第1讲二次根式概念性质与计算-尖子

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【例 1】把下列二次根式 32, 27, 125, 4 45, 2 8, 18, 12, 15 化简后，与 2 的被开方数相
同的有
；
与 3 的被开方数相同的有
；
与 5 的被开方数相同的有
．
【例 2】 （1）若最简二次根式 3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ ． （2）若最简二次根式 2 3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
【例 1】（1）当 x 是多少时，
2
x
3
x
1
1
在实数范围内有意义？
【例 2】（1）解答下列题目若 a 1 b 1 0 ，求 a2011 b2011 的值．
（2）已知实数 x ， y ， z 满足 4x 4 y 1 1 2 y z z 2 z 1 0 ，求 (x z) y2 的值
x
x y
（2）下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． 7
B． 3 8
C． x
D．x
模块二 二次根式的性质
二次根式的基本性质： （1） a 0 （ a 0 ）双重非负性；（2） ( a)2 a （ a 0 ）；
（3）
a2
a
a a
(a 0) ． (a 0)
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二次根式的乘除运算 1、二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） a a 2、二次根式的除法法则： b b （ a 0 ， b 0 ）
2 3a 4 6ab ；
48 2 1 ； 2
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（2）观察规律： 1 2 1, 1 3 2, 1 2 3 ，……，求值．
2 1
3 2
2 3
①
1 ＝______；② 1 ＝______；③
1
＝______．
2 2 7
11 10
n1 n
【巩固】（1）把下列各式分母有理化：
3
模块五 计算
【例 1】（1）计算： 2 8 1 18 1 32
2
4
12 4 1 3 48 27
6 3 0.12 48
ab 1 8a3b 1 18ab3
2a
b
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（2）计算（根据学生情况选做或全做）： (2 3 5)2 (2 3 5)2
(3 8)2011(3 8)2012
1
3 52 3
2 1
3 52 3
ab a b
ab a 1 b
(a b) 5(a b) ( a b 0 ) 8(a b)
模块四 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根 式． 合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并.
．
5x 4 4 5x
课后作业
【题 1】 已知
x
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
是二次根式，则
x
应满足的条件是（
）．
A． x＞0
B． x≤0
C． x≥－3
【题 2】 计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
D． x＞－3
（1） 1 ＝______；（2） 1 ______；（3） 2 ＝______；（4） x ＝______．
20 5 1 12
5
3
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（3）解方程或不等式:
（1） 6 x 1 7 x 1
（2） 2 x 1 2 2 x
3
3
【例 2】（1）已知 a 2 2 a 18a 10 ，求 a 的值． a2
（2）已知 y x 2 2 x 2 2 2 ，则 x 2 y 2 =
3
4
（3）已知 a b a2 2ac c2 a b c 3 0 ，求 3 abc 的值．
【巩固】（1）若-3≤x≤2 时，试化简 x 2 (x 3)2 x 2 10x 25 ．
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（2）如果 x x 3 x(x 3) ，那么（
A． x 0
（3）已知
9x x6
9 x ，且 x 为偶数，求 (1 x) x6
x2 5x 4 的值． x2 1
【例 5】（1）计算： 1 21 3 12 35 5
② 12 21 12 3 35
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模块三 最简二次根式
1、最简二次根式：
二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简
二次根式的概念性质与计算
模块一 二次根式的概念
二次根式的概念：形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
【例 1】 （1）判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2 、 4 、 3 3 、 1 、 x (x 0) 、 0 、 4 2 、 1 、 x y （x≥0，y≥0）．
说这两个代数式互为有理化因式． a b 与 a b 互为有理化因式，原理是平方差
公式 (a b)(a b) a 2 b2 ；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 0．
【例 1】（2）把下列各式化成最简二次根式：
（1） 2 3
（2） 5 1 2
（3） a3b5
（4） 1 1 23
【例 2】（1） 18 24 60 ；
二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
2、分母有理化： 把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
B． x 3
）． C． 0 x 3
D． x 为任意实数
【例 3】（1）计算 ( 3 )2 4
(3 4)2
( a2 2a 1)2
( 4x2 12x 9)2
【例 4】（1）把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
a 1; a
( y 1) 1 y 1
（2）已知 8 a ， 80 b ，求 6.4 的值．
(2 3 3 2 6)(2 3 3 2 6)
( a3b 3ab ab3 ) ab （ a 0,b 0 ）
(4 3 3 2)( 50 27)
(2 a 3 b)(6 b)
( 3 2 6)( 6 2 3)
( 48 1 6) 27 4
18 1 8 1 3 2 1 2