练习一
一、选择题: ( 每小题 3分 , 共 24 分)
1. 下列方程中 , 常数项为零的是 ( )
A.x 2+x=1
B.2x
2
-x-12=12 ; C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x
2
+1)=x+2
2. 下列方程 : ①x 2
=0, ②
1
- 2=0,③2 2
④3 2
x
2x 3 -8x+ 1=0
x +3x=(1+2x)(2+x),
- =0,
⑤
x 2
x
x
中 ,
一元二次方程的个数是 ( )
A.1 个 B2 个 C.3 个 D.4
个
3. 把方程( x- 5 ) (x+ 5 ) +(2x-1) 2=0 化为一元二次方程的一般形式是
( )
A.5x 2-4x-4=0
B.x
2
-5=0 C.5x
2
-2x+1=0
D.5x
2
-4x+6=0
4. 方程 x 2=6x 的根是 (
)
A.x 1
2
B.x
1
2
D.x=0
=0,x =-6
=0,x =6 C.x=6
5. 方 2x 2-3x+1=0 经为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是 ( )
2
3 2
1
2
1
A.
x
3
16 ; B. 2
C.
x
3
; D. 以上都不对
2
x
;
4
16
4 16
6. 若两个连续整数的积是 56, 则它们的和是 ( )
A.11
B.15
C.-15
D.±15 7. 不解方程判断下列方程中无实数根的是 ( )
A.-x
2
=2x-1 B.4x
2
+4x+ 5
=0; C.
2 x 2
x
3 0
D.(x+2)(x-3)==-5
4
8. 某超市一月份的营业额为 200 万元 , 已知第一季度的总营业额共 1000 万元 , 如果平均每月
增长率为 x, 则由题意列方程应为 (
)
A.200(1+x) 2
B.200+200 ×2x=1000 =1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x) 2
]=1000
二、填空题 : ( 每小题
3分,共 24分)
( x 1) 2
5
________, 它的一次项系数是
9. 方程
3x
化为一元二次方程的一般形式是
2
2
______.
2
10. 关于 x 的一元二次方程
x +bx+c=0 有实数解的条件是 __________.
11. 用 ______法解方程 3(x-2) 2=2x-4 比较简便 .
12. 如果 2x 2+1 与 4x 2-2x-5 互为相反数 , 则 x 的值为 ________. 13. 如果关于 x 的一元二次方程 2x(kx-4)-x
2
+6=0 没有实数根 , 那么 k 的最小整数值是
__________.
2
14. 如果关于 x 的方程 4mx -mx+1=0 有两个相等实数根
, 那么它的根是 _______.
15. 若一元二次方程 (k-1)x
2
-4x-5=0 有两个不相等实数根 , 则 k 的取值范围是 _______.
16. 某种型号的微机 , 原售价 7200 元/ 台 , 经连续两次降价后 , 现售价为 3528 元/ 台 , 则平均每次降价的百分率为 ______________.
三、解答题 (2 分)
17. 用适当的方法解下列一元二次方程 .( 每小题 5
分,共15 分 )
(1)5x(x-3)=6-2x;
(2)3y
2
+1=2 3y ;
(3)(x-a)
2
=1-2a+a 2(a 是常数 )
18.(7 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+mx+n=0的一个解是 2, 另一个解是正数 , 而且也是
方程 (x+4) 2-52=3x 的解 , 你能求出 m 和 n 的值吗 ?
19.(10 分 ) 已知关于 x 的一元二次方程
x 2
-2kx+ 1
k 2
-2=0.
2
(1)
求证 : 不论 k 为何值 , 方程总有两不相等实数根 .
(2)
设 x ,x 是方程的根 , 且 x 2 +2x x =5, 求 k 的值 .
2 1 -2kx
1 1
1 2
四、列方程解应用题 (每题 10分, 共 20 分 )
20. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低 36%, 若每年下降的百分
数相同 , 求这个百分数 .
21. 某商场今年
1 月份销售额为 100 万元 ,
2 月份销售额下降了 10%, 该商场马上采取措施 , 改进经营管理 , 使月销售额大幅上升 ,4 月份的销售额达到 129.6 万元 , 求 3, 4 月份平均每
月销售额增长的百分率 .
答案
一、 DAABC,DBD 二、
9.x 2+4x-4=0,4
10. b 2 4c 0
11. 因式分解法 12.1或
2
3
13. 2 14.
