第三章 向量 线性关系 秩基本要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 一、向量及其运算 1. 向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量. n 维向量有两种表示形式：12n a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,na a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量常记作a 、或a、或α等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律 零向量、负向量(1)运算①相等 ②加法 ③数乘 ④转置若12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,,,T n a a a a = .⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量. (2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n 维列(行)向量的全体构成一个所谓的n 维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n 维向量空间中进行. 3. 应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1) 设12(1,2,,)i i i in a a a i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组(1)可表示为 1122n n x a x a x a b +++=. (2)作业：P63 1. 2. 二、向量组的线性关系 1. 基本概念定义1 若存在一组数s k k k ,,,21 使1122s s k k k βααα=+++ ， (3)则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示，也称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示. 例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合. 其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k 2121),,,(αααβ. (当12,,,s ααα 为列向量时)或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k αααβ 2121),,,(. (当12,,,s ααα 为行向量时)定义2 若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21使1122s s k k k αααο+++= . (4)则向量组12,,,s ααα 称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s ααα 线性相关仅当齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解s k k k ,,,21.定义2表明，向量组12,,,s ααα 不线性相关，若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21总有οβββ≠+++s s k k k 2211.换句话说，1122s s k k k αααο+++= 成立仅当021====s k k k .例如：3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即齐次线性方程组0723032001321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k 当且仅当1230k k k ===，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.2. 基本结论(1)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55 证向量组12,,,s ααα 线性无关⇔12,,,s ααα 中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54 证推论 n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式不为0. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54 证一个向量α线性无关αο⇔≠. 例如，(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上，即,αβ共线或平行). 证两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上，即,αβ不共线或不平行). 例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组. P54 证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) P55 证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55 (7)设向量组12,,,s ααα 线性无关，向量组12,,,,s αααβ 线性相关，则β可由向量组12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数称为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 证 设1122s s k k k αααο+++= ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111s ms m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 不妨去掉最后一个方程，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---,0,0,0121211122221211212111s s m m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 即12,,,s ααα 的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. P56(9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59 推论 任意()m m n >个n 维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲). 作业：P64 6. 7. 8. 9. 10.-11. 三、秩1. 向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s ααα ；(Ⅱ)12,,,t βββ .定义3 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出. P57线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性.定义4 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价. P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5 若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组. P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.定理1(P57 命题3.5) 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论1(P57 推论) 向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57 引理3.6) 若列向量组12,,,r ααα 线性无关，且()12,,,r A O ααα= ，则A O =. 定理3(P58 定理3.7) 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证 设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .从而(12,,,s ααα )=(12,,,s ααα )BA .于是由定理2有O BA E s =-，即BA E s =.同理有AB E t =.根据第38页上的例2.11知，必有t s =.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等. 推论2(P58 推论) 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作)(⋅r 或)(⋅rank . P58 规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s ααα ，总有{}12,,,s r s ααα≤ .(2)若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(3)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(P58 定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示，则 s t ≤.(P58 推论2) (5)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，且s t >，则12,,,s ααα 线性相关.(P58 推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58 推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ ， 总有{}{}{}{}{}{}121212121212max ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题A P64 12. 2. 矩阵的秩一个m n ⨯矩阵可以写成如下两种分块形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T Tmn m m n n a a a a a a a a a A ααα 21212222111211()TnT Tβββ 21=， 其中T m T T ααα,,,21 叫作A 的行向量组，TnT T βββ,,,21 叫作A 的列向量组. 定义7 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59 引理3.9) 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理2(P60 定理3.10) 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(A r A r T =.推论(P61 定理3.11) 初等变换不改变矩阵的秩.定义8 矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(⋅r 或)(⋅rank .定义9 在m n ⨯矩阵A 中任选k 行与k 列(},min{1n m k ≤≤)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.定理3(P61 定理3.12) r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则所有r 阶以上的子式皆为零.定理4 r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法. 例(P63 例3.9) 解 分析： 形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521. 的矩阵称为行阶梯形矩阵. P62形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021. 的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)； (2)； (3)； (4).定理5(P63 命题3.13) 行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63 命题3.14) 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例(P63 例3.9)定理7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)关于矩阵还有以下常识结论：(1)()()(),r AB r A r B ≤简证：()()()12 c c B AB AB A AB A O A -⎧⊂⎪⇒⎨→⎪⎩ ()()() r AB r AB A r A ≤=. (2)()()()r AB r A r B A ≥+-的列数(3)()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)()()()r A B r A r B ±≤+简证：()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法. 作业：习题A P64 13. 15. 16.习题B P65 5*.。
