＝0，所以a －12b ＝0，b －2＝0，c －1＝0.所以a ＝1，b ＝2，c ＝1.所以a ＋b ＋c ＝4.12．解：∵x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，∴2a 2＋a －2＝0，即2a 2＋a ＝2.∴原式＝a 2(2a 2＋a )＋2a 2＋2a ＋1＝2a 2＋2a 2＋2a ＋1＝2(2a 2＋a )＋1＝5.13．解：设y ＝2x ＋1，则原方程可变形为y 2－3y ＝－2.解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，有2x ＋1＝1，所以x ＝0；当y ＝2时，有2x ＋1＝2，所以x ＝12. 所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝12. 点拨：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解．14．解：解方程x 2－4x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1.①当底为3，腰为1时，由于3＞1＋1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； ②当底为1，腰为3时，符合三角形三边关系，能构成三角形．∴三角形的周长为1＋3＋3＝7. 。