1
8
15. k
1
且k 1
5
16. 30% 三、
17.( 1) 3,2
;(2)
3
;( 3)1, 2a-1 5 3
18.m=-6,n=8
19.(1)=2k2+8>0,∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)k14
四、
20. 20%
21. 20%
练习二
一、选择题 (
题,每题有四个选项,其中只有一项符合题意。每题 3 分,共 24 分):共 8
1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( )
A.(a-3)x 2=8 (a ≠ 3)
B.ax 2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5
D. 3x2 3 x 2 0
57
2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( )
A.x 2+x=1
B.2x 2-x-12=12 ;
C.2(x 2-1)=3(x-1)
D.2(x 2+1)=x+2
3. 一元二次方程2x2-3x+1=0 化为 (x+a) 2 =b 的形式 , 正确的是 ( )
2 2 1;C. 2
A. x 3 16;
B. 2 x 3 x 3 1 ; D. 以上都不对
2 4 16 4 16
4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0的一个根是0,则a值为()
A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、
1
2
5. 已知三角形两边长分别为 2 和 9, 第三边的长为二次方程x2 -14x+48=0 的一根 ,
则这个三角形的周长为 ( )
A.11
B.17
C.17 或 19
D.19
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2 8x 7 0 的两个根,
则这个直角三角形的斜边长是()
A、 3 B 、 3 C 、6 D 、 9
7. 使分式x
2
5x
6
的值等于零的 x 是( ) x 1
A.6
B.-1或6
C.-1
D.-6
8.若关于 y 的一元二次方程 ky 2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值范围是 ( )
A.k>- 7
B.k ≥-
7
且 k≠ 0 C.k ≥-
7
D.k> 7 且 k≠0
4 4 4 4
9. 已知方程x2 x 2 ,则下列说中,正确的是()
(A)方程两根和是 1 (B)方程两根积是 2
(C)方程两根和是 1 (D)方程两根积比两根和大 2
10.某超市一月份的营业额为 200 万元 , 已知第一季度的总营业额共 1000 万元 ,
如果平均每月增长率为x, 则由题意列方程应为 ( )
A.200(1+x) 2=1000
B.200+200 ×2x=1000
2]=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)
二、填空题 :( 每小题 4 分, 共 20 分)
11.用 ______法解方程 3(x-2) 2=2x-4 比较简便 .
12.如果 2x2+1 与 4x2-2x-5 互为相反数 , 则 x 的值为 ________.
13.x2 3x _____ ( x ____) 2
14.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0) 有一个根为 -1, 则 a、b、c 的关系是 ______.
15. 已知方程 3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0, 有共同的根 -1,则a= ______, b=______.
16.一元二次方程 x2-3x-1=0 与 x2-x+3=0 的所有实数根的和等于 ____.
17.已知 3- 2 是方程 x2+mx+7=0的一个根 , 则 m=________,另一根为 _______.
18.已知两数的积是 12, 这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是
___________.
1 1
19. 已知x
1
,x
2 是方程 x 2 2x 1 0 的两个根,则
x
1
x
2等于 __________.
20. 关于 x 的二次方程 x2 mx n 0 有两个相等实根,则符合条件的一组m, n 的
实数值可以是 m , n .
三、用适当方法解方程:(每小题 5 分,共 10 分)
21. (3 x) 2 x2 5 22. x2 2 3x 3 0
四、列方程解应用题:(每小题 7 分,共 21 分)
23. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降
的百分数相同 , 求这个百分数 .
24.如图所示,在宽为 20m,长为 32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,(互
2
相垂直),把耕地分成大小不等的六块试验田,要使试验田的面积为570m,道路应为多宽?
25. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20 件,每件赢利40 元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1 元,商场平均每天可多售出2 件。求:(1)若商场平均每天要赢利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?( 2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?
26.解答题(本题 9 分)
已知关于 x 的方程 x22(m 2) x m2 4 0 两根的平方和比两根的积大21,求m 的值
《一元二次方程》复习测试题参考答案
一、选择题:
1、B 2 、D 3 、C 4 、B 5 、 D 6、B 7 、A 8 、B 9 、C 10 、D
二、填空题:
11、提公因式 12 、 - 2
或 1 13 、
9
,
3
14 、 b=a+c 15 、1 ,-2 3 4 2
16、3 17 、-6 ,3+ 2 18 、x2-7x+12=0 或 x2 +7x+12=0 19 、-2
20、2 , 1(答案不唯一,只要符合题意即可)
三、用适当方法解方程:
21、解: 9-6x+x 2+x2=5 22 、解: (x+ 3 ) 2=0
x 2-3x+2=0 x+ 3 =0
(x-1)(x-2)=0 x 1 2 3 =x = -
x1=1x 2=2
四、列方程解应用题:
23、解:设每年降低x,则有
(1-x)2=1-36%
2
(1-x) =0.64
1-x= ± 0.8
x1=0.2 x2=1.8(舍去)
答:每年降低 20%。
24、解:设道路宽为xm
(32-2x)(20-x)=570
2
640-32x-40x+2x =570
2
x -36x+35=0
(x-1)(x-35)=0
x1=1 x 2=35(舍去)
答:道路应宽 1m
25、⑴解:设每件衬衫应降价x 元。
(40-x)(20+2x)=1200
2
800+80x-20x-2x -1200=0
2
x -30x+200=0
(x-10)(x-20)=0
x1=10( 舍去 ) x 2 =20
⑵解:设每件衬衫降价x 元时,则所得赢利为(40-x)(20+2x)
2
=-2 x +60x+800
2
=-2(x -30x+225)+1250
2
=-2(x-15) +1250
所以,每件衬衫降价 15 元时,商场赢利最多,为 1250 元。 26、解答题:
解:设此方程的两根分别为 X 1,X 2,则 2 2
(X 1 +X 2 )- X 1X 2=21 2
(X 1+X 2 ) -3 X 1 X 2 =21 2
2
[-2(m-2)] -3(m +4)=21 2
m-16m-17=0 m 1=-1 m 2 =17
因为△≥ 0,所以 m ≤0,所以 m =-1
练习三
一、填空题
1.方程 ( x
5)
2
3
的解是 _____________.
2.已知方程 ax 2 7x 2
的一个根是- 2,那么 a 的值是 _____________,
方程的另一根是 _____________.
3.如果 2x
2
1与 4x
2
2x
5
互为相反数,则 x 的值为 _____________.
4.已知 5 和 2 分别是方程 x 2
mx n 0
的两个根,则 mn 的值是
_____________.
5.方程 4x
2
3x 2
的根的判别式△= _____________,它的根的情况是
_____________.
6.已知方程 2x 2
mx 1 0
的判别式的值是 16,则 m =_____________. 7.方程 9x
2
( k 6) x
k 1
有两个相等的实数根,则 k = _____________.
8.如果关于 x 的方程 x 2
5x c 0
没有实数根,则 c 的取值范围是
_____________.
9.长方形的长比宽多 2cm ,面积为
48cm 2
,则它的周长是 _____________.
10.某小商店今年一月营业额为 5000 元,三月份上升到 7200 元,平均每月增
长的百分率为 _____________.
二、选择题
11.方程 x
2
x 0
的解是 ( )
A .x =± 1
B .x =0
C .
x 1
0, x
2
1
D .x =1
12.关于 x 的一元二次方程
kx
2
6x 1
有两个不相等的实数根,则 k 的
取值范围是 ( )
A .k>9
B .k<9
C . k ≤ 9,且 k ≠0
D .k<9,且 k ≠0
13.把方程 x
2 8x 84 0化成 ( x
m)
2
n
的形式得 ( )
A .
( x 4)
2 100 B .
(x 16) 2 100
C .
(x
4)
2
84
D .
( x
16)
2
84
14.用下列哪种方法解方程
3(x 2)
2
2x
4
比较简便 (
)
A .直接开平方法
B .配方法
C .公式法
D .因式分解法
15.已知方程 (x +y)(1 -x -y) +6=0,那么 x +y 的值是 ( )
A .2
B .3
C .-2 或 3
D .-3 或 2
16.下列关于 x 的方程中,没有实数根的是 (
)
A . 3x 2 4x 2 0
B . 2x 2
5 6x
C .
3x 2 2 6x 2 0
D . 2x 2
mx 1 0
17.已知方程
2x
2
px q
的两根之和为 4,两根之积为- 3,则 p 和 q 的
值为( )
A . p = 8, q =- 6
B . p =- 4,q =- 3
C . p =- 3,q =4
D . p =- 8,q =- 6
18.若 35 是方程 x 2
kx 4
的一个根,则另一根和 k 的值为 ( )
A .
x 3 5 , k =- 6
B .
x
3
5
, k = 6
C .
x 3
5
, k =- 6 D . x 3
5
,k =6
19.两根均为负数的一元二次方程是 ( )
A . 7x 2
12x 5 0 B . 6x 2 13x 5 0 C . 4x 2
21x
5
D . 2x 2 15x
8 0
20.以 3 和- 2 为根的一元二次方程是 ( )
A . x 2 x 6 0
B . x 2 x 6 0
C .
x 2 x 6 0
D . x 2
x 6 0
三、解答题
21.用适当的方法解关于 x 的方程
(1)
(2x 1) 2
4(2x 1) 12;
(2) ( 2x 3) 2(x 1) 2 6 ;
(3) ( x3)(x3)4x ;
(4) ( 4x 1) 2270 .
22.已知y1 x 2 2x 3, y 2 x 7 ,当 x 为何值时,2y 1 y 2 0 ?
23.已知方程x2
ax b 0 的一个解是 2,余下的解是正数,而且也是方程( x 4) 2 3x
52
的解,求 a 和 b 的值.
24.试说明不论 k 为任何实数,关于 x 的方程(x 1)(x 3) k2 3
一定有两
个不相等实数根.
25.若方程 m 2 x 2 (2m 3)x 1 0 的两个实数根的倒数和是S,求 S 的取值
范围.
26.已知 Rt △ABC中,∠C=90°,斜边长为 5,两直角边的长分别是关于x 的方程 x 2 (2m 1) x 4( m 1) 0 的两个根,求m的值.
27.某商场今年一月份销售额 100 万元,二月份销售额下降 10%,进入 3 月份该商场采取措施, 改革营销策略, 使日销售额大幅上升, 四月份的销售额达到
129.6 万元,求三、四月份平均每月销售额增长的百分率.
x 1
3 28.若关于 x 的方程 x
2
( m 5) x 3m
2
0 的两个根 x 1、 x 2 满足 x
2
4 ,求
m 的值.
参考答案 【同步达纲练习】
一、
1.
x
1
5
3, x
2
5
3
1
2.4, 4 2
3.1或
3
4.- 70
5.- 23,无实数根
6. m
2 6
7.0 或 24
c
25
8. 4 9.28cm 10. 20%
二、
11.C 12 .D 13 .A 14 .D 15 .C
16 .B 17 .D 18 .B 19 .C
20.C
三、
21.
x 1
7
,x 2
1 (1) 用因式分解法
2
2 ;
(2) 先整理后用公式法x1 7
3
43
, x 2 7 43
;
3
(3) 先整理后用公式法x
1 2 7,x 2 2 7 ;
(4) 用直接开平方法x 1
3 3 1
, x 2 3 3 1
4 4 .
1
22.x=1 或2.
23.a=- 6,b=8.
24.解: ( x 1)( x 3) k 2 3,整理得 x 2 2x k 2 0 .
∵22 4k 2 4 4k 2 0 ,
∴不论 k 为任何实数,方程一定有两个不相等实数根.
S 3
2 ,且S≠-3.
25.
26. m= 4.
27.解:设增长的百分率为x,则100
(1 10%)(1 x ) 2 129. 6 .
x 1 0 . ,x 2 2 . 2
2
( 不合题意舍去 ) .
∴增长的百分率为20%.
x 1 x 2 m 5
x 1 x 2 3m 2
x1 3
28.解:提示:解x 2 4 ,
10
m
.
解得 m=10,或 3
练习四
◆基础知识作业
1.利用求根公式解一元二次方程时,首先要把方程化为____________ ,确定 __________ 的值,
当 __________时,把 a,b,c 的值代入公式,x1,2=_________________ 求得方程的解.
2、把方程
4 —x 2
= 3x
化为
ax 2
+ bx + c = 0(a ≠ 0)形式为
,则该方程的二
次项系数、一次项系数和常数项分别为
。
3.方程 3x 2- 8=7x 化为一般形式是 ________,a=__________, b=__________,c=_________, 方程
的根 x 1=_____,x 2 =______. 4、已知 y=x 2-2x-3,当 x=
时, y 的值是 -3。
5.把方程( x-
5 ) (x+ 5 ) +(2x-1)2=0 化为一元二次方程的一般形式是
(
)
A.5x 2 -4x-4=0
B.x 2-5=0
C.5x 2-2x+1=0
D.5x 2-4x+6=0
6.用公式法解方程 3x 2
+4=12x ,下列代入公式正确的是(
)
1
2 12
12 2 3
4
1
2
12
122 3 4
A. x 、 =
2
B.x 、 =
2
1
2
12
122 3 4
1
2
( 12)
( 12) 2 4 3 4
C.x 、 =
2
D. x 、 =
2 3
7.方程 x 2
x 1 的根是(
)
A . x
x 1
B . x 1
5
C . x
x 1
D . x
1 5
2
2
8.方程 x 2+( 3 2 )x+ 6 =0 的解是(
)
A. x =1,x =
6
B. x =- 1,x =- 6
C.x = 2 ,x =
3
D. x =- 2 ,x =- 3
1
2
1
2
1
2
1
2
9.下列各数中,是方程 x 2- (1+ 5 )x+
5 =0 的解的有(
)
①1+5②1-5③1④-5
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
10. 运用公式法解下列方程 :
(1)5x 2 +2x - 1=0 (2) x 2+6x+9=7
◆能力方法作业
11.方程x2 4x 3 0的根是
12.方程ax 2 bx 0( a 0) 的根是
13.2x2- 2 x- 5=0 的二根为 x1 =_________, x2=_________.
14. 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 有实数解的条件是 __________.
15. 如果关于 x 的方程 4mx 2-mx+1=0 有两个相等实数根 ,那么它的根是 _______.
16.下列说法正确的是()
A.一元二次方程的一般形式是ax2 bx c 0
B.一元二次方程ax2 bx c 0的根是 x b b2 4ac
2a
C.方程x2 x 的解是x=1
D.方程x( x 3)( x 2) 0 的根有三个
17.方程x4 5x2 6 0 的根是()
A.6,1 B.2,3 C.2, 3 D.6,1 18. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A.-x2=2x-1
B.4x2+4x+ 5 =0;
C. 2x2 x 3 0
D.(x+2)(x-3)==-5
4
19、已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数m2-m的值等于()
A、1
B、-1
C、0
D、 2
20.若代数式 x2 +5x+6 与- x+1 的值相等,则 x 的值为()
A.x1=-1, x2=- 5
B.x1=-6, x2=1
1 2
C.x =- 2,x =- 3
D.x=- 1
21.解下列关于x 的方程 :
(1) x2+2x- 2=0(2).3x2+4x-7=0
(3)(x+3)(x - 1)=5
(4)(x -
2 )2+4 2 x=0
22.解关于 x 的方程 x 2
2ax b 2 a 2
m2 -
5m+8
+(m+3)x+5=0 是一元二次方程,求 m 的值
23.若方程( m - 2)x
24. 已知关于 x 的一元二次方程x2-2kx+ 1
k2-2=0.求证:不论k为何值,方程总有两不相等实2
数根 .
◆能力拓展与探究
25.下列方程中有实数根的是 ( )
(A)x2+ 2x+ 3=0.(B)x2+ 1=0.(C)x2+ 3x+ 1=0. (D) x
1 .
x 1 x 1
26.已知 m, n 是关于 x 的方程( k+1) x2-x+1=0 的两个实数根,且满足k+1=(m+1)(n+1),则实数 k 的值是.
27. 已知关于 x 的一元二次方程(m 2) 2 x2 ( 2m 1)x 1 0 有两个不相等的实数根,则
m 的取值范围是()
A. m 3
B. m
3 4 4
C. m 3
2 3 且 m 2
且 m D. m
4 4
答案
b b24ac
1.一般形式二次项系数、一次项系数、常数项b2- 4ac≥0
2a
2、 x2 + 3x — 4=0, 1、
3、— 4;
3.3x2-7x- 8=0 3-7-84、 0、 2
5.A
6.D 7. B 8.D 9.B
10. (1) 解: a=5,b=2,c=- 1
∴Δ =b2- 4ac=4+4 × 5× 1=24>0
2 24 1 6
∴ x1·2=
10 5
∴ x1= 1 6
, x2 1 6
5 5
(2).解:整理,得:x2+6x+2=0
∴a=1,b=6,c=2
∴Δ =b2- 4ac=36 - 4× 1× 2=28> 0
∴ x1·2= 628
=-3±7 2
∴x1=- 3+ 7 ,x2 =-3-7
11. x1=- 1, x2=- 312. x1=0, x2=-b
13. 2 42 2 42
4 4
14. b2 4c 0 15 . 1 16. D 17. C.
8
18.B 19、 A 20.A
21. (1)x=- 1± 3 ; (2)x1=1, x2=-
7
2
(3)x1=2, x2=- 4; (4)25.x1=x2=-
3
22.X=a+1b1
23. m=3
24.(1)=2k2+8>0,∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根. 25. C
26. -227. C
练习五
第 1 题. (2005 项系数都为1:南京课改)写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为
.
0,并且二次
答案:答案不惟一,例如:
x 2 0 , x 2 x
0 等
第 2 题 . ( 2005 江西课改)方程
x 2 2x 0 的解是
.
答案: x 1 2, x 2 0
第 3 题 . ( 2005 成都课改)方程
x 2 9 0 的解是
.
答案: x
3
第 4 题 . ( 2005 广东课改)方程 x 2 2 x 的解是
.
答案:
x 1 0,x 22
第 5 题. (2005 深圳课改)方程 x
2
2 x 的解是(
)
A. x 2
B. 1
2 , x 2 0
C. x 1
2 , x 2 0
D.
x 0
x
答案:C
第 6 题 . ( 2005 安徽课改)方程
x(x 3) x 3 的解是(
)
A. x 1
B.
,
0 x 2
3
x 1 C. x 1 1, x 2 3
D. x 1
1, x 2
3
答案: D
第 7 题 . ( 2005 漳州大纲)方程
x 2 2 x 的解是 x 1
、 x 2
.
答案: x 1 0, x 2 2
第 8 题 . ( 2005 江西大纲) 若方程 x 2
m 0 有整数根, 则 m 的值可以是
(只
填一个).
答案:如 m01,,4,9,L
第9 题. (2005 济南大纲)若关于x 的方程 x2 kx 1 0 的一根为 2 ,则另一根为, k 的值为.
答案:1
,
5 2 2
第 10 题 . (2005 上海大纲)已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是
______________(只需写出一个方程).
答案: x2 x 0
第 11 题. (2005 海南课改)方程 x2 4 0 的根是()
A. x1 2 , x2 2
B. x 4
C. x 2
D. x 2
答案: A
第 12 题 . ( 2005 江西淮安大纲)方程x2 4x 的解是.
答案:0或4
第 13 题 . (2005 兰州大纲)已知m 是方程 x2 x 1 0 的一个根,则代数 m2 m 的值等于()
A.- 1 B. 0 C.1 D. 2
答案:C
练习六
第 1 题 . (2007 甘肃兰州课改, 4 分)下列方程中是一元二次方程的是()
1 0 B.y2x 1C.x21 0D.1
x21x
答案:C
第2题. ( 2007 甘肃白银 3 市非课改, 4 分)已知 x=- 1 是方程x2 mx 1 0的一个根,则 m= .答案: 2
第 3 题 . ( 2007 海南课改, 3 分)已知关于x 的方程x23mx m 20 的一个根是x 1 ,
那么 m .答案:3 5
2
第 4 题 . (2007 黑龙江哈尔滨课改, 3 分)下列说法中,正确的说法有()
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形;
②一元二次方程 x2 3x 4 0 的根是 x1 4 , x2 1;
③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形;
④一元一次不等式 2x 5 11的正整数解有3个;
⑤在数据 1 ,3, 3, 0, 2 中,众数是3,中位数是 3.
A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案: B
第 5题. ( 2007 湖北武汉课改, 3 分)如果 2 是一元二次方程x2 c 的一个根,那么常数c 是()
A. 2 B. 2 C. 4 D.4答案:C
第 6 题 . (2007 湖北襄樊非课改, 3 分)已知关于x的方程3x 2a 2 的解是a ,则 a 的
1
值为()A.1 B.3
C.
1
D.1答案:A 5 5
第 7 题. (2007 湖南株洲课改, 6 分)已知 x 1 是一元二次方程ax 2 bx 40 0的一个解,且 a b,求 a2 b2 的值.
2a 2b
答案:由 x 1 是一元二次方程ax2bx 40 0 的一个解,得: a b 40 3 分
又 a
a2 b2 (a b)(a b) a b
b ,得:
2b 2(a b)
20 6分
2a 2
第 8 题. (2007 山西课改, 2 分)若关于x的方程x2 2 x k 0 的一个根是0 ,则另一个根是.答案: 2
. . . 一元二次方程测试题 考试范围:一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x(x﹣2)=3x的解为() A.x=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=2,x2=0 D.x1=0,x2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x2﹣2x=3(x2﹣2)C.x3﹣2x﹣4=0 D.(x﹣ 1)2+1=0 3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为() A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.12(1+x)=17 B.17(1﹣x)=12 C.12(1+x)2=17 D.12+12(1+x)+12(1+x)2=17 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是() A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为() A.x(x+12)=210 B.x(x﹣12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x﹣12)=210 7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是() A .有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大 C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰x12+x1x2+x22=2k2成立,k的值为() A.﹣1 B.或﹣1 C.D.﹣或1 9.一元二次方程ax2+bx+c=0中,若a>0,b<0,c<0,则这个方程根的情况是() A.有两个正根B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a﹣c≠0,以下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是() A.7 B.11 C.12 D.16
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.
一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式() A △=M B △>M C △<M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0,则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ,则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解:=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ,则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式,则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时,方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程? 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时,是一元一次方程:当m______时,是一元一次方程。 10、已知012=--x x ,则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ,则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ,无论a 取何值,该方程都是一元二次方程
《一元二次方程》典型例题一 例 指出下列方程中哪些是一元二次方程? (1))12(3652+=+x x x (2)x x =28 (3)532=x (4)y x 342= (5)02=-x (6)24)3()15(x x x x x ++=- 解:(1)整理得:x x x 366522+=+ 移项,合并得:0632=-+x x ∴ 是一元二次方程 (2)移项得:082=-x x ∴ 是一元二次方程 (3)532=x ∵方程的分母中含有未知数 ∴它不是一元二次方程 (4)0342 =-y x ∵ 方程中含有两个未知数 ∴ 它不是一元二次方程 (5)02=-x ∵01≠-=a ∴它是一元二次方程 (6)整理得:222435x x x x x ++=- 移次,合并得:04=x ∵二次项系数合并后为0 ∴它不是一元二次方程 说明:对方程要先进行整理,然后再根据条件: ①整式方程 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数为2
只有当这三个条件缺一不可时,才能判断为一元二次方程. 《一元二次方程》典型例题二 例 若032 2=-+-p p x px 是关于x 的一元二次方程,则( ). (A) p 为任意实数 (B ) 0=p (C) 0≠p ( D) 0=p 或1 分析与解:显然方程0322=-+-p p x px 是关于x 的整式方程,且方程中含有一个未知数x ,若想让它满足一元二次方程的定义,需使未知数的最高次数为2的系数0≠p ,故应选(C ). 《一元二次方程》典型例题三 例 关于x 的方程(322-+m m )1351=++x x m 是不是一元二次方程? 分析:此方程是不是一元二次方程,可直接根据定义判断,看它是否同时满足一元二次方程定义的条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是 2.观察方程易知它已满足(1)、(2)两条,能否满足条件: 解:.032212? ??≠-+=+m m m 由于1=m 时,0322=-+m m 所以不存在m 的值同时满足且21=+m 0 322≠-+m m 故关于x 的方程(322-+m m )1351=++x x m 不是一元二次方程. 《一元二次方程》典型例题四 例 把下列方程化为一元二次方程的一般形式,再指出其二次项系数,一次项系数及常数项. (1)x x 352 = (2)03)12(2=-+-x x
一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能: 一、填空题: 1.下列方程中是一元二次方程的序号是 . 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2.已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程,则a 3.当=k 时,方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程. 4.解一元二次方程的一般方法有 , , , · 5.一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为: . 6.(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 . 7.不解方程,判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 . 8.(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 . 9.已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根. 10.关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 . 二、选择题: 11.(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立,则a 的值为( ) A .5 8.4 C .3 D .2 12.把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13.方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D
一元二次方程经典例题集锦 一、一元二次方程的解法 1.开平方法解下列方程: (1)012552=-x (2)289)3(1692=-x (3)03612=+y (5,521-==x x ) (13 22,135621== x x ) (5)(4)0)31(2 =-m (6) 85 )13(22 =+x (021==m m ) (3521±-=x ) 2.配方法解方程: (3)(1)0522=-+x x (2)0152=++y y (3)3422-=-y y (61±-=x ) (2215±-= x ) (2101±=y ) 3.公式法解下列方程: (1)2632-=x x (2)p p 3232=+ (3)y y 1172= (333±= x ) (321==p p ) (0,71121==y y ) (4)2592-=n n (5)3)12)(2(2---=+x x x (2 153±= x ) 4.因式分解法解下列方程:
(1)094 12=-x (2)04542=-+y y (3)031082=-+x x (6±=x ) (5,921=-=y y ) (23,4121-== x x ) (4)02172=-x x (5)6223362-=-x x x (3,021==x x ) (32,2321== x x ) (6)1)5(2)5(2--=-x x (7)08)3(2)3(222=-+-+x x x (621==x x ) (1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ) 5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程): (1)128)72(22=-x (2)222)2(212m m m m -=+- (3))3)(2()2(6+-=-x x x x (227±=x ) (262±=m ) (5 3,221==x x ) (4)3 )13(2)23(332-+-=+y y y y y (5)22)3(144)52(81-=-x x (2,2321==y y ) (2 3,102721==x x ) 6.解含有字母系数的方程(解关于x 的方程): (1)02222=-+-n m mx x (2)124322+-=+a ax a x
一元二次方程典型例题整理版 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法
二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况): 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数: ① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x , ,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; 例:二次函数y=x2-3x+2与x 轴有无交点?若有,请说出交点坐标;若没有,请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数
c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下:(一元二次方程的实数根记为 21x x 、) ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=. ⑴求证:m 取任何实数时,方程总有实数根; ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称. ①求二次函数1y 的解析式; ②已知一次函数222=-y x ,证明:在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立; ⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-,,且在实数范 围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求
一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目,分析题意,学会分解题目,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目,举例说明. 一、面积问题: 例1:如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设 道路的宽为x米,则可列方程为() A.100×80-100x-80x=7644 B.(100-x)(80-x)+x2=7644 C.(100-x)(80-x)=7644 D.100x+80x=356 二、增长率问题:(变化前的基数a,增长率x,变化的次数n,变化后的基数b,关系:a(1+x)n=b)例2:恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3:某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 四、储蓄问题 例4:王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 五、情景对话类 例5:春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
练习一 一、选择题:(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( ) A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12; C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 2.下列方程:①x2=0,② 中, 一元二次方程的个数是( ) A.1个 D.4个 3.把方程(+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0 4.方程x2=6x的根是( ) A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=0 5.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( ) C. D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2 C. D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题3分,共24分) 9.________,它的一次项系数是______. 10.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________. 13.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______. 15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________. 三、解答题(2分) 17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分) (1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2(3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)
更多精品文档 一元二次方程测试题 考试范围: 一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x (x ﹣2)=3x 的解为( ) A .x=5 B .x 1=0,x 2=5 C .x 1=2,x 2=0 D .x 1=0,x 2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是( ) A .ax 2+bx +c=0 B .3x 2﹣2x=3(x 2﹣2) C .x 3﹣2x ﹣4=0 D .(x ﹣1)2+1=0 3.关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0,则a 的值为( ) A .﹣1 B .1 C .1或﹣1 D .3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x ,则下列方程中正确的是( ) A .12(1+x )=17 B .17(1﹣x )=12 C .12(1+x )2=17 D .12+12(1+x )+12(1+x )2=17 5.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8cm ,BC=6cm .动点P ,Q 分别从点A , B 同时开始移动,点P 的速度为1cm/秒,点Q 的速度为2cm/秒,点Q 移动到点 C 后停止,点P 也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ 的面积为15cm 2的是( ) A .2秒钟 B .3秒钟 C .4秒钟 D .5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为( ) A .x (x +12)=210 B .x (x ﹣12)=210 C .2x +2(x +12)=210 D .2x +2(x ﹣12)=210 7.一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中,若b <0,则这个方程根的情况是( ) A .有两个正根 B .有一正根一负根且正根的绝对值大 C .有两个负根 D .有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x 1,x 2是方程x 2+x +k=0的两个实根,若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立,k 的值为( ) A .﹣1 B .或﹣1 C . D .﹣或1 9.一元二次方程ax 2+bx +c=0中,若a >0,b <0,c <0,则这个方程根的情况是( ) A .有两个正根 B .有两个负根 C .有一正根一负根且正根绝对值大 D .有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M :ax 2+bx +c=0;N :cx 2+bx +a=0,其中a ﹣c ≠0,以下列四个结论中,错误 的是( ) A .如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根 B .如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同 C .如果5是方程M 的一个根,那么是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m ,n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根,则(m +2)(n +2)的最小值是( ) A .7 B .11 C .12 D .16 12.设关于x 的方程ax 2+(a +2)x +9a=0,有两个不相等的实数根x 1、x 2,且x 1<1<x 2,那么实数 a 的取值范围是( ) A . B . C . D . 第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(共8小题,每题3分,共24分) 13.若x 1,x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根,则代数式x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6的值是 . 14.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根,且x 1+x 2=﹣2,x 1?x 2=1,则b a 的值是 . 15.已知2x |m |﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程,则m= . 16.已知x 2+6x=﹣1可以配成(x +p )2=q 的形式,则q= . 17.已知关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根,且关于x 的不等式组 的解集是x <﹣1,则所有符合条件的整数m 的个数是 . 18.关于x 的方程(m ﹣2)x 2+2x +1=0有实数根,则偶数m 的最大值为 .
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22=--x ] 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 配方法解一元二次方程的步骤: 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 * 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) (1)当b 2-4ac>0时,=1x ,=2x 。 (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)当b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 $ 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7.x 2+4x -3=0 8. .03232=--x x 方法四:因式分解法 因式分解的方法: (1)提公因式法: (2)… (3)公式法:平方差: 完全平方: (4)十字相乘法: 一、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x
一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程: (1)2225x =; (2)2 1440y -=. 2. 解下列方程: (1)2 (1)9x -=; (2)2 (21)3x +=; (3)2(61)250x --=. (4)2 81(2)16x -=. 3. 用直接开平方法解下列方程: (1)2 5(21)180y -=; (2)21 (31)644 x +=; (3)26(2)1x +=; (4)2 ()(00)ax c b b a -=≠,≥ 4. 填空 (1)2 8x x ++( )=(x + )2 . (2)22 3x x - +( )=(x - )2. (3)2b y y a -+( )=(y - )2 . 5. 用适当的数(式)填空:
23x x -+ (x =- 2); 2x px -+ =(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ . 6. 用配方法解下列方程 1).210x x +-= 2).23610x x +-= 3).21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式,所得的方程是 . 8. 用配方法解方程. 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ,2x = . 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 (1)210x x --=; (2)23920x x -+=. 12. 用适当的方法解方程 (1)2 3(1)12x +=; (2)2 410y y ++=;
实际问题与一元二次方程专题训练 1.甲、乙两船同时从A处出航,甲船以30千米/小时的速度向正北航行,乙船以每小时比甲船快10千米的速度向正东航行,则几小时后两船相距100千米? 2.一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新数与原数的积为736,求原数。 3.张华将1000元人民币按一年期定期存入银行,到期后自动转存,两年后,本金和税后利息共获得1036.324元,问这种存款的年利率是多少? 4.新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品,出售时,每件a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,该商店计划要赚400元,需要卖出多少件该商品?每件商品的售价应为多少? 5.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,问为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个? 6.某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元? 7.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26 米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两 条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一 块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度? 8.如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场, 为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙(无限长), 另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.求鸡场的长与 宽各为多少米